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Origami o papiroflexia

Aunque se ha popularizado como un arte y pasatiempo autóctono de Japón, el origami nació en realidad en China durante el siglo I de nuestra era y no llegó al archipiélago japonés sino 500 años más tarde. Desde allí, a través de la cultura islámica, se expandió hasta Europa y el resto del mundo. Pero el origami no es solo entretenimiento y belleza, también es ciencia. Como descubrirás en este artículo, sus procedimientos están regidos por las leyes de la geometría.

La palabra “origami” es de origen japonés, está formada por los vocablos *ori* y kami, que significan “plegar/doblar” y “papel” respectivamente.

¿Qué es?

El origami, también conocido como papiroflexia, consiste en la formación de figuras de diferentes tamaños a partir de un rectángulo de papel que es doblado tantas veces como sea necesario y por los lugares correctos hasta lograr la figura deseada. No se utilizan tijeras ni pegamento. El encanto de esta técnica estriba en emplear solo el ingenio mental y la habilidad manual para realizar desde las más sencillas hasta las más complejas figuras, sin cortar el papel ni engraparlo ni aplicarle adhesivos. El tema preferido de los practicantes del origami es la naturaleza: flores, árboles, pájaros, mariposas y otros animales.

Un arte para la paz

En Japón hay una leyenda: quien realice 1.000 grullas en origami verá hecho realidad su mayor deseo, cualquiera que este sea. Y el deseo de Sadako Sasaki, de 11 años de edad, era curarse de la leucemia, para lo cual ponía todo su entusiasmo en el plegado de las grullas.

Sasaki había nacido en Hiroshima y contaba solo dos años de edad cuando la ciudad fue destruida por la bomba atómica. La leucemia era una consecuencia de la radiación que había infectado el entorno tras la detonación de la bomba.

Tristemente, Sasaki murió cuando había realizado solo 644 grullas. Como un homenaje, y para que no se repitan nunca más eventos como el de Hiroshima, sus amigos se encargaron de producir las grullas que faltaban.

El Monumento a la Paz de los Niños es un monumento que conmemora a Sadako Sasaki y a los miles de niños que resultaron afectados tras la bomba atómica lanzada sobre Hiroshima.

Historia

El origami nació en China entre los siglos I y II de nuestra era. Como en aquella época la fabricación del papel era un proceso costoso y lento, pues se hacía a mano, solo los monjes y la aristocracia podían costearlo. El origami solo se empleaba en el ámbito religioso o en las más importantes acontecimientos sociales.

En el siglo VI, los monjes y también el intercambio comercial llevaron el origami al Japón. Allí fue practicado especialmente por los samuráis, es decir, por militares de la baja nobleza que luchaban el servicio de un sogún o señor feudal. Los samuráis se regalaban figuras de origami unos a otros como señal de admiración y respeto.

Muchos siglos después, alrededor del año 1600, al comienzo del período Tokugawa, la tecnología de la fabricación de papel evolucionó y redujo los costos lo suficiente como para que el papel fuera accesible a todos los miembros de la sociedad japonesa. Fue en esta época (entre 1602 y 1860) cuando el origami se hizo popular y se crearon las figuras del mono, la libélula, la rana y la grulla.

Hacia Occidente

Entre los siglos IX y XII la papiroflexia fue descubierta por las culturas islámicas. Puesto que el Corán, libro sagrado de los musulmanes, prohíbe expresamente la representación figurativa, ellos solo crearon figuras abstractas. Fueron los primeros en aproximarse al origami desde una perspectiva matemática, con el objetivo de perfeccionar su técnica.

Con los musulmanes, la papiroflexia llegó hasta España, territorio que permaneció bajo su dominio hasta el siglo XV. Reconquistada la península por una monarquía cristiana, esta conquistó nuevos territorios en América, y con ella se expandió también el conocimiento del origami.

Durante los siglos XIX y XX los practicantes estadounidenses introdujeron innovaciones, como nuevos tipos de papel y de texturas, así como variedad de colores.

La grulla, una de las imágenes más tradicionales y famosas en el origami.

modalidades de origami

Aunque los expertos en origami afirman que hay hasta 80 modalidades distintas de este arte, las más difundidas y practicadas son cinco:

De acción: las figuras de este tipo de origami se caracterizan por el movimiento. Una grulla, por ejemplo, agitará sus alas cuando se hala una parte determinada de la figura o se hace presión en un sector específico. Algunas figuras de acción pueden incluso ser inflables.
Modular: en lugar de realizar la figura sobre la base de una sola pieza de papel, en esta modalidad se acoplan muchas pequeñas piezas idénticas (llamadas módulos) hasta formar la figura que se desea, la cual suele ser compleja y vistosa. A muchos aficionados a este tipo de origami les gusta usar billetes de papel moneda como módulos.
Plegado en húmedo: esta modalidad se caracteriza por sus pliegues curvos y finos, así como por superficies en relieve, a diferencia del origami tradicional, que presenta los pliegues en punta y las superficies planas. Para lograrlo, se humedece un poco el papel antes de comenzar a plegarlo. Cuando se seca, el modelo mantiene su forma.
Pureland: esta modalidad le plantea un desafío al practicante, realizar el modelo sin hacer más de un pliegue a la vez, y sin hacer pliegues complejos, como los invertidos. Además, cada pliegue debe tener una localización directa.
Teselado: en este tipo de origami el objetivo no se cumple cuando se crea una figura, sino que se trata de cubrir totalmente un área plana, sin dejar un solo orificio, con las figuras hechas de origami. Para lograrlo, las mismas son trenzadas entre sí formando series o patrones con la repetición de una misma figura.

¿Sabías que...?

El origami modular también se conoce como Golden Venture. Este fue originalmente el nombre de un barco que en 1993 transportó a un grupo de inmigrantes chinos hasta los Estados Unidos. Al llegar, pidieron asilo político, pero en cambio fueron puestos en prisión como inmigrantes ilegales. Allí el origami modular los ayudó a sobrellevar su triste situación. Cuando salieron en libertad, obsequiaron algunos de sus modelos a quienes lucharon por su causa; otros fueron subastados para pagar gastos legales y los restantes fueron exhibidos en una exposición itinerante.

Hacer figuras con papel moneda es una modalidad de origami bastante popular.

fundamento matemático

Además de un noble arte y un apasionante hobby para personas de todo el mundo, el origami ha sido también objeto de estudio científico. El físico Robert Lang ha dedicado innumerables horas al estudio de los patrones de origami. Como resultado, enunció cuatro normas matemáticas básicas que aplican para cualquier figura hecha en origami. Estas son:

Si, en torno a un eje, sumas los pliegues en montaña y a ese resultado le restas la suma de los pliegues en valle, siempre obtendrás como resultado dos o menos dos.
Si, en torno a un eje, colocas un número a cada ángulo de manera alterna (1, 2, 1, 2) y luego sumas todos los ángulos con el número 1, obtendrás como resultado 180°; si sumas todos los de número 2, obtendrás esa misma cifra.
En ningún caso una hoja puede atravesar un pliegue.
Si desarmas una figura de origami hasta el cuadrado de papel original, descubrirás que la marca de cada pliegue forma el radio de un círculo imaginario que va desde el vértice hacia afuera. Cada figura tiene una determinada cantidad de círculos, como si de una marca de ADN se tratara.

