La recta numérica es un gráfico en el que podemos representar cualquier número que pertenezca al conjunto de los números reales (). Tiene intervalos que señalan las unidades y siempre tienen la misma distancia entre un número y su consecutivo. Por otra parte, los distintos tipos de relaciones que existen entre los números se pueden mostrar por medio de los símbolos “<” y “>” que significan “menor que” y “mayor que” respectivamente.
Una regla graduada es muy parecida a una recta numérica.
ORDEN DE NÚMEROS NATURALES Y DECIMALES
Para ubicar los números naturales en la recta numérica ubicamos el 0 en una posición arbitraria y luego colocamos el resto de los números naturales en intervalos regulares. Si deseamos comparar números naturales usamos los símbolos < y > o la recta numérica, pues todo número que esté más a la derecha en la recta siempre será el mayor. Para ubicar números decimales en la recta numérica, debemos agregar subdivisiones entre los números enteros. Cuando queremos compararlos, primero tomamos en cuenta la parte entera y luego comparamos las cifras decimales de izquierda a derecha.
Sí bien algunos expertos afirman que el número cero (0) no pertenece al conjunto de los números naturales, otros aseguran que sí forma parte.
ORDEN DE FRACCIONES
Las fracciones también tiene un lugar en la recta numérica, para esto tenemos que considerar si la fracción es propia o impropia. De ser propia dividimos a la unidad en tantos segmentos como indique el denominador y contamos tantos segmentos como indique el numerador, luego marcamos la fracción. Si la fracción es impropia, tenemos que convertirla primero en un número mixto, en este caso, seguimos el procedimiento anterior pero a partir de la parte entera que tenga el número mixto.
Si comparamos fracciones con igual numerador y diferente denominador, será mayor aquella que tenga menor denominador.
PROPORCIONALIDAD
La proporcionalidad es una relación que existe entre dos magnitudes que podemos medir, y puede ser directa o inversa. Dos cantidades son directamente proporcionales si cuando una aumenta la otra aumenta o si cuando una disminuye la otra también lo hace. Por otro lado, al convertir medidas lo hacemos por medio de una regla de tres, un método muy útil para saber un valor desconocido entre 2 relaciones.
Siempre que vamos a un kiosco, sabemos que mientras más compremos, más tendremos que pagar; eso es porque la “cantidad que compramos” y la “cantidad que debemos pagar” tienen una relación directamente proporcional.
RELACIONES DE TIEMPO
El tiempo es quizás la magnitud más usada y medida diariamente. Sus unidades son variadas y van desde las menores a un día, como los segundos, los minutos y las horas; hasta las que sobrepasan al día como los meses, años y décadas. Si usamos una regla de tres podemos convertir una unidad a otra sin dificultad. También podemos hacer cálculos de suma y resta con el tiempo, esto nos ayuda a saber cuando empezó un partido de fútbol o qué hora salió un tren, por ejemplo.
Los calendarios o agendas son útiles para planificar las actividades a realizar a lo largo del día.
Si compramos una gaseosa a $ 2, 2 gaseosas costarán $ 4 y 3 gaseosas costarán $ 6. Esto se llama proporcionalidad porque las dos magnitudes, precio y cantidad, tiene una relación directa entre sí. Esta relación sirve para hacer conversiones de unidades de medida. ¡Aprendamos a resolver problemas de proporcionalidad!
¿QUÉ ES LA PROPORCIONALIDAD?
La proporcionalidad es una relación que existe entre las magnitudes que podemos medir, como el tiempo, la longitud, la superficie o el peso.
Las proporciones son mucho más comunes de lo que pensamos. Las utilizamos al calcular la cantidad de ingredientes para hacer una torta, cuando convertimos unidades de medida o cuando vamos al cine con nuestros amigos y deseamos saber cuál es el costo total de las entradas.
Muchas de las cantidades que utilizamos cotidianamente están relacionadas entre sí. Por ejemplo, siempre que vamos a un kiosco, sabemos que mientras más productos compremos, más dinero tendremos que pagar. Eso es porque “la cantidad de productos que compramos” y “la cantidad que debemos pagar” tienen una relación directamente proporcional.
¿Sabías qué?
Existen dos tipos de proporcionalidad: la proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa.
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Cuando dos magnitudes están relacionadas mediante una proporcionalidad directa se comportan de tal manera que:
Cuando una cantidad aumenta, la otra también aumenta.
Cuando una cantidad disminuye, la otra también disminuye.
Si esto sucede, se dice que las cantidades son “directamente proporcionales”.
– Ejemplo:
Si una camiseta cuesta $ 3, ¿cuánto cuestan 2 camisetas?, ¿y 3 camisetas?
Cantidad de dinero
$ 3
$ 6
$ 9
Cantidad de camisetas
1
2
3
Observa que al aumentar la cantidad de camisetas también aumenta la cantidad de dinero, por eso, ambas son directamente proporcionales.
Siempre que dos magnitudes sean directamente proporcionales el cociente entre ellas será constante. A esta relación la podemos escribir y comprobar por medio de una fracción:
Los numeradores en azul representan la cantidad de dinero y los denominadores en rojo representan la cantidad de camiseta. Todos los cocientes son iguales, es decir, la proporción es constante.
Razón de proporcionalidad
Si dividimos entre sí las magnitudes que aumentan o disminuyen, obtendremos como resultado un número llamado razón de proporcionalidad, y si dividimos ambas cantidades luego de que aumenten o disminuyan, también obtendremos como resultado al mismo número. Por lo tanto, dos magnitudes son directamente proporcionales si:
magnitud 1 ÷ magnitud 2 = razón de proporcionalidad
¿cómo resolver problemas de PROPORCIONALIDAD DIRECTA?
Un método para resolver problemas de proporcionalidad es la regla de tres. Esta se utiliza para hallar el cuarto término de una proporción cuando ya conoces tres valores.
– Ejemplo 1:
En cada paquete de chicles hay 8 chicles. ¿Cuántos chicles hay en 4 paquetes?
1. Escribimos la primera relación, que es la que tiene los dos valores conocidos:
2. Luego escribimos la segunda relación. En esta solo conocemos un valor y al desconocido lo representamos con la letra equis (x).
En conjunto, estas relaciones se leen así: “si un paquete de chicles tiene ocho chicles, ¿cuántos chicles tienen cuatro paquetes de chicles?”.
Observa que colocamos una magnitud debajo de otra magnitud: paquetes de chicles debajo de paquetes de chicles y cantidad de chicles debajo de cantidad de chicles. La “x” es una valor que desconocemos, pero la magnitud buscada es “cantidad de chicles”.
3. Multiplicamos en diagonal y luego dividimos por el valor que quede solo.
4. Resolvemos las operaciones.
Nota que las magnitudes que son iguales tanto en el numerador como en el denominador se tachan y queda la magnitud deseada: cantidad de chicles.
5. Damos respuesta a la interrogante.
En 4 paquetes de chicles hay 32 chicles.
Dos magnitudes directamente proporcionales son la cantidad de kilómetros recorridos en un automóvil y la cantidad de combustible gastado. Cuando una de estas cantidades se modifica, la otra lo hace de igual manera; pues si recorremos 110 kilómetros gastaremos 10 litros de combustible, pero si recorremos 330 kilómetros gastaremos 30 litros.
– Ejemplo 2:
Para pintar 6 edificios son necesarios 80 galones de pintura, ¿cuántos galones de pintura son necesarios para pintar 18 edificios?
Relaciones
Reflexión
Este problema de proporcionalidad se resuelve al multiplicar en forma diagonal las relaciones antes mostradas, y después al dividir entre 6. No debemos olvidar tachar las magnitudes iguales en el numerador y en el denominador.
Operaciones
Respuesta
Para pintar 18 edificios se necesitan 240 galones de pintura.
– Ejemplo 3:
Si 10 lápices cuestan $ 5, ¿cuánto costarán 70 lápices?
