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Desplazamiento en cuadrícula

Las personas, objetos y animales se relacionan de acuerdo al lugar que ocupan respecto a otros, el desplazamiento, el posicionamiento y las relaciones espaciales nos permiten ubicarlos en un espacio determinado. A continuación aprenderás cómo representar, ubicar y desplazar elementos orientándolos hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha y la izquierda.

Relaciones espaciales

Las palabras como: arriba, abajo, izquierda y derecha indican relaciones espaciales, estas indican la posición de un cuerpo u objeto respecto a otra cosa.

Observa la siguiente imagen, ¿qué posición tienen los elementos respecto a otros?

  • El sol está arriba de la vaca.
  • El pollo está debajo del pájaro.
  • La oveja está a la izquierda de la vaca.
  • La gallina está a la derecha de la vaca.

Desplazamiento en la cuadrícula

Para desplazarnos en la cuadrícula es necesario recordar las relaciones espaciales, arriba, abajo, izquierda y derecha, las flechas trazarán el camino que debemos seguir para realizar el desplazamiento.

Veamos algunos ejemplos:

  1. Sigue la dirección de las flechas (arriba, abajo, izquierda y derecha) en la cuadrícula para que Pepe el mono pueda llegar a la banana.

Observa la trayectoria de las flechas:

2. Observa detalladamente la cuadrícula y luego dibuja la dirección de la flechas del camino que ha recorrido el gato, iniciando desde el punto de partida.

La dirección de las flechas es la siguiente:

3. Dibuja flechas sobre la cuadrícula para marcar el camino que debe seguir Elena para llegar a la heladería siguiendo las instrucciones.

a. Da un paso adelante.

b. Gira a la izquierda y da un paso.

c. Gira a la derecha y da dos pasos.

d. Gira a la izquierda y da dos pasos.

e. Gira a la derecha y da un paso.

f. Gira a la izquierda y da un paso.

g. Gira a la derecha y da dos pasos.

¡A practicar!

Sigue la dirección de las flechas en la cuadrícula para que la gallina pueda llegar a su pollito.

¿cómo ubicar la posición de elementos?

Para ubicar la posición de puntos o elementos en un plano, podemos emplear los planos cartesianos.

El plano cartesiano es un mapa formado por dos rectas numéricas que se entrecruzan, llamados ejes, la recta orientada en posición horizontal es llamada “x” y la recta vertical recibe el nombre de “y“, ambas rectas dan a conocer la posición de un punto en el plano. Observa:

En la imagen puedes observar una cuadrícula en un plano cartesiano, podemos ubicar el elemento a través de las coordenadas.

¿Sabías qué?
El nombre “cartesianas” proviene del matemático y filósofo René Descartes a quien también se le llamaba Cartesio.

Las coordenadas

Las coordenadas nos permiten señalar un punto en el plano, esto ocurre cuando un dato del eje x se entrecruza con un dato del eje y y se representa de la siguiente forma: (x, y).

Coordenada x: es la primera coordenada e indica las unidades que hay que desplazarse hacia la izquierda o derecha (horizontal).

Coordenada y: es la segunda coordenada e indica las unidades que hay que desplazarse hacia arriba o hacia abajo (vertical).

Escribamos las coordenadas

Para escribir las coordenadas del diagrama anterior debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Nos desplazamos de forma horizontal para obtener el dato de la coordenada x.
  2. Nos desplazamos de forma vertical para obtener el dato de la coordenada y.
  3. Finalmente encerramos las dos coordenadas entre paréntesis, colocando primero la del eje x y las separamos con una coma así: (6,4).

En el plano cartesiano anterior, la cara feliz se encuentra 3 unidades hacia la derecha (eje x) y 4 unidades hacia arriba (eje y).

Por lo tanto, las coordenadas son: (3, 4)

Veamos otro ejemplo:

Escribe las coordenadas de los siguientes puntos:

Punto Coordenadas
A (1, 1)
B (1, 3)
C (3, 4)
D (4, 1)
E (5, 5)
¿Sabías qué?
La coordenada (0, 0) se denomina “origen” y a veces se le llama con la letra “O”

¿Cómo representamos las coordenadas?

Para representar coordenadas en un gráfico, debemos recordar que la primera cifra de las coordenadas corresponde al eje x y la segunda cifra corresponde al eje y.

Veamos un ejemplo:

Representa en el plano cartesiano la siguiente coordenada: (5, 3).

Para hacerlo debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Dibujar el plano cartesiano con sus dos ejes.
  2. Desplazarnos en el eje x (horizontal) 5 unidades a la derecha.
  3. Desplazarnos en el eje y (vertical) 3 unidades hacia arriba.
  4. Marcamos el punto donde se entrecruzan ambos.

Coordenadas y los mapas

 

Los ejes de coordenadas también son empleados en los mapas para determinar la ubicación de cualquier punto en el mundo, este sistema de referencia se denomina “sistema de coordenadas geográficas”, en ellas en eje x se denomina  “latitud” y el eje y “longitud”, la unión de ambos nos da la localización de un punto.