Con base en estas cuatro normas, Lang creó un programa informático, llamado TreeMaker, que transforma cualquier dibujo esquemático en un patrón de origami muy fácil de seguir.

Conjuntos

La idea de conjuntos se remonta prácticamente a los comienzos de la humanidad, cuando el hombre agrupaba elementos que consideraba de la misma naturaleza o con características similares, sin embargo, fue en 1874 cuando George Cantor publicó la teoría de conjuntos.

Definición

Un conjunto es una agrupación o colección de elementos que poseen características o propiedades en común, y puede tener una cantidad finita o infinita de miembros.

A continuación, algunos ejemplos de conjuntos:

El conjunto de los estudiantes de un aula de clases.
El conjunto de las frutas cítricas.
El conjunto de las figuras geométricas planas.
El conjunto de los números naturales.

Estos conjuntos están conformados por cantidades finitas o infinitas de elementos que poseen rasgos o características en común.

Elementos

Los objetos o miembros que integran un conjunto se denominan “elementos del conjunto”, y están asociados entre ellos por características en común que pueden ir desde el color, forma, tamaño y género, hasta propiedades matemáticas más complejas.

¿Sabías qué?

Los conjuntos también son conocidos como colecciones.

Representación

Por lo general, los conjuntos se suelen denotar con una letra mayúscula, y si los elementos que lo conforman son letras, deberán ser minúsculas. También se pueden representar de forma gráfica, mediante unos gráficos circulares llamados diagramas de Venn, o bien de manera algebraica en notación de conjunto a partir de llaves.

Diagramas de Venn

Los diagramas de Venn son representaciones en forma de círculos planos dentro de los cuales se colocan los elementos del conjunto. Estos diagramas son muy útiles cuando se desea conocer la relación entre diferentes conjuntos. Veamos los siguientes ejemplos:

A es el conjunto de las vocales.

Como se observa, A es el conjunto, y los elementos que lo integran son a, e, i, o, u.

B es el conjunto de las hojas de plantas.
C es el conjunto de las figuras geométricas.

Representación con llaves

Los conjuntos y sus elementos también pueden representarse indicando el nombre del conjunto y dentro de llaves los elementos que lo integran separados por comas. Cuando los conjuntos son infinitos, se escriben los primeros elementos y se coloca punto suspensivo antes de cerrar la llave. Veamos los siguientes ejemplos:

A es el conjunto de los colores primarios:

A = {amarillo, azul, rojo}

B es el conjunto de las vocales del alfabeto:

B = {a, e, i, o, u}

C es el conjunto de los números impares:

C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}

Subconjuntos

En ocasiones, necesitamos referirnos a un grupo específico de elementos que pertenecen a un conjunto, por ejemplo, si estamos hablando del conjunto de los mamíferos y nos queremos referir específicamente a los felinos. En ese grupo particular de elementos de un conjunto se denomina subconjunto y se denota con el símbolo ⊆ cuando todos los elementos del subconjunto están incluidos en el conjunto, y con el símbolo ⊂ cuando al menos un elemento del subconjunto no está incluido en el conjunto.

¡A practicar!

El conjunto B que se muestra en la figura está formado por algunas especies marinas. Identifica el subconjunto de especies marinas que son animales con ojos.

Solución

Como se observa, los elementos del conjunto que están en la categoría de animales con ojos serían los peces, el caballito de mar y el cangrejo, quienes conformarían el subconjunto.

Los números reales y sus subconjuntos

Los números son clasificados y agrupados en conjuntos y sobconjuntos. De manera que, si consideramos como conjunto a los números reales ( $\mathbb{R}$ ), los subconjuntos que lo integran serían los números racionales ( $\mathbb{Q}$ ), irracionales ( $\mathbb{I}$ ), enteros ( $\mathbb{Z}$ ) y naturales ( $\mathbb{N}$ ).

Estas relaciones se pueden denotar como:

$\left \{ \left \{ \mathbb{Q} \right \} ,\left \{ \mathbb{I} \right \},\left \{ \mathbb{Z} \right \},\left \{ \mathbb{N} \right \}\right \}\subseteq \left \{ \mathbb{R} \right \}$

Cada subconjunto es a su vez un conjunto particular de números, por ello cada uno se encuentra entre llaves.

Relaciones de pertenencia

Para indicar que un elemento posee una relación de pertenencia con determinado conjunto, se emplea el símbolo ∈. Y por el contrario, si queremos indicar que no pertenece, debemos emplear el símbolo ∉. Estos símbolos y sus usos fueron propuesto por el conocido matemático y filósofo de Italia G. Peano a finales del siglo XVIII. Por ejemplo:

El número π pertenece al conjunto de los números irracionales:

$\pi \in \left \{ \mathbb{I} \right \}$

Los números 3/4, 5/2 y 9/4 pertenecen al conjunto de los números racionales.

$\left ( \frac{3}{4},\frac{5}{2},\frac{9}{4} \right )\in \left \{ \mathbb{Q} \right \}$

El número 1/6 no pertenece al conjunto de los números enteros.

$\frac{1}{6}\notin \left \{ \mathbb{Z} \right \}$

El cubo pertenece al grupo de las figuras geométricas tridimensionales.

¿Sabías qué?

El conjunto que no contiene elementos se denomina “conjunto vacío”, y se denota con el símbolo $\phi$ .

Instrumentos de medición

Existen magnitudes físicas que pueden ser medidas, tales como la masa, longitud, tiempo o temperatura, para lo cual empleamos instrumentos de medición. Estos instrumentos están disponibles en una variedad de modelos, pero todos deben contener una escala graduada que se emplea para expresar la medida.

La medición consiste en la comparación de la magnitud física de un objeto con un patrón considerado como unidad, con la finalidad de determinar cuántas veces está contenido dicho patrón en la medida.

Tipos de medidas

Decimos que las mediciones son directas cuando el valor de la cantidad física se obtiene directamente de la lectura dada por el instrumento, por ejemplo, si queremos saber la altura de una puerta, tomamos la medida con una cinta métrica y esta nos dará el valor de la altura.

En la construcción civil es muy importante el uso adecuado de los instrumentos de medición, ya que de ello depende en gran medida que la construcción se ajuste con precisión al diseño.

Por otra parte, las medidas son indirectas cuando el valor de la cantidad física se obtiene a partir de una fórmula a la cual debemos sustituirle el resultado de dos o más mediciones, por ejemplo, si para calcular el volumen de un objeto utilizamos una ecuación donde tengamos que sustituir las mediciones de la base, la altura y la profundidad, entonces el volumen es una medida indirecta.

