medidas de tendencia central

Son también denominadas medidas de posición o de centralización. Como su nombre lo indica, hacen referencia a los valores centrales de una determinada distribución de datos. La media aritmética, la mediana y la moda comprenden este grupo de medidas. Estas medidas cumplen la función de resumir en un solo número las características de un conjunto de datos.

la media ARITMÉTICA

La media aritmética ( $\fn_cm \small \overline{x}$ ), también conocida como promedio, es el cálculo del valor característico de una distribución de datos. Se calcula al sumar todos los valores y luego dividir el resultado entre la cantidad total de datos. Si el cálculo se realiza con una muestra aleatoria, esta debe ser representativa de la muestra total.

Así que, dado un conjunto de números (n): x₁, x₂, x₃, …x_n. La media aritmética se determina por la siguiente fórmula:

$\overline{x}=\frac{x_{1},\: x_{2},\: x_{3}...x_{n}}{n}$

– Ejemplo:

Un grupo de 12 estudiantes obtuvo las siguientes calificaciones en una asignatura: 4, 6, 6, 10, 12, 12, 13, 15, 16, 17, 17 y 19. ¿Cuál es la media?

Aplicamos la fórmula de media aritmética:

$\overline{x}=\frac{4+ 6+ 6+ 10+ 12+ 12+ 13+ 15+ 16+ 17+ 17 + 19}{12}$

$\overline{x}=\frac{147}{12}=\boldsymbol{12,25}$

En Estadística podemos clasificar a las medidas en dos grandes grupos: medidas de posición y medidas de dispersión. Las medidas de posición nos permiten obtener un valor único (central) que representa las características del conjunto de datos. En cambio, las medidas de dispersión cuantifican las variaciones con respecto a la tendencia central.

Media aritmética para datos agrupados

Cuando los datos ya están agrupados en una tabla de frecuencia tenemos que:

Multiplicar cada dato (x) por su frecuencia (f).
Sumar el total de f · x.
Sumar el total de f.
Dividir el total de f · x. entre la suma total de f.

– Ejemplo:

La siguiente tabla muestra la frecuencia de notas obtenidas en una clase:

Notas (x)	Frecuencia (f)
4	3
10	8
15	6
18	2

Multiplicamos cada dato (x) por su frecuencia, luego sumamos los productos y los dividimos entre las frecuencias totales:

Notas (x)	Frecuencia (f)	f · x
4	3	12
10	8	80
15	6	90
18	2	36
Total	19	218

$\overline{x}=\frac{218}{19}\approx \boldsymbol{24,22}$

¿Sabías qué?

La media aritmética presenta una desventaja: es sensible a datos atípicos, lo que arroja un valor promedio alejado de la realidad.

la moda

La moda (Mo) es el valor que tiene mayor frecuencia, es decir, es valor que más se repite. Para hallar la moda siempre es conveniente ordenar los datos que se obtienen para verificar la cantidad de veces que aparece cada uno.

– Ejemplo:

Las calificaciones obtenidas en un examen fueron: 10, 15, 4, 10, 10, 8, 10, 4, 15, 4, 10, 10, 15, 10, 10, 15, 15, 15 y 18. ¿Cuál es la moda?

Primero organizamos los datos:

4, 4, 4, 8, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 15, 15, 15, 15, 15, 15 y 18.

Luego contamos la repetición o frecuencia de cada dato y elegimos el que más se repita:

4	→	3 veces
8	→	1 vez
10	→	8 veces
15	→	6 veces
18	→	1 veces

Por lo tanto,

$Mo=\boldsymbol{8}$

Distribución bimodal

La moda es el valor con mayor frecuencia en las distribuciones de los datos. Sin embargo, puede suceder que se encuentren dos modas, que reciben el nombre de “distribución bimodal”.

la mediana

La mediana (Md) corresponde al valor para el cual la cantidad de datos menores y mayores a él es igual. Cuando los elementos del conjunto de datos son un número impar, la mediana queda definida. Si la cantidad de datos es par, la mediana es el promedio entre los dos datos centrales.

– Ejemplo 1:

En un equipo de fútbol hay 11 jugadores, las edades de los mismos son: 20, 23, 19, 16, 18, 22, 19, 20, 21, 19 y 17. ¿Cuál es la mediana?

Primero organizamos los datos y ubicamos el valor que esté en el medio:

16, 17, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 22, 23

Nota que hay cinco valores a la izquierda y cinco valores a la derecha.

Entonces, $Md=\boldsymbol{20}$