Inecuaciones

Las inecuaciones son expresiones matemáticas ampliamente usadas por muchas disciplinas y su solución, a diferencia de la mayoría de las ecuaciones, no comprende valores concretos sino que abarca un conjunto de números.

¿Qué es una inecuación?

Es una expresión matemática que contiene al menos una variable y está caracterizada por incluir signos de desigualdad, de manera que su resultado es un conjunto de valores que la variable puede tomar para que se cumpla la desigualdad planteada.

El conjunto solución de una solución se denomina intervalo.

Símbolos de desigualdad

La desigualdad es una expresión algebraica que sirve para relacionar dos cantidades semejantes mediante signos. Los signos matemáticos más usuales para establecer estas relaciones son:

Símbolo Significado Ejemplo
> Mayor que 15 > 4
< Menor que 3 < 7
≥ Mayor o igual que* a ≥ b
≤ Menor o igual que* b ≤ a

*a y b pueden ser valores iguales o diferentes que permitan hacer cumplir la desigualdad.

Elementos de una inecuación

Algunos elementos son similares entre las ecuaciones y las inecuaciones. Pero se tratan de expresiones algebraicas distintas. Quizá el elemento más resaltante de toda inecuación es el signo de desigualdad. Debido a éste, la solución de dichas expresiones suelen variar un poco de la manera en la que se resuelven las ecuaciones.

  • Miembros: son las partes de una inecuación que están separadas por el signo de la desigualdad. En la imagen el primer miembro corresponde a 4x – 1 mientras que el segundo término corresponde a 2x + 1.
  • Términos: son las expresiones literales o numéricas separadas por los signos más (+) o menos (-). Son términos de la inecuación mostrada: 4x, -1, 2x y 1.
  • Variable: es la letra que representa al conjunto de valores que satisfacen la desigualdad.
  • Grado de la inecuación: se encuentra indicado por el mayor exponente que posea la variable. En el caso del ejemplo mostrado, se trata de una inecuación de primer grado porque su mayor exponente es 1. Si el mayor exponente fuera 2 sería una inecuación de segundo grado y así sucesivamente.
Las inecuaciones pueden presentarse de varias formas como fracción o valor absoluto.

Resolución de ecuaciones de primer grado

El objetivo de la resolución de una inecuación es encontrar todos los valores de la variable para los cuales es válida la expresión. Estos valores pueden pertenecer a uno o más intervalos que pueden graficarse en la recta real.

Al operar con inecuaciones se pueden observar las siguientes reglas:

  1. La inecuación no varía cuando se suma o resta un mismo valor en ambos miembros de la desigualdad.

Por ejemplo:

Si se suma 3 a ambos miembros se obtiene:

Al sumar y restar los términos semejantes se obtiene:

El conjunto solución son todos los valores mayores a 4.

  1. Si se multiplica o divide a ambos miembros de una inecuación por un mismo número positivo, la inecuación que resulta es equivalente a la inicial.

Se multiplican ambos miembros por 2:

Se resuelven las operaciones:

De esta forma, la ecuación

Es equivalente de la ecuación

y puede resolverse a través de la regla 1 explicada anteriormente.

  1. Si se multiplica o divide a ambos miembros de una inecuación por un mismo número negativo, la inecuación que resulta cambiará de sentido en su signo de desigualdad y la misma será equivalente de la inecuación inicial.

Por ejemplo:

Se multiplica ambos miembros de la igualdad por -1:

Se resuelve la multiplicación y se cambia el sentido de la desigualdad:

De manera que

Es una inecuación equivalente de

Y es la misma que se resolvió en el ejemplo de la regla 1.

Las inecuaciones serán válidas para unos valores y no serán válidas para otros.

Problemas

Para resolver problemas con inecuaciones se deben aplicar las reglas explicadas anteriormente de forma tal que la variable quede localiza en un miembro de la inecuación y los términos constantes en otro.

En este caso, para eliminar el -3 del primer miembro se debe sumar a ambos miembro el número 3:

Para eliminar la x del segundo miembro se debe restar –x a ambos miembros de la inecuación:

Se resuelven las operaciones:

Por lo tanto, el resultado de la inecuación 

 Es decir, todos los números menores o iguales a 8.

Se puede comprobar el resultado al seleccionar un número menor igual a 8 y luego reemplazarlo en la inecuación, al final debería obtenerse una desigualdad válida.

Por ejemplo, si se selecciona el 5 que es menor a 8, y se reemplaza en la inecuación se obtiene:

Como el 7 es menor que 10, entonces 5 es parte del conjunto solución de la desigualdad.

En caso de que se consideren a los valores diferentes al conjunto solución, la desigualdad que se obtiene no será lógica.

Por ejemplo, se sabe que la solución de este problema son todos los números menores o iguales a 8. Para comprobar si es cierto, seleccionamos un número mayor a 8, para este caso seleccionaremos el 9.