Regla graduada

Una regla graduada es un instrumento formado por una barra plana delgada y escalada que podemos utilizar para hacer trazos rectos o bien para medir longitudes, y puede estar elaborada de plástico, metal o madera.

La escala graduada del instrumento de medición dependerá básicamente del sistema de unidades que se utilice. Si se trabaja en sistema internacional, las reglas vienen escaladas en centímetros (o algún múltiplo de la unidad metro); y si trabajamos en sistema inglés, las reglas estarán en pulgadas.

¿Sabías qué?

La apreciación se conoce como la menor medida que se puede leer con certeza de un instrumento.

Tipos de reglas graduadas

Las reglas graduadas comerciales más comunes empleadas son:

Reglas de escritorio: representan las reglas más comunes utilizadas a nivel escolar, específicamente para el trazado de líneas y la medición de longitudes. Por lo general, en Latinoamérica, se usan con la escala principal en centímetros y las subdivisiones en milímetros. Sus tamaños varían, pero las más populares suelen medir 30 cm.

Una regla graduada puede contener una o varias escalas, por ejemplo, puede tener en uno de los bordes una escala principal en centímetros con subdivisiones en milímetros, y en el otro borde, la escala principal en pulgadas y las subdivisiones representadas en 1:16 de pulgadas.

Metros plegables: su uso es muy frecuente en el área de construcción y carpintería. Consiste en una cinta metálica o de nailon flexible que viene enrollada en un cajetín plástico o metálico. Las longitudes más comunes varían entre 1, 3 o 5 metros.

La escala de las cintas metálicas enrollables puede venir impresa o grabada sobre la cinta, y en la punta tienen un pequeño ángulo metálico para enganchar la cinta durante una medición.

Cinta métrica: es una cinta flexible elaborada de plástico o nailon. Durante años ha sido muy utilizada en la costura, sin embargo, su flexibilidad las hace muy versátiles para otras mediciones.

Normalmente, la cinta métrica posee una longitud de 1,5 m.

¿Cómo usar una regla graduada?

Para una medición simple de longitud, solo debemos colocar el cero (0) de la regla en la escala deseada al inicio del objeto o línea que deseamos medir. La lectura de longitud deberá tomarse mirando de frente el punto del objeto o línea hasta donde se quiere medir y el valor de la medida de la regla:

Para el trazado de líneas, simplemente colocamos el borde de la regla por donde deseamos que quede la línea, y con un lápiz trazamos la línea con el borde de la regla como guía:

Escuadras

Son instrumentos de medición y trazado con forma triangular plana y con escala en al menos uno de sus lados.

Tipos de escuadra

Escuadra de 45°: esta escuadra forma un triángulo isósceles rectángulo, es decir, tiene un ángulo recto y dos ángulos internos de 45°. Se puede emplear para medir longitudes o realizar trazos rectos.

Las escuadras pueden estar elaboradas de una gran variedad de materiales, como plástico, madera o metal.

Escuadras cartabón: esta escuadra forma un triángulo escaleno con un ángulo de 30º, uno de 60º y el otro de 90º. Al igual que la escuadra de 45º, el cartabón se puede emplear para hacer trazos o para medir longitudes.

Las escuadras sirven para tomar medidas de longitud o para realizar trazos de líneas rectas horizontales o con inclinación de 30º, 60º y 90º.

¿Cómo usar las escuadras?

Para realizar mediciones de longitud, se emplea el mismo método que con la regla graduada.

Una de las aplicaciones más importantes de las escuadras es que nos permiten realizar trazos rectos con inclinaciones de 30º, 45º, 60º y 90º. El proceso del trazado sería el mismo que el descrito para una regla graduada.

Además, combinando las dos escuadras podemos trazar varias rectas paralelas. Para ello, colocamos una de las escuadras con un borde paralelo a las líneas que queremos trazar y con el borde perpendicular apoyado sobre uno de los lados de la otra escuadra. Al trazar cada recta, debemos deslizar la primera escuadra tomando la segunda escuadra como guía:

Transportador

Es un instrumento de medición con forma de semicircunferencia o circunferencia y se emplea para medir ángulos. Su apreciación suele ser de 0,1°. Están elaborados de plástico, madera, metal o cualquier material rígido.

¿Cómo se usa el transportador?

Se coloca la base del transportador sobre la línea de referencia respecto a la cual se desea medir el ángulo.
A partir del cero del transportador ubicamos en la escala el valor del ángulo de la línea a la que queremos medirle su inclinación:

Como se observa, la recta AB tiene una inclinación de 75º.

Otros instrumentos de medición

Escalímetro: es un instrumento exclusivamente de medición empleado en dibujo técnico, geometría y áreas afines. Consiste en una barra de sección prismática que posee diferentes escalas en cada uno de sus seis bordes. No debe ser empleado para realizar trazos, ya que esto puede a lago plazo deteriorar el borde el instrumento.

Calibre: conocido también como vernier o pie de rey, es un instrumento de medición de longitudes con una apreciación mayor al de una regla graduada. Está formado por una escala fija, una escala móvil o nonio, mandíbulas exteriores, orejas interiores, varilla de profundidad y tornillo de ajuste. Existen modelos en escala milimétrica y otros en pulgadas. En la actualidad, es común encontrarlos con la lectura digital.

¿Sabías qué?

La apreciación de un calibre en la escala milimétrica es de 0,05 mm.

Números ordinales

Usamos los números cardinales para contar, por ejemplo, la cantidad de lapices (un lápiz, dos lapices, tres lapices, etc.), pero, con frecuencia, necesitamos expresar la posición que ocupa un determinado elemento en un conjunto o secuencia, es entonces cuando los números ordinales nos resultan de gran utilidad.

¿qué son?

Los números ordinales son numerales que indican la posición de un elemento en una sucesión o conjunto. A diferencia de los números cardinales, los ordinales no cuantifican al objeto, es decir, solo denotan una posición; por ejemplo, si decimos que la “c” es la tercera letra del alfabeto, no significa que su valor numérico sea 3, sino que ocupa el tercer puesto en el orden alfabético.

¿Sabías qué?

La palabra “ordinal” viene del latín ordinalis, que se traduce como “relativo al orden”.

¿Cómo se nombran?

La secuencia de los números naturales del 1 al 10 puede expresarse a partir de números ordinales simples que indican la posición de cada número. Por ejemplo, en esta carrera, se muestra el orden de llegada de los participantes.

La representación numérica de los números ordinales se forma con el número natural seguido de un punto y una volada (º para el caso masculino y ª para el caso femenino). Para los apócopes de “primer”, “tercer” y sus compuestos, las voladas serán igual a la terminación “-er” (^er).

