La encuesta es una técnica de investigación estadística que consiste en aplicar un cuestionario a un grupo de personas para obtener información sobre un tema específico. Las preguntas en un cuestionario pueden ser abiertas cuando el encuestado tiene la libertad de dar cualquier respuesta, o cerradas cuando solo se contestan a partir de varias opciones. A través de esta herramienta se puede conocer la opinión de las personas sobre algún tema y se pueden recabar datos específicos para una investigación. Los resultados de las encuestas a menudo se representan en tablas o en gráficas.
Las encuestas se pueden hacer de forma presencial, por vía telefónica, por correo o por Internet.
TABLAS Y GRÁFICOS
Los datos se pueden organizar de forma más clara y ordenada a través de las tablas de frecuencia, de los gráficos de barra y de los pictogramas. Una tabla de frecuencia permite la organización de los datos de acuerdo su frecuencia respectiva, es decir, el número de veces que se repiten. Estas tablas pueden ser simples o de doble entrada si representan uno o dos conjuntos de datos respectivamente. Por otra parte, un gráfico de barra emplea barras rectangulares para representar la frecuencia de un dato. Finalmente, un pictograma es un diagrama que al igual que las tablas y los gráficos de barra, representa las frecuencias de los datos pero a través de imágenes.
La longitud de los rectángulos en los gráficos de barra indica la frecuencia de la variable.
PROBABILIDAD
Hay eventos en los que no se puede saber con exactitud cuál será su resultado porque dependen del azar: lanzar una moneda, sacar una carta de un mazo, lanzar un dado, etc. Estos son ejemplos de eventos aleatorios que pueden ser más, menos o igual de probables que otros. De acuerdo a la posibilidad u ocurrencia de un fenómeno podemos clasificar los eventos en seguros, cuando siempre ocurren; posibles, cuando podrían ocurrir; e imposibles, cuando nunca ocurren. A menudo practicamos juegos como piedra, papel o tijera donde podemos observar eventos aleatorios.
En un juego aleatorio, el resultado de ganar o no depende de la destreza del jugador y del azar.
Lanzar un dado, sacar un número de una esfera de bingo o tomar una carta de un mazo sin ver son algunos eventos en los que no conocemos con certeza qué resultado se va a obtener. Sin embargo, gracias a la probabilidad, sí podemos conocer qué tan probable es que sucedan.
evento aleatorio
Un evento es el resultado o conjunto de resultados que pueden ocurrir en un experimento. Se dice que un evento es aleatorio cuando no es posible determinarlo con exactitud y por ello, está sujeto al azar.
En un experimento aleatorio no se conoce con seguridad cuál será el resultado. Por ejemplo, un evento aleatorio puede ser lanzar una moneda y observar si cae la cara o la cruz. Esto se debe a que en los eventos aleatorios interviene el azar. Aunque nunca conoceremos con certeza cuál será el resultado, sí conocemos los posibles resultados, en este caso sería cara o cruz.
En ocasiones realizamos acciones como lanzar un dado, en donde conocemos de antemano los posibles resultados que se pueden dar (1, 2, 3, 4, 5 o 6), sin embargo; no sabemos exactamente cuál de ellos va a ocurrir.
Los resultados de estas acciones son eventos aleatorios.
Por ejemplo, observa los colores de las esferas que contiene la bolsa:
Al sacar al azar una esfera de la bolsa, puede suceder que la esfera sea verde, roja, violeta o azul, pero no puede suceder que la esfera sea de color amarillo, porque no hay en la bolsa esferas de color amarillo.
Regla de Laplace
El análisis de las probabilidades fue definido por el matemático francés Pierre de Laplace, quien la definió como el cociente entre los casos favorables entre los casos posibles.
El estudio de la probabilidad es usado desde una fábrica hasta las empresas de juegos de lotería. En la ciencia, las probabilidades han tenido una importancia incalculable porque permiten realizar estimaciones de eventos en donde participa el azar.
Los eventos pueden ser seguros, posibles o imposibles. Un evento seguro siempre sucede, por ejemplo, lanzar una moneda y que se obtenga cara o sello. Un evento imposible nunca ocurre, como por ejemplo lanzar un dado y obtener el número siete. Un evento posible es el que podría suceder, como sacar una carta de póquer de un mazo y que sea una reina.
OCURRENCIA de un suceso
Los eventos aleatorios pueden ser eventos o sucesos seguros, posibles e imposibles de que ocurran.
En un evento seguro el resultado siempre se va a dar.
En un eventoposible el resultado podría darse.
En un eventoimposible el resultado no podría darse.
Por ejemplo, observa las frutas que hay en la cesta:
Imagina que tienes los ojos vendados y tomas unas frutas, se pueden dar los diferentes tipos de eventos a continuación:
Un evento seguro es agarrar una manzana.
Un evento posible es agarrar una manzana roja.
Un evento imposible es agarrar una fresa.
Probabilidades de los eventos
Dentro de los posibles eventos podemos distinguir:
Evento igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los demás. Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda, el evento “cara” tiene las mismas probabilidades que el evento “cruz”.
Evento muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse. Por ejemplo, en una caja con 10 tarjetas, 9 de color amarillo y 1 de color rojo, el evento “sacar una tarjeta amarilla” tiene muchas probabilidades de ocurrir.
Evento poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de darse. Por ejemplo, en una caja con 10 tarjetas, 9 de color azul y 1 de color verde, el suceso “sacar una tarjeta verde” tiene pocas probabilidades de ocurrir.
¿Sabías qué?
Si reúnes 23 personas al azar es muy probable que una ellas cumpla el mismo día que tú.
juegos aleatorios
Los juegos aleatorios populares en los casinos, como la ruleta y las cartas, son juegos en donde las posibilidades de ganar o perder no solo dependen de la habilidad que tenga el jugador, sino que además interviene el azar, esto se debe a que la probabilidad de ganar o perder es algo que no se puede predecir pero sí calcular de acuerdo a las probabilidades.
Juego de los dados
En este juego participan dos personas, las reglas son muy sencillas: cada jugador tira un dado y el jugador con la puntuación más alta gana.
La probabilidad de victoria es la misma para cada uno de los jugadores.
Para visualizarlo, imaginemos que el dado de un jugador es de color azul y el del oponente verde. Esto nos permite representar de un modo muy visual los 36 posibles desenlaces de una mano. Representamos en azul las victorias del dado azul y en verde las victorias del dado verde, y en blanco los empates. Observa:
Observamos que de los 36 posibles desenlaces 15 son victorias azules y 15 victorias verdes. Es decir, la probabilidad de que gane cada uno de los jugadores es la misma (15/36) y por lo tanto, ninguno tiene ventaja.
Pares o nones
Este es un juego que se utiliza para elegir entre dos personas a una de las dos, mediante un evento aleatorio: uno de los jugadores escoge “pares” y el otro “nones”, cada uno representa un número del 1 al 5 con una mano en la espalda, cuentan hasta tres y la sacan con cualquier número de dedos extendidos
Las tablas y los gráficos son herramientas usadas para representar datos. Se emplean en votaciones electorales, en empresas e incluso en etiquetas de productos. Estos recursos son muy útiles, porque su diseño permite entender un problema de manera más clara y hace que el análisis de los datos sea más rápido.
tablas de frecuencia
Las tablas de frecuencia o estadísticas nos permiten organizar datos con su frecuencia respectiva. La frecuencia es el número de veces que se repite un dato. Están formadas por filas que son hileras de datos horizontales y por columnas que son hileras de datos verticales. Para leer una tabla hay que leer primero la columna del dato de interés y luego desplazarse horizontalmente hasta la frecuencia que existe para ese dato.
Por ejemplo, imaginemos que la maestra realiza esta pregunta a sus estudiantes: ¿qué edad tienes? Luego representa los resultados en la siguiente tabla:Como podrás observar, en la tabla aparecen organizadas las edades y el número de niños que tienen esa edad. De la misma podemos concluir lo siguiente:
Hay 14 niños que tienen 8 años.
Hay 19 niños que tienen 9 años.
hay 1 niño que tiene 10 años.
Las tablas nos suministran información y permiten relacionar los datos que en ellos se encuentran (edad y número de niños).
Las tablas y los gráficos se utilizan en varias áreas de la ciencia como la biología, la química, la geografía, la economía, la medicina, etc. La mayoría de las veces, los datos que son mostrados en tablas o gráficos que se obtienen a partir de encuestas y resultados de experimentos. Se suelen usar para representar la información obtenida de manera más clara.
tablas de frecuencia de doble entrada
Una tabla de frecuencia de doble entrada es una herramienta que ayuda a organizar datos y comparar varios elementos referentes al mismo tema.
Al igual que en las tablas de frecuencia, los datos se ordenan en filas y columnas. Se llaman tablas de doble entrada porque incluyen dos variables diferentes. La primera se sitúa en la parte superior y se ordena de forma horizontal, mientras que la segunda se suele ubicar en la primera columna y se ordena de forma vertical.