Se cumplen los mismos pasos anteriores:

Como 15 no es menor a 14, entonces 9 no pertenece al conjunto solución de la inecuación.

Hay problemas que involucran paréntesis y se debe aplicar en lo posible alguna propiedad matemática como la distributiva para eliminarlos.

Se multiplican ambos miembros por 3 para eliminar el denominador de la fracción:

Se dividen ambos miembros entre -10, como es un número negativo, la dirección de la desigualdad cambia:

Se multiplican ambos lados por 5 para eliminar el denominador de la variable:

La expresión anterior también puede escribirse de forma inversa. Sólo se debe intercambiar el signo de la desigualdad:

Para tener una mejor idea del conjunto solución se suele convertir la fracción a decimal, de este modo

Lo que quiere decir que el conjunto solución son todos los números mayores o iguales a 9,5.

Una de las aplicaciones de las inecuaciones es para calcular el costo, ingreso y utilidad de una empresa.

Sistemas de ecuaciones

En matemáticas y en otras disciplinas, el empleo de ecuaciones para calcular variables es frecuente y de gran ayuda. El conjunto de dos o más ecuaciones se conoce como sistema de ecuaciones, y según sea el caso, puede tener o no solución.

¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones que contienen una o más variables. Se encuentran formadas por dos miembros separados por el signo igual.

El símbolo igual “=” fue inventado por Robert Recorde en 1557. Su forma hace alusión a dos rectas paralelas del mismo tamaño que representan la igualdad.

Estas expresiones matemáticas presentan valores conocidos o datos, además de elementos desconocidos denominados incógnitas y que son usualmente representados por letras del alfabeto.

El conjunto de valores que satisfacen a una ecuación se denomina solución. De este modo, una ecuación puede también definirse como una igualdad condicionada en la que sólo algunos valores de las incógnitas la hacen cierta.

Un ejemplo es la siguiente ecuación:

2x-1=3

La solución de la ecuación es 2, ya que es el único valor que puede tomar la incógnita para hacer cumplir la igualdad:

Cuando una ecuación incluye únicamente sumas y restas con una variable elevada a la primera potencia (sin presentar productos entre éstas) se denomina ecuación lineal.
Desde la Antigüedad

Sorprendentemente, muchos fundamentos básicos del álgebra que hoy en día usamos ya eran conocidos en el Antiguo Egipto y eran empleados para calcular problemas matemáticos en los cuales existía un valor desconocido.

El conocimiento avanzado de los egipcios en las matemáticas les permitió realizar cálculos que otras culturas desconocían.

Ecuaciones lineales

Las ecuaciones matemáticas pueden ser tan diversas como los números mismos. Se clasifican de acuerdo al máximo exponente al cual se encuentre elevada la incógnita o variable en lo que se denomina grado de la ecuación. Por ejemplo, 2x-3=4-x es una ecuación de primer grado porque el máximo exponente al cual se encuentra elevada la es 1. Por otro lado, una ecuación del tipo: 5x²-3x+1=0 es de segundo grado, por ser 2 el máximo exponente de la incógnita.

Adicionalmente, existen ecuaciones que incluyen funciones matemáticas como las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, entre otras. En estos casos se utiliza una metodología diferente para su resolución de acuerdo a las características de las funciones involucradas.

Las ecuaciones de segundo grado presentan la forma ax2 + bx + c y pueden resolverse con la fórmula mostrada.

Sistema de ecuación

Es un conjunto formado por dos o más ecuaciones que contienen varias incógnitas. Un sistema puede tener o no solución, en caso de tenerla consistirá en el valor o conjunto de valores que al ser sustituidos en las ecuaciones del sistema cumplen con la igualdad del sistema.

Las ecuaciones con una sola incógnita se resuelven a través de despejes. Para ecuaciones con dos o más incógnitas se recurre a los sistemas de ecuaciones.

Clasificación de los sistemas de ecuaciones

Los sistemas de ecuaciones pueden ser clasificados en compatibles o incompatibles de acuerdo a si tienen o no solución.

  • Sistemas compatibles: son aquellos que admiten solución, se subdividen en sistemas compatibles determinados y sistemas compatibles indeterminados. Los primeros se caracterizan por presentar un conjunto finito de valores que satisfacen la igualdad del sistema, es decir, tienen una sola solución. Los segundos por su parte, presentan un número infinito de soluciones.
  • Sistemas incompatibles: son aquellos que no admiten ninguna solución posible.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Como se explicó anteriormente, las ecuaciones pueden presentar varios tipos de grado e incluir muchas funciones matemáticas. En este caso, el artículo se centrará en explicar los métodos principales para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado, específicamente en ecuaciones lineales.

Los tres métodos más conocidos para su resolución son:

  • Método de reducción
  • Método de sustitución
  • Método de igualación

Sin embargo, existen otros métodos que hacen uso de matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Método de reducción

A través de este método se trata de cancelar una de las variables para calcular la otra por medio de despejes. Para lograrlo se multiplica una de las ecuaciones de manera que al sumar todos los términos semejantes de todas las ecuaciones se elimine una de las incógnitas.