Masculino		Femenino
Representación lingüística	Abreviatura	Representación lingüística	Abreviatura
Primero (apócope: primer)	1.º (1.^er)	Primera	1.ª
Segundo	2.º	Segunda	2.ª
Tercero (apócope: tercer)	3.º (3.^er)	Tercera	3.ª
Cuarto	4.º	Cuarta	4.ª
Quinto	5.º	Quinta	5.ª
Sexto	6.º	Sexta	6.ª
Séptimo	7.º	Séptima	7.ª
Octavo	8.º	Octava	8.ª
Noveno	9.º	Novena	9.ª
Décimo	10.º	Décima	10.ª
Décimo primero, decimoprimero o undécimo	11.º	Décima primera, decimoprimera o undécima	11.ª
Décimo segundo, decimosegundo o duodécimo	12.º	Décima segunda, decimosegunda o duodécima	12.ª
Décimo tercero o decimotercero (apócope: decimotercer o décimo tercer)	13.º (13.^er)	Décima tercera o decimotercera	13.ª
Décimo cuarto o decimocuarto	14.º	Décima cuarta o decimocuarta	14.ª
Décimo quinto o decimoquinto	15.º	Décima quinta o decimoquinta	15.ª
Décimo sexto o decimosexto	16.º	Décima sexta o decimosexta	16.ª
Décimo séptimo o decimoséptimo	17.º	Décima séptima o decimoséptima	17.ª
Décimo octavo o decimoctavo	18.º	Décima octava o decimoctava	18.ª
Décimo noveno o decimonoveno	19.º	Décima novena o decimonovena	19.ª
Vigésimo	20.º	Vigésima	20.ª

En el podio de ganadores, la **primera** es Clara, **el segundo** es Daniel y la **tercera** es Lucía.

algunas reglas de INTERÉS

En la mayoría de los casos, un número ordinal es un adjetivo que puede ir antes o después del sustantivo, aunque lo más común es colocarlo delante, por ejemplo, el primer ministro.
A partir de la tercera decena, se recomienda escribir los números ordinales en dos palabras separadas, por ejemplo, trigésimo séptimo.
Los números ordinales deben concordar en género y número con el sustantivo que acompañan; por ejemplo, “la decimocuarta posición” o “las trigésimas segundas jornadas estudiantiles”.

¿Sabías qué?

No se deben utilizar los números fraccionarios como equivalentes de los números ordinales.

Ejemplo correcto: Juan vive en el duodécimo piso.

Ejemplo incorrecto: Juan vive en el doceavo piso.

más números ordinales

Al igual que los números naturales, los números ordinales son infinitos. En la siguiente tabla mostramos la lectura de los números ordinales a partir de la segunda decena.

Decenas
Masculino		Femenino
Representación lingüística	Abreviatura	Representación lingüística	Abreviatura
Vigésimo	20.º	Vigésima	20.ª
Trigésimo	30.º	Trigésima	30.ª
Cuadragésimo	40.º	Cuadragésima	40.ª
Quincuagésimo	50.º	Quincuagésima	50.ª
Sexagésimo	60.º	Sexagésima	60.ª
Septuagésimo	70.º	Septuagésima	70.ª
Octogésimo	80.º	Octogésima	80.ª
Nonagésimo	90.º	Nonagésima	90.ª
Centenas
Representación lingüística	Abreviatura	Representación lingüística	Abreviatura
Centésimo	100.º	Centésima	100.ª
Ducentésima	200.º	Ducentésima	200.ª
Tricentésimo	300.º	Tricentésima	300.ª
Cuadringentésimo	400.º	Cuadringentésima	400.ª
Quingentésimo	500.º	Quingentésima	500.ª
Sexcentésimo	600.º	Sexcentésima	600.ª
Septingentésimo	700.º	Septingentésima	700.ª
Octingentésimo	800.º	Octingentésima	800.ª
Noningentésimo	900.º	Noningentésima	900.ª
Milésimo	1.000.º	Milésima	1.000.ª

Aplicaciones

Utilizamos los números ordinales cuando deseamos indicar la posición de un elemento respecto a un orden o secuencia, veamos los siguientes ejemplos:

El tercer piso de un edificio.
La quincuagésima cuarta Feria de La Chinita.
El rey Fernando quinto.
El segundo lugar en la carrera.
El octingentésimo año de su inauguración.
El cuadragésimo tercer capítulo.

¡A practicar!

1. Observa la imagen y completa las oraciones. ¿En qué orden entrarán los estudiantes al salón de clase?

Isabel es la _____ en entrar al salón de clases.
Orlando entrará _____ al salón de clases.
______ entrará 6.º al salón de clases.
Zoe es el _____ en entrar al salón de clases.
Marta entrará _____ al salón de clases.
______ entrará 4.ª al salón de clases.

2. Contesta las siguientes preguntas.

Juan vive en el décimo piso. María vive tres pisos debajo de Juan. Luis vive cinco pisos por encima de María. ¿En qué piso vive cada uno?
Mario está en el decimocuarto piso. Primero bajó cuatro pisos y luego subió uno. ¿A qué piso llegó?

Lenguaje matemático

Día a día utilizamos el lenguaje coloquial para describir situaciones a través de las palabras; sin embargo, muchas de estas palabras expresan problemas que pueden ser traducidas al lenguaje matemático: un lenguaje universal formado por números, letras y símbolos especiales que nos permite entender conceptos complejos en términos precisos.

¿QUÉ ES?

Es el conjunto de símbolos, operaciones y reglas que se utilizan para expresar y resolver problemas matemáticos. Este tipo de lenguaje se basa en la lógica y la precisión. Además, puede ser utilizado por cualquier persona, independientemente de su idioma o cultura.

El lenguaje matemático también es conocido como lenguaje simbólico, ya que sirve para expresar ideas, conceptos y operaciones matemáticas mediante uno o más símbolos.

CARACTERÍSTICAS

Se basa en un sistema de símbolos y fórmulas en lugar de palabras para comunicar ideas y conceptos de manera más clara y precisa.
Todos los símbolos se utilizan de forma rigurosa para representar una idea o concepto específico.
Se utiliza en todo el mundo.
Elimina detalles irrelevantes y se enfoca en los conceptos y las relaciones más significativas.
Se basa en la lógica y la deducción para establecer y demostrar una afirmación matemática.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

Son un componente clave en este tipo de lenguaje. Los símbolos matemáticos nos ayudan a representar conceptos abstractos como números, operaciones, funciones, relaciones, probabilidad, etc. Los símbolos más comunes son los siguientes:

Lenguaje matemático	Lenguaje coloquial
+	Suma/Adición/Aumentar
−	Resta/Sustracción/Diferencia
×	Multiplicación/Producto
÷	División/Cociente
=	Igual
±	Más menos
%	Porcentaje
>	Mayor que
<	Menor que
≥	Mayor o igual qué
≤	Menor o igual qué
∑	Sumatoria
√	Raíz cuadrada
≡	Equivalencia
≠	Desigualdad
π	Pi
∞	Infinito
ƒ	Función
∫	Integral

NOTACIÓN

Es una parte importante del lenguaje matemático, se utiliza para simplificar la representación de conceptos complejos; por ejemplo, la fórmula del teorema de Pitágoras (a² + b² = c²) es más fácil de recordar y aplicar que una explicación verbal del mismo.