¿Sabías qué?
Una variable es toda característica que puede medirse y que puede adoptar diferentes valores.
– Veamos un ejemplo:
Roberto y Camila registraron en una tabla el número de películas que vieron cada día en una semana y estos fueron los resultados que obtuvieron:
xxxxxxxxxx
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
Roberto
2
4
2
3
2
4
1
Camila
3
2
4
3
3
1
2
-¿Cuántas películas vio Roberto el lunes?
Para conocer cuántas películas vio Roberto el lunes, debemos ubicar la fila donde aparece el nombre de Roberto y luego ubicar la columna del día lunes. La intersección entre dicha fila y dicha columna será la respuesta:
xxxxxxxxxx
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
Roberto
2
4
2
3
2
4
1
Camila
3
2
4
3
3
1
2
Roberto vio 2 películas el día lunes.
-¿Cuántas películas vio Camila el día viernes?
Para responder esta pregunta nos ubicamos en la fila donde aparece el nombre de Camila y luego nos desplazamos hasta la columna del día viernes, la respuesta será la intersección entre dicha fila y dicha columna.
xxxxxxxxxx
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
Roberto
2
4
2
3
2
4
1
Camila
3
2
4
3
3
1
2
Camila vio 3 películas el día viernes.
gráficos de barra
Un gráfico de barra es una forma de representar un conjunto de datos a través de barras del mismo ancho, es uno de los gráficos más sencillos y uno de los más utilizados, seguramente lo has visto en el periódico o en la televisión cuando se habla de la variación de un fenómeno.
Los gráficos de barras están formados por columnas o barras que contienen el mismo ancho y su altura indica un valor que se encuentra asociado a una escala de frecuencia. Los elementos principales, además de la escala, son el nombre del gráfico, el nombre de las variables y las unidades de medida. Estos gráficos son muy usados en los análisis de resultados de investigaciones.
Este tipo de gráficos está formado por barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores que se indican en la escala. Sirven para comparar dos o más valores y están compuestos por dos ejes:
El eje horizontal: en este eje se coloca la variable, es decir; una característica o cualidad del elemento que se estudia y puede medirse. Por ejemplo, la edad de una persona, su peso, el lugar de nacimiento, su estatura, etc.
El eje vertical: en este eje se coloca la frecuencia del dato.
– Por ejemplo:
Se realizó una encuesta a 20 niños sobre su asignatura preferida, 7 respondieron Ciencias Naturales, 8 eligieron Lengua y 5 escogieron Matemáticas. De esta forma, sabemos que la frecuencia de la asignatura Ciencias Naturales es 7, la de la Lengua es 8 y la variable Matemáticas es 5. La representación gráfica es la siguiente:
Si invertimos los ejes y colocamos la variable en el eje vertical y la frecuencia en el eje horizontal, tendremos un diagrama de barras horizontal, es decir; las barras estarían en posición horizontal.
¿Sabías qué?
Los gráficos son herramientas necesarias para la comprensión de diferentes disciplinas como la demografía.
¿Cómo se elabora un gráfico de barra?
Para elaborar gráficos de barra podemos utilizar la información que nos suministra la tabla de frecuencia. Una vez analizada:
Une dos líneas, una vertical y otra horizontal, hazlas coincidir en un punto en forma de L que será el origen de ambas. Estas serán los ejes. La línea vertical representará la escala o el eje de la frecuencia. La línea horizontal se empleará para describir a las variables estudiadas.
Dibuja las barras en su variable correspondiente de forma tal que cada barra tenga la misma longitud de su frecuencia.
Escribe el nombre del gráfico, las variables y las unidades de medida.
Tipos de gráficos de barra
Existen dos tipos principales:
Gráfico de barra sencillo: representa los datos de una única serie o conjunto de datos. El ejemplo que vimos anteriormente es de este tipo.
Gráfico de barra agrupado: compara los datos de dos o más series o conjuntos de datos, con este gráfico se pueden representar las tablas de frecuencia de doble entrada. Veamos un ejemplo de este tipo:
Supongamos que la encuesta del ejemplo anterior sobre las asignaturas favoritas se realizó en dos clases diferentes de primaria (3º y 4º grado). Vamos a representar cada grado con un color diferente. Sobre una misma variable se representan las frecuencia que obtuvo en cada grado. Para facilitar la lectura se suelen usar colores diferentes para cada conjunto de datos. En este caso el diagrama sería así:
pictogramas con escala
Un pictograma es un tipo de gráfico donde la información se grafica a través de dibujos o figuras, al igual que el gráfico de barra su propósito es representar datos.
Este tipo de gráficos está formado por dibujos o figuras que son proporcionales a los valores que representan. Está compuesto por dos ejes:
El eje horizontal: en este eje se coloca la variable, es decir, una característica o cualidad de un individuo o elemento.
El eje vertical: en este eje se coloca la frecuencia del dato.
¿Cómo se elaboran los pictogramas con escala?
Para elaborar pictogramas podemos utilizar la información que nos suministra la tabla de frecuencia. Y debemos realizar los siguientes pasos:
Une dos líneas: dibuja los ejes horizontales y verticales en forma de L.
Registra en la línea vertical una escala numérica a partir de cero (0) que servirá para representar la frecuencia.
Debajo de la línea horizontal escribe los nombres de las variables.
Haz que coincidan los datos en estudio con su frecuencia, a través de dibujos. Se suelen usar dibujos asociados al problema de estudio.
Escribe el título del gráfico, escala y el nombre de las variables.
Veamos un ejemplo:
Se hizo una encuesta a 12 niños sobre su preferencia de animales domésticos, 6 niños eligieron a los perros, 2 eligieron a los conejos y 4 eligieron a los gatos. El pictograma que se obtuvo fue el siguiente:
Cada dibujo o figura representa un niño que eligió esa opción.
Los resultados de una encuesta se ordenan en una tabla de frecuencia, que según el caso, puede ser simple o de doble entradas. Los resultados se pueden graficar mediante gráficos de barra o pictogramas. El tipo de gráfico depende de la investigación. Por ejemplo, una empresa o laboratorio se suelen usar gráficos de barra porque las escalas son más precisas y son más formales. Los pictogramas se suelen usar en la prensa escrita porque permiten que el contenido sea captado de manera más simple y su diseño es más amigable.
¡A practicar!
1. Se encuestó a un grupo de 20 niños y 20 niñas para determinar qué tipo de publicaciones eran sus favoritas y se obtuvieron los siguientes resultados:
Los niños:
9 niños eligieron los cuentos.
7 niños eligieron las historietas.
4 niños eligieron las revistas.
Las niñas:
8 niñas eligieron los cuentos.
5 niñas eligieron las historietas.
7 niñas eligieron las revistas.
Representa los datos en una tabla de frecuencia y en un gráfico de barras.
Solución
2. Se encuestaron a un grupo de 15 personas sobre sus actividades preferidas y se obtuvieron los siguientes resultados:
7 personas seleccionaron el baile.
5 personas seleccionaron el canto.
3 personas seleccionaron la actuación.
Ordena los datos en una tabla de frecuencia y represéntalos en un pictograma.
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Gráficos estadísticos”
El siguiente material explica qué son los gráficos estadísticos y sus diferentes tipos.
El artículo explica qué son las variables y se enfoca en cómo construir una tabla de valores. También propone una serie de ejercicio con respuestas para practicar.
La adición es una de las cuatro operaciones básicas que utilizamos de forma habitual y se caracteriza porque nos permite añadir una cantidad a otra. Los términos de la adición son los sumandos y la suma. Para resolver adiciones usamos el algoritmo de la suma que consiste ordenar los sumando de manera que las unidades de mil, las centenas, las decenas y las unidades se encuentren en una misma columna. Si la suma de una columna es un número de dos cifras (mayor a 9), se coloca el valor de la segunda cifra y el valor de la primera se suma al resultado de la siguiente columna a la izquierda. Esta operación cumple varias propiedades como la conmutativa, la asociativa y la del elemento neutro.
La propiedad conmutativa explica que no importa cómo ordenemos los sumandos, el resultado es siempre el mismo.
SUSTRACCIÓN
La sustracción es una operación matemática que consiste en quitar o restar una cantidad a otra para determinar la diferencia. Esta operación es inversa a la suma y está formada por el minuendo, elsustraendo y la diferencia. El minuendo es la cantidad a la que se le va a restar, el sustraendo es la cantidad que se resta y la diferencia es el resultado de la sustracción. En la sustracciones los números se agrupan en columnas al igual que en la adición. Si el minuendo es mayor al sustraendo restamos de forma convencional. En caso contrario, debemos desagrupar la cifra de la columna siguiente y canjear un valor posicional.
Una forma de comprobar una sustracción es sumar el sustraendo y la diferencia, el resultado debe ser igual al minuendo.
