Sistemas de ecuaciones lineales: aplicación

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es aquel cuyas soluciones, si las tiene, satisfacen al mismo tiempo a las dos ecuaciones que conforman dicho sistema. Para resolver este tipo de ejercicios se utilizan varios métodos: el de reducción, el de sustitución, el gráfico y el de determinantes. A continuación se desarrollarán las aplicaciones de este tema a situaciones problemáticas de la vida cotidiana.

Una ecuación lineal con dos incógnitas se resuelve mediante infinitas soluciones, por ejemplo:

y=3x+1

Para x=0, y=1; x=1, y=4; x=-1, y = -2

Para cualquier valor por el que se reemplace a x se obtendrá un valor asociado de y. De allí se desprende que:

• x es la variable dependiente.
• y es la variable independiente.

SISTEMAS DE ECUACIONES

Cuando se tienen dos ecuaciones de primer grado y dos incógnitas se presenta un sistema de ecuaciones. Por ejemplo:

$\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}–\mathrm{y}=4\\ \mathrm{x}+2\mathrm{y}=–2\end{array}\right.$

Este tipo de sistemas de ecuaciones requiere que las incógnitas de una ecuación sean las mismas que de la otra. Es decir:

$\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{a}+5\mathrm{b}=1\\ \mathrm{a}+2\mathrm{b}=0\end{array}\right.$

 Es un sistema de ecuaciones.

$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=10\\ 4\mathrm{a}–\mathrm{b}=9\end{array}\right.$

No es un sistema de ecuaciones.

TIPOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser:

• Compatible determinado (tiene una única solución).
• Compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).
• Incompatible (no tiene solución).

Representaciones gráficas

En el sistema compatible determinado la solución es el punto de intersección de las dos rectas.

En el sistema compatible indeterminado existen infinitas soluciones porque ambas rectas son semejantes. Al graficarlas quedan ubicadas una sobre la otra.

En el sistema incompatible las dos rectas son paralelas, por ello nunca tendrán punto de contacto, es decir, no tendrán solución.

Se desarrollará a continuación un ejemplo de resolución de sistema de ecuaciones por el método de igualación. Si deseas repasar los métodos de reducción y sustitución puedes ingresar al artículo Sistemas de ecuaciones. Si te interesa conocer el método de determinantes puedes revisar el contenido de Regla de Cramer, método ideado por el matemático Gabriel Cramer.

No obstante, cualquiera de los métodos es válido para la resolución de problemas y ejercicios.

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Dado el siguiente sistema de ecuaciones, hallar los valores de x e y.

$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+\mathrm{y} = 4\\ 3\mathrm{x}+\mathrm{y} = 5\end{array}\right.$

Para resolver este sistema por igualación, primero se despeja una de las incógnitas, en este caso es más sencillo despejar la y:

y=4-2x

y=5-3x

Recordar que si un término se encuentra en un miembro de la igualdad con signo positivo, pasa al otro lado con signo negativo y viceversa.

Una vez que ambas ecuaciones están despejadas se igualan los miembros de la derecha de ambas.

4-2x =5-3x

Luego se agrupan los términos con incógnita del lado izquierdo de la igualdad y aquellos que únicamente son números del lado derecho.

-2x+3x =5-4
x=1

Luego de haber obtenido el valor de una de las variables, se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se obtiene el valor de y.

y=4-2⋅1
y=4-2 = 2

Se puede probar en la otra ecuación:

y=5-3⋅1
y =5-3 = 2

Por lo tanto este sistema tiene solución x=1 e y=2, es compatible determinado y su gráfica es la siguiente:

SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

En algunas oportunidades los ejercicios son presentados de la forma que antecede, en otras se debe extraer la información de enunciados. Por ejemplo:

En una verdulería hay dos ofertas:

• 2 kg. de tomates y 5 kg de papas por 150 pesos.
• 4 kg de tomates y 2 kg de papas por 140 pesos.

¿Cuál es el precio del kilo de tomates y cuál del kilo de papas?

Para resolver este problema, primero se procede a escribir en lenguaje simbólico lo expresado en lenguaje coloquial. Se identificará cada variable con una letra, en este caso utilizaremos la “x” para los tomates y la “y” para las papas.

2x+5y=150
4x+2y=140

De este modo ya se ha conformado el sistema de ecuaciones. Luego se resuelve por cualquier método para resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Igualación

Se despeja la misma incógnita en cada ecuación:

2x+5y=150
5y=150-2x
y = 150:5 -2x :5
y = 30 -(2/5)x

4x+2y = 140
2y = 140 – 4x
y = 140:2 – 4x:2
y = 70- 2x

Se realiza la igualación:

30 -(2/5)x = 70- 2x

Se despeja x:

-(2/5)x+2x = 70 – 30
(8/5)x=40
x = 40 : 8/5
x = 25

Se reemplaza x en una de las ecuaciones iniciales:

y = 70- 2x

y = 70 -2⋅25 = 70 -50 = 20

Los valores obtenidos son:

x=25 e y =20

Rta.: El kilo de tomates cuesta 25 pesos y el kilo de papas 20 pesos.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=30\\ \mathrm{x}–\mathrm{y}=8\end{array}\right.$

b)

$\left\{\begin{array}{l}x+4y=14\\ x–3y=–7\end{array}\right.$

c)

$\left\{\begin{array}{l}3x–2y=7\\ 5x+3y=37\end{array}\right.$

2. Resolver:
a) Tres veces la edad de Emilia menos cuatro veces la edad de María da como resultado tres años. Si hace cuatro años el duplo de la edad de María excedía en 1 año a la edad de Emilia. ¿Qué edad tienen actualmente cada una?

b) El duplo del dinero que tiene Joaquín más el triple de lo que tiene Lautaro suma 60 pesos. Si el cuádruplo de lo que tiene Joaquín menos el quíntuplo de lo que tiene Lautaro es igual a 10 pesos. ¿Cuánto dinero tiene cada uno.

c) La tercera parte de un número más la mitad de otro es igual a 13. Si se divide el primero entre el segundo, el cociente es 2 y el resto es 4. Hallar los números.

RESPUESTAS

1.
a) x=19; y=11
b) x=2; y=3
c) x=5; y=4

2.
a) María tiene 9 años y Emilia tiene 13 años.
b) Joaquín tiene 15 pesos y Lautaro 10.
c) Los números son 40 y 12.