IMPORTANCIA

Es esencial en áreas como la física, la ingeniería, la economía, la informática, la química y muchas otras disciplinas científicas debido a que las fórmulas y los símbolos matemáticos se utilizan para modelar y resolver problemas complejos en estas áreas.

También es importante en la educación. Los niños aprenden a leer, escribir y hablar en este lenguaje desde una edad temprana, inicialmente manejan los números y la aritmética básica y, a medida que avanzan, usan ecuaciones y fórmulas para resolver problemas más complejos. De igual forma, durante su progreso estudiantil, también aprenden otras áreas de las matemáticas, como la geometría, la trigonometría y el álgebra, las cuales necesitan del lenguaje matemático para ser comprendidas.

El lenguaje matemático es una valiosa herramienta para resolver problemas. Así, por ejemplo, en lugar de escribir “el doble de siete es catorce”, podemos escribir “7 × 2 = 14”.

EVOLUCIÓN

• Edad Antigua: las matemáticas se expresaban en lenguaje verbal y pictórico. Los egipcios utilizaban jeroglíficos para representar números y problemas matemáticos, mientras que los babilonios empleaban tablas para realizar cálculos.

• Grecia Clásica: los matemáticos empezaron a utilizar la notación simbólica para representar las matemáticas de forma más rigurosa; por ejemplo, Euclides utilizó símbolos para los conceptos básicos de geometría, como las líneas, ángulos y triángulos.

• Edad Media: la incorporación de la numeración árabe y la invención del álgebra marcaron un paso importante en la forma en que se representaban las matemáticas.

• Renacimiento: en este período se volvió más formal y preciso. Los matemáticos comenzaron a utilizar símbolos especiales para operaciones matemáticas y a representar las relaciones entre las variables.

• Siglo XVIII: el cálculo y la geometría analítica se desarrollaron como disciplinas principales de las matemáticas. La notación simbólica se hizo más compleja y sofisticada para representar conceptos abstractos y complicados.

• Siglo XIX: la teoría de conjuntos y la lógica matemática se convirtieron en disciplinas importantes. El lenguaje matemático se hizo aún más exacto y formal gracias a la introducción de la notación moderna de conjunto y de la teoría de funciones.

• Siglo XX: la informática y la estadística se expandieron, lo que llevó a la creación de nuevas disciplinas que utilizan un lenguaje simbólico, como la lógica matemática, la teoría de la computación y la estadística matemática. En la actualidad, sigue evolucionando para adaptarse a las nuevas tecnologías y a los avances de la investigación.

Ejemplo

Representemos en lenguaje matemático las siguientes expresiones:

Un número	$x$
Un número más cien	$x+100$
El siguiente de un número	$x+1$
El anterior de un número	$x-1$
Siete veces un número	$7x$
El producto de dos números	$x\times y$
La diferencia de dos números	$x-y$
Un número disminuido en cinco unidades	$x-5$
El cubo de un número	$x^{3}$
La cuarta parte de un número	$\frac{x}{4}$
El cociente entre un número y seis es igual a dos	$\frac{x}{6}=2$
Un número menos cincuenta es igual treinta	$x-50=30$
La raíz cuadrada de un número es ocho	$\sqrt{x}=8$

¿Sabías qué?

La palabra “cálculo” proviene del latín calcŭlus, que significa “piedra pequeña”. Antes de que los árabes introdujeran los números indo-arábigos, los antiguos romanos usaban piedras pequeñas para contar y hacer cálculos matemáticos. Estos procedimientos se realizaban en un ábaco, que es un instrumento de operaciones aritméticas sencillas que utiliza cuentas para representar números.

El origen de los símbolos

Muchos de los símbolos matemáticos tienen su origen en la palabra o concepto que representan. Por ejemplo, el símbolo “+” proviene del latín plus, que significa “más”; el símbolo “-” proviene del latín minus, que significa “menos”, y el símbolo “=” proviene del latín aequalitas, que significa “igualdad”.

¡A practicar!

1. Escribe en lenguaje matemático las siguientes expresiones.

El doble de un número.
El quíntuple de un número.
Un tercio de un número.
La raíz cuadrada de un número.
La raíz cúbica del producto de dos números.
La suma de los cuadrados de dos números.
La mitad de un número más diez.
El doble de un número menos su mitad.

Área y perímetro de las figuras planas

Se conoce como figuras planas a las representaciones geométricas bidimensionales básicas, dichas figuras disponen de un perímetro y un área.

El perímetro de una figura se define como la suma de los lados que dibujan su contorno, mientras que el área es la medida de su superficie.

A continuación se presentan las distintas figuras geométricas con sus respectivos perímetros y áreas.

Figura	Elementos	Perímetro	Área
Triángulo	b = base h = altura a = lado 1 b = lado 2 c = lado 3	$P=a+b+c$	$A=\frac{b\times h}{2}$
Cuadrado	a = lado	$P=4\times a$	$A=a\times a=a^{2}$
Rectángulo	b = base h = altura	$P=2(b+h)$	$A=b\times h$
Rombo	a = lados d = diagonal menor D = diagonal mayor	$P=4\times a$	$A=\frac{D\times d}{2}$
Romboide	b = base h = altura a = lado	$P=2(a+b)$	$A=b\times h$
Trapecio	a = lado 1 b = lado 2 c = lado 3 d = lado 4 h = altura	$P=a+b+c+d$	$A=\frac{b+d}{2}\times h$

Fracciones equivalentes

Si una pizza la dividimos en dos partes iguales y nos comemos una de las partes y otra pizza la dividimos en cuatro partes iguales, pero nos comemos dos de ellas, en ambas pizzas nos comimos exactamente la misma cantidad, esto es un modelo de lo que se conoce como fracción equivalente, que representan la misma cantidad, aunque tengan numerador y denominador diferente.

¿qué son las fracciones equivalentes?

Las fracciones equivalentes son aquellas fracciones que representan la misma parte de un entero, es decir, representan el mismo número aunque tengan numerador y denominador diferente.

Por ejemplo, tenemos tres pasteles de chocolate iguales, de uno nos comemos medio pastel, de otro nos comemos dos cuartos de pastel y del tercero nos comemos cuatro octavos de pastel. ¿De cuál pastel comimos más cantidad? Veamos.

Como puedes observar comimos la misma cantidad en los tres pasteles, aunque el primero lo representamos como un medio, el segundo como dos cuartos y el tercero como cuatro octavos, los tres representan la misma cantidad, por lo que se consideran fracciones equivalentes.