OPERACIONES COMBINADAS
Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias cálculos aritméticos. Para este tipo de problemas resolvemos primero las operaciones que están entre paréntesis y luego resolvemos las operaciones en el orden que aparecen de izquierda a derecha. En caso de que la operación combinada no tenga paréntesis resolvemos de acuerdo al orden que aparecen los términos de izquierda a derecha.
Los cálculos mentales permiten resolver operaciones sin usar herramientas como un lápiz, una hoja o una calculadora.
multiplicación
La multiplicación es sumar un mismo números tantas veces como indique otro. Por esta razón, esta operación se encuentra estrechamente relacionada con la adición. De hecho, toda adición iterada (adición que posee todos sus sumandos iguales) puede ser representada a través de la multiplicación. Su elementos principales son los factores y el producto. Los primeros son los números que se multiplican y el segundo corresponde al resultado. Para multiplicaciones de una cifra se ordenan los factores de forma vertical, se multiplica la unidad del segundo factor por la unidad del primero y luego se anota el resultado en la parte inferior, después se multiplica la unidad del segundo factor por la decena del primero y se anota el resultado.
Al multiplicar un número por la unidad seguida de cero se añade a la derecha de este la misma cantidad de ceros que acompañen a la unidad.
división
La división es una operación matemática que consiste en realizar reparticiones equitativas o formar grupos con la misma cantidad de elementos. Es una operación inversa a la multiplicación y puede considerarse una sustracción sucesiva. Los elementos de la división son el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo o resto. El dividendo es la cantidad que se va a repartir, el divisor es la cantidad en la que se va a dividir, el cociente es el resultado y el residuo o resto es la parte que no se puede dividir. Para resolver divisiones buscamos un número que al ser multiplicado por el divisor sea igual o cercano al valor del dividendo.
Cada vez que compartimos alimentos hacemos una división, por ejemplo, esta pizza se dividió en 6 porciones, lo que es igual a 1 ÷ 6.
Cuando queremos saber la opinión o las preferencias de un grupo de personas, la encuesta es la técnica más práctica de aplicar. Esta consiste en hacer preguntas a una población determinada con el fin de recaudar datos precisos sobre una situación. ¿Te gustaría hacer una encuesta en clase? Con este artículo sabrás cómo hacerlo.
¿QUÉ ES LA ENCUESTA?
Una encuesta es una técnica de investigación que consiste en aplicar el mismo conjunto de preguntas a un grupo de personas con un instrumento llamado cuestionario. Este se utiliza para obtener resultados sobre un tema y saber sus preferencias.
Las preguntas pueden aplicarse en forma de entrevista personal, entrevista en línea, mediante páginas web, aplicaciones, correo electrónico, vía telefónica o de forma escrita. Las preguntas deben ser pensadas para obtener información específica que nos ayude en la investigación.
La encuesta es una recopilación de datos obtenidos mediante consulta o interrogatorio a varias personas sobre un tema determinado. Se pueden hacer en persona, por teléfono, por correo o a través de aplicaciones para dispositivos móviles. Las encuestas permiten conocer la opinión de las personas sobre un tema o recabar datos sobre la población.
Los datos que arroje la encuesta se representan mediante tablas de frecuencia y gráficos para resumir la información obtenida y observar de manera más clara el fenómeno de estudio.
¿Qué es un cuestionario?
Los cuestionarios se componen de preguntas que se escriben con signos de interrogación al principio y al final como ¿qué?, ¿quién?, ¿cómo?, ¿dónde?, ¿cuál?, ¿cuándo? Por ejemplo, ¿cuál es tu deporte favorito?
La formulación de las respuestas correctas te permitirá obtener los resultados que necesitas.
Tipos de preguntas en un cuestionario
Preguntas abiertas: dan la libertad de dar cualquier respuesta.
Preguntas cerradas: se contestan a partir de varias opciones.
– Ejemplo:
Pregunta abierta
¿Cuál es tu fruta favorita?
________________________
Pregunta cerrada
¿Te gustan las fresas?
Sí
No
Elementos de un cuestionario
Las encuestas tienen cinco elementos principales:
Introducción: corta pero precisa, allí se explica para qué se hace la encuesta.
Presentación: debe especificarse a quién va dirigida la encuesta y el método empleado para la aplicación del cuestionario, ya sea de forma personal, telefónica o por correo.
Instrucciones para responder: indica la forma en la que se responderán las preguntas que pueden ser abiertas o cerradas.
Secciones de preguntas y respuestas: si son abiertas se debe responder con sus propias palabras, si son cerradas el encuestado deben elegir las opciones. También puede ser mixta.
Datos del encuestado: proporciona información de la persona que participó en la encuesta.
– Ejemplo:
María quiere vender helados y pasteles, pero desea conocer cuáles son los sabores preferidos de los niños, para ello ha decidido hacer una encuesta y su cuestionario consta de los siguientes elementos:
Cuestionario
Introducción
La encuesta tiene como objetivo determinar cuáles son los pasteles y sabores de helado preferidos por los niños.
Presentación
Está dirigida a niños entre 4 y 11 años de edad. El cuestionario se aplicará en forma presencial.
Instrucciones para responder
Instrucciones: marca con una equis (x) tu opción preferida.
Preguntas y respuestas
1. ¿Cuál pastel es tu preferido?
a) Vainilla ( )
b) Chocolate ( )
c) Limón ( )
2. ¿Cuál es tu sabor de helado preferido?
a) Vainilla ( )
b) Chocolate ( )
c) Fresa ( )
d) Naranja ( )
e) Limón ( )
3. ¿Cuál preferirías para cubrir tu helado?
a) Chocolate ( )
b) Dulce de leche ( )
c) Maní ( )
Datos del encuestado
Nombre: _________________________________
Edad: _________________
María en su encuesta solo formuló preguntas cerradas.
pasos para realizar una encuesta
Hay cinco pasos a seguir para realizar una encuesta:
Escoger el tema.
Elegir la población encuestada.
Elaborar las preguntas del cuestionario. Estas pueden ser abiertas o cerradas, el cuestionario también puede ser mixto, es decir; puede contener tanto preguntas abiertas como cerradas.
Recopilar la información, esto se refiere a la aplicación del cuestionario.
Llegar a las conclusiones. Es la parte final y en la que se conocen cuáles fueron los resultados de la encuesta.
– Ejemplo:
Jorge es un granjero que desea sembrar frutas pero en su huerto pero solo tiene espacio para sembrar de tres tipos. El granjero debe escoger entre plantar sandía, fresa, banana, uva, manzana o pera. Para decidir, el granjero realizará una encuesta que le permitirá saber cuáles de las seis frutas son las preferidas por sus vecinos.
Los pasos a seguir son:
1. Elegir el tema.
En este caso, el tema es determinar cuáles son las frutas preferidas de los vecinos de la granja.
2. Elegir a quién se aplicará la encuesta.
El granjero aplicará un cuestionario a los niños y adultos de la granja.
3. Elaborar las preguntas.
El granjero debe decidir si hacer su cuestionario con preguntas abiertas o cerradas. Si hace un pregunta abierta, como por ejemplo “¿cuál es su fruta favorita?”, los encuestados pueden responder cualquier tipo de fruta de todas las que existen en el planeta; en cambio, si el granjero hace una pregunta cerrada, él puede brindar solo las opciones que le interesan para cultivar. Por lo tanto, este es el tipo de pregunta que debe emplearse en el cuestionario.
Entonces, la pregunta que el granjero realizará en su encuesta es la siguiente:
¿Cuál de las siguientes frutas es su favorita?
Sandía ( )
Fresa ( )
Banana ( )
Uva ( )
Manzana ( )
Pera ( )
4. Recopilar los datos.
Una vez formulada la pregunta, el granjero debe aplicar el cuestionario.
5. Llegar a las conclusiones.
Tras su aplicación los resultados fueron los siguientes:
Fruta
Personas que la seleccionaron
Sandía
3
Fresa
6
Banana
2
Uva
2
Manzana
8
Pera
4
El granjero debe contar los resultados de la encuesta, para determinar cuáles son las tres frutas preferidas por sus vecinos y así poder sembrarlas en su huerto. Para el análisis de los resultados se utilizan las tablas de frecuencia y los gráficos.
Al observar la tabla anterior, podemos concluir que la mayoría de las personas prefirieron la manzana, la fresa y la pera. De esta manera, el granjero pudo determinar cuáles frutas cultivar de acuerdo a lo que prefiere la mayoría.
¿Sabías qué?
La frecuencia es el número de veces que se repite un dato.
Tablas de frecuencia
La tabla de frecuencias es una herramienta que permite ordenar los datos de manera que se presentan numéricamente.
Las tablas representan e interpretan información procedente de diferentes fuentes de forma clara, precisa y ordenada. Casi todo tipo de información puede organizarse en una tabla de datos y ser representada en algún tipo de gráfico.