Relaciones
Reflexión
Hay que resolver la regla de tres, para esto multiplicamos en forma diagonal: 70 × 5 y luego dividimos este resultado entre 10. Tachamos las unidades repetidas en los numeradores y denominadores.
Operaciones
Respuesta
70 lápices costarán $ 35.
¿Sabías qué?
En la cocina también utilizamos la proporcionalidad. Si tenemos una receta que indica las cantidades para 1 persona, pero queremos hacer la receta para 5 personas, debemos multiplicar a todas las cantidades por 5.
USOS DE LA PROPORCIONALIDAD DE LA CONVERSIÓN DE MEDIDAS
La proporcionalidad nos puede ser útil a la hora de convertir unidades de medidas. Por ejemplo, cuando conocemos la longitud de un objeto en centímetros y queremos conocerla en metros, o cuando conocemos nuestro peso en kilogramos pero queremos conocerlo en gramos.
La conversión de unidades de medida es usada en múltiples oficios. Los costureros y diseñadores utilizan a menudo la cinta métrica: una cinta flexible con marcas que muestran los metros y los centímetros. Esta es de gran utilidad para medir grandes o pequeñas longitudes de tela. También es usada por arquitectos y médicos.
Equivalencias de interés
Masa
Unidad principal: gramo (g)
1 g = 1.000 mg
1 g = 100 cg
1 g = 10 dg
1 g = 0,1 dag
1 g = 0,01 hg
1 g = 0,001 kg
Longitud
Unidad principal: metro (m)
1 m = 1.000 mm
1 m = 100 cm
1 m = 10 dm
1 m = 0,1 dam
1 m = 0,01 hm
1 m = 0,001 km
Capacidad
Unidad principal: litro (L)
1 L = 1.000 mL
1 L = 100 cL
1 L = 10 dL
1 L = 0,1 daL
1 L = 0,01 hL
1 L = 0,001 kL
– Ejemplo 1:
Convierte 1,90 m a cm.
Ya sabemos que 1 metro = 100 centímetros, por lo tanto, esta es nuestra primera relación para la regla de tres. Luego resolvemos:
1,90 m equivalen a 190 cm.
– Ejemplo 2:
Convierte 5.600 ml a L.
5.600 mL equivalen a 5,6 L.
– Ejemplo 3:
Convierte 8,96 km a m.
9,96 km equivalen a 8.960 m.
¡A practicar!
1. Resuelve estos problemas de proporcionalidad por medio de reglas de tres.
a) Un automóvil recorre 200 km en 4 horas, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 500 km si la velocidad es constante?
Solución
Tardará 10 horas.
b) José compró 25 servilletas por $ 5, ¿cuántas servilletas podrá comprar con $ 30?
Solución
José podrá comprar 150 servilletas.
c) Si 60 segundos son iguales a 1 minuto, ¿cuántos minutos hay en 2.160 segundos?
Solución
Hay 36 minutos.
d) 8 obreros realizaron una obra de 200 m, ¿cuántos metros de obras pueden hacer 10 obreros?
Solución
Pueden hacer 250 metros.
2. Realiza las siguientes conversiones de unidades de medida.
a) 0,69 g a mg.
Solución
690 mg.
b) 5.896 mg a g.
Solución
5,896 g.
c) 5 kg a g.
Solución
5.000 g.
d) 0,94 L a mL.
Solución
940 mL.
e) 3.216 mL a L.
Solución
3,216 L.
f) 1,5 g a mg.
Solución
15.000 mg.
g) 7.415 g a kg.
Solución
7,415 kg.
h) 0,05 kg a g.
Solución
5.000 g.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Regla de 3 simple y compuesta”
Este artículo trata sobre una herramienta que se utiliza para resolver problemas de proporcionalidad: la regla de 3 simple y compuesta.
El tiempo es una magnitud que nos ayuda a medir la duración de un evento. Gracias al tiempo podemos ordenar sucesos y establecer un pasado, un presente y un futuro. Todas sus unidades de medidas pueden convertirse entre ellas. Aprender sus cálculos básicos permite saber, por ejemplo, en qué momento tenemos que hacer una tarea.
El tiempo es una de las magnitudes más utilizamos cotidianamente, por eso es normal que veas un reloj en todas las casa, escuelas y comercios. Las unidades menores a un día son las horas, minutos y segundo, y para medirlas usamos el reloj o un cronómetro; en cambio, las unidades mayores a un día, como los meses y los años, son medidas con un calendario.
UNIDADES DE Tiempo: equivalencias y conversiones
Todo lo que realizamos consume tiempo: sabemos que el recreo dura 10 minutos, que un partido de fútbol dura 90 minutos o que el día tiene 24 horas. Es una variable tan importante, que en todo el mundo se utilizan las mismas unidades para medir el tiempo, a diferencia de otras magnitudes, como la distancia o el volumen. A algunas de sus unidades más importantes puedes verlas en esta tabla, junto a sus equivalencias:
Unidades de tiempo y sus equivalencia
Menores a un día
1 día = 24 horas
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
Mayores a un día
1 semana = 7 días
1 mes = 30 o 31 días
1 año = 365 días = 12 meses
Conversión de unidades de tiempo
Podemos hacer conversiones entre dos o más unidades de tiempo por medio de una regla de tres: método en el que establecemos relaciones, multiplicamos en forma diagonal y luego dividimos por la unidad restante.
– Ejemplo 1:
¿Cuánto días hay en 96 horas?
En 96 horas hay 4 días.
– Ejemplo 2:
¿Cuántos meses hay en 20 años?
En 20 años hay 240 meses.
– Ejemplo 3:
¿Cuántas horas tiene una semana?
Una semana (7 días) tiene 168 horas.
Otras unidades de tiempo
Para las medidas de tiempo más grandes, las equivalencias más prácticas son:
1 lustro = 5 años
1 década = 10 años
1 siglo = 100 años
1 milenio = 1.000 años
¿Sabías qué?
Hay una unidad de tiempo mucho menor que el segundo: el microsegundo. Su símbolo es µs y es igual a una millonésima parte de un segundo, es decir, 10−6 s.
En un calendario o agenda representamos todos los días del mes. Son útiles para planificar las actividades a realizar cada día; incluso, algunas agendas dividen cada día en horas, de manera que podamos organizar aún mejor nuestro tiempo. También son útiles para conocer las fechas de cada mes y los días feriados que hay en cada uno de ellos.
el reloj
El reloj es una instrumento para medir el tiempo, gracias a él sabemos las horas, los minutos y los segundos de un día. Pueden ser digitales o analógicos.
Este es un reloj analógico e indica que son “las 6 y 15 minutos”.
Este es un reloj digital e indica que son “las 10 y 20 minutos de la mañana”.
Abreviaturas am y pm
La abreviatura am significa que la hora leída corresponde a antes del mediodía.
La abreviatura pm significa que la hora leída corresponde a después del mediodía.
Sistema horario de 24 horas
Los relojes analógcos tienen un sistema de 12 horas, por lo que necesitan hacer dos ciclos completos para cubrir un día. En cambio, los relojes digitales pueden tener, además de un sistema de 12 horas, un sistema de 24 horas que se caracteriza por dividir al día en las 24 horas totales que lo conforman, por lo que no utiliza las abreviaturas am y pm.
La siguiente tabla muestra la relación entre ambos formatos:
Formato 24 horas
Formato 12 horas
00:00 h
12:00 am
01:00 h
01:00 am
02:00 h
02:00 am
03:00 h
03:00 am
04:00 h
04:00 am
05:00 h
05:00 am
06:00 h
06:00 am
07:00 h
07:00 am
08:00 h
08:00 am
09:00 h
09:00 am
10:00 h
10:00 am
11:00 h
11:00 am
12:00 h
12:00 pm
13:00 h
01:00 pm
14:00 h
02:00 pm
15:00 h
03:00 pm
16:00 h
04:00 pm
17:00 h
05:00 pm
18:00 h
06:00 pm
19:00 h
07:00 pm
20:00 h
08:00 pm
21:00 h
09:00 pm
22:00 h
10:00 pm
23:00 h
11:00 pm
operaciones con unidades de tiempo
Suma
Los pasos a seguir para sumar horas y minutos son los siguientes:
Sumamos los minutos y luego las horas.
