Operaciones con polinomios

Los polinomios se utilizan en diversos campos de las matemáticas, como el análisis matemático y el cálculo. Sin embargo tienen aplicaciones variadas: en física, en química, en informática, en economía, en medicina, etc. Para operar con polinomios se requiere conocer las propiedades de la potenciación y los conceptos fundamentales de expresiones algebraicas.

Para aprender a trabajar con polinomios es necesario conocer antes los siguientes contenidos:

  1. Expresiones algebraicas.
  2. Monomios, binomios, trinomios y polinomios.
  3. Adición y sustracción de polinomios.
  4. Producto y división de polinomios.

EJERCICIOS CON OPERACIONES COMBINADAS ENTRE POLINOMIOS

Una vez que se han trabajado y practicado los temas anteriores, es posible avanzar en la resolución de ejercicios con operaciones combinadas, por ejemplo:

EJERICICIO 1

Dados los polinomios:

A(x) = x3 + 2x − 1
B(x) = 3x2 − 7
C(x) = x − 1

Hallar:

a) A(x) + B(x) · C(x) =
b) [C(x)]2 − B(x) =
c) 3A(x) − B(x) =

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1. a)

A(x) + B(x) · C(x) =

Se reemplaza cada polinomio es su ubicación correspondiente:

A(x) + B(x) · C(x) = (x3 + 2x − 1) + (3x2 − 7) · ( x − 1)

Se realizan las operaciones según la jerarquía correspondiente, en este caso primero hay que realizar la multiplicación entre  B(x) y C(x).

A(x) + B(x) · C(x) = (x3 + 2x − 1) + (3x3 − 3x2 − 7x + 7)

Al ser una suma, se pueden quitar los paréntesis:

A(x) + B(x) · C(x) = x3 + 2x − 1 + 3x3 − 3x2 − 7x + 7

Se agrupan términos con parte literal semejante:

A(x) + B(x) · C(x) = x3 + 3x3 − 3x2 + 2x − 7x + 7 − 1

Se realiza la suma algebraica de los términos con igual parte literal y se escribe el polinomio resultante ordenado en forma decreciente de potencias de x:

A(x) + B(x) · C(x) = 4x3 − 3x2 − 5x + 6

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1. b)

[C(x)]2 − B(x) =

Cuando un polinomio está elevado al cuadrado hay que observar primero a qué tipo de polinomio pertenece.

CUADRADO DE UN POLINOMIO

Cuando un polinomio está elevado a la potencia 2, se debe analizar primero qué tipo de polinomio es y en base a ello operar.

  • Si es un monomio, se eleva al cuadrado tanto su parte numérica como su parte literal.

Ej: P(x) = 2x
[P(x)]2 = (2x)2 = 22x2 = 4x2

Ej: Q(x) = x + 1
[Q(x)]2 = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

  • Si es un trinomio o un polinomio de grado superior a tres se puede multiplicar el polinomio por sí mismo.

Ej: D(x) = x3 + 2x + 1
[D(x)]2 = (x3 + 2x + 1) (x3 + 2x + 1) = x6 + 4x4 + 2x3 + 4x2 + 4x + 1

En el ejercicio 1. b) intervienen C(x) = x − 1 y B(x) = 3x2 − 7, ambos son binomios (tienen dos términos). Por lo tanto para resolver [C(x)]2 se aplica el cuadrado de un binomio.

[C(x)]2 = (x − 1)2 = x2 − 2x + 1

Luego se debe restar o sustraer B(x). Como hay un símbolo menos (−) a la izquierda del paréntesis del polinomio B(x), los signos de éste serán los contrarios al aplicar la regla de los signos.

[C(x)]2 − B(x) = (x−1)2 − (3x2 − 7) = x2 − 2x + 1 − 3x2 + 7

Finalmente se agrupan los términos cuyas partes literales son semejantes:

[C(x)]2 − B(x) =  x2 − 3x2 − 2x + 1 + 7

Se realizan las sumas algebraicas correspondientes y se obtiene el resultado:

[C(x)]2 − B(x) = −2x2 − 2x + 8

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1.c)

3A(x) − B(x) =

Cuando un polinomio está multiplicado por un número o por un monomio, se procede a realizar la propiedad distributiva para resolver esta operación en primer lugar.

3A(x) = 3(x3 + 2x − 1) = 3x3 + 6x − 3

Luego se continúa resolviendo:

3A(x) − B(x) = 3x3 + 6x − 3 − (3x2 − 7) = 3x3 + 6x − 3 − 3x2 + 7 

Finalmente se resuelven las sumas algebraicas correspondientes y se ordena el polinomio resultante:

3A(x) − B(x) = 3x3 − 3x2 + 6x + 7 − 3

3A(x) − B(x) = 3x3 − 3x2 + 6x + 4

Papiro de Rhind, realizado por el escriba Ahmes en el año 1650 a. C. Contiene información matemática aplicable a agricultura, astronomía, construcción, etc.

A continuación puedes practicar tanto algunas operaciones básicas entre polinomios, como las que son combinadas.

A PRACTICAR

Dados los polinomios:

A(x) = −2x4 + 3x3 + 7x2 − 5
B(x) = 3x + 1
C(x) = 2x5 + 3x3

  1. Realizar las siguiente sumas:
    a) A(x) + B(x) =
    b) A(x) + C(x) =
  2. Hallar el resultado de la resta:
    a) A(x) − B(x) =
    b) A(x) − C(x) =
  3. Hallar:
    a) B(x) · C(x) =
    b) A(x) · B(x) =
  4. Obtener el resultado de las siguientes operaciones con polinomios:
    a) 3A(x) + 2x3 · B(x) =
    b) A(x) · [B(x) + C(x)] =

RESPUESTAS

Se designará al polinomio resultado como P(x).

  1. a) P(x) = −2x4 + 3x3 + 7x2 + 3x − 4
    b) P(x) = 2x5 − 2x4 + 6x3 + 7x2 − 5
  2. a) P(x) = −2x4 + 3x3 + 7x2 − 3x − 6
    b) P(x) = −2x5 − 2x4 + 7x2 − 5
  3. a) P(x) = 6x6 + 2x5 + 9x4 + 3x3
    b) P(x) = −6x5 + 7x4 + 24x3 + 7x2 − 15x − 5
  4. a) P(x) = 11x3 + 21x2 − 15
    b) P(x) = −4x9 + 6x8 + 8x7 + 9x6 + 5x5 + 7x4 + 9x3 + 7x2 − 15x − 5
¿Sabías qué...?
Tanto la historia del álgebra como de las matemáticas comenzaron en el antiguo Egipto y Babilonia. Una muestra de ello es el papiro de Rhind que contiene problemas matemáticos escritos en un documento de 6 metros de longitud y 33 cm de ancho.