En la tabla puedes observar pequeñas líneas que representan el conteo de las personas que eligieron esa fruta. Los números en la tabla representan el total de personas que eligieron cada fruta, esto es lo que se denomina frecuencia; en este caso, la fruta preferida es la manzana, ya que fue elegida por 8 personas.
usos de la encuesta
Usamos la encuesta para:
Medir las preferencias políticas de los ciudadanos.
Medir los efectos de ciertas medicinas.
Saber la opinión de las personas sobre un tema.
Conocer los niveles educativos de la población.
Calcular la preferencia de un producto sobre otro.
Saber a qué tipo de persona irá destinado un producto o servicio.
Saber si al público le ha gustado un servicio o producto.
Calcular a qué grupo de la población le afecta más un fenómeno.
Conocer cómo se encuentra compuesta la población de un país.
Saber los resultados de un programa.
Predecir la reacción de las personas ante algún cambio.
Las encuestas son herramientas usadas para recolectar información durante una investigación. Por esta razón, son usadas en diferentes contextos. Por ejemplo, antes de lanzar nuevo producto a la venta, las compañías realizan encuestas entre los consumidores para predecir si ese producto será aceptado o no por los compradores y evitar así posibles pérdidas.
¡A practicar!
1. Determina si las siguientes preguntas son abiertas o cerradas.
a) ¿Cuál es tu color favorito?
Solución
Pregunta abierta.
b) ¿Le tienes miedo a las alturas? Sí ( ) No ( )
Solución
Pregunta cerrada.
c) ¿Quién es tu personaje histórico favorito?
Solución
Pregunta abierta.
d) ¿Alguna vez has volado en avión? Sí( ) No ( )
Solución
Pregunta cerrada.
2. María hizo una encuesta a sus compañeros de clases sobre a qué lugares preferían ir de vacaciones y obtuvo la siguiente tabla de frecuencia:
Lugar preferido
Personas que lo eligieron
Montaña
7
Playa
9
Selva
2
Desierto
1
De acuerdo a la tabla responde las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál fue el destino de vacaciones más elegido?
Solución
La playa.
b) ¿Cuál fue el destino menos elegido?
Solución
El desierto.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Instrumentos de medición”
El siguiente material le brindará información más detallada sobre las encuestas y su aplicación. También explica las ventajas y desventajas de este método de recolección de datos.
El artículo explica las características de la tabla de valores y su importante papel en la estadística. También se explican otros conceptos relacionados y se proponen algunos ejercicios.
La división es una de las cuatro operaciones básicas de las matemáticas y consiste en repartir un número en varias partes iguales. Cada vez que compartimos nuestros dulces hacemos una división. Esta operación está muy relacionada con la resta y con la multiplicación. A continuación, aprenderás a hacer divisiones de números con una, dos o tres cifras.
LA DIVISIÓN y su relación con la sustracción
La división es una operación matemática que consiste en realizar reparticiones equitativas o formar grupos con la misma cantidad de elementos. Es una operación inversa a la multiplicación y puede considerarse una sustracción sucesiva.
La división a través de sustracciones sucesivas es una manera fácil de llegar a un resultado. Hay que recordar que la división tiene que ver con la resta y juntas tienen varias aplicaciones.
– Ejemplo:
Si deseamos repartir 8 magdalenas de 2 en 2, ¿cuántas personas tendrán magdalenas?
Este problema lo podemos representar como una resta sucesiva:
Observa que se hicieron 4 restas de 2 hasta llegar a cero (0). Por lo tanto, 4 personas tendrá 2 magdalenas cada una.
Este proceso, también lo podemos representar como una división y decir que 8 ÷ 2 = 4 porque se puede restar 4 veces 2 al número 8.
– Otro ejemplo:
30 ÷ 5 = ?
Restas
30 − 5 = 25
25 − 5 = 2
20 − 5 = 15
15 − 5 = 10
10 − 5 = 0
5 − 5 = 0
Cantidad de veces que se hace la resta
1
2
3
4
5
6
Entonces, 30 ÷ 5 = 6 porque se puede restar 6 veces 5 al 30.
Las divisiones simbólicamente se puede expresar de la siguiente manera:
En todos los casos se lee “treinta entre cinco igual a seis”.
Elementos de la división
Los términos de la división son el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo o resto.
El dividendo es la cantidad que se desea repartir en partes iguales; el divisor es la cantidad entre la cual se divide y el cociente es el resultado de la operación. La cantidad que no se logra dividir es el residuo, también llamado resto; y debe ser menor que el divisor.
Divisiones exactas e inexactas
Cuando el residuo es igual a cero, podemos decir que la división se realizó equitativamente sin sobrar elementos, por lo que es exacta; pero si el residuo es distinto de cero, se considera que la división es inexacta por sobrar elementos sin dividir o agrupar.
El propósito de la división como operación matemática es encontrar el cociente, el cual indica las veces que el divisor está contenido en el dividendo. El resto o residuo es la parte de la división que no se puede dividir como número entero por el divisor, si el resto es cero se habla de una división exacta, y si es mayor es una división inexacta.
¿Cómo resolver divisiones?
1. Colocamos a la izquierda al dividendo y dentro de la caja de división colocamos al divisor.
2. Luego, seleccionamos del dividendo una cifra que sea mayor o igual al divisor, para esto se comienza por la cifra de mayor orden. En este caso no hay un número que multiplicado por 5 resulte 3, por lo que seleccionamos una cifra más para dividir, es decir, 35.
3. Luego, buscamos un número que multiplicado por 5 nos de cómo resultado 35 o un número cercano a ese valor. Para esto es necesario emplear las tablas de multiplicación. Se sabe que 5 × 7 = 35, por lo tanto:
4. Encontramos que al multiplicar 5 por 7 da como resultado 35; entonces colocamos el 7 debajo del 5, restamos el producto obtenido de multiplicar el cociente por el divisor y lo escribimos en el resto. En este caso el resto es cero (0), por lo tanto, es una división exacta.
– Otro ejemplo:
1. Colocamos a la izquierda al dividendo y dentro de la caja de división colocamos al divisor.
2. Luego, seleccionamos del dividendo una cifra que sea mayor o igual al divisor, para esto se comienza por la cifra de mayor orden. En este caso no hay un número que multiplicado por 4 resulte 3, por lo que seleccionamos una cifra más para dividir, el 36.
3. Luego, buscamos un número que multiplicado por 4 de cómo resultado 36 o un número cercano a ese valor. Para esto es necesario emplear las tablas de multiplicación. Sabemos que 4 × 9 = 36, por lo tanto:
Encontramos que al multiplicar 4 por 9 da como resultado 36; entonces colocamos el 9 debajo del 4, restamos el producto obtenido de multiplicar el cociente por el divisor y lo escribimos en el resto.
4. Realizamos una nueva selección y repetimos los pasos hasta agotar las cifras del dividendo, en este caso solo nos resta el 5, lo bajamos y colocamos junto al resto obtenido anteriormente. Observa:
5. Buscamos un número que multiplicado por 4 de cómo resultado 5 o un número cercano a ese valor. Para esto es necesario emplear las tablas de multiplicación. Sabemos que 4 × 1 = 4, por lo tanto:
Encontramos que al multiplicar 4 por 1 da como resultado 4; entonces se coloca el 1 en el cociente, restamos el producto obtenido de multiplicar el cociente por el divisor y lo escribimos en el resto. Esto da como resultado 1, por lo tanto; la división es inexacta.
¿Sabías qué?
Al momento de resolver divisiones se busca el número que multiplicado por el divisor es igual al dividendo, de esta manera se obtiene el cociente.
SITUACIONES DE REPARTO EQUITATIVO
Cuando una cantidad de elementos se reparte en grupos iguales, se puede conocer la cantidad de elementos de cada grupo por medio de la división.
Cantidad de elementos ÷ cantidad de grupos = cantidad de elementos por grupo
Las situaciones de reparto equitativo son aquellas donde una cantidad de elementos se reparten en grupos iguales, en estas se conoce la cantidad de elementos y la cantidad de grupos formados, lo que se busca es conocer la cantidad de elementos de cada grupo mediante la división. Este caso se aplica solo en casos de divisiones exactas donde el resto es igual a cero.
Por ejemplo, tenemos una canasta con 12 manzanas y debemos repartirlas en 4 canastas equitativamente.
12 manzanas repartidas en 4 canastas corresponden a 3 manzanas por canasta.
12 ÷ 4 = 3
– Otro ejemplo:
25 esferas azules repartidas en 5 partes iguales.
25 esferas azules, repartidas en 5 partes iguales, corresponden a 5 esferas en cada parte.
25 ÷ 5 = 5
Para repartir en partes iguales una cantidad de elementos puedes poner un elemento por grupo hasta que se terminen de repartir todos los elementos.