Si los minutos son 60, colocamos 00 en la columna de los minutos y sumamos 1 hora en la columnas de las horas.
Si los minutos son más de 60, restamos 60 a ese resultado y sumamos 1 hora en la columnas de las horas.
Escribimos la hora final.
– Ejemplo 1:
¿Cuánto es 2:36 + 5:15?
Así que:
2 h y 36 min + 5 h y 15 min = 7 h y 51 min
También podemos representarlo de esta manera:
02:36 + 05:15 = 07:51
– Ejemplo 2:
Marta salió de su casa a las 3: 45 pm y luego de 2 horas y 15 minutos llegó a la casa de su abuela, ¿a qué hora llegó?
Datos
Hora de salida: 3 h y 45 min
Duración del recorrido: 2 h y 15 min
Analiza
Tenemos que sumar la hora de salida con el tiempo que duró en el recorrido para saber la hora de llegada. Para esto sumamos primero los minutos y luego las horas.
Calcula
Primero sumamos los minutos: 45 min + 15 min = 60 min. Como 60 min son iguales a 1 h, escribimos 00 y sumamos 1 hora a la columna de las horas.
Luego sumamos las horas: 1 h + 3 h + 2 h = 6 h.
Responde
Marta llegó a las 6 pm en punto.
– Ejemplo 3:
Carla entró a un examen a las 8:50 am y tardó 2 horas y 39 minutos en hacerlo, ¿a qué hora salió del examen?
Datos
Hora de entrada: 8 h y 50 min
Duración en el examen: 2 h y 39 min
Analiza
Si sumamos la hora de entrada con el tiempo que duró en el examen tendremos la hora de salida del examen. Primero sumamos los minutos y luego las horas.
Calcula
Sumamos los minutos: 50 + 39 = 89. Pero ya sabemos que 60 minutos forman una hora, así que tenemos que “sacar” 60 min de 89 min, es decir, 89 − 60 = 29.
Escribimos 29 min en la columna de los minutos y sumamos 1 h en la columna de las horas.
Luego sumamos las horas: 1 h + 8 h + 2 h = 11 h.
Responde
Carla salió a las 11:29 am.
Una de las primeras formas de medir el tiempo fue por medio de un reloj solar. Este funciona gracias a la sombra que genera el Sol durante el día sobre un estilo ubicado encima de una superficie. El movimiento diurno del Sol hace que la sombra cambie de dirección y de este modo se podía saber con bastante precisión la hora del día.
Resta
Los pasos a seguir para restar horas y minutos son los siguientes:
Restamos los minutos.
Si el minuendo es menor que el sustraendo, sumamos 60 minutos (que es igual a 1 hora) a ese minuendo. Luego restamos una hora de la columna de las horas.
Restamos las horas.
Escribimos el resultado.
– Ejemplo 1:
¿Cuánto es 4:11 – 2:47?
Lo primero que debemos hacer es colocar una hora sobre otra.
Como 11 es menor que 47 y no lo puede restar, tomamos “prestado” 60 minutos (1 hora) de la columna de las horas, es decir, sumamos a 11 min + 60 min = 71 min. Luego restamos esa hora de la columna de las horas: 4 h − 1 h = 3 h.
Ahora sí podemos hacer la resta de minutos: 71 min − 47 min = 24 min.
Después restamos las horas: 3 h − 2 h = 1 h.
Entonces:
4 h y 11 min − 2 h y 47 min = 1 h y 24 min
También lo podemos escribir así:
4:11 − 2:47 = 1:24
– Ejemplo 2:
Después de 45 min, un tren llegó a las 16 h y 15 min, ¿a qué hora salió el tren?
Datos
Duración de recorrido: 45 min
Hora de llegada: 16 h y 15 min
Analiza
Hay que restar el tiempo recorrido a la hora de llegada para saber la hora exacta de salida.
Calcula
Como 15 es menor que 45, tomamos prestado 60 minutos (1 hora) de la columna de las horas. Por lo tanto: 15 min + 60 min = 75 min. Al prestar 1 hora, tenemos que restarla de la columna de las horas, así que: 16 h − 1 h = 15 h. Luego hacemos la resta de minutos y horas.
Responde
El tren salió a las 15:30.
– Ejemplo 3:
Francisco tomó el bus para visitar a sus primos en otra ciudad. El bus salió a las 8:30 am y llegó a las 10:45 am ¿cuánto duró el viaje?
Datos
Hora de salida: 8 h y 30 min
Hora de llegada: 10 h y 45 min
Analiza
Si restamos la hora de salida a la hora de llegada tendremos la diferencia de tiempo entre ambas. Restamos primero los minutos y luego las horas.
Calcula
Responde
El viaje duró 2 h y 15 min.
¡A practicar!
1. Resuelve las operaciones de tiempo:
8:45 + 2:45
Solución
8:45 + 2:45 = 11:30
4:25 − 3:42
Solución
4:25 − 3:42 = 00:43
10:20 + 6:15
Solución
10:20 + 6:15 = 16:35
8:23 − 5:15
Solución
8:23 − 5:15 = 3:08
1:50 + 9:38
Solución
1:50 + 9:38 = 11:28
12:12 − 6:30
Solución
12:12 − 6:30 = 5:42
2. Responde:
¿Cuántas horas hay en 5 días?
Solución
120 horas.
¿Cuántos días hay en 1 década?
Solución
3.650 días.
¿Cuántos segundos hay en 2 horas?
Solución
7.200 segundos.
¿Cuántos meses hay en 2 lustros?
Solución
240 meses.
¿Cuántas décadas hay en 3 siglos?
Solución
30 décadas.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Operaciones en el sistema sexagesimal”
Este artículo explica la forma de realizar operaciones con unidades de tiempo en el sistema sexagesimal.
Las fracciones mixtas se denominan así porque están formadas por un número entero y por una fracción. Hay diversas situaciones donde se usan, unas de ellas son las recetas de cocina, donde se suelen emplear fracciones mixtas para representar cantidades: por ejemplo, “2 ½ de tazas de azúcar” hacen referencia a dos tazas y media de ese ingrediente.
¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN MIXTA?
Una fracción mixta es una forma de representar a una cantidad, y esta compuesta por una parte entera y una parte fraccionaria. La estructura general de una fracción mixta es la siguiente:
Donde:
A = es la parte entera; es decir, un número entero.
b = es el numerador de la parte fraccionaria.
c = es el denominador de la parte fraccionaria.
Una característica de estas expresiones es que la parte fraccionaria corresponde a una fracción propia, es decir, una fracción en la que su numerador es menor que el denominador.
Lectura de fracciones mixtas
Para leer fracciones de este tipo se lee primero su parte entera y luego su parte fraccionaria.
Veamos algunos ejemplos:
a)
La parte entera de este número es 2 y su parte fraccionaria es 1/3. Por lo tanto, esta fracción se lee como: dos enteros y un tercio.
b)
En este caso la parte entera del número es 4 y su parte fraccionaria es 5/7. Se lee como: cuatro enteros y siete quintos.
¿Sabías qué?
Las fracciones mixtas también son denominadas números mixtos.
Una fracción mixta es una forma de representar a una cantidad, y está compuesta por una parte entera y una parte fraccionaria que esta formada por una fracción propia. Es otra forma representar a las fracciones. La hora siempre puede ser representada por medio de una fracción mixta. Por ejemplo, en esta imagen “una hora y media” se escribiría como 1 1/2 hora.
GRÁFICA DE FRACCIONES MIXTAS
Para graficar fracciones mixtas se siguen los siguientes pasos:
Se representa al entero o la unidad dividida en tantas partes iguales como indique el denominador de la parte fraccionaria.
Se repite este gráfico tantas veces como indique la parte entera. En este caso representaríamos solo la parte entera de la fracción.
Se representa la parte fraccionaria con otro gráfico similar pero en este caso se rellenan solo las partes que indique el numerador de la fracción.
Por ejemplo, si queremos graficar la fracción mixta:
Lo primero es representar a la unidad dividida en tantas partes iguales como indique el denominador de la parte fraccionaria. En este caso como el denominador es 3 se debe dividir al entero o la unidad en 3 partes iguales:
Como la parte entera de esta fracción es 2, quiere decir que esta formada por dos enteros, entonces se debe graficar el entero nuevamente:
Finalmente, se repite el gráfico pero se rellenan únicamente las partes que indique el numerador, como el numerador es 1, señalamos una sola parte que corresponde a un tercio:
La fracción se lee como dos enteros y un tercio.
Historia de las fracciones
Las fracciones surgieron a partir de la necesidad de representar divisiones inexactas y unidades de medida. Por esta razón, no son un invento nuevo. De hecho, antiguas civilizaciones como la egipcia, la babilonia y la griega ya las conocían. Sin embargo, la manera de expresar fracciones con la raya horizontal fue introducida por los árabes y luego fue llevada a Europa por Lenorado Fibonacci en el siglo XIII. Posteriormente, su uso se expandió por el resto del mundo.
Para graficar fracciones mixtas se sigue un procedimiento similar al que utilizamos para graficar fracciones convencionales. En primer lugar, dividimos al entero en tantas partes como indique el denominador de la parte fraccionaria. Luego, rellenamos tantos enteros (completos) como indique la parte entera de la fracción mixta. Por último, se emplea un gráfico similar para la parte fraccionaria y se rellenan tantas parte como indique el numerador de la fracción.
TRANSFORMAR FRACCIONES MIXTAS A FRACCIONES CONVENCIONALES
Para transformar una fracción mixta a una fracción convencional, se debe sumar la parte entera con la parte fraccionaria. El resultado, será una fracción convencional que representa la misma cantidad que la fracción mixta original.
Por ejemplo:
– Convertir la siguiente fracción mixta a fracción convencional.
En este caso se debe sumar 2 + 1/3 pero como la parte entera que es 2 no es una fracción, se debe colocar un número 1 como denominador para poder realizar la suma de fracciones. Se debe seguir el procedimiento de suma de fracciones heterogéneas (con diferente denominador):
De esta manera el resultado es 7/3, es una fracción impropia porque su numerador es mayor que el denominador y es igual a 2 1/3.
Para graficar fracciones impropias se deben convertir primero a fracciones mixtas.
Para transformar una fracción mixta a una fracción convencional, se debe realizar una suma de la parte entera y la parte fraccionaria. El resultado será una fracción convencional que representa la misma cantidad que la fracción mixta original. Cuando convertimos una fracción mixta a fracción convencional, siempre obtenemos una fracción impropia, es decir, una fracción en la que el numerador es mayor al denominador, y por lo tanto, una fracción mayor a uno.
¡A practicar!
1. Representa gráficamente los siguientes números mixtos.
a.
b.
c.
RESPUESTAS
2. Transforma las siguientes fracciones mixtas en fracciones convencionales.
a.
b.
c.
d.
e.
RESPUESTAS
a.
b.
c.
d.
e.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Clasificación de fracciones”
En este artículo se explican los diferentes tipos de fracciones, como las fracciones propias, las impropias, las homogéneas, las heterogéneas, las reducibles y las irreducibles.
La multiplicación y la división son operaciones básicas relacionadas directamente con dos conceptos: múltiplos y divisores. Ambos términos señalan la cantidad de veces que un número está contenido dentro de otro y la cantidad de veces que un número puede dividir a otro. Gracias a ellos podemos calcular múltiplos y divisores comunes en dos o más números y así poder simplificar operaciones más complejas.
múltiplos y divisores
El múltiplo de un número natural se obtiene al multiplicar ese número por otro número natural, por ejemplo:
4 × 1 = 4
4 × 2 = 8
4 × 3 = 12
4 × 4 = 16
4 × 5 = 20
4 × 6 = 24
4 × 7 = 28
4 × 8 = 32
4 × 9 = 36
Los números marcados en rojo son múltiplos de 4. Estos números resultan de la multiplicación del número 4 por números naturales. Como los números naturales son infinitos, los múltiplos de un número también lo son, así que los múltiplos de 4 y de cualquier número continúan hasta el infinito.
Por otro lado, un divisor es todo número que al dividir a otro resulta en una división exacta, por ejemplo:
12 ÷ 1 = 12
12 ÷ 2 = 6
12 ÷ 3 = 4
12 ÷ 4 = 3
12 ÷ 5 = 2 y resto = 2
12 ÷ 6 = 2
12 ÷ 7 = 1 y resto = 5
12 ÷ 8 = 1 y resto = 4
12 ÷ 9 = 1 y resto = 3
Los números marcados en rojo son divisores de 12 porque su división tiene un cociente entero con resto igual a cero, es decir, son divisiones exactas.
¡Es tu turno!
Escribe los múltiplos y divisores de 25.
Solución
Múltiplos:25, 50, 75, 100,…
25 × 1 = 25
25 × 2 = 50
25 × 3 = 75
25 × 4 = 100
Divisores: 1, 5, 25
25 ÷ 1 = 25
25 ÷ 5= 5
25 ÷ 25 = 1
Los múltiplos y los divisores no son conceptos aislados, de hecho, están muy relacionados entre sí. Si un número a es múltiplo de otro número b, este último es divisor del primero. Por ejemplo, el número 6 es múltiplo de 2 porque 2 × 3 = 6, pero al mismo tiempo, 2 es divisor de 6, porque 6 ÷ 2 = 3. ¿Puedes buscar esta relación en otros números? ¡Inténtalo!
Mínimo común múltiplo
Entre dos o más números, el mínimo común múltiplo o mcm es el menor múltiplo que tienen dichos números en común. Por ejemplo, observa los múltiplos de 4 y 5:
Tanto el número 4 como el número 5 tienen al 20 y el 40 como múltiplos. Como 20 es el menor de ellos, decimos que el mínimo común múltiplo entre 4 y 5 es 20 y lo representamos de la siguiente forma:
Al mínimo común múltiplo también se lo conoce como múltiplo común menor.
El mcm se utiliza en operaciones con fracciones, especialmente en la simplificación de resultados. Por ejemplo, al sumar y restar fracciones es más sencillo calcular el mcm de los denominadores, el cual será el denominador final. Luego calcula las fracciones equivalentes de cada elemento del problema para hacer un cálculo con fracciones homogéneas.
Mcm por descomposición
Hay una forma en la que no es necesario calcular varios múltiplos, consiste en descomponer cada número en sus factores primos, para luego multiplicar a los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplo:
– Calcula el mcm entre 15 y 36.
1. Descomponemos cada números en sus factores primos:
2. Identificamos el factor común en los dos números y seleccionamos el de mayor exponente. En este caso el factor común de mayor exponente es el 32.
3. Luego multiplicamos por el factor no común. En este caso los factores no comunes son el 22 y el 5. Así que el mínimo común múltiplo entre 15 y 36 se escribe así:
mcm (15, 36) = 32 × 22 × 5 = 180
Los mínimos divisores y los números primos
Los mínimos divisores que calculamos reciben el nombre de “números primos”. Estos números se caracterizan por ser divisibles entre sí mismos y entre 1. Por ejemplo, el 5 solo se divide entre 5 y entre 1. Lo mismo ocurre con el 2, con el 3, con el 7… De hecho los números primos son infinitos y hay ocasiones en las que los matemáticos anuncian el descubrimiento de nuevos números primos.
Máximo común divisor
Entre dos o más números, el máximo común divisor o mcd es el divisor común mayor entre todos los divisores. Por ejemplo, observa los divisores de 32 y 40:
Divisores de 32 → 1, 2, 4, 8, 16, 32
Divisores de 40 → 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Los números 32 y 40 tienen varios divisores en común: 1, 2, 4 y 8. Como el 8 es el mayor de todos, decimos que el máximo común divisor entre 32 y 40 es 8. Lo escribimos de la siguiente manera:
mcd (32, 40) = 8
– Otro ejemplo:
¿Cuál es el mcd entre 35 y 49?
Divisores de 35 → 1, 5, 7, 35
Divisores de 49 → 1, 7, 49
Así que:
mcd (35, 49) = 7
¿Sabías qué?
El máximo común divisor también es conocido como “divisor común mayor”.
Mcd por descomposición
Otra forma para calcular el mcd es por medio de la factorización o descomposición en factores primos. Luego de esto, multiplicamos solo los factores comunes con su menor exponente. Por ejemplo:
– Calcular el mcd entre 30 y 20.
1. Factorizamos cada número.
2. Multiplicamos los factores comunes con su menor exponente. Los factores no comunes no se consideran para este cálculo. Entonces, el mcd entre 30 y 20 se escribe así:
mcd (30, 20) = 2 × 5 = 10
El mcd en la historia
El estudio del mcd se remonta a la antigua Grecia con Euclides, quien fue un líder de un grupo de matemáticos que vivió en los siglos IV y III a. C. En su obra Elementos, él describió un método para calcular el máximo común divisor de un número por medio del algoritmo de Euclides.
¡A practicar!
1. ¿Cuáles son los divisores de los siguientes números?
56
Solución
1, 2, 4, 8, 7, 14, 28 y 56.
28
Solución
1, 2, 4, 7, 14 y 28.
74
Solución
1, 2, 37 y 74.
2. ¿Cuáles son los primeros seis múltiplos de estos números?
34
Solución
34, 68, 102, 136 y 170.
23
Solución
23, 46, 69, 92, 115 y 138.
50
Solución
50, 100, 150, 200, 250 y 300.
3. ¿Cuál es el mcm de los siguientes números?
60 y 38.
Solución
mcm (60, 38) = 420
10 y 25.
Solución
mcm (10, 25) = 50
8 y 12.
Solución
mcm (8, 12) = 24
4. ¿Cuál es el mcd de los siguientes números?
50 y 80.
Solución
mcd (50, 80) = 10
16 y 72.
Solución
mcd (16, 72) = 8
60 y 75
Solución
mcd (60, 75) = 15
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Mínimo común múltiplo y máximo común divisor”
Con este recurso podrás poner en práctica los aprendido en este artículo, ya que cuenta con problemas que puedes resolver por medio de mcm y mcd.
Las operaciones combinadas son expresiones formadas por números que se agrupan de diferentes formas, con cálculos diversos. Estas operaciones pueden emplear símbolos como los paréntesis, que se encargan de unir un grupos de operaciones para ser resueltas primero. Los pasos son muy sencillos, ¡aprende hoy cómo resolver operaciones combinadas!
Recomendaciones para resolver problemas combinados
Para resolver las operaciones combinadas debemos tener en cuenta que:
Para sumar o restar dos números, ambos deben estar “sueltos”, es decir, no se pueden sumar o restar dos números si uno de ellos está unido a otra expresión mediante un símbolo u otro signo como el de la multiplicación.
Los signos de multiplicar generan una unión más fuerte que los de sumar y restar. Cuando dos o más números están unidos por un signo de multiplicación generan una unión inseparable, mientras que los que están unidos por signos de suma y resta se encuentran más “sueltos” en la operación.
Las operaciones combinadas deben resolverse paso a paso. Todo lo que se resuelve en un paso debe copiarse, sin realizar cambios al inicio del siguiente paso.
Antes de comenzar a resolver las operaciones combinadas se deben conocer las propiedades de dichas operaciones para así plantear una estrategia a seguir sin cometer errores.
Siempre se resuelve primero lo que está en el interior del paréntesis, para seguir luego con las multiplicaciones y finalmente con las sumas y restas.
¿Qué más debes saber?
Para ser un experto en resolución de cálculos combinados debes:
Ser prolijo.
Identificar los distintos términos de un ejercicio y el orden de resolución.
Revisar todos los pasos una vez terminado el ejercicio.
Practicar, practicar y practicar.
operaciones combinadas sin PARÉNTESIS
En una operación combinada sin paréntesis tenemos que respetar la jerarquía de los cálculos: primero resolvemos las multiplicaciones y divisiones, luego resolvemos las sumas y restas.
– Ejemplo:
9 − 2 × 4 + 12
Primero resolvemos la multiplicación: 2 × 4 = 8.
9 − 8 + 12
Luego resolvemos las sumas y restas:
9 − 8 + 12 = 13
Finalmente escribimos el resultado:
9 − 2 × 4 + 12 = 13
– Otro ejemplo:
81 ÷ 9 + 7 × 8 − 13 × 5
Realizamos las divisiones y multiplicaciones:
9 + 56 − 65
Resolvemos las sumas y restas:
9 + 56 − 65 = 0
Escribimos la respuestas:
81 ÷ 9 + 7 × 8 − 13 × 5 = 0
¡Es tu turno!
15 + 8 − 2 − 6
Solución
15 + 8 − 2 − 6 = 15
144 ÷ 12 − 4 × 3 − 24 ÷ 8
Solución
144 ÷ 12 − 4 × 3 − 24 ÷ 8 = −3
Podemos ver paréntesis en cualquier tipo de operación, esto nos indica que debemos realizar primero los cálculos que están dentro de ellos. Pero los paréntesis no son las únicas formas de expresar jerarquías, también están los corchetes [] y las llaves {} que simbolizan prioridad de resolución: primero se resuelven los corchetes y luego las llaves.
operaciones combinadas con paréntesis
Los paréntesis indican prioridad al momento de resolver los problemas. Esto significa que primero debemos realizar el cálculo dentro del paréntesis y luego resolver el resto de la cuenta.
– Ejemplo:
(8 − 3) × 2 + 4
Primero resolvemos la resta dentro de los paréntesis: 8 − 3 = 5.
5 × 2 + 4
Luego resolvemos la multiplicación: 5 × 2 = 10.
10 + 4
Finalmente resolvemos la suma y escribimos el resultado:
10 + 4 = 14
Por lo tanto,
(8 − 3) × 2 + 4 = 14
– Otro ejemplo:
28 − (7 + 9) + 3
Resolvemos la operación dentro de los paréntesis: 7 + 9 = 16
28 − 16 + 3
Resolvemos las sumas y restas:
28 − 16 + 3 = 15
Luego escribimos el resultado:
28 − (7 + 9) + 3 = 15
¡Es tu turno!
25 − (3 × 3 + 11) − (2 + 3)
Solución
25 − (3 × 3 +11) − (2 + 3) = 0
36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5
Solución
36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5 = 29
¿Sabías qué?
Si se suman dos números con diferente signo, la operación a realizar es una resta y se mantiene el signo del número mayor, por ejemplo, −15 + 8 = −7.
Problemas con ejercicios combinados
1. Marta fue a la tienda y compró un par de zapatos por $ 125, 2 pantalones a $ 40 cada uno y 4 camisetas a $ 25 cada una. ¿Cuánto gastó Marta?
Datos
Zapatos comprados: un par a $ 125
Pantalones comprados: 2 a $ 40 cada uno
Camisetas compradas: 4 a $ 25 cada una
Pregunta
¿Cuánto gastó Marta?
Analiza
Si multiplicamos la cantidad de prendas por el costo de cada una y luego sumamos cada resultado tendremos el total de dinero gastado.
2. José ha comprado 18 litros de jugo de naranja. Cada litro cuesta $ 5. Si después de pagar le devuelven $ 10, ¿cuánto dinero entregó al pagar?
Datos
Jugo comprado: 18 litros
Precio del litro de jugo: $ 5
Dinero devuelto: $ 10
Pregunta
¿Cuánto dinero entregó al pagar?
Analiza
El producto de la cantidad de jugo comprado y el precio de cada litro de jugo será igual a la cantidad de dinero que debía pagar. Si a eso le sumamos el dinero devuelto sabremos cuánto pagó.