Entonces, como las fracciones equivalentes son iguales, las representamos de la siguiente forma:

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$

Producto cruzado

Una forma para determinar si una fracción es equivalente es empleando el método del producto cruzado, si los productos del numerador de una y el denominador de la otra son iguales, entonces se puede decir que es una fracción equivalente. Veamos algunos ejemplos:

Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes:

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$

Para ello, multiplicamos el denominador de una por el numerador de la otra de la siguiente forma:

Como ambos resultados son iguales, entonces podemos decir que son fracciones equivalentes.

$\frac{2}{4} = \frac{3}{7}$

Multiplicamos el denominador de una por el numerador de la otra de la siguiente forma:

En este caso los productos son diferentes, por lo tanto las fracciones no son equivalentes.

$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$

Multiplicamos el denominador de una por el numerador de la otra de la siguiente forma:

Como ambos resultados son iguales, entonces podemos decir que son fracciones equivalentes.

Todas las fracciones se pueden representar en forma de gráfica, para ello se emplean figuras geométricas que se dividen en las partes que indique el denominador y se colorean las partes que indica el numerador.

¿Cómo calcular fracciones equivalentes?

Las fracciones equivalentes pueden calcularse por amplificación o simplificación.

Por amplificación:

La amplificación consiste en multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número, que debe ser diferente a cero.

Multiplicamos el numerador y el denominador por 2, por lo tanto 4/6 es una fracción equivalente de 2/3.

Podemos obtener una fracción equivalente al multiplicar esta nueva fracción por 2 o por cualquier otro número diferente a cero, en este caso vamos a multiplicarla por 3.

Multiplicamos el numerador y el denominador por 3 y a partir de allí obtenemos la fracción equivalente 12/18.

También podemos multiplicar la fracción original por cualquier otro número y obtener otra fracción equivalente, en este caso, vamos a multiplicar la fracción original por 5.

Al multiplicar el numerador y el denominador por 5, obtenemos la fracción equivalente 10/5.

Entonces, todas las fracciones obtenidas anteriormente son equivalentes a la fracción original y las podemos representar de la siguiente manera:

¿Sabías qué?

Al representar fracciones equivalentes se debe colocar el signo igual (=) entre ellas para indicar que representan el mismo valor.

Por simplificación:

La simplificación consiste en dividir el numerador y el denominador por el mismo número, que debe ser diferente a cero y debe ser un divisor común del numerador y el denominador.

Dividimos el numerador y el denominador entre 2, por lo tanto 9/15 es una fracción equivalente de 18/30.

Podemos obtener otra fracción equivalente al dividir 9/15 por cualquier otro número diferente a cero, que sea divisor común del numerador y el denominador, en este caso vamos a dividirla entre 3.

Dividimos el numerador y el denominador entre 3, por lo tanto 3/5 es una fracción equivalente de 9/15.

También podemos dividir la fracción original por cualquier otro número y obtener la fracción equivalente, en este caso, vamos a dividir la fracción original por 6.

Dividimos el numerador y el denominador entre 6, por lo tanto 3/5 es una fracción equivalente de 18/30.

Entonces las siguientes fracciones son equivalentes:

¿Sabías qué?

Las fracciones irreducibles son aquellas que ya no pueden simplificarse porque ya no hay ningún divisor común entre en el numerador y el denominador. Por ejemplo 3/5 es una fracción irreducible porque no existe un divisor común entre 3 y 5.

¡A practicar!

Comprueba mediante el producto cruzado si las siguientes fracciones son equivalentes:

2/4 = 4/8
3/6 = 6/9
1/5 = 2/10

2. Calcula tres fracciones equivalentes mediante el método de la amplificación:

3. Calcula las fracciones equivalentes por simplificación hasta que sean irreducibles.

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Gráfico de barras

Los gráficos o técnicas gráficas son herramientas empleadas en la estadística para la representación de datos. Estos nos permiten visualizar fácilmente la información, uno de los más utilizados es el gráfico de barras, que representa los datos a través de barras rectangulares.

¿Qué es un gráfico de barras?

Es un gráfico que nos permite representar un conjunto de datos cualitativos a través de barras rectangulares, la longitud de las barras indica la frecuencia de ese dato que representa, sirven para comparar dos o más valores. Está compuesto por dos ejes:

El eje horizontal o eje de las abscisas: este se representa con la letra “x”, en este eje generalmente se coloca la variable, es decir, una característica o cualidad de un individuo o elemento que puede adquirir diferentes valores que pueden medirse. Por ejemplo, la edad de una persona, el color de cabello, el lugar de nacimiento, la estatura, etc.
El eje vertical o eje de las ordenadas: este se representa con la letra “y”, en este eje se coloca la frecuencia del dato.

Sin embargo, el gráfico puede estar orientado de forma vertical u horizontal, dependiendo del eje en el que se ubiquen los datos de la variable. Observa:

¿Sabías qué?

Una variable es una característica o cualidad de un individuo o elemento que puede adquirir valores que pueden medirse, estas pueden ser cualitativas, que no pueden medirse con números, por ejemplo, el color de cabello y también pueden ser cuantitativas, que si pueden medirse con números, por ejemplo el peso.

tipos de gráficos de barras

Existen diferentes tipos de gráficos de barras

Gráficos de barras sencillo: representa los datos de una única serie o conjunto de datos.

Gráficos de barras agrupado: compara los datos de dos o más series o conjunto de datos, cada serie se representa con el mismo color y las barras se colocan una al lado de la otra por categoría de la variable para poder comparar las series de datos.

Gráficos de barras apilado: compara los datos de dos o más series o conjunto de datos. Cada serie se representa con el mismo color y cada barra representa una categoría de la variable, dividiéndola en segmentos que representan cada una de las series de datos.

Tablas de frecuencia

Las tablas de frecuencia o tablas estadísticas nos permiten organizar datos con su frecuencia respectiva. La frecuencia es el número de veces que se repite un dato, las tablas nos suministran información y permiten relacionar los datos que en ellos se encuentran.

Por ejemplo, hacemos una encuesta a 25 niños y les preguntamos su sabor de helado preferido: 5 responden vainilla, 10 chocolate, 7 fresa y 3 naranja, estos resultados podemos representarlos en la tabla de siguiente forma:

Casi todo tipo de información puede organizarse en una tabla de frecuencia y ser representada en algún tipo de gráfico.

¿Cómo se construye un gráfico de barras?

Para la construcción de un gráfico de barras, es necesario seguir los siguientes pasos:

Recopilación de datos

Para elaborar un gráfico de barras debemos tener los datos: las variables y las frecuencias, para obtener estos datos podemos emplear la encuesta.

La encuesta es una técnica de investigación donde se estudian y se analizan las preferencias de un grupo de personas; las encuestas se realizan a través de cuestionarios, que son preguntas orientadas a un tema en específico.