SITUACIONES DE REPARTO POR MEDIDA
Cuando se conoce la cantidad total de elementos que se repartieron en grupos de medidas iguales se puede obtener la cantidad de grupos por medio de la división.
Cantidad de elementos ÷ cantidad de elementos por grupo = cantidad de grupos
En las operaciones de reparto por medida o agrupamiento por medida se conoce la cantidad total de elementos y la cantidad de elementos por grupo. El objetivo es conocer la cantidad de grupos para lo cual se emplea la división. Existen una serie de situaciones en las que encontramos problemas de este tipo y para ello conocer cómo resolver divisiones es esencial.
– Ejemplo:
Una maestra de tercer grado ha pedido a sus alumnos que lleven un artículo de periódico para realizar un trabajo en clase. De 24 alumnos que conforman la sección, solo la mitad llevó el artículo. La maestra tuvo que formar grupos de 2 niños para realizar la actividad. ¿Cuántos grupos formó la maestra?
La maestra formó 12 grupos de 2 alumnos cada uno.
24 ÷ 2 = 12
– Otro ejemplo:
En una biblioteca hay 18 libros, en cada tramo caben 6, ¿cuántos tramos se necesitan para guardarlos todos?
Para organizar los 18 libros se necesitan 3 tramos con 6 libros cada uno.
18 ÷ 6 = 3
¿Sabías qué?
A principio del siglo XVII, John Napier diseñó un tablero para multiplicar y dividir conocido como “los huesos de Napier”.
RELACIÓN ENTRE LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN
La división es la operación inversa a la multiplicación, pero con la multiplicación se puede comprobar el resultado de una división al multiplicar el cociente obtenido por el divisor, el resultado de esta multiplicación debe ser igual al dividendo. Entonces:
dividendo = cociente × divisor
Si la división es inexacta, se aplica el mismo procedimiento y se le suma el resto o residuo. Ejemplo:
La multiplicación y la división son operaciones inversas, así como lo son la adición y la sustracción. En la división, el orden de los factores sí altera el producto, por lo que no cumple con la propiedad conmutativa, mientras que la propiedad distributiva para la división solamente se cumple si la suma o resta se encuentra en el dividendo.
¡A practicar!
1. Resuelve las siguientes divisiones a través de restas sucesivas.
a) 12 ÷ 4
Solución
1
2
3
Cociente
12 − 4 = 8
8 − 4 = 4
4 − 4 = 0
3
12 ÷ 4 = 3
b) 49 ÷ 7
Solución
1
2
3
4
5
6
7
Cociente
49 − 7 = 42
42 − 7 = 35
35 − 7 = 28
28 − 7 = 21
21 − 7 = 14
14 − 7 = 7
7 − 7 = 0
7
49 ÷ 7 = 7
c) 54 ÷ 9
Solución
1
2
3
4
5
6
Cociente
54 − 9 = 45
45 − 9 = 36
36 − 9 = 27
27 − 9 = 18
18 − 9 = 9
9 − 9 = 0
6
54 ÷ 9 = 6
2. Efectúa las siguientes divisiones.
a) 88 ÷ 4
Solución
88 ÷ 4 = 22
b) 25 ÷ 3
Solución
25 ÷ 3 = 8 y resto = 1
c) 41 ÷ 6
Solución
41 ÷ 6 = 6 y resto = 5
3. Escribe y resuelve la división que representa cada situación de reparto equitativo.
a) Julián tiene 16 caramelos y quiere repartirlos por igual entre sus 4 amigos, ¿cuántos caramelos le corresponden a cada uno de sus amigos?
Solución
16 ÷ 4 = 4
A cada amigo le corresponden 4 caramelos.
b) Patricia debe empacar por igual 15 vestidos en 5 cajas. ¿Cuántos vestidos tendrá cada caja?
Solución
15 ÷ 5 = 3
Tendrá 3 vestidos por caja.
c) Leonardo tiene 36 naranjas y debe colocarlas en 6 cestos por igual. ¿Cuántas naranja debe colocar en cada cesto?
Solución
36 ÷ 6 = 6
Debe colocar 6 naranjas por cesto.
4. Escribe y resuelve la división que representa cada situación de reparto por medida.
a) Lucía tiene 45 galletas, si las guarda en pequeñas cajas en las que caben 9 galletas, ¿cuántas cajas necesita?
Solución
45 ÷ 9 = 5
Lucía necesita 5 cajas.
b) Felipe el panadero desea hornear 24 pastelitos, si caben 8 pastelitos en cada bandeja, ¿cuántas bandejas necesitará Felipe?
Solución
24 ÷ 8 = 3
Felipe necesitará 3 bandejas.
c) Alicia tiene 50 libros. Si guarda 10 libros en cada una de las repisas de un mueble. ¿Cuántas repisas del mueble ocupa para guardar todos sus libros?
Solución
50 ÷ 10 = 5
Alicia ocupa 5 repisas del mueble para guardar todos sus libros.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Divisiones por dos o más cifras”
El siguiente material trata sobre las divisiones desde un enfoque del método tradicional y del método del algoritmo desplegado de la división.
En este artículo se explica cómo resolver divisiones a través del método americano, uno de los más usados en países de Centroamérica, México y los Estados Unidos.
La multiplicación es una de las operaciones fundamentales que realizamos con los números. Se encuentra estrechamente relacionada con la adición, por lo tanto, cuando sumamos repetidas veces una misma cantidad, realmente hacemos una multiplicación. A partir de esto se crearon las tablas de multiplicar para facilitar los cálculos.
RELACIÓN ENTRE LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN
Se denomina adición iterada a la adición que posee todos sus sumandos iguales y se puede representar como una multiplicación.
– Ejemplo 1:
Observa que cada mariposa tiene 2 alas. Por lo tanto, en 4 mariposas hay 8 alas.
4 veces 2 es igual a 8.
4 × 2 = 8
– Ejemplo 2:
¿Cuántas patas (extremidades) hay en total?
5 veces 2 es igual a 10.
5 × 2 = 10
– Ejemplo 3:
Sofía tiene tres portalápices y en cada uno de ellos caben 5 lápices, ¿cuántos lápices tiene Sofía en total?
3 veces 5 es igual a 15.
3 × 5 es igual a 15.
La multiplicación es considerada como una adición con sumandos iguales (adición iterada). Nos ayuda a obtener resultados más rápidos de manera sencilla. Los elementos de la multiplicación son los factores y el producto. Los números multiplicados son los factores y el resultado es el producto. Para resolver multiplicaciones se usan las tablas de multiplicar.
¡Es tu turno!
¿Cuántos huevos hay en total?
Solución
3 + 3 + 3 = 9
3 veces 3 es igual a 9.
3 × 3 = 9
¿Cuántas flores hay en total?
Solución
4 + 4 + 4 + 4 = 16
4 veces 4 es igual a 16.
4 × 4 = 16
Expresa las adiciones como multiplicación, resuelve y completa:
Adición
Multiplicación
1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 × 4 = 4
5 + 5 + 5 =
6 + 6 + 6 + 6 + 6 =
7 + 7 + 7 + 7 =
2 + 2 + 2 =
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =
Solución
Adición
Multiplicación
1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 × 4 = 4
5 + 5 + 5 = 15
5 × 3 = 15
6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30
6 × 5 = 30
7 + 7 + 7 + 7 = 28
7 × 4 = 28
2 + 2 + 2 = 6
2 × 3 = 6
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18
3 × 6 = 18
elementos de la multiplicación
Los términos de una multiplicación se denominan factores y producto. Los factores son los números que se multiplican, y el producto es el resultado de la operación de multiplicación.
Tablas de multiplicar
Para hacer cálculos de multiplicaciones se crearon las tablas de multiplicar, que no son más que un atajo para realizar sumas largas de forma rápida. La forma más común de representar las tablas de multiplicación es, como su nombre lo indica, a través de tablas. Normalmente se muestran las tablas del 1 al 10 y cada una de ellas a su vez indica las multiplicaciones del número que representan del 1 al 10 o del 0 al 10.
Multiplicación en forma vertical
La multiplicación es una adición de sumandos iguales, el signo de la multiplicación es “×” y se lee “por”.
La multiplicación es la operación matemática que consiste en determinar el resultado de un número que se haya sumado tantas veces como indique otro. La palabra multiplicación proviene del latín de la palabra multus que significa “mucho” y plico que quiere decir “doblar”. En este sentido, multiplicar es doblar o repetir un número muchas veces.
¿Sabías qué?
Además del símbolo de la cruz, en la multiplicación también puede usarse el punto a media altura (·).