Calcula
(18 × 5) + 10 = 90 + 10 = 100
Respuesta
José pagó $ 100. Gastó $ 90 en jugo de naranja y le devolvieron $ 10.
3. Pedro compró un lote de 180 donas que debe colocar en cajas de 12 donas. Si venderá cada caja a $ 3, ¿cuánto dinero obtendrá al vender todas las cajas?
Datos
Cantidad de donas: 180
Cantidad de donas por caja: 12
Precio de la caja: $ 3
Pregunta
¿Cuánto dinero obtendrá al vender todas las cajas?
Analiza
Para saber la cantidad de donas que irán en cada caja debemos dividir las 180 donas entre las 12 unidades por caja. Luego multiplicamos esa cantidad por los $ 3 que vale cada una.
Calcula
(180 ÷ 12) × 3 = 15 × 3 = 45
Respuesta
Obtendrá $ 45 al vender todas las cajas.
Es posible que te encuentres con operaciones combinadas que además de tener sumas, restas multiplicaciones y divisiones, también tengas raíces y potencias. En este caso, debemos resolver primero las raíces y potencias y luego proceder con el orden que ya conoces: primero las multiplicaciones y divisiones, después las sumas y restas.
¡A practicar!
Resuelve las siguientes operaciones combinadas:
6 × 8 − 8 + 12 − 3
Solución
6 × 8 − 8 + 12 − 3 = 49
24 × 4 + 18 ÷ 9 − 26
Solución
24 × 4 + 18 ÷ 9 − 26 = 72
32 − 20 ÷ 5 + 16 × 2
Solución
32 − 20 ÷ 5 + 16 × 2 = 60
85 − 49 + 17 × 3 − 54 ÷ 3
Solución
85 − 49 + 17 × 3 − 54 ÷ 3 = 69
25 + (13 − 8 × 6 + 12) − 16
Solución
25 + (13 − 8 × 6 + 12) − 16 = −14
73 + (48 − 7 × 6) − 21 ÷ 3
Solución
73 + (48 − 7 × 6) − 21 ÷ 3 = 72
3 − 4 × 5 + (35 ÷ 7 + 8)
Solución
3 − 4 × 5 + (35 ÷ 7 + 8) = −4
36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5
Solución
36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5 = 29
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Cálculos combinados”
Con este recurso podrás reforzar el contenido relacionado a las jerarquías en operaciones combinadas.
Los números decimales son aquellos que tienen una parte entera y una parte decimal, separadas por una coma; son comunes en los precios de los productos del supermercado o en nuestro peso y altura. Los problemas con este tipo de números se resuelven casi de la misma forma que los que tienen números naturales. A continuación, aprenderás las reglas para resolver dichos cálculos.
suma de números decimales
Cuando sumamos número decimales el procedimiento es similar al de los números naturales. Colocamos las unidades, decenas y centenas una sobre otra; de este modo, las comas, décimas, centésimas y milésimas también estarán en las mismas columnas.
– Ejemplo:
432,61 + 54,3
Donde:
C = centena
D = decena
U = unidad
d = décima
c = centésima
m = milésima
Si la suma de las cifras de una columna es mayor a 9, colocamos el dígito de la unidad debajo de dicha columna y el dígito de la decena en la columna de la izquierda.
– Ejemplo:
523,4 + 74,86
¡Es tu turno!
Resuelve estas sumas de números decimales.
0,816 + 26,5
10,5 + 10,5
129,836 + 345,26
64,68 + 22,129
Solución
¿Sabías qué?
Además de la coma, también se puede usar un punto para separar la parte entera de la parte decimal. Todo depende de la convención del país en el que estés.
¿Notaste que la adición de los números decimales es muy similar a la adición de los números naturales? Lo más importante en esta operación es que las cifras estén en las mismas columnas según su valor posicional: unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas. De este modo, la coma siempre estará en el lugar adecuado.
resta de números decimales
Para restar números decimales colocamos cada números en las mismas columnas según el orden de cada cifra: unidades con unidades, décimas con décimas, etc. De ser necesario añadimos ceros para que ambos números tengan la misma cantidad de dígitos. Luego restamos como si fueran números naturales y colocamos la coma en el resultado.
– Ejemplo:
360,84 − 246,013
1. Colocamos los números uno sobre otro y agregamos un cero al minuendo.
2. Como no podemos restarle 3 a 0, tomamos “prestada” una décima de la columna de la izquierda. Ahora el 0 se transforma en 10 y el 4 de las centésimas se convierte en 3. Luego hacemos la resta: 10 − 3 = 7.
3. Restamos las centésimas: 3 − 1 = 2.
4. Restamos las décimas: 8 − 0 = 8.
5. Restamos las unidades. Como no podemos restarle 6 a 0, tomamos una decena de la columna de la izquierda. Así que el 0 se convierte en 10 y el 6 se transforma en 5. Luego restamos: 10 − 6 = 4.
6. Restamos las decenas: 5 − 4 = 1.
7. Restamos las centenas y colocamos la coma en la misma columna en la que están las comas.
¡Es tu turno!
Resuelve las siguientes restas de números decimales.
95,371 − 24,98
137 − 45,290
348,6 − 26,696
67,4 − 0,16
Solución
Décimas en una regla
La regla graduada es un instrumento de medición con el que también podemos trazar líneas rectas. Por lo general viene con marcas con números que indican los centímetros y marcas más pequeñas entre estas que muestran los milímetros. Recuerda que 1 milímetro es igual a 0,1 centímetros.
Multiplicación con números decimales
Cuando multiplicamos un número decimal por un número natural colocamos los factores uno sobre otro alineados a la derecha, luego multiplicamos tal como si ambos fueran números naturales. Al final colocamos la coma decimal de acuerdo a la cantidad de decimales que tenga el factor decimal.
– Ejemplo:
1,27 × 36
1. Colocamos los factores uno sobre otro.
2. Multiplicamos como hacemos con los números naturales.
3. Colocamos la coma decimal en el resultado. Como el 1,27 tiene dos números decimales, movemos dos espacios en el resultado y colocamos la coma.
Por lo tanto,
1,27 × 36 = 45,72
¡Es tu turno!
Resuelve la siguientes multiplicaciones.
3,1 × 21
132 × 5,3
2,65 × 68
Solución
Los números decimales también se pueden representar como una fracción. Para esto colocamos un denominador con la unidad seguida de tantos ceros como sean necesarios para que el numerador sea un entero. Recuerda que se multiplican ambas partes de la fracción. Luego simplificamos. Por ejemplo, si amplificamos por 10 la expresión 0,5/1 nos queda 5/10 = 1/2.
¡A practicar!
Resuelve las siguientes operaciones.
421,78 + 100,1
Solución
421,78 + 100,1 = 521,88
500,999 − 500,159
Solución
500,999 − 500,159 = 0,84
131 × 12,4
Solución
131 × 12,4 = 1.624,4
0,92 × 53
Solución
0,92 × 53 = 48,76
0,578 + 0,9
Solución
0,578 + 0,9 = 1,478
36,9 − 0,806
Solución
36,9 − 0,806 = 36,094
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Números decimales”
Con este artículo podrás ampliar la información relacionada con los números decimales, su clasificación y las operaciones que los involucran.
Los números fueron creados para contar y para cuantificar cantidades y medidas. En este sentido, la medición se ha transformado en una de las cuestiones más importantes de las matemáticas en todas sus ramas. Longitud, masa, volumen y tiempo son solo algunas de las magnitudes que podemos medir y que tienen diferentes unidades que podemos usar y convertir.
medidas de longitud
La longitud es una magnitud que nos permite saber la distancia que hay entre dos puntos. Gracias a esta sabemos qué tan largo es una lápiz o qué distancia hay de la casa a la escuela. Si las distancias son cortas, usamos los submúltiplos del metro, pero si son largas usamos los múltiplos; por ejemplo, una carrera de larga distancia puede tener más de 42 kilómetros.