Por ejemplo:

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de reducción.

En la primera ecuación el coeficiente de la variable es 2, mientras que en la segunda es 1. Una forma de eliminar a la variable es multiplicar la segunda ecuación por -2, de esta forma al sumar los términos semejantes que incluyen dicha variable darán como resultado al número cero y de esta forma se cancela la incógnita.

De esta forma el sistema de ecuaciones queda:

Se suman los términos semejantes

De esta forma, se tiene la ecuación:

Con el valor de conocido se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema y se despeja . Para este caso se seleccionará la primera ecuación del sistema:

De esta forma, el conjunto solución del sistema es x= -1 y y=2 .

En el caso de sistemas con una sola solución, si se sustituyen los valores solución en las ecuaciones se cumple la igualdad en todos los casos.

Método de sustitución

En este método se busca despejar una variable en una ecuación para luego sustituirla en otra de manera de reducir el número de incógnitas.

Por ejemplo:

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución.

Se despeja cualquiera de las variables de cualquiera de las dos ecuaciones. En este caso se despejará la variable de la primera ecuación:

Se sustituye la variable despejada en la otra ecuación. En este punto, se debe tener cuidado de no sustituir la ecuación despejada en la misma ecuación de la cual se obtuvo.

Se resuelven los cálculos hasta despejar la variable

Se sustituye la incógnita y en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se calcula el valor de x. En este método como se despejó dicha incógnita en el primer paso, se puede sustituir directamente en dicha ecuación:

Método de igualación

Este método consiste en despejar una misma incógnita de dos ecuaciones y luego igualarlas para calcular el valor de otra incógnita.

Por ejemplo:

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación.

Se despeja en ambas ecuaciones:

-Primera ecuación

-Segunda ecuación

Se igualan ambas ecuaciones despejadas:

Se despeja el valor de y:

Se sustituye el valor de en cualquiera de las ecuaciones, preferiblemente en cualquiera de las ecuaciones ya despejadas.

Operaciones con números decimales

En las matemáticas hay ocasiones en las que se desea hablar de cantidades de forma más precisa, por lo que se recurre a los números decimales, estos números cuentan con una forma propia de aplicar las operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación y división.

¿Qué son los números decimales?

Son valores que sirven para expresar números racionales e irracionales. Todo número decimal está formado por una parte entera y una parte decimal. En este sentido, un número que pertenece al conjunto de los números reales, se representa de forma decimal de la siguiente manera:

d = a, a1, a2…an

Dónde:

a: es un número entero cualquiera.

a, a1, a2…an: representan los decimales donde se cumple para cada uno de ellos que 0 ≤ ai ≤ 9

En algunos países como Estados Unidos se usa el símbolo del punto para expresar la coma decimal.

Cifras decimales

Para leer e interpretar el valor posicional de números decimales se debe considerar la ubicación de los decimales.

0,1 Décima
0,01 Centésima
0,001 Milésima
0,0001 Diezmilésima
0,00001 Cienmilésima
0,000001 Millonésima

De esta forma, el número 132,486579 se puede descomponer en sus unidades de la siguiente forma:

Centena (C) Decena (D) Unidad (U) Coma decimal Décima (d) Centésima (c) Milésima (m) Diezmilésima Cienmilésima Millonésima
1 3 2 , 4 8 6 5 7 9

De este modo, 132 representa la parte decimal y resto de los números corresponden a su parte decimal.

Operaciones con decimales

  • Suma

Para realizar sumas de números decimales se deben colocar los números uno debajo del otro de forma tal que coincidan cada una de sus unidades. En caso de ser necesario se completa con 0 las unidades que no aparezcan reflejadas en la operación. Una vez hecho esto, se realiza a suma de forma convencional y se ubica la coma decimal en su respectivo lugar.

Por ejemplo:

– Resolver 2,785 + 5,14

Recordemos las unidades de dichos números:

Se colocan los números uno de bajo del otro, como 5,14 no tiene milésimas se coloca un 0 en la columna correspondiente a dicho número:

Se resuelve la suma de forma convencional y se coloca la coma decimal en su respectiva columna:

De manera que el resultado de 2,785 + 5,14 es igual a 7,925.

El número pi (π) es un número decimal y es el resultado de dividir la longitud de cualquier circunferencia entre su radio.

  • Resta

Se resuelve de forma similar a la suma. Es decir se ubican los números uno debajo del otro de manera que coincidan sus unidades correspondientes y luego se resuelve la operación de sustracción de forma convencional. Al final se coloca la coma en su columna respectiva.

Por ejemplo:

-Resuelva 8,513 − 4,372

Recordemos las unidades de dichos números:

Se colocan los números uno debajo del otro de acuerdo a su unidad y se resuelve la resta:

En este caso no se completó con 0 debido a que ambos números tenían la misma cantidad de cifras decimales.