Veamos un ejemplo:

Se realizó una encuesta a un grupo de 30 estudiantes para conocer cuál es la asignatura preferida por ellos, las respuestas fueron registradas en una tabla de frecuencia.

Cada linea representa un alumno que eligió cada asignatura, el total de votos para cada asignatura es la frecuencia y las asignaturas son las variables, datos con los cuales podemos construir el gráfico de barras.

Ejes del gráfico

Para construir el gráfico debemos iniciar con el trazado de dos rectas perpendiculares, estas son los ejes del gráfico, el de las abscisas (eje horizontal) y el de las ordenadas (eje vertical).

Una vez trazados los ejes, debemos identificarlos, en uno colocaremos las variables y en el otro la frecuencia, en este caso vamos a hacer un gráfico de barras vertical, por lo tanto, las variables (asignaturas) las colocaremos en el eje de las abscisas (horizontal) y las frecuencias en el eje de las ordenadas (vertical), estos valores podemos representarlos de diferentes formas, pero siempre deben comenzar desde el cero, que es el punto de intersección de las dos rectas.

Barras

Ahora vamos a dibujar las barras que representan los valores de cada variable. Cada barra llegará hasta el punto donde se encuentra el valor de la frecuencia de la variable que representa.

Por ejemplo, la barra que corresponde a la variable “Matemáticas” debe llegar hasta el punto en el que se encuentra el número 5. Las barras tienen que tener el mismo ancho y no deben superponerse unas a otras.

Interpretación de los datos

La representación visual de la información es útil para responder las preguntas sobre los datos, la altura de cada barra representa la frecuencia (número de estudiantes) de cada variable (asignatura).

Respondamos las siguientes preguntas:

¿Cuál es la asignatura favorita de los estudiantes?

La asignatura favorita es la que fue seleccionada por una mayor cantidad de estudiantes, en el gráfico podemos verla como la barra más alta, por lo tanto, la asignatura favorita es Biología, que fue elegida por 9 estudiantes.

¿Cuántos estudiantes eligieron Lengua?

La barra de esta asignatura tiene una altura de 7, por lo tanto fue elegida por 7 estudiantes.

¿Cuál asignatura fue la que obtuvo menos votos?

La asignatura que obtuvo menos votos está representada por la barra de menor altura, en este caso es Historia, que fue elegida por 4 estudiantes.

¿Sabías qué?

William Playfair fue el primero en presentar por primera vez el gráfico de barras en su obra Commercial and Political Atlas, publicado en 1786.

Las tablas de frecuencia y los gráficos representan e interpretan información procedente de diferentes fuentes, de forma clara, precisa y ordenada.

aplicaciones de los gráficos de barras

Los gráficos de barras son empleados cuando queremos mostrar una distribución de datos o realizar una comparación de medidas de diferentes grupos. A partir de ellos, podemos ver qué grupos son los más altos o los más comunes, además de ver cómo otros grupos se comparan con los demás.

Los gráficos de barras son bastante utilizados por:

Profesionales
Analistas
Consultores
Académicos
Estadísticos
Investigadores
Periodistas.

Factores de conversión

Un factor de conversión es una operación matemática que nos permite expresar una medida de diferentes formas, podemos convertir unidades de tiempo, de longitud, de masa e incluso unidades monetarias. Aplicamos los factores de conversión para la resolución de problemas y en nuestra vida cotidiana.

¿Qué es un factor de conversión?

Es una operación matemática que se utiliza para convertir valores entre diferentes unidades del mismo tipo, se representa generalmente como una fracción o una relación numérica que se puede utilizar como un factor de multiplicación.

Por ejemplo, supongamos que se tiene una masa en kilogramos, pero se desea expresarla en libras y se conoce que 1 libra equivale a 0,453 kilogramos, entonces se puede usar como factor de conversión para determinar lo que es la misma masa en libras.

Algunos ejemplos frecuentes en los que se utiliza el factor de conversión son los siguientes:

Longitud o distancia: kilómetros, metros, yardas, millas, leguas…
Masa: toneladas, kilogramos, gramos, onzas, libras…
Volumen: metro cúbico, galón, barril, pinta…
Tiempo: siglos, décadas, años, días, horas, minutos, segundos…
Moneda: euros, dólares, pesetas, libras, pesos…

Sistema Internacional vs. Sistema Inglés

El Sistema Internacional de Unidades de Medida (SI) es el nombre del sistema de unidades que se usa en casi todos los países, se basa en un sistema métrico decimal en el que cada unidad es 10 veces mayor que la anterior y 10 veces menor que la posterior. Este sistema también es conocido como “sistema métrico”. Alguna de sus unidades básicas son: metro, kilogramo, segundo, litro y metro cúbico.

El Sistema Inglés de Unidades o Sistema Imperial son las unidades no-métricas que se utilizan actualmente en los Estados Unidos y en el Reino Unido, este sistema se deriva de la evolución de las unidades locales a través de los siglos, y de los intentos de estandarización en Inglaterra. Las unidades mismas tienen sus orígenes en la Antigua Roma. Alguna de sus unidades básicas son: milla, yarda, libra, pie cúbico y el galón.

Algunas de las unidades y conversiones más comunes son:

Sistema Inglés	Sistema Internacional
Longitud
1 milla	1,60 kilómetros
1 pulgada	2,54 centímetros
1 pie	30,48 centímetros
1 yarda	91,4 centímetros
Masa
1 onza	28,3 gramos
1 libra	0,453 kilogramos
Volumen
1 pie cúbico	0,0283 metros cúbicos
1 galón	3,785 litros

Algunas conversiones de unidades de tiempo son:

1 año = 365 días.

1 día = 24 horas.

1 hora = 60 minutos.

1 minuto = 60 segundos.

¿Sabías qué?

Las conversiones no solo se hacen de un sistema a otro, sino que se puede realizar en unidades que pertenecen al mismo sistema, es decir de múltiplos a submúltiplos y viceversa, por ejemplo convertir metros a milímetros o de gramos a kilogramos.

El factor de conversión nos permite transformar unidades de forma rápida y sencilla.

¿CÓMO SE UTILIZA UN FACTOR DE CONVERSIÓN?

Para convertir unidades debemos multiplicar la cantidad original por una fracción en la que el numerador y el denominador contengan una misma cantidad pero expresada en distintas unidades.

Al multiplicar por esta fracción, lo que buscamos es simplificar la unidad original y que nos quede la unidad que necesitamos.

Debemos recordar que solo podemos convertir unidades que representen la misma magnitud física, por ejemplo, es posible convertir entre dos unidades de masa (gramos a libras), pero no es posible convertir entre unidades de longitud y de masa (metros a libras).

¿Cómo armamos esta fracción?

Escribimos la cifra con la unidad que queremos convertir (la unidad no deseada).
Escribimos el factor de conversión, la unidad que queremos convertir (la no deseada) la escribimos en el denominador para poder simplificarla y la unidad que queremos (la deseada) la escribimos en el numerador.
Escribimos las cantidades equivalentes.