El metro (m) es la unidad principal para medir la longitud. Con el metro podemos medir objetos cotidianos como la altura de un edificio, el largo de una mesa o las dimensiones de un campo de fútbol. Sin embargo, esta unidad no siempre es la más apropiada; por ejemplo, si un carpintero necesita medir la longitud de un tornillo debe utilizar unidades más pequeñas que el metro, pero si una corredor de fórmula 1 quiere saber la distancia que recorrió tiene que usar unidades más grandes que el metro.
Las unidades más pequeñas al metro se llaman submúltiplos y las más grandes se llama múltiplos. Las equivalencias entre estas unidades y el metro son las siguientes:
1 kilómetro = 1.000 metros
1 hectómetro = 100 metros
1 decámetro = 10 metros
1 metro = 1 metros
1 decímetro = 0,1 metros
1 centímetro = 0,01 metros
1 milímetro = 0,001 metros
Si queremos pasar de una unidad mayor a una menor debemos multiplicar por 10 tantas veces como unidades de medida haya de diferencia. Por el contrario, si deseamos pasar de una unidad menor a una mayor debemos dividir por 10 tantas veces como unidades de medida haya de diferencia. Observa este esquema:
– Ejemplo 1:
Convierte 7,8 metros a centímetros.
Para llegar de metros a centímetros debemos multiplicar dos veces por 10. Recuerda que 10 × 10 = 100. Entonces, podemos multiplicar por 100.
7,8 × 100 = 780
Por lo tanto,
7,8 cm = 780 m
– Ejemplo 2:
Convierte 0,85 kilómetros a metros.
Debemos multiplicar tres veces por 10, es decir, 10 × 10 × 10 = 1.000.
0,85 × 1.000 = 850
Por lo tanto,
0,85 km = 850 m
– Ejemplo 3:
Convierte 690 milímetros a metros.
Tenemos que dividir el número tres veces por 10, lo que es igual a dividir entre 1.000.
690 ÷ 1.000 = 0,69
Así que:
690 mm = 0,69 m
Medidas de masa
La masa es una magnitud física que determina la cantidad de materia que tiene un cuerpo u objeto. La medimos con una balanza por medio de un proceso que se llama “pesaje”, así que cuando decimos que, por ejemplo, compramos medio kilogramo de papas, nos referimos a la cantidad de materia que tiene una determinada cantidad de papa.
El gramo es la unidad de medida de masa, la cual sirve para saber la cantidad de un determinado material. Con el gramo podemos saber la masa de una cuchara, pero si necesitamos saber la masa de una saco de papas tenemos que usar un múltiplo, es decir, una unidad mayor al gramo. Si lo que necesitamos es saber la masa de una hoja, podemos usar unidades más pequeñas que el gramo, es decir, un submúltiplo.
Los múltiplos y los submúltiplos del gramos junto con sus equivalencias son los siguientes:
1 kilogramo = 1.000 gramos
1 hectogramo = 100 gramos
1 decagramo = 10 gramos
1 gramo = 1 gramo
1 decigramo = 0,1 gramos
1 centigramo = 0,01 gramos
1 miligramo = 0,001 gramos
¿Sabías qué?
El prefijo “kilo” significa 1.000, por eso un kilogramo son 1.000 gramos.
Si queremos pasar de una unidad mayor a una menor debemos multiplicar por 10 según la cantidad de espacios entre las unidades que transformaremos. Si vamos a pasar de una unidad menor a una mayor el procedimiento es similar, con la diferencia de que no multiplicamos sino que dividimos. Observa este esquema:
– Ejemplo 1
Convierte 9,4 decagramos a centigramos.
Hay tres espacios entre dag y cg, así que multiplicamos por 1.000 porque 1.000 = 10 × 10 × 10.
9,4 × 1.000 = 9.400
9,4 dag = 9.400 cg
– Ejemplo 2
Convierte 125 gramos a hectogramos.
Hay dos espacios entre g y hag, así que dividimos dos veces entre 10, lo que es igual a dividir entre 100.
125 ÷ 100 = 1,25
125 g = 1,25 hg
– Ejemplo 3
Convierte 10.589 centigramos a kilogramos.
Hay cinco espacios entre cg y kg, por lo tanto dividimos entre 100.000.
10.589 ÷ 100.000 = 0,10589
10.589 cg = 0,10589 kg
La balanza
Para determinar la masa de un cuerpo se usa como medio de comparación la masa definida de otro cuerpo. A esta operación se la denomina pesaje y el instrumento utilizado para ello es uno de los más comunes en cualquier laboratorio: la balanza. Hay muchos tipos de balanzas pero las más usadas son las mecánicas y las electrónicas.
El concepto de volumen no debe confundirse con el de capacidad. El volumen corresponde al espacio ocupado por un cuerpo, su unidad de medida en el Sistema Internacional de Unidades es el m3; en cambio, la capacidad es la propiedad que tiene un objeto de contener cierta cantidad de materia, su unidad principal de medida es el litro (L).
Las unidades de volumen miden la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. El metro cúbico (m3) es la unidad de medida de volumen y equivale al espacio ocupado por un cubo que mide 1 m de largo, 1 m de ancho y 1 m de alto.
Las conversiones entre las distintas unidades de volumen se muestran en el siguiente esquema:
El procedimiento para hacer conversiones de unidades es el mismo que en los casos de masa y longitud.
– Ejemplo 1:
Convierte 5 centímetros cúbicos a milímetros cúbicos.
5 × 1.000 = 5.000
5 cm3 = 5.000 mm3
– Ejemplo 2:
Convierte 6,2 kilómetros cúbicos a decámetro cúbicos.
6,2 × 1.000.000 = 6.200.000
6,2 km3 = 6.200.000 dam3
– Ejemplo 3:
Convierte 79 centímetros cúbicos a metro cúbico.
79 ÷ 100.000 = 0,00079
79 cm3 = 0,00079 m3
¿Sabías qué?
1 litro es igual a 1 dm3 y 1 mililitro es igual a 1 cm3
medidas de tiempo
El tiempo es una magnitud que nos señala la duración de un suceso. Existen varias formas de medir el tiempo, ya sea con un cronómetro, un reloj o un calendario. A diferencia de otras magnitudes, el tiempo puede ser medido con unidades que van de 60 en 60, como los segundos, minutos y horas. También puede ser medido la cantidad de días o años.
Las unidades de tiempo pueden ser menores o mayores, según el período que se quiera medir. Por ejemplo, las unidades de tiempo respecto a un día son:
1 día = 24 horas
1 hora = 60 minutos
1 minutos = 60 segundos
El esquema para hacer conversiones es el siguiente:
Para convertir unidades de tiempo multiplicamos o dividimos por 60 tantas veces como espacios entre unidades hayan.
– Ejemplo 1:
Convierte 54.000 segundos a horas.
Como hay dos espacios entre los segundos y las horas, dividimos dos veces entre 60, lo que es igual a dividir entre 3.600.
54.000 ÷ 3.600 = 15
54.000 segundos = 15 horas
– Ejemplo 2:
Convierte 120 minutos a horas.
Como solo hay un espacio, dividimos entre 60.
120 ÷ 60 = 2
120 minutos = 2 horas
– Ejemplo 3:
Convierte 120 minutos a segundo.
Como solo hay un espacio, multiplicamos por 60.
120 × 60 = 7.200
120 minutos = 7.200 segundos
También hay unidades de tiempo mayores a un día como las siguientes:
1 año = 365 días
1 lustro = 5 años
1 década = 10 años
1 siglo= 100 años
1 milenio = 1.000 años
¡A practicar!
Convierte las siguientes unidades de medida:
0,6 cm a mm.
Solución
0,6 cm = 6 mm.
1,5 m a dm.
Solución
1,5 m = 15 dm.
1,7 m a cm.
Solución
1,7 m = 170 cm.
7,5 kg a g.
Solución
7,5 kg = 7.500 g.
6,9 hg a a dg.
Solución
6,9 hg a = 6.900 dg.
196 dg a a dag.
Solución
196 dg = 1,96 dag.
8 horas a minutos.
