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El valor absoluto o módulo con frecuencia es utilizado para representar distancia, por lo tanto, siempre se lo considera un número positivo. Las ecuaciones con módulo se resuelven de manera particular, para ello es necesario conocer todas las propiedades del valor absoluto.

El valor absoluto se simboliza con dos barras verticales | |. Puede contener números o expresiones algebraicas:

|8|, |−5|, |2x + 1|, etc.

DEFINICIÓN de valor absoluto

Este concepto se define como:

$\left|\begin{array}{c}a\end{array}\right|=\left\{\begin{array}{l}a, si a\ge 0\\ –a, si a < 0\end{array}\right.$

“Si un número es positivo o cero, su valor absoluto coincide con dicho número. Si en cambio el número es negativo, su valor absoluto es el inverso aditivo del mismo (es decir un número positivo)”.

Ejemplos:

|12| = 12

|1/2| = 1/2

|3| = 3

|−3| = 3

En el caso de |3|, a = 3 siendo a > 0, a es positivo, por lo tanto:

|3| = 3

Por otra parte en |−3|, a = −3 siendo a < 0, a es negativo, entonces:

|−3| = −(−3) = 3         −(−3) es el inverso aditivo de 3

En definitiva, el valor absoluto siempre es positivo.

VALOR ABSOLUTO Y DISTANCIA

Al observar la recta numérica se puede apreciar que la distancia de un número al origen es siempre es positiva.

|x| representa la distancia de x a 0. Entonces:

• La distancia de x al 0 es x, si x es positivo.
• La distancia de x al 0 es -x, si x es negativo.

La notación para la distancia de x al cero es:

d(x;0) = |x|

También puede expresarse en forma de módulo la distancia entre dos números cualesquiera:

d(a;b) = |a − b|

Se puede observar que la distancia entre “a” y “b” corresponde al módulo de a-b.

Ejemplo:

Calcular la distancia entre −2 y 5.

d(a;b) = |a − b|

d(-2;5) = |−2 − 5| = |−7| = 7

RAÍZ CUADRADA Y VALOR ABSOLUTO

$\sqrt{{\mathrm{a}}^2}=\left|\mathrm{a}\right|$

Un error común cuando se intenta resolver una raíz par es aplicar la raíz al radicando y dar como respuesta un único resultado.

$\sqrt[índice]{radicando}= raíz$

Por ejemplo:

$\sqrt{4 } = 2$

El resultado es correcto, pero no el único, se estaría omitiendo otra posible solución. Entonces, debería resolverse de la siguiente forma:

4 = 2²

4 =(-2)²

Por lo tanto:

$$\begin{gathered} \sqrt{4}=\sqrt{2^2} \\ \sqrt{4}=\sqrt{(–2{)}^2} \end{gathered}$$

Esto significa que las respuestas son dos:

$$\begin{gathered} \sqrt{2^2}=2 \\ \sqrt{(–2{)}^2}=–2 \end{gathered}$$

Por ello se utiliza el concepto de valor absoluto en estos casos:

$\sqrt{{\mathrm{a}}^2}=\left|\mathrm{a}\right|$

$\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=\sqrt{(–2{)}^2}=\left|2\right|$

Al ser una raíz cuadrada tiene dos soluciones:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=2 \\ {\mathrm{x}}_{2 }=–2 \end{gathered}$$

Ejercicios resueltos de valor absoluto

Expresar sin los símbolos de valor absoluto:

Ejercicio 1:|x-3|

Caso 1

|x−3| = x − 3

Cuando x − 3 ≥ 0,  x ≥ 3.

Caso 2

|x − 3| = −(x − 3) = −x + 3

Cuando x − 3 < 0, x < 3.

La respuesta se expresa de la siguiente forma:

$\left|x–3\right|=\left\{\begin{array}{l}x–3, si x\ge 3\\ –x+3, si x<3\end{array}\right.$

Ejercicio 2: |x² + 1|

En este caso, la expresión dentro de las barras de valor absoluto corresponde a un número positivo, dado que para cualquier valor de x su cuadrado es positivo.

Y si a un valor positivo se le suma 1, se obtiene otro valor positivo. Entonces x² + 1 > 0. De esta forma:

|x² + 1| =  x² + 1 Es la única respuesta posible.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Antes de trabajar con ecuaciones de valor absoluto es necesario tener en cuenta las siguientes reglas para modificar cualquier ecuación:

• Si se suma o resta una cantidad a ambos lados de una ecuación, las soluciones no se modifican.

EJEMPLO:

2x + 3 = x + 1

2x + 3 − x = x + 1− x

x + 3 = 1

x + 3 − 3 = 1 − 3

x = −2

• Cuanto se divide o multiplica un mismo número (distinto de cero) a ambos lados de la ecuación, las soluciones no se modifican.

EJEMPLO:

2x = 8

2x : 2 = 8 : 2

x = 4

Estos pasos pueden realizarse simplificando el procedimiento, lo que da como resultado las reglas:

• Todo lo que está sumando de un lado de la igualdad pasa restando y viceversa.
• Todo lo que está multiplicando de un lado de la igualdad pasa dividiendo y viceversa.

Ejercicios resueltos de ecuaciones con valor absoluto

Ejercicio 1: |x − 6| = 3

Existen dos posibilidades |x − 6| = |3| o |x − 6| = |−3|, entonces:

$\left|x–6\right|=3 \begin{array}{c}x–6=3\\ \\ x–6=–3\end{array}$

Al resolver cada una de las ecuaciones se obtiene:

x − 6 = 3

x = 3 + 6

x = 9

x − 6 = −3

x = −3 + 6

x = 3

Entonces las respuestas posibles son:

x₁ = 9 o x₂ = 3

VERIFICACIÓN:

|x − 6| = 3

Para x₁ = 9:

|9 − 6| = 3

|3| = 3

3 = 3

Para x₂ = 3:

|3 − 6| = 3

|−3| = 3

3 = 3

Queda demostrado que ambos valores verifican la igualdad.

Ejercicio 2: |2 (x − 1)| = |x − 1|+ 2

Se aplica la propiedad número 1 del valor absoluto,dado que hay una multiplicación |2(x − 1)|. Entonces la ecuación se puede reescribir de la siguiente forma:

|2||x − 1| = |x − 1| + 2

2|x − 1|− |x − 1| = 2  Se pasa el valor absoluto de la derecha al lado izquierdo.

Como las expresiones dentro del valor absoluto son iguales, se pueden asociar (en este caso se restan).

|x − 1| = 2  

Y para hallar la respuesta se tiene que:

x − 1 = 2   o  x − 1 = −2

Se resuelve cada ecuación por separado:

x = 2 + 1        x = −2 + 1

x = 3            x = −1

Los resultados se pueden expresar como:

x₁ = 3 o  x₂ = −1

La verificación se podría realizar del mismo modo que en ejercicio anterior. Puedes intentarlo si deseas.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

1. Escribir cada expresión sin los símbolos de valor absoluto:

a) |x + 4|=

b) |x³ + 1|=

2. Hallar la distancia:

a) Entre 2 y 3.

b) d(−3;8)

3. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) |x − 5| = 4

b) |−3x| + |−x| = 4

c) x² = 64

RESPUESTAS

a)

$\left\{\begin{array}{l}x + 4, si x \ge –4\\ –x – 4, si x < –4\end{array}\right.$

b)

$\left\{\begin{array}{l}{x}^3 + 1, si x\ge –1\\ –x^3– 1, si x < –1\end{array}\right.$

2.

a) 1

b) 11

3.

a) x₁ = 1 o x₂ = 9

b) x₁ = 1 o x₂ = −1

c) x₁ = −8 o x₂ = 8