Veamos algunos ejemplos de conversión:

Convertir 3,5 kilogramos a libras.

Escribimos primero la cifra con la unidad que queremos convertir:

$3,5 kg$

Luego, escribimos el factor de conversión (fracción), en este caso 1 libra son 0,453 kilogramos, los kilogramos los escribimos en el denominador y las libras en el numerador. Observa:

$3,5 kg \times \frac{1 lb}{0,453 kg}$

Finalmente simplificamos las unidades y realizamos la multiplicación, los kilogramos se encuentran en el numerador y en el denominador, por lo que se simplifican, quedando solo las libras de la siguiente forma:

Por lo tanto 3,5 kilogramos equivalen a 7,726 libras.

Convertir 6,9 kilómetros a millas.

Repetimos el procedimiento anterior, pero en este caso, un 1 milla es igual a 1,60 kilómetros.

Por lo tanto, 6,9 kilómetros equivalen a 4,312 millas.

Convertir 18,6 litros a galones.

1 galón es igual a 3,785 litros.

Por lo tanto, 18,6 litros equivalen a 4,914 gal.

Convertir 380 minutos a horas.

1 hora contiene 60 minutos.

Por lo tanto, 380 minutos equivalen a 6,333 horas.

¿Sabías qué?

Existen diferentes tablas de conversión: del Sistema Internacional al Sistema Inglés, del Sistema Inglés al Sistema Internacional y entre los mismos sistemas.

¡A practicar!

Realiza las siguientes conversiones:

187 metros a pie.
1.986 gramos a libras.
11,7 metros cúbicos a pie cúbico.
5.800 segundos a minutos.
1.500 gramos a kilogramos.
98,5 centímetros a pulgadas.
750 gramos a onzas.
3,8 galones a litros.
1.500 centímetros a yardas.
683 metros a kilómetros.

Desplazamiento en cuadrícula

Las personas, objetos y animales se relacionan de acuerdo al lugar que ocupan respecto a otros, el desplazamiento, el posicionamiento y las relaciones espaciales nos permiten ubicarlos en un espacio determinado. A continuación aprenderás cómo representar, ubicar y desplazar elementos orientándolos hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha y la izquierda.

Relaciones espaciales

Las palabras como: arriba, abajo, izquierda y derecha indican relaciones espaciales, estas indican la posición de un cuerpo u objeto respecto a otra cosa.

Observa la siguiente imagen, ¿qué posición tienen los elementos respecto a otros?

El sol está arriba de la vaca.
El pollo está debajo del pájaro.
La oveja está a la izquierda de la vaca.
La gallina está a la derecha de la vaca.

Desplazamiento en la cuadrícula

Para desplazarnos en la cuadrícula es necesario recordar las relaciones espaciales, arriba, abajo, izquierda y derecha, las flechas trazarán el camino que debemos seguir para realizar el desplazamiento.

Veamos algunos ejemplos:

Sigue la dirección de las flechas (arriba, abajo, izquierda y derecha) en la cuadrícula para que Pepe el mono pueda llegar a la banana.

Observa la trayectoria de las flechas:

2. Observa detalladamente la cuadrícula y luego dibuja la dirección de la flechas del camino que ha recorrido el gato, iniciando desde el punto de partida.

La dirección de las flechas es la siguiente:

3. Dibuja flechas sobre la cuadrícula para marcar el camino que debe seguir Elena para llegar a la heladería siguiendo las instrucciones.

a. Da un paso adelante.

b. Gira a la izquierda y da un paso.

c. Gira a la derecha y da dos pasos.

d. Gira a la izquierda y da dos pasos.

e. Gira a la derecha y da un paso.

f. Gira a la izquierda y da un paso.

g. Gira a la derecha y da dos pasos.

¡A practicar!

Sigue la dirección de las flechas en la cuadrícula para que la gallina pueda llegar a su pollito.

¿cómo ubicar la posición de elementos?

Para ubicar la posición de puntos o elementos en un plano, podemos emplear los planos cartesianos.

El plano cartesiano es un mapa formado por dos rectas numéricas que se entrecruzan, llamados ejes, la recta orientada en posición horizontal es llamada “x” y la recta vertical recibe el nombre de “y“, ambas rectas dan a conocer la posición de un punto en el plano. Observa:

En la imagen puedes observar una cuadrícula en un plano cartesiano, podemos ubicar el elemento a través de las coordenadas.

¿Sabías qué?

El nombre “cartesianas” proviene del matemático y filósofo René Descartes a quien también se le llamaba Cartesio.

Las coordenadas

Las coordenadas nos permiten señalar un punto en el plano, esto ocurre cuando un dato del eje x se entrecruza con un dato del eje y y se representa de la siguiente forma: (x, y).

Coordenada x: es la primera coordenada e indica las unidades que hay que desplazarse hacia la izquierda o derecha (horizontal).

Coordenada y: es la segunda coordenada e indica las unidades que hay que desplazarse hacia arriba o hacia abajo (vertical).

Escribamos las coordenadas

Para escribir las coordenadas del diagrama anterior debemos seguir los siguientes pasos:

Nos desplazamos de forma horizontal para obtener el dato de la coordenada x.
Nos desplazamos de forma vertical para obtener el dato de la coordenada y.
Finalmente encerramos las dos coordenadas entre paréntesis, colocando primero la del eje x y las separamos con una coma así: (6,4).

En el plano cartesiano anterior, la cara feliz se encuentra 3 unidades hacia la derecha (eje x) y 4 unidades hacia arriba (eje y).

Por lo tanto, las coordenadas son: (3, 4)

Veamos otro ejemplo:

Escribe las coordenadas de los siguientes puntos:

Punto	Coordenadas
A	(1, 1)
B	(1, 3)
C	(3, 4)
D	(4, 1)
E	(5, 5)

¿Sabías qué?

La coordenada (0, 0) se denomina “origen” y a veces se le llama con la letra “O”

¿Cómo representamos las coordenadas?

Para representar coordenadas en un gráfico, debemos recordar que la primera cifra de las coordenadas corresponde al eje x y la segunda cifra corresponde al eje y.

Veamos un ejemplo:

Representa en el plano cartesiano la siguiente coordenada: (5, 3).

Para hacerlo debemos seguir los siguientes pasos:

Dibujar el plano cartesiano con sus dos ejes.
Desplazarnos en el eje x (horizontal) 5 unidades a la derecha.
Desplazarnos en el eje y (vertical) 3 unidades hacia arriba.
Marcamos el punto donde se entrecruzan ambos.

Coordenadas y los mapas

Los ejes de coordenadas también son empleados en los mapas para determinar la ubicación de cualquier punto en el mundo, este sistema de referencia se denomina “sistema de coordenadas geográficas”, en ellas en eje x se denomina “latitud” y el eje y “longitud”, la unión de ambos nos da la localización de un punto.