Solución
8 horas = 480 minutos.
720 minutos a horas.
Solución
720 minutos = 12 horas.
3 horas a segundos.
Solución
3 horas = 10.800 segundos.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Conversión de unidades de volumen”
En este artículo encontrarás distintos problemas para ejercitar la conversión de unidades de volumen.
La adición consiste en combinar, agrupar o sumar números; la sustracción, en cambio, consiste en quitar o restar números a un grupo. Siempre que queramos resolver cualquiera de estas operaciones, debemos considerar el valor posicional de cada una de las cifras de los números. Por otro lado, la adición cumple con ciertas propiedades como la asociativa y la conmutativa que no se pueden aplicar a la sustracción.
Un ejemplo de la adición por reagrupación es la suma de dinero. Si tienes $ 1.324 y luego te dan $ 3.984, tienes en total $ 1.324 + $ 3.984 = $ 5.318.
Multiplicación
La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar varias veces un mismo número. Los factores son los números que se multiplican o suman reiteradas veces y el producto es el resultado de la multiplicación. La multiplicación sin reagrupación es un método que consiste en multiplicar las unidades, las decenas y las centenas de 2 factores entre sí cuando ninguno de los productos formados supera la decena, mientras que la multiplicación con reagrupación es un procedimiento que podemos utilizar cuando algún producto entre dos cifras es igual o mayor a 10.
La multiplicación por reagrupación es útil en muchas situaciones cotidianas, como saber la cantidad de butacas que hay en el cine. Si cuentas las que hay en una fila (6) y las multiplicas por la cantidad de filas (3) tienes que 6 x 3 = 18. Así que hay 18 butacas.
División
La división es la operación opuesta a la multiplicación. Sus elementos son el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. El dividendo es la cantidad que se quiere repartir; el divisor indica entre cuántas partes se reparte; el cociente es la cantidad que le corresponde a cada parte y también es el resultado de la división; y el resto representa lo que no se puede repartir. Cuando el resto es igual a cero (0) decimos que la división es exacta.
El cociente de una división también puede ser un número decimal, por ejemplo, si deseamos repartir 3 naranjas entre 6 personas, cada una tendrá 0,5 = 1/2, es decir, cada una tendrá media naranja.
OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES
Para la adición y sustracción de números decimales procedemos igual que en el caso de los números naturales, pues debemos colocar cada elemento uno sobre otro según su valor posicional, al final nos aseguramos de que la coma esté en la misma columna. En el caso de las multiplicaciones, realizamos la operación tal y como si fuera una de números naturales, luego le colocamos al producto final la coma de acuerdo a los decimales de los factores.
Si sube la temperatura corporal un grado más allá de los 36,6° de la imagen, la persona tiene fiebre. ¿Cuál es la temperatura a la que puede tener fiebre? El cálculo es 36,6° + 1° = 37,6°. Este es un ejemplo de adición de decimales.
OPERACIONES COMBINADAS
Las operaciones combinadas son aquellas que agrupan diversos cálculos en una sola expresión. Cuando no hay paréntesis debemos seguir un orden de resolución: primero las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas. Si la operación combinada tiene paréntesis tenemos que realizar primero los cálculos que están dentro de ellos, es decir, estos tienen prioridad sobre otros.
Los paréntesis son de gran importancia si deseamos realizar operaciones en una calculadora, pues indican que son prioritarias sobre las demás.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) son operaciones que nos ayudan a simplificar cálculos más complejos. El mcm es el mínimo múltiplo que tienen en común dos o más números y el mcd es el divisor mayor que tienen en común dos o más números. Ambos pueden ser calculados por comparación de múltiplos y divisores o por descomposición de su números en factores primos.
La descomposición en factores primos consiste en dividir cada número entre su divisor mínimo para representar un número como producto de sus números primos. Algunos números primos están en esta imagen.
CONVERSIONES DE MEDIDAS
Algunas magnitudes que podemos medir son la longitud, la masa, el volumen y el tiempo. Cada una de ellas tiene una unidad básica de medida pero no son las únicas. Para medir longitudes podemos usar unidades como el metro, el kilómetro o el centímetro; para medir masas usamos unidades como el gramo, el kilogramo o el miligramo; para medir el volumen usamos unidades como el centímetro cúbico o el metro cúbico; y para medir el tiempo usamos unidades como los segundos, los minutos, las horas, los días o los años.
Hay mariposas que solo viven 1 día. Si convertimos esta unidad, también podemos decir que hay mariposas que viven 24 horas.
En toda fracción podemos distinguir dos partes principales: el numerador y el denominador, ambos se encuentran separados por una línea horizontal. El denominador indica en cuántas partes se divide la unidad y el numerador señala cuántas de esas partes se han de tomar. Las fracciones se pueden clasificar en propias, impropias y aparentes. Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador y representan un número menor a uno. Las fracciones impropias son la que tienen el numerador mayor que el denominador y representan a un número mayor a uno. Las fracciones aparentes son aquellas cuyo numerador es múltiplo de su denominador.
Además de la raya horizontal también podemos representar a las fracciones con una raya diagonal “/” o con el símbolo de las divisiones “÷”.
FRACCIONES EQUIVALENTES
Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad. Las fracciones equivalentes se pueden obtener por medio de dos métodos: amplificación y simplificación. Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero. Para obtenerlas por simplificación, debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero y que sea un divisor común entre ambos. Es importante recordar que las fracciones equivalentes se pueden utilizar para sumar y restar fracciones heterogéneas (que tienen distinto denominador).
Media sandía se puede expresar como 1/2, 2/4, 4/8, 8/16, 16/32… Todas ellas son fracciones equivalentes que indican la mitad de un entero.
OPERACIONES CON FRACCIONES
La suma y resta de fracciones depende del tipo de estas. En las fracciones homogéneas (mismo denominador) se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo denominador. En las fracciones heterogéneas (diferente denominador) se debe multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se suma o se resta al producto del numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera, el número obtenido es el numerador de la fracción resultante; luego se multiplican ambos denominadores y el número obtenido corresponderá al denominador de la fracción resultante. Para la multiplicación se multiplican los numeradores y denominadores de forma lineal. Para la división, se debe multiplicar en forma de cruz: el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda es igual al numerador de la fracción resultante y el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera es igual al denominador de la fracción resultante.
Algunas fracciones se pueden simplificar, es decir, pueden expresarse en fracciones equivalentes más sencillas
FRACCIONES MIXTAS
Una fracción mixta o número mixto es una forma de representar a una cantidad compuesta por una parte entera y una parte fraccionaria. Para graficarla, dividimos al entero en tantas partes como indique el denominador de la parte fraccionaria. Luego, pintamos tantos enteros (completos) como indique el número entero de la fracción mixta. Por último, dibujamos otro entero y pintamos tantas partes de este como indique el numerador de la fracción mixta. Para transformar una fracción mixta a una fracción convencional, lo que se realiza es sumar la parte entera con la parte fraccionaria. Siempre se debe obtener una fracción impropia.
En este caso la parte entera de la fracción mixta es 2, y la parte fraccionaria es 1/3. Se lee “dos enteros y un tercio”.
PORCENTAJES
Un porcentaje, al igual que una fracción, es una forma de indicar una parte de un todo. Un porcentaje siempre representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100. El símbolo que utilizamos para indicar un porcentaje es %. Para calcular el porcentaje de una cantidad conocida se multiplican ambos valores y se divide entre 100. Para convertir cualquier fracción a porcentaje, debemos dividir el numerador con el denominador, y luego multiplicar dicho resultado por cien. Por otro lado, para convertir un porcentaje a fracción, simplemente colocamos el porcentaje en el numerador y 100 como denominador, posteriormente se realiza una simplificación.
Los porcentajes se utilizan para indicar descuentos y recargos. También se utilizan en la estadística y en la economía.
Este es un reloj analógico e indica que son “las 6 y 15 minutos”.
Este es un reloj digital e indica que son “las 10 y 20 minutos de la mañana”.
Donde:
