VOLVER A LOS ARTÍCULOSCuando se tienen dos puntos distintos, por ellos pasa una recta, la misma está comprendida por un número infinito de puntos colineales y tiene una dirección determinada. Se suele trabajar sobre el plano cartesiano x,y para realizar las representaciones de las funciones lineales.
función lineal
La fórmula de una función lineal es:
f(x)=mx+b
m y b son números reales, “x” es la variable independiente e “y” la variable dependiente.
m: Es la pendiente de la recta, la misma indica su inclinación. La pendiente da información sobre si la función es creciente o decreciente, en el primer caso m es positiva, en el segundo m es negativa.
b: es la ordenada al origen. Esto quiere decir que b representa el punto de corte en el eje y.
Ordenada al origen
Para hallar la ordenada al origen se reemplaza a la x por 0 y se obtiene:
f(0)=m.0 +b
f(0)=b
Raíz
La raíz de una función lineal se calcula igualando a 0 y despejando x:
mx+b=0
x=-b/m
Ejemplo:
Dada la función f(x)=(1/2)x+3 hallar su ordenada al origen y su raíz. Indicar el valor de la pendiente.
Se tiene que la pendiente es ½ y la ordenada al origen es 3.
m=1/2
b=3
Para calcular la raíz se iguala la función a cero:
0=(1/2)x+3
-3=(1/2)x
x=-6
Con estos dos datos se puede graficar la función lineal:
Obsérvese que los punto de corte son:
- El valor 3 en el eje y, dato que corresponde a la ordenada al origen.
- El valor -6 en el eje x, que corresponde a la raíz de la función.
A partir de esos dos puntos se puede trazar la recta.
La pendiente se puede expresar como:
m=Δy/Δx
Gráficamente esto significa lo siguiente:
m=Δy/Δx=3/-6
La recta se encuentra a tres unidades desde el origen, por lo tanto Δy=3.
Δx= -6 porque esa es la posición de la recta sobre el eje x.
Simplificando se obtiene:
m=-1/2
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
La tarifa de un taxi es de $33,50 por bajada de bandera y $1,80 por cada cuadra recorrida.
a) Hallar la función lineal que representa la situación.
b) ¿Cuánto se debe pagar si se han recorrido 200 cuadras?
c) Si la tarifa final es $5.433,50 ¿Cuántos kilómetros se recorrieron?
Resolución
a) Para hallar la función lineal que se ajusta a esta situación se debe establacer cuáles son las variables.
x : cantidad de cuadras recorridas (variable independiente)
y : tarifa a pagar (variable dependiente)
El valor fijo es “b”, en este caso corresponde a la bajada de bandera:
b = 33,50
Con ésta información se puede escribir la fórmula:
f(x)=1,80x+33,50
b) Se sustituye en la fórmula anteriormente hallada, el dato dado:
f(200)=1,80⋅200+33,50
f(200)=393,50
Respuesta: el valor a pagar por 200 cuadras es $393,50.
c) La tarifa final está representada por la variable “y”, al reemplazar queda:
5.433,50 = 1,80x +33,50
Luego se despeja x:
5.433,50-33,50 = 1,80x
5.400 = 1,80x
5.400:1,80=x
x=3.000
Se han recorrido 3.000 cuadras. Para obtener la equivalencia entre cuadras y kilómetros se realizan algunas operaciones matemáticas.
Si se considera que la medida de una cuadra es de 100 metros, entonces:
3.000 cuadras ⋅ 100 metros /cuadra =30.0000 metros
Dado que cada 1.000 m se tiene 1 km, la respuesta en kilómetros sería:
1000 m ———1 km
30.0000 m ——300 km
Respuesta: se recorrieron 300 km.
A PRACTICAR lO APRENDIDO
- Hallar analíticamente la ordenada al origen y la raíz de las siguientes funciones:
a) f(x) =-2x+5
b) f(x) = (3/4)x -1 - Graficar las funciones del ejercicio anterior.
Resolver las siguientes situaciones problemáticas:
3. Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra $250 por la visita, más $500 por cada hora de trabajo.
a) Escribir la ecuación de la recta que permite calcular el valor total a pagar en función del tiempo trabajado.
b) ¿Cuánto se debería pagar si el técnico trabaja tres horas?
4. Un taller de sillas tiene un alquiler de $5.000 mensuales (costo fijo). Sabiendo que el costo por fabricar cada silla es de $100, determinar:
a) El costo mensual cuando se fabrican x sillas.
b) El costo de 200 sillas.
RESPUESTAS
1.
a) ordenada al origen = 5, raíz=5/2 ó 2,5
b) ordenada al origen = -1, raíz= 4/3
2.
a) 
b) 
3.
a) f(x) = 500x+250
b) $1750
4.
a) f(x)=100x+5.000
b) $ 25.000
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