Etiqueta: ecuaciones y despejes

Saber despejar una ecuación es de suma importancia no sólo para resolver problemas matemáticos, sino también para realizar cálculos en otras asignaturas como Química o Física. Existe una serie de reglas que permiten despejar ecuaciones de forma fácil.

¿Qué es una ecuación?

Es la igualdad establecida que permite determinar alguno de sus elementos respecto a los valores de los demás. En este sentido, una ecuación es una igualdad matemática entre dos miembros o expresiones que se encuentran separados por el signo igual.

Elementos de una ecuación

Existen varios tipos de ecuaciones, desde una simple ecuación lineal de una incógnita hasta ecuaciones con identidades trigonométricas, o incluso con números complejos. Sin embargo, en las ecuaciones se pueden identificar varios elementos básicos. Observa el siguiente ejemplo:

• Miembro: es la expresión algebraica que se encuentra separada por el signo igual. En el caso del ejemplo, representa el miembro izquierdo y 5 el derecho.

• Término: cada uno de los sumandos que se encuentran en cada miembro de la igualdad, por ende, están precedidos por los signos más o menos. En el caso del ejemplo podemos observar tres términos.

• Incógnita: letra o variable que figura en la ecuación y representa los valores desconocidos. Generalmente se usan las últimas letras del alfabeto para denotarlas. En el ejemplo la incógnita es “x”.

• Grado: en el caso de ecuaciones con una incógnita, el grado de éstas se define como el número de su mayor exponente siempre y cuando no se encuentre ni dentro de un signo radical ni en el denominador. El ejemplo se trata de una ecuación de grado 1, porque el mayor exponente de la incógnita “x” es 1, este tipo de ecuación también se denomina ecuación de primer grado.

Tipos de ecuaciones

Las ecuaciones pueden ser de dos tipos: literales y numéricas. Se denomina ecuación literal aquella en la que por lo menos un elemento conocido se encuentra representado por una letra. Una ecuación numérica en cambio es aquella en la cual sus elementos conocidos son números.

Solución de una ecuación

El valor o valores de la incógnita de una ecuación que hacen que la igualdad de la misma sea cierta se denominan solución de la ecuación o raíces de la ecuación

Cuando una ecuación tiene solución se denomina compatible, en caso contrario se denomina incompatible.

Las ecuaciones que presentan la misma solución son llamadas ecuaciones equivalentes.

Reglas para resolver ecuaciones

Para resolver ecuaciones se emplean una serie de reglas y operaciones que permiten confinar la incógnita en un lado de la igualdad, es decir, despejarla de otros términos que la acompañan. De esta manera, el valor obtenido al otro lado de la igualdad corresponde a la solución o soluciones de la misma.

• Regla de la suma

Esta regla explica que al sumar la misma expresión algebraica a ambos lados de la igualdad se obtiene una ecuación equivalente y por ende el mismo resultado. Por ejemplo:

Se puede sumar 3 en ambos miembros de la ecuación:

Al resolver se obtiene:

A partir de ese principio, la regla de la suma también se denomina regla de transposición de términos debido a que, para cambiar un término a otro miembro, se tiene que cambiar su signo.

Por ejemplo:

Para despejar la “x” lo único que se debe hacer es pasar los números 3 y -4 con signo contrario al otro lado de la igualdad.

Al resolver se obtiene:

• Regla del producto

Establece que al multiplicar o dividir por un mismo número en ambos miembros de la ecuación el resultado es una ecuación equivalente de la primera. Por ejemplo:

Si se dividen ambos miembros por 4, se obtiene:

Al resolver:

Por medio de esta regla se deduce que los elementos que multiplican pasan al otro lado a dividir y los elementos que dividen pasan al otro lado a multiplicar.

Por ejemplo:

Para despejar la “x”, el 3 que la multiplica pasa al otro lado a dividir:

Al resolver se obtiene:

A través de las dos reglas anteriormente estudiadas se puede resolver la primera ecuación de este artículo:

Por medio de la regla de transposición se puede pasar el 3 al otro lado de la igualdad.

El 2 que multiplica a la “x” pasa al otro lado a dividir.

Al resolver se obtiene:

Pasos para resolver ecuaciones de primer grado

1. Quitar los paréntesis en caso de que existieran (a través de la propiedad distributiva u otras operaciones).
2. Quitar los denominadores en caso de que existieran.
3. Ubicar los términos que tienen incógnitas en un miembro y los que no tienen incógnita en otro.
4. Sumar los términos semejantes.
5. Despejar la incógnita a través de la regla del producto.
6. Simplificar el resultado obtenido en caso de que sea una fracción.

Ejemplo:

1. Se eliminan los paréntesis, para lograrlo se aplica la propiedad distributiva. Es decir, se multiplica el 5 por cada uno de los elementos que están en paréntesis.

2. Se quita el denominador de la fracción, para lograrlo el 2 pasa a multiplicar a todos los términos que se encuentran al otro lado de la igualdad. Se colocan paréntesis para indicar que el 2 pasó a multiplicar a todos los términos del miembro derecho.

Se eliminan los paréntesis a través de la propiedad distributiva:

3. Se ubican los miembros que tienen incógnitas en un mismo miembro y los que no tienen incógnitas en otro. Para lograrlo se aplica la regla de la suma o de transposición.

4. Se suman los términos semejantes.

Recuerda que no se pueden sumar términos con incógnitas diferentes o con constantes (números sin incógnitas).

5. Se despeja la incógnita, para lograrlo se aplica la regla del producto por medio de la cual el 3 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuación.

6. Se simplifica el resultado, en este caso se trata de una fracción que se puede resolver, si fuera una fracción irreducible, el resultado sería dicha fracción.

Otros casos

De la misma forma como se explicó al inicio de este artículo, es importante tener presente que hay diferentes tipos de ecuaciones, que involucran términos particulares con radicales, funciones trigonométricas, logaritmos, etc. En este artículo solamente se abordó la resolución de ecuaciones de primer grado debido a lo extenso del contenido. Es importante que el estudiante tenga presente que cada ecuación tiene sus características propias y diversas formas de llegar a la solución.