Función lineal. Ejercicios y problemas

Cuando se tienen dos puntos distintos, por ellos pasa una recta, la misma está comprendida por un número infinito de puntos colineales y tiene una dirección determinada. Se suele trabajar sobre el plano cartesiano x,y para realizar las representaciones de las funciones lineales. 

 

función lineal

La fórmula de una función lineal es:

f(x)=mx+b

m y b son números reales, “x” es la variable independiente e “y” la variable dependiente.

m: Es la pendiente de la recta, la misma indica su inclinación. La pendiente da información sobre si la función es creciente o decreciente, en el primer caso m es positiva, en el segundo m es negativa.

b: es la ordenada al origen. Esto quiere decir que b representa el punto de corte en el eje y.

Ordenada al origen

Para hallar la ordenada al origen se reemplaza a la x por 0 y se obtiene:
f(0)=m.0 +b
f(0)=b

Raíz

La raíz de una función lineal se calcula igualando a 0 y despejando x:

mx+b=0

x=-b/m

Ejemplo:

Dada la función f(x)=(1/2)x+3 hallar su ordenada al origen y su raíz. Indicar el valor de la pendiente.

Se tiene que la pendiente es ½ y la ordenada al origen es 3.

m=1/2
b=3

Para calcular la raíz se iguala la función a cero:

0=(1/2)x+3
-3=(1/2)x
x=-6

Con estos dos datos se puede graficar la función lineal:

Obsérvese que los punto de corte son:

  • El valor 3 en el eje y, dato que corresponde a la ordenada al origen.
  • El valor -6 en el eje x, que corresponde a la raíz de la función.

A partir de esos dos puntos se puede trazar la recta.

La pendiente se puede expresar como:

m=Δy/Δx

Gráficamente esto significa lo siguiente:

m=Δy/Δx=3/-6

La recta se encuentra a tres unidades desde el origen, por lo tanto Δy=3.

Δx= -6 porque esa es la posición de la recta sobre el eje x.

Simplificando se obtiene:

m=-1/2

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La tarifa de un taxi es de $33,50 por bajada de bandera y $1,80 por cada cuadra recorrida.

a) Hallar la función lineal que representa la situación.
b) ¿Cuánto se debe pagar si se han recorrido 200 cuadras?
c) Si la tarifa final es $5.433,50 ¿Cuántos kilómetros se recorrieron?

Resolución

a) Para hallar la función lineal que se ajusta a esta situación se debe establacer cuáles son las variables.

x : cantidad de cuadras recorridas (variable independiente)
y : tarifa a pagar (variable dependiente)

El valor fijo es “b”, en este caso corresponde a la bajada de bandera:

b = 33,50

Con ésta información se puede escribir la fórmula:

f(x)=1,80x+33,50

b) Se sustituye en la fórmula anteriormente hallada, el dato dado:
f(200)=1,80⋅200+33,50
f(200)=393,50

Respuesta: el valor a pagar por 200 cuadras es $393,50.

c) La tarifa final está representada por la variable “y”, al reemplazar queda:

5.433,50 = 1,80x +33,50

Luego se despeja x:

5.433,50-33,50 = 1,80x
5.400 = 1,80x
5.400:1,80=x
x=3.000

Se han recorrido 3.000 cuadras. Para obtener la equivalencia entre cuadras y kilómetros se realizan algunas operaciones matemáticas.

Si se considera que la medida de una cuadra es de 100 metros, entonces:

3.000 cuadras ⋅ 100 metros /cuadra =30.0000 metros
Dado que cada 1.000 m se tiene 1 km, la respuesta en kilómetros sería:

1000 m ———1 km
30.0000 m ——300 km

Respuesta: se recorrieron 300 km.

A PRACTICAR lO APRENDIDO

  1. Hallar analíticamente la ordenada al origen y la raíz de las siguientes funciones:
    a) f(x) =-2x+5
    b) f(x) = (3/4)x -1
  2. Graficar las funciones del ejercicio anterior.

Resolver las siguientes situaciones problemáticas:

3. Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra $250 por la visita, más $500 por cada hora de trabajo.
a) Escribir la ecuación de la recta que permite calcular el valor total a pagar en función del tiempo trabajado.
b) ¿Cuánto se debería pagar si el técnico trabaja tres horas?

4. Un taller de sillas tiene un alquiler de $5.000 mensuales (costo fijo). Sabiendo que el costo por fabricar cada silla    es de $100, determinar:
a) El costo mensual cuando se fabrican x sillas.
b) El costo de 200 sillas.

RESPUESTAS

1.
a) ordenada al origen = 5, raíz=5/2 ó 2,5
b) ordenada al origen = -1, raíz= 4/3

2.
a) 

b) 

3.
a) f(x) = 500x+250
b) $1750

4.
a) f(x)=100x+5.000
b) $ 25.000

¿Sabías qué...?
Las medidas de serpientes hembras de la especie lampropeltis polizona se pueden calcular mediante una función lineal: longitud total = 7,4 . longitud de la cola + 11. 

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