El resultado de 8,513 − 4,372 es igual a 4,141.

  • Multiplicación

En las multiplicaciones puede haber cifras decimales en cualquiera de los dos factores, o incluso en ambos. Las multiplicaciones se resuelven de manera convencional, la única diferencia es que el número de cifras decimales de los factores corresponderá a las cifras decimales del resultado.

Por ejemplo:

-Resolver 635 x 2,5

Se resuelve la multiplicación de manera convencional sin considerar por el momento la coma:

El paso siguiente es colocar la coma en el resultado de manera tal que tenga el mismo número de decimales que los dos factores. En este caso los factores son 635 y 2,5:

635 → no tiene cifras decimales.

2,5 → tiene una sola cifra decimal.

Como 635 no tiene cifras decimales y 2,5 tiene una sola cifra decimal, entonces el resultado deberá tener una cifra decimal, de manera que el resultado de la multiplicación es 1.587,5:

Otra forma de saber la ubicación de la coma es mover la coma a partir de la última cifra de resultado tantos espacios como cifras significativas tengan los factores. De la siguiente forma:

Otro ejemplo:

-Resuelva 1,45 x 3,78

Se resuelve con el mismo procedimiento anterior:

El factor 1,45 tiene 2 cifras decimales y el factor 3,78 también tiene 2 cifras decimales. De manera que el número total de cifras decimales de los dos factores es 4. Es decir, el resultado deberá tener cuatro cifras decimales, por lo tanto será 5,8110:

Las cifras decimales que terminan en cero se pueden omitir, por lo tanto el 5,8110 es lo mismo que 5,811.

Multiplicación por la unidad seguida de cero

Cuando se multiplican decimales por la unidad seguida de cero, el resultado será igual a las mismas cifras que componen del número decimal. La diferencia es que la coma se moverá a la derecha tantos espacios como el número de ceros del número entero.

1,55 x 10 = 15,5

En caso de que el número de ceros de la unidad sea mayor al número de decimales, se completa con ceros has cumplir con los espacios.

2,479 x 10.000 = 24.790,0

El mismo resultado se obtiene si se multiplican dichos factores de la forma convencional explicada anteriormente.

  • División

Puede ser de tres formas diferentes: dividendo decimal y divisor entero, dividendo entero y divisor decimal, dividendo decimal y divisor decimal.

Dividendo decimal y divisor entero: se realiza la división como si fueran ambos números enteros, la diferencia, es que se coloca la coma al momento de bajar la primera cifra decimal del dividendo.

Por ejemplo:

-Resuelva 2,84 : 2

Se resuelve la división como si se tratase de divisiones con números enteros:

Como el 8 es la primera cifra decimal del dividendo, se coloca la coma al momento de bajar dicha cifra mientras se resuelve la división.

El resultado de 2,84 : 2 es 1,42

Dividendo entero y divisor decimal: en este caso se suprime la coma del divisor y se colocan tantos ceros al dividendo como cifras decimales tuviera el divisor inicialmente.

Por ejemplo:

Resolver 896 : 3,2

Se suprime la coma del divisor:

3,2 → 32

Como 3,2 tiene una sola cifra decimal, se agrega un cero al dividendo

896 → 8.960

De manera que la división quedaría 8.960 : 32 y se resuelve como una división convencional sin decimales:

 De esta manera el resultado de 896 : 3,2 es 280

Dividendo decimal y divisor decimal: en este caso se suprime la coma del divisor y se mueve la coma del dividendo hacia la derecha tantos espacios como cifras decimales tenga el divisor.

Por ejemplo:

-Resuelva 4,340 : 3,5

Se elimina la coma del divisor:

3,5 → 35

Se mueve la coma del dividendo tantos espacios a la derecha como cifras decimales tenga el divisor. En este caso, como el divisor es 3,5 tiene una cifra decimal por lo tanto, la coma del dividendo se debe mover un espacio a la derecha:

4,340 → 43,40

De esta manera la división a resolver quedaría 43,40 : 35, es del primer tipo que se explicó anteriormente (dividendo decimal y divisor entero) y se resuelve de la siguiente forma:

De manera que el resultado de 4,240 : 3,5 es 1,24

En caso de ser necesario, se pueden agregar ceros al divisor de la misma forma que se hace en las divisiones sin decimales.

Matrices

Las matrices son arreglos de números que entre otras cosas se emplean para resolver sistemas de ecuaciones lineales y programas informáticos. Son fundamentales en matemática y en otras disciplinas como el álgebra.

¿Qué es una matriz?

Una matriz es una tabla bidimensional en la que se disponen valores numéricos o variables. Los datos que conforman a una matriz se denominan elementos y están dispuestos de acuerdo a un patrón de filas y columnas que le confieren una forma cuadrada o rectangular a la matriz según sea el caso.

Las filas o renglones de una matriz son todos los elementos que se encuentran dispuestos linealmente de forma horizontal, las columnas se encuentran compuestas por los elementos localizados linealmente de forma vertical. Si una matriz tiene m filas y n columnas, su dimensión será de m x n, esto se debe a que primero se coloca el número de filas y luego el de columnas.

Forma general de una matriz A de dimensiones m x n:

Generalmente se emplean letras mayúsculas del alfabeto para expresar el nombre de las matrices.

Elementos de la matriz

Para ubicar un elemento de una matriz se usa el sistema de doble subíndice en el que se indica primero el número de la fila donde encuentra seguido de su respectiva columna. De manera que el elemento a12 es aquel ubicado en la primera fila y en la segunda columna. Como notación general se emplea una fórmula denominada entrada aij , donde i es el número de fila del elemento y j es el número de columna.

Matrices cuadradas y rectangulares

De acuerdo a la dimensión de una matriz, se puede clasificar en matriz cuadrada y en matriz rectangular. Una matriz m x n es cuadra si m = n, es decir, si el número de filas es igual al número de columnas. Por otra parte, las matrices en donde se cumple que m ≠ n, su forma es rectangular, debido a que el número de filas es diferente al número de columnas.

Para ilustrar mejor se muestran los siguientes ejemplos:

La matriz A es una matriz cuadrada porque posee tres filas y tres columnas, es decir, su dimensión es de 3 x 3. Por otra parte, la matriz B tiene tres filas y dos columnas, es decir, su dimensión es de 3 x 2, por lo tanto, B es una matriz rectangular.

James Joseph Sylvester fue el primero en emplear el término “matriz” en el ámbito matemático a mediados del siglo XIX.

La diagonal principal

En las matrices cuadradas se observa una diagonal principal formada por todos los elementos cuyas entradas cumplen la condición . Por ejemplo:

Los elementos 2, 9 y 5 constituyen la diagonal principal de la matriz M, debido a que en sus entradas cumplen con la condición de :

a11 = 2

a22 = 9

a33 = 5

De manera directa se puede observar que la diagonal principal de una matriz cuadrada está formada por los elementos que describen una diagonal desde el elemento hasta el último elemento de la última fila.

Otros tipos de matrices

  • Matriz fila

Es aquella conformada por una fila.

  • Matriz columna

Es aquella que posee una sola columna.

  • Matriz nula

Es aquella en la que todos los elementos que la componen son ceros.

  • Matriz triangular superior

Es la matriz en la que todos los elementos ubicados por debajo de la diagonal principal son iguales a cero.

  • Matriz triangular inferior

Es la matriz cuyos elementos situados por encima de su diagonal principal son iguales a cero.

  • Matriz diagonal

Es aquella matriz en la que todos los elementos situados por encima y por debajo de su diagonal principal son iguales a cero.

  • Matriz escalar

Es una matriz diagonal en la que los elementos que forman su diagonal principal son iguales.

  • Matriz identidad o matriz unidad

Es aquella matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a uno.

  • Matriz transpuesta

Matriz que se obtiene al cambiar de forma ordenada las filas por las columnas. Se denota con la letra t como subíndice del nombre de la matriz original.

 

Las matrices pueden incluir números, fracciones, radicales y otros números del conjunto de los reales.
Propiedades de la matriz transpuesta

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α.A)t = α.At

(A.B)t = Bt.At

Las matrices transpuestas se emplean para realizar otros cálculos con matrices como por ejemplo, los determinantes.

Matrices en la computación

Sorprendentemente las operaciones matriciales no se limitan al álgebra lineal, sino que es usado en muchas otras áreas como la computación. Esto se debe a que las matrices proporcionan una forma sencilla de representar datos y realizar cálculos numéricos que de otra forma sería complicado resolverlos.

Existen programas informáticos como Matlab que permiten crear sistemas de matrices complejos para ser usados en el campos tan diversos como el de la robótica o el de la computación gráfica.

 

La teoría de matrices se dedica a estudiar las matrices y a los sistemas matriciales.

Ecuaciones y despejes

Saber despejar una ecuación es de suma importancia no sólo para resolver problemas matemáticos, sino también para realizar cálculos en otras asignaturas como Química o Física. Existe una serie de reglas que permiten despejar ecuaciones de forma fácil.

¿Qué es una ecuación?

Es la igualdad establecida que permite determinar alguno de sus elementos respecto a los valores de los demás. En este sentido, una ecuación es una igualdad matemática entre dos miembros o expresiones que se encuentran separados por el signo igual.

La igualdad matemática o equivalencia es la relación entre dos expresiones diferentes que representan una misma cantidad.

Elementos de una ecuación

Existen varios tipos de ecuaciones, desde una simple ecuación lineal de una incógnita hasta ecuaciones con identidades trigonométricas, o incluso con números complejos. Sin embargo, en las ecuaciones se pueden identificar varios elementos básicos. Observa el siguiente ejemplo:

  • Miembro: es la expresión algebraica que se encuentra separada por el signo igual. En el caso del ejemplo, representa el miembro izquierdo y 5 el derecho.

  • Término: cada uno de los sumandos que se encuentran en cada miembro de la igualdad, por ende, están precedidos por los signos más o menos. En el caso del ejemplo podemos observar tres términos.

  • Incógnita: letra o variable que figura en la ecuación y representa los valores desconocidos. Generalmente se usan las últimas letras del alfabeto para denotarlas. En el ejemplo la incógnita es “x”.

  • Grado: en el caso de ecuaciones con una incógnita, el grado de éstas se define como el número de su mayor exponente siempre y cuando no se encuentre ni dentro de un signo radical ni en el denominador. El ejemplo se trata de una ecuación de grado 1, porque el mayor exponente de la incógnita “x” es 1, este tipo de ecuación también se denomina ecuación de primer grado.

Tipos de ecuaciones

Las ecuaciones pueden ser de dos tipos: literales y numéricas. Se denomina ecuación literal aquella en la que por lo menos un elemento conocido se encuentra representado por una letra. Una ecuación numérica en cambio es aquella en la cual sus elementos conocidos son números.

En el caso del ejemplo anterior de ecuación literal, los literales a y b son tratados como constantes para resolver la ecuación.

Solución de una ecuación

El valor o valores de la incógnita de una ecuación que hacen que la igualdad de la misma sea cierta se denominan solución de la ecuación o raíces de la ecuación

Resolver una ecuación es hallar el o los valores que verifican la igualdad de la misma.

Cuando una ecuación tiene solución se denomina compatible, en caso contrario se denomina incompatible.

Las ecuaciones que presentan la misma solución son llamadas ecuaciones equivalentes.

Reglas para resolver ecuaciones

Para resolver ecuaciones se emplean una serie de reglas y operaciones que permiten confinar la incógnita en un lado de la igualdad, es decir, despejarla de otros términos que la acompañan. De esta manera, el valor obtenido al otro lado de la igualdad corresponde a la solución o soluciones de la misma.

  • Regla de la suma

Esta regla explica que al sumar la misma expresión algebraica a ambos lados de la igualdad se obtiene una ecuación equivalente y por ende el mismo resultado. Por ejemplo:

Se puede sumar 3 en ambos miembros de la ecuación:

Al resolver se obtiene:

A partir de ese principio, la regla de la suma también se denomina regla de transposición de términos debido a que, para cambiar un término a otro miembro, se tiene que cambiar su signo.

Por ejemplo:

Para despejar la “x” lo único que se debe hacer es pasar los números 3 y -4 con signo contrario al otro lado de la igualdad.

Al resolver se obtiene:

  • Regla del producto

Establece que al multiplicar o dividir por un mismo número en ambos miembros de la ecuación el resultado es una ecuación equivalente de la primera. Por ejemplo:

Si se dividen ambos miembros por 4, se obtiene:

Al resolver:

Por medio de esta regla se deduce que los elementos que multiplican pasan al otro lado a dividir y los elementos que dividen pasan al otro lado a multiplicar.

Por ejemplo:

Para despejar la “x”, el 3 que la multiplica pasa al otro lado a dividir:

Al resolver se obtiene:

A través de las dos reglas anteriormente estudiadas se puede resolver la primera ecuación de este artículo:

Por medio de la regla de transposición se puede pasar el 3 al otro lado de la igualdad.

El 2 que multiplica a la “x” pasa al otro lado a dividir.

Al resolver se obtiene:


Pasos para resolver ecuaciones de primer grado

  1. Quitar los paréntesis en caso de que existieran (a través de la propiedad distributiva u otras operaciones).
  2. Quitar los denominadores en caso de que existieran.
  3. Ubicar los términos que tienen incógnitas en un miembro y los que no tienen incógnita en otro.
  4. Sumar los términos semejantes.
  5. Despejar la incógnita a través de la regla del producto.
  6. Simplificar el resultado obtenido en caso de que sea una fracción.

Ejemplo:

  1. Se eliminan los paréntesis, para lograrlo se aplica la propiedad distributiva. Es decir, se multiplica el 5 por cada uno de los elementos que están en paréntesis.

  1. Se quita el denominador de la fracción, para lograrlo el 2 pasa a multiplicar a todos los términos que se encuentran al otro lado de la igualdad. Se colocan paréntesis para indicar que el 2 pasó a multiplicar a todos los términos del miembro derecho.

Se eliminan los paréntesis a través de la propiedad distributiva:

  1. Se ubican los miembros que tienen incógnitas en un mismo miembro y los que no tienen incógnitas en otro. Para lograrlo se aplica la regla de la suma o de transposición.

  1. Se suman los términos semejantes.

Recuerda que no se pueden sumar términos con incógnitas diferentes o con constantes (números sin incógnitas).

  1. Se despeja la incógnita, para lograrlo se aplica la regla del producto por medio de la cual el 3 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuación.

  1. Se simplifica el resultado, en este caso se trata de una fracción que se puede resolver, si fuera una fracción irreducible, el resultado sería dicha fracción.

Otros casos

De la misma forma como se explicó al inicio de este artículo, es importante tener presente que hay diferentes tipos de ecuaciones, que involucran términos particulares con radicales, funciones trigonométricas, logaritmos, etc. En este artículo solamente se abordó la resolución de ecuaciones de primer grado debido a lo extenso del contenido. Es importante que el estudiante tenga presente que cada ecuación tiene sus características propias y diversas formas de llegar a la solución.

Las reglas mostradas también son usadas para despejar fórmulas, que son expresiones de una ley o principio general que se expresa por símbolos y letras.

La potencia

La potencia, de forma genérica es la capacidad o posibilidad para realizar o generar algo. Una potencia es también una persona, una entidad, estado o nación que posee una gran influencia, fuerza o poder. Sin embargo, tiene varios usos y significados en distintos ámbitos como la Física, las Matemáticas y la Filosofía.

Potencia en física

En Física, potencia es la cantidad de trabajo (fuerza o energía aplicada a un cuerpo) en una unidad de tiempo. Se expresa con el símbolo ‘P’ y se suele medir en vatios o watts (W) y que equivale a 1 julio por segundo. Una fórmula para calcular la potencia es P = T / t, donde ‘T’ equivale a ‘trabajo’ (en julios) y ‘t’ se corresponde con el ‘tiempo’ (en segundos).

La potencia es la cantidad de fuerza o energía aplicada a un cuerpo en un período de tiempo.
La potencia es la cantidad de fuerza o energía aplicada a un cuerpo en un período de tiempo.

 

  • La potencia eléctrica: la potencia eléctrica es la cantidad de energía que emite o absorbe un cuerpo en una unidad de tiempo. La medición de la potencia eléctrica de consumo de un dispositivo eléctrico doméstico en kilovatios por hora (kW/h).
    La potencia reactiva es un tipo de potencia eléctrica que aparece en instalaciones de corriente alterna, asociada a la generación de campos magnéticos y disipada por las cargas reactivas (bobinas y condensadores). Se representa con la letra ‘Q’ y la unidad de medida que se suele utilizar es el voltiamperio reactivo (VAr).
  • La potencia mecánica: la potencia mecánica es la cantidad de fuerza aplicada a un cuerpo en relación a la velocidad con que se aplica. Una de las fórmulas para hallarla es: P = F · v. Por lo tanto, se multiplica la fuerza (F) expresada en newtons (N) por la velocidad (v) expresada en metros por segundo (m/s).

Potencia en Matemática

Una potencia es una expresión matemática que indica la multiplicación de un número por sí mismo tantas veces como indica su exponente. Una potencia aparece representada como un número pequeño escrito a la derecha y arriba acompañando a un número (base).

Un ejemplo de potencia es 72. El número 7 es la base y el 2 es el exponente (también llamado índice o simplemente, potencia). Esta potencia equivaldría a la multiplicación 7 x 7.

Potencia en Filosofía

El concepto de potencia es uno de los objetos de estudio de la Filosofía. La filosofía aristotélica define este término como la “capacidad de ser” en el futuro, en oposición al concepto de “acto”.

En Filosofía también se habla de potencia del alma para referirse a una facultad o capacidad del alma. Según algunas posturas, se consideran tres potencias del alma (memoria, entendimiento y voluntad) que permiten al ser humano recordar, conocer y querer, respectivamente.

 

¿Qué es un número natural?

Un número natural se designa con N. Se trata de aquellos que se utilizan para contar los elementos de un conjunto.

Un número natural es cualquier miembro del siguiente conjunto: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}

En el caso del ejemplo anterior, comienza en cero y prosigue ad infinitum, lo que significa “hasta el infinito”. El número que se encuentra a la derecha de otro número se denomina sucesivo o siguiente.

El conjunto ℕ se toma a partir del cero en este caso, ya que éste representa la cantidad de elementos que tiene el conjunto vacío.

Llamamos segmento de una sucesión natural al conjunto de todos los números naturales iguales o menores que cierto número natural, K. Se denota de la siguiente manera:  I 1, K I

Propiedades del conjunto de los números naturales

  • Los números naturales nos permiten contar los elementos de un conjunto determinado, y cuando realizamos operaciones con ellos, podemos obtener resultados catalogados o no como número naturales.

Al sumar y al multiplicar dos números naturales obtendremos como resultado un número natural.

En cambio, en la división y en la resta de números naturales, no siempre obtendremos como resultado otro número natural.

  • Cada elemento tiene un sucesor. Si tomamos un número natural sabremos cuál es el que le sigue, es decir el sucesor, y esto nos indicará que no hay un número natural en medio de ellos.
  • La función de los números naturales es representar cantidades (mayores o menores) . Si queremos decir que un número es mayor que otro usamos >, mientras que para decir que un número es más pequeño que otro se utiliza <.

Ejemplo 10 > 1 o 1 < 10