Para multiplicar un número de una cifra por otro de dos cifras, multiplicamos cada cifra de los factores. Para esto seguimos los siguientes pasos:
1. Colocamos los factores uno sobre el sobre.
2. Multiplicamos la unidad del segundo factor por la unidad del primer factor: 3 × 3 = 9
3. Multiplicamos la unidad del segundo factor por las decenas de la primer factor: 3 × 2 = 6.
4. También podemos escribir el resultado de forma horizontal:
23 × 3 = 69
– Otros ejemplos:
Multiplicación con llevadas
Cuando multiplicamos las cifras de los factores y el resultado es mayor a 9, debemos hacer llevadas. Los pasos son los siguientes:
1. Colocamos los factores uno sobre otro según su valor posicional.
2. Multiplicamos la unidad del segundo factor por la unidad del primer factor: 4 × 3 = 12. Como el resultado es mayor a 9, colocamos la unidad (2) en la columna de las unidades y la cifra de la decena (1) la colocamos en la columna de la izquierda.
3. Multiplicamos la unidad del segundo factor por las decenas del segundo factor y consideramos el 1 que se lleva: 4 × 2 = 8 + 1 = 9.
– Otros ejemplos:
También es posible que llevemos cifras a las centenas. En estos casos los pasos son estos:
1. Colocamos los factores uno sobre otro según sus valores posicionales.
2. Multiplicamos la unidad del segundo factor por la unidad del primer factor: 7 × 4 = 28. Como el resultado es mayor a 9, escribimos el 8 en la columna de las unidades y llevamos la decena (2) a la columna de la izquierda.
3. Multiplicamos la unidad del segundo factor por las decenas del primer factor, como llevamos 2: 7 × 2 = 14 + 2 = 16. Escribimos el 6 en las decenas y el 1 en la columna de las centenas.
– Otros ejemplos:
¿Sabías qué?
Es común que en las multiplicaciones se escriba arriba el número mayor (multiplicando) y debajo el número menor (multiplicador).
MULTIPLICACIÓN POR 10, POR 100 Y POR 1.000
Para multiplicar un número natural por 10 agregamos un cero a la derecha del número. Si lo multiplicamos por 100 agregamos 2 ceros y si lo multiplicamos por 1.000 agregamos 3 ceros. Ejemplo:
¿Cuál es el producto de 35 × 10?
Como se multiplica por 10, se agrega un cero a la derecha del 35, es decir:
35 × 10 = 350
¿Cuál es el producto de 35 × 100?
Como se multiplica por 100, se agregan dos ceros a la derecha del 35, es decir:
35 × 100 = 3.500
¿Cuál es el producto de 35 × 1.000?
Como se multiplica por 1.000, se agregan tres ceros a la derecha del 35, es decir:
35 × 1.000 = 35.000
– Otros ejemplos:
Factores
2
5
17
29
40
73
91
× 10
20
50
170
290
400
730
910
× 100
200
500
1.700
2.900
4.000
7.300
9.100
× 1.000
2.000
5.000
17.000
29.000
40.000
73.000
91.000
Las propiedades de la multiplicación permiten realizar operaciones de manera más sencilla. Por ejemplo, la propiedad conmutativa nos permite cambiar el orden de los factores sin alterar el producto, por esta razón, el número mayor se suele colocar arriba y el menor debajo al momento de resolver los cálculos. Lo mismo aplica para el resto de las propiedades.
PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN
1. Tres camiones viajan del campo a la ciudad, cada uno con 800 sandías. ¿Cuántas sandías llevan en total?
Datos
Cantidad de camiones: 3
Cantidad de sandías por camión: 800
Pregunta
¿Cuántas sandías llevan en total?
Reflexiona
Para resolver el problema debemos multiplicar las 800 sandías por 3, para lo cual se ubica el 800 en el multiplicando por ser mayor y el 3 en el multiplicador.
Resuelve
Respuesta
Entre los camiones hay 2.400 sandías.
2. A la hermana de Susana le gusta coleccionar zapatos. Tiene tantos que los organiza en un estante por tramos. Si el estante tiene seis tramos y en cada uno hay catorce pares, ¿cuántos pares de zapatos tiene la hermana de Susana?
Datos
Tramos del estante: 6
Pares de zapatos por tramos: 14
Pregunta
¿Cuántos pares de zapatos tiene la hermana de Susana?
Reflexiona
Para resolver el problema debemos multiplicar los 14 pares de zapatos por los 6 tramos que tiene el estante. Para esto ubicamos el 14 arriba y el 6 debajo.
Resuelve
Respuesta
La hermana de Susana tiene 84 pares de zapatos.
3. Si un paquete de caramelos cuesta $ 843, ¿cuánto cuestan 9 paquetes?
Datos
Valor del paquete de caramelos: $ 843
Pregunta
¿Cuánto cuestan 9 paquetes de caramelos?
Reflexiona
Para resolver el problema debemos multiplicar el costo del paquete de caramelos que son $ 843 por el número de paquetes que pide el problema, es decir 9.
Resuelve
Respuesta
Nueve paquetes de caramelos tienen un valor de $ 7.587
¡A practicar!
1. Valentina compró cinco paquetes de palomitas de maíz por un valor de $ 1.569 cada uno. ¿Cuánto dinero gastó Valentina?
Solución
Datos
Valor del paquete de palomitas: $ 1.569
Cantidad de paquetes de palomitas comprado: 5
Pregunta
¿Cuánto gastó Valentina?
Reflexiona
Para resolver el problema debemos multiplicar el costo del paquete de palomitas que son $ 1.569 por el número de paquetes que compró Valentina, es decir 5.
Resuelve
Respuesta
Valentina gastó $17.845.
2. En un salón de clases hay 42 estudiantes, si cada uno de ellos trae 2 paletas de caramelo, ¿cuántas paletas de caramelo tendrían en total?
Solución
Datos
Cantidad de estudiantes: 42
Cantidad de paletas por estudiante: 2
Pregunta
¿Cuántas paletas de caramelo tendrían en total?
Reflexiona
Para resolver el problema debemos multiplicar el número total de estudiantes, que son 42 por la cantidad de paletas de caramelo que trajo cada estudiante, es decir 2.
Resuelve
Respuesta
Los alumnos tendrían en total 84 paletas de caramelo.
3. En la granja de don Tomás hay 8 vacas lecheras, cada una produce diariamente 52 litros. ¿Cuántos litros de leche se producen durante 7 días?
Solución
Datos
Cantidad de vacas: 8
Litros de leche producidos por una vaca en 1 día: 52
Pregunta
¿Cuántos litros de leche se producen durante 7 días en la granja de don Tomás?
Reflexiona
Para resolver el problema debemos hacerlo en dos partes, primero se debe sacar la cantidad de litros que producen diariamente por medio de una multiplicación entre 52 y 8. Luego, multiplicar ese resultado por 7.
Resuelve
Respuesta
Durante siete días se producen 2.912 litros de leche en la granja de don Tomás.
4. En una granja hay 3 corrales para cerdos y en cada corral caben seis cerdos, ¿qué adición iterada representaría la situación?
a) 4 + 4 + 4 + 4 + 4
b) 6 + 4
c) 6 + 6 + 6
d) 24 + 24 + 24 + 24
Solución
c) 6 + 6 + 6
5. Víctor lee cuatro páginas de su libro favorito por día, ¿cuántas páginas leerá en seis días?
Solución
1 día → 4 páginas
2 días → 4 + 4 = 8 páginas
3 días → 4 + 4 + 4 = 12 páginas
4 días → 4 + 4 + 4 + 4 = 16 páginas
5 días → 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 páginas
6 días → 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 páginas
Podemos ver que 6 veces 4 es 24, por lo tanto:
6 × 4 = 24
Victor leerá 24 página en 6 días.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Trucos para aprender las tablas de multiplicar”
El siguiente material ofrece algunos trucos para aprender las tablas de multiplicar sin necesidad de memorizarlas.
La adición y la sustracción están presentes en múltiples situaciones de nuestra vida cotidiana, son operaciones inversas que en muchas ocasiones pueden emplearse de forma combinadas. Para este tipo de problemas usamos ciertos símbolos como el paréntesis que permiten una resolución más sencilla.
OPERACIONES COMBINADAS
Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias cálculos aritméticos para resolver.
La adición y la sustracción, además de ser operaciones básicas de las matemáticas, son dos operaciones inversas, por lo tanto, una adición puede ser comprobada a través de la sustracción y de igual modo, al resolver una sustracción, sus resultados pueden comprobarse a través de la adición. Conocer bien el desarrollo de las sumas y restas es fundamental para resolver cálculos combinados.
Para resolver operaciones combinadas de adición y sustracción debemos seguir ciertos pasos:
Operaciones con paréntesis
Resolvemos las operaciones que están entre paréntesis.
Resolvemos las demás según el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
– Ejemplo:
Observa que en primer lugar resolvimos lo que estaba dentro de los paréntesis y luego según el orden de izquierda a derecha.
Operaciones sin paréntesis
Si las operaciones combinadas de adición y sustracción no tienen operaciones entre paréntesis “()” debemos resolver según el orden en que aparecen de izquierda a derecha.
– Ejemplo:
Tal como lo muestra el ejemplo, resolvimos las operaciones en el orden que aparecen de izquierda a derecha.
¿Sabías qué?
Uno de los signos más usados en operaciones matemáticas es el paréntesis. Permite determinar el orden y prioridad de las operaciones.
¡Es tu turno!
(354 + 689) − 798
Solución
El resultado es 245.
1.340 − 1.120 + 250
Solución
El resultado es 470.
(8.932 − 5670) + 990 − (459 + 615)
Solución
El resultado es 3.178.
9.980 − 8.760 − 130 + 2700
Solución
El resultado es 3.790.
CÁLCULOS MENTALES
El cálculo mental, como su nombre lo indica, permite realizar cálculos sin que sea necesario un lápiz, una hoja o una calculadora. Para resolver problemas de forma mental usamos estrategias que aplican propiedades de los números y de las operaciones matemáticas.
Una de las mejores formas de desarrollar y ejercitar la comprensión numérica es a través de los cálculos mentales. Además de resolver problemas más rápido, permiten mejorar la concentración y la agilidad mental para otras situaciones. Con la práctica se pueden resolver cálculos más complejos en los cuales un papel y un lápiz no serían necesarios.
Para realizar cálculos mentales podemos hacer uso de diferentes estrategias:
Descomponer
La descomposición de un número mentalmente permite resolver adiciones y sustracciones de forma más sencilla. Para esto, se descompone el primero de los términos de acuerdo al valor posicional de sus cifras y luego se le suma o resta al número no descompuesto un valor posicional a la vez. Por ejemplo:
35 − 12 = ?
Descomponemos el número 12 de la siguiente forma:
12 = 10 + 2
Luego restamos un valor posicional a la vez al término no descompuesto, en este caso el término no descompuesto es el número 35.
35 − 10 = 25
25 − 2 = 23
Entonces:
35 − 12 = 23
Completar la decena
Una estrategia que se puede emplear para resolver adiciones y sustracciones es completar la decena. Veamos un ejemplo:
35 + 8 = ?
El número 35 está entre las decenas 30 y 40, entonces sumamos las 5 unidades que faltan para que llegue a 40:
35 + 5 = 40
Luego, esas 5 unidades se las restamos al sumando 8:
8 − 5 = 3
Finalmente sumamos los dos resultados:
40 + 3 = 43
– Otro ejemplo:
22 − 12 = ?
El número 22 está entre la decenas 20 y 30, entonces restamos los 2 que es lo que faltan para llegar a 20:
22 − 2 = 20
Luego, restamos esas 2 unidades al sustraendo:
12 − 2 = 10
Al final hacemos la resta con esos resultados:
20 − 10 = 10
Aplicar la propiedad asociativa
Esta es una estrategia que permite resolver adiciones. La propiedad asociativa establece que al sumar tres o más sumandos, no importa el orden en que se realicen las operaciones, la suma es la misma. Por lo tanto, los sumandos pueden agruparse de forma que faciliten tus cálculos. Veamos un ejemplo:
320 + 300 + 80 = ?
En este caso, vamos a agrupar los siguientes términos:
320 + 300 + 80
(320 + 80) + 300
400 + 300 = 700
¿Sabías qué?
La palabra “cálculo” proviene del término latino calculus que significa “piedra”. Anteriormente se usaban las piedras para contar.
PROBLEMAS
Para resolver problemas aditivos es necesario comprender la situación y seleccionar los datos que permitan elegir una estrategia para encontrar la solución, y así dar una respuesta al problema. Veamos algunos:
1. En un maratón se deben correr 5.000 metros. Pablo avanzó 1.335 metros y se detuvo a tomar agua para refrescarse. Luego avanzó 1.280 metros más y volvió a tomar agua. ¿Cuántos metros de la maratón le faltan correr a Pablo?
Datos
Distancia que debe correr Pablo: 5.000 metros
Distancia 1 que recorrió Pablo: 1.335 metros
Distancia 2 que recorrió Pablo: 1.280 metros
Pregunta
¿Cuántos metros de la maratón le faltan correr a Pablo?
Reflexiona
Para conocer cuántos metros le faltan a Pablo por recorrer debemos restar a la distancia total, la suma de la distancia 1 y la distancia 2.
Resuelve
5.000 − (1.335 + 1.280)
5.000 − 2.615
2.385
Respuesta
A Pablo le faltan por correr 2.385 metros del maratón.
2. Daniela y su familia salieron de excursión a la montaña, durante su visita tomaron 243 fotografías de los paisajes y 125 fotografías de ellos mismos. Si en la excursión pasada tomaron 42 fotografías menos, ¿cuántas fotografías tomaron en la excursión anterior?
Datos
Fotografías de los paisajes: 243
Fotografías de ellos mismos: 125
Fotografías de la excursión anterior: 42
Pregunta
¿Cuántas fotografías tomaron en la excursión anterior?
Reflexiona
Para saber cuántas fotografías tomaron en la excursión pasada debemos sumar las fotografías de paisajes y de la familia que tomaron durante esta excursión y luego restar las 42 fotografías menos.
Resuelve
(243 + 125) − 42
368 − 42
326
Respuesta
La familia de Daniela tomó durante la excursión anterior 326 fotografías.
3. Un autobús se desplaza por la ciudad. En su primera parada recoge 12 pasajeros, en la segunda se suben 3 y se bajan 6, en la tercera se suben 9 y se bajan 8. Al llegar a la cuarta parada, ¿cuántos pasajeros lleva el bus?
Datos
Primera parada: suben 12 pasajeros
Segunda parada: suben 3 y se bajan 6 pasajeros
Tercera parada: suben 9 y se bajan 8 pasajeros
Pregunta
¿Cuántos pasajeros lleva el bus al llegar a la cuarta parada?
Reflexiona
Para resolver este tipo de problemas debemos asociar que cuando el bus recoge pasajeros, se realiza la operación sumar, y cuando se bajan pasajeros del bus, se realiza la operación restar. Así al traducir el problema al lenguaje matemático obtenemos: 12 + 3 − 6 + 9 − 8.
Una forma más fácil de resolverlo es contar primero el número de personas que se subieron al bus: (12 + 3 + 9) y después restarle el número de personas que se bajaron: (6 + 8). Obtenemos en ese caso la expresión: (12 + 3 + 9) − (6 + 8).
Resuelve
(12 + 3 + 9) − (6 + 8)
24 − 14
10
Respuesta
El bus al llegar a la cuarta parada lleva 10 pasajeros.
¿Por qué importan los cálculos combinados?
Resolver adiciones y sustracciones permite desarrollar la capacidad de solucionar situaciones en nuestra vida cotidiana y de esta forma crear, adaptar y resolver problemas matemáticos en un contexto familiar, escolar y social. Una de las situaciones en las que aplicamos esto es al momento de hacer una compra, pues si sumamos todos los precios de productos y luego lo restamos a la cantidad de dinero que tenemos, podremos saber cuánto dinero tendremos al final de una compra.
¡A practicar!
1. Resuelve los siguientes problemas:
a) Miguel tiene 25 años y Camila tiene 10 años más que él. Si Alejandro tiene 15 años menos que Camila, ¿cuántos años tiene Alejandro?
Solución
• Datos
Edad de Miguel: 25 años
Edad de Camila : 10 años más que Miguel
Edad de Alejandro: 15 años menos que Camila
• Pregunta
¿Cuántos años tiene Alejandro?
• Reflexiona
Para resolver el problema debemos sumar los años de más que tiene Camila a la edad de Miguel y luego restar los 15 años que tiene de diferencia la edad de Alejandro con la de Camila.
• Resuelve
(25 + 10) − 15
35 − 15
20
Respuesta
Alejandro tiene 20 años.
b) En una pequeña granja se recolectan aproximadamente 2.500 litros de leche de vaca, de ese total 1.800 litros se venden, 680 litros se emplean para elaborar postres y el resto, los granjeros lo dejan para su consumo. ¿Cuántos litros de leche de vaca dejan los granjeros para consumir?
Solución
• Datos
Litros de leche recolectada: 2.500
Litros de leche que se venden: 1.800
Litros de leche que se emplean para postres: 680
• Pregunta
¿Cuántos litros de leche de vaca dejan los granjeros para consumir?
• Reflexiona
Para resolver el problema debemos restar a la cantidad de leche recolectada, la cantidad de litros vendidos más los empleados para los postres.
• Resolvemos
2.500 − (1.800 + 680)
2.500 − 2.480
20
Respuesta
Los granjeros dejan 20 litros de leche de vaca para su consumo.
2. Resuelve las operaciones mentalmente con las estrategias mencionadas anteriormente:
410 + 600 + 9
Solución
El resultado es 1.019.
74 − 63
Solución
El resultado es 11.
97 − 77
Solución
El resultado es 20.
25 + 36
Solución
El resultado es 61.
39 − 18
Solución
El resultado es 21.
39 + 15
Solución
El resultado es 54.
74 − 44
Solución
El resultado es 30.
57 − 22
Solución
El resultado es 35.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Operaciones combinadas”
El siguiente material proporciona información sobre cómo resolver problemas de operaciones combinadas y los pasos para resolver sumas y restas con y sin paréntesis.
El artículo profundiza en algunas otras estrategias usadas para resolver cálculos mentales, también muestra algunos elementos útiles al momento de resolver problemas de forma mental.
La sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de las matemáticas que nos permite resolver infinidad de situaciones cotidianas. Cuando decimos “me queda”, “me falta” o “la diferencia” nos referimos a la sustracción. A continuación aprenderás cómo restar número naturales.
La sustracción o resta es una operación aritmética elemental que consiste en quitar una cantidad a otra para averiguar la diferencia entre las dos; se representa con el signo “–” (menos). La resta es la operación opuesta a la suma. Para realizar problemas de este tipo es necesario reconocer el valor posicional de cada cifra que luego va a permitir ordenarlas.
la susTRACCIÓN
La sustracción es una operación matemática que consiste en quitar o restar una cantidad a otra con el propósito de obtener la diferencia de ambas. Por esta razón, la sustracción es considerada la operación inversa a la adición.
Los términos de la sustracción son: minuendo, sustraendo y resta o diferencia. Observa:
El minuendo es la cantidad a la que se le va a restar la cantidad indicada por el sustraendo.
El sustraendo es la cantidad que se resta
La resta o diferencia es el resultado de la operación.
La sustracción no cumple con la propiedad conmutativa, es decir, el orden de los factores sí afecta el resultado, por lo tanto, para restar dos cantidades, la cantidad mayor, es decir el minuendo debe escribirse siempre en primer lugar.
¿cómo resolver una sustracción?
Si un número tiene más de tres cifras conviene usar el algoritmo de la resta. Esto consiste en ordenar el minuendo y el sustraendo de tal manera que las unidades, las decenas, las centenas y las unidades de mil estén en las mismas columnas. Luego restamos cada posición desde la derecha. Los pasos son los siguientes:
1. Restamos la unidades: 8 − 2 = 6.
2. Restamos las decenas: 7 − 2 = 5
3. Restamos las centenas: 5 − 3 = 2
4. Restamos la unidades de mil: 9 − 5.
¿Sabías qué?
Si le restamos cero (0) al cualquier número, la diferencia será el mismo número. Por eso el cero (0) es el elemento neutro de la sustracción.
– Otro ejemplo:
1. Restamos las unidades: 8 − 1 = 7.
2. Restamos las decenas: 7 − 2 = 5
3. Restamos las centenas: 3 − 3 = 0
4. Restamos las unidades de mil: 5 − 4 = 1
Los ejemplos anteriores representan una sustracción “sin canje” ya que cada cifra del minuendo es menor o igual a las cifras del sustraendo, lo que hace que estas cantidades se resten en forma sencilla.
La resta, al igual que el resto de las operaciones básicas de las matemáticas, tienen relación con muchas de las actividades de la vida cotidiana, por ejemplo, administrar dinero, preparar una receta de cocina, calcular la distancia que tenemos que recorrer para llegar a algún lugar, etc. A través de estas podemos resolver problemas y tomar decisiones.
¡Es tu turno!
Resuelve las sustracciones:
8.971 – 3.801
9.999 – 7.554
5.649 – 2.628
Solución
SUSTRACCIÓN CON CANJE
Las sustracciones con y sin canje se resuelven de la misma manera. Solo se diferencian en que, al resolver sustracciones con canje, si en una posición el dígito del minuendo es menor que el del sustraendo, se desagrupa la cifra de la izquierda y se hace el canje. Para restas de números con más tres cifras los pasos son los siguientes:
1. Restamos las unidades: 9 − 6 = 3.
2. Como no le podemos restar 9 a 7, tomamos prestado o canjeamos una centena de la izquierda. Ahora, la decena 7 se transforma en 17 y la centena 3 se convierte en 2. Restamos 17 − 9 = 8.
3. Restamos las centenas: 2 − 2 = 0.
4. Restamos las unidades de mil: 4 − 2 = 2.
¿Sabías qué?
En una sustracción puede haber canje en una o más cifras.
– Otro ejemplo:
1. Restamos las unidades. Como no podemos restarle 9 a 1, prestamos una decena de de la izquierda. Ahora, a 11 le restamos 9 y la decena 3 se convierte en 2. Entonces. 11 − 9 = 2.
2. Restamos las decenas: 2 − 1 = 1.
3. Restamos las centenas: 7 − 3 = 4.
4. Restamos las unidades de mil: 9 − 6 = 3.
Ten presente que cuando el cero (0) está en el minuendo debes realizar las transformaciones respectivas. El mismo indica ausencia de valores en un orden específico.
¡Es tu turno!
Resuelve las siguientes sustracciones:
4.353 – 1.845
6.957 – 3.529
9.843 – 7.626
Solución
En la sustracción no se cumple la propiedad conmutativa, lo que significa que el cambio del orden de los términos da como resultado diferente cantidad y cambia el signo de la respuesta. Esta operación tampoco cumple con la propiedad asociativa, lo que significa que cuando se restan más de dos números, importa el orden en el que se realiza la resta.
¡COMPRUEBA SUSTRACCIONES!
Cuando resuelvas sustracciones, es muy importante que verifiques su solución, de esta manera evitarás resultados incorrectos.
La sustracción se puede comprobar con su operación matemática inversa: la suma. Para comprobarla basta con sumar la diferencia con el sustraendo, si el resultado es igual al minuendo; entonces la operación está correcta. Ejemplo:
También podemos expresarlo como:
Sustraendo + Diferencia = Minuendo
¡A practicar!
Resuelve las siguientes restas:
2.652 − 1.398
Solución
2.652 − 1.398 = 1.254
1.563 − 581
Solución
1.563 − 581 = 982
3.862 − 1.475
Solución
3.862 − 1.475 = 2.387
7.539 − 2.864
Solución
7.539 − 2.864 = 4.675
2.841 − 1.563
Solución
2.841 − 1.563 = 1.278
1.349 − 580
Solución
1.349 − 580 = 769
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Suma y resta utilizando el algoritmo de descomposición”
El siguiente artículo te permitirá trabajar con sus alumnos las operaciones de adición y sustracción por medio del algoritmo de descomposición.
En este artículo se explican las operaciones básicas o elementales en matemática. También se hace un enfoque en sus diferentes propiedades y sus elementos.
Con este material audiovisual podrás explicar con mayor profundidad cómo realizar restas o sustracciones por medio de la descomposición de los números.
Las unidades de longitud permiten expresar distancias entre un punto y otro, así como el largo, el ancho y el alto de cualquier cuerpo. Su unidad básica de media es el metro, que se representa con la letra minúscula m. Para medir longitudes debemos emplear instrumentos adecuados, como la cinta métrica o una regla. En nuestra vida diaria son muchas las ocasiones en que tenemos que medir longitudes: nuestra estatura, el largo de nuestro cabello o la distancia entre la escuela y la casa
La regla graduada es un instrumento de medición que incluye una escala dividida en unidades de longitud, por lo general, centímetros y milímetros.
masa
Las unidades de masa permiten determinar la cantidad de materia que tiene un cuerpo, una de las unidades más conocidas es el kilogramo (kg) y el gramo (g). Estas unidades nos permiten establecer relaciones o comparaciones del peso de los objetos. Por otra parte, el uso de instrumentos de medición adecuados como las balanzas y las básculas ayudar a determinar rápidamente la masa de cualquier objeto.
Las básculas y las balanzas son instrumentos que miden la masa y que puedes ver en los mercados y en las farmacias.
capacidad
La capacidad es la cantidad que cabe dentro de un recipiente y no debe confundirse con el volumen, que es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. La unidad de medida de capacidad es el litro (L), pero no es la única, por ejemplo, para medir cantidades pequeñas usamos el mililitro (mL) que es un submúltiplo del litro. Lacapacidad se puede medir mediante diferentes recipientes o instrumentos que están provistos de una escala graduada.
La capacidad de una jarra o un vaso es igual a la cantidad de líquido con la que podemos llenarla.
tiempo
A través de las unidades de tiempo es posible medir la duración o separación de los acontecimientos. Algunas unidades para medirlo son los años, los meses, las semanas, los días, las horas, los minutos y los segundos. El calendario registra el tiempo de un año distribuido en meses, semanas y días, mientras que el reloj permite registrar las horas del día en forma precisa, a través de las horas, minutos y segundos.
La duración de los eventos se conoce como tiempo y se puede medir, calcular y ordenar a través del calendario y el reloj.
Como podrás observar, en la tabla aparecen organizadas las edades y el número de niños que tienen esa edad. De la misma podemos concluir lo siguiente:
