Aunque todas las fracciones se caracterizan por tener dos números divididos con una raya fraccionaria, no todas son iguales. Hay clasificaciones de fracciones que dependen de la relación que existe entre sus denominadores, entre ellas están las fracciones homogéneas y las fracciones heterogéneas. Otras clasificaciones dependen de la relación que existe entre los numeradores y denominadores, y pueden ser fracciones propias e impropias.
Las fracciones representan la parte de un todo que ha sido dividida en partes iguales. Todas ellas tienen un denominador, que indica el número de partes iguales en las que está dividido un todo; y un numerador, que indica qué partes de ese todo hemos considerado. En este ejemplo, 2 es el numerador y 8 es el denominador.
Dos o más fracciones son homogéneas si tienen elmismo denominador. En estas fracciones el entero está dividido en la misma cantidad de partes.
y son fracciones homogéneas porque tienen el mismo denominador: 4.
– Ejemplos:
y
; y
; y
fracciones heterogéneas
Dos o más fracciones son heterogéneas si tienen diferentes denominadores, es por esto que el entero estará dividido en distintas partes según la fracción.
y son fracciones heterogéneas porque sus denominadores son diferentes.
– Ejemplos:
; y
; y
y
El ying y el yang en las fracciones
Los chinos representaban las fracciones con varillas, estas podían ser de bambú, hueso u otros materiales. A los elementos de una fracción le asignaban un rol femenino y otro masculino. Se referían al numerador como “el hijo” y al denominador como “la madre”. Este uso del ying y el yang los hacía seguir a la perfección las clasificaciones de fracciones y ser expertos conocedores de las operaciones con fracciones.
fracciones propias
Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador. Estas fracciones también reciben el nombre de fracciones puras. Las fracciones de este tipo son menores a un entero y se encuentran entre el 0 y el 1.
Para comprender mejor que estas fracciones siempre se encuentran entre el 0 y el 1 mostramos algunos ejemplos representados en una recta numérica:
– Ejemplos:
¿Sabías qué?
El símbolo “<” significa “menor que” y el símbolo “>” significa “mayor que”.
Cuando seguimos las instrucciones de una receta de cocina, usualmente fraccionamos los ingredientes, por ejemplo, media taza de leche (½) o tres cuartos de azúcar (¾). También usamos fracciones cuando ordenamos alimentos, como un cuarto de kilo de café (¼), medio kilo de queso (½) o litro y medio de gaseosa (1 ½).
fracciones impropias
Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Se las conoce también como fracciones impuras. Estas fracciones siempre son mayores a un entero, es decir mayores a 1.
En una recta numérica las fracciones impropias o impuras siempre se ubican del 1 en adelante porque son mayores a este, para entender mejor, observa los siguientes ejemplos:
– Ejemplos:
Hay expresiones que en cada país se dicen de maneras distintas pero que significan lo mismo, como por ejemplo “fresa” y “frutilla”. En el ámbito de la matemática sucede lo mismo, depende del país se utilizarán los términos “fracción propia” o “fracción pura” para el mismo tipo de fracción; y “fracción impropia” o “fracción impura” para el mismo tipo de fracción.
¡A practicar!
Determina si la siguientes fracciones son homogéneas o heterogéneas.
y
Solución
Heterogéneas
y
Solución
Homogéneas
; y
Solución
Heterogéneas
; y
Solución
Homogéneas
2. Determina si las fracciones a continuación son propias o impropias.
Solución
Propia
Solución
Impropia
Solución
Impropia
Solución
Impropia
3. Observa las fracciones en la recta numérica y responde.
a) ¿Cuál o cuáles son las fracciones que están entre 0 y 1? ¿Qué tipo de fracciones son?
Solución
Las fracciones que están entre 0 y 1 son 1/3 y 2/3. Son fracciones propias.
b) ¿Cuál o cuáles son las fracciones mayores que 1? ¿Qué tipo de fracciones son?
Solución
Las fracciones mayores a 1 son 5/3 y 7/3. Son fracciones impropias.
c) ¿Hay fracciones heterogéneas? ¿Cuáles?
Solución
No hay fracciones heterogéneas.
d) ¿Hay fracciones homogéneas? ¿Cuáles?
Solución
Sí, todas las fracciones de la recta son homogéneas.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Clasificación de fracciones”
Este recurso te permitirá profundizar las características y los criterios para clasificar las fracciones.
Todas los objetos planos tienen un contorno o frontera que las delimita. Por ejemplo, un alambrado delimita una casa, o una acera delimita un parque. Este borde se llama perímetro y su cálculo es muy sencillo, solo tenemos que saber la cantidad de lados y la longitud de cada uno de ellos en la figura.
¿qué es el perímetro?
El perímetro es el contorno de una figura plana y permite conocer su medida. Para calcularlo sumamos todos los lados de la figura.
Si queremos decorar este portarretrato con un cordón dorado, ¿cuánto cordón debemos comprar? ¡Muy fácil! Tenemos que calcular el perímetro del objeto. Como tiene dos lados que miden 15 centímetros y dos lados que miden 10 cm, sumamos todas las medidas de cada lado: 15 cm + 15 cm + 10 cm + 10 cm = 50 cm. Tenemos que comprar 50 cm de cordón.
¿Cómo calcular el perímetro en polígonos regulares?
Una de las características de los polígonos regulares es que todos sus lados tienen la misma longitud. Entonces, para calcular su perímetro multiplicamos la cantidad de lados del polígono por la longitud de su lado.
Perímetro = número de lados × longitud del lado
– Ejemplo:
Un cuadrado tiene 4 lados iguales. Si cada lado mide 5 cm, ¿cuál es el perímetro de la figura?
Perímetro = 4 × 5 cm = 20 cm
– Ejemplo 2:
Los triángulos equiláteros tienen todos sus lados iguales. Si cada lado mide 8 cm, ¿cuál es el perímetro de la figura?
Perímetro = 3 × 8 cm = 24 cm
¿Sabías qué?
Todos los polígonos regulares tienen lados, vértices, centro y perímetro.
perímetros en otras figuras planas
Existen otras figuras como los polígonos no regulares que se caracterizan por no tener todos los lados iguales. Para calcular los perímetros de estas figuras sumamos cada una de las longitudes de sus lados.
– Ejemplo 1:
Perímetro = 10 cm + 6 cm + 10 cm + 6 cm = 32 cm
– Ejemplo 2:
Perímetro = 6 cm + 4 cm + 3 cm + 2 cm + 3 cm + 3 cm = 21 cm
– Ejemplo 3:
Cada cuadrado interno de la figura mide 1 cm. Si sumamos cada cuadro por lado podremos saber el perímetro de esta figura.
Perímetro = 4 cm + 1 cm + 2 cm + 2 cm + 4 cm + 1 cm + 1 cm + 1 cm + 1 cm + 1 cm = 18 cm
Palacio de la Alhambra
El palacio la Alhambra se encuentra en España. Las partes inferiores de sus paredes están cubiertas con azulejos diseñados con polígonos. Estas figuras se unieron para crear múltiples combinaciones. La belleza de estas paredes demuestra lo impresionante que es la geometría aplicada en el arte.
aplicación del perímetro
Como ya vimos, para determinar el perímetro tenemos que sumar la longitud de todos los lados de la figuras. Si la figura es regular, es decir, si tiene todos sus lados iguales, solo multiplicamos la cantidad de lados por la longitud de uno de ellos. En la vida cotidiana este cálculo tiene diversas aplicaciones. Por ejemplo:
1. Carla corre todas la mañanas en el parque. Si cada día da tres vueltas alrededor del parque, ¿cuánto metros corre?
Primero calculamos el perímetro del parque:
Perímetro = 30 m + 15 m + 30 m + 15 m = 90 m
Como da tres vueltas, multiplicamos el resultado del perímetro por 3.
90 m × 3 = 270 m
Por lo tanto, Carla corre 270 m en el parque cada mañana.
2. Una familia quiere colocar una cerca alrededor de la casa, ¿cuánto metros de material debe comprar?
Solo tenemos que calcular el perímetro de la región que se quiere cercar:
Perímetro = 20 m + 5 m + 12 m + 5 m + 20 m = 10 m = 72 m
Entonces, se necesitan 72 metros de cerca para la casa.
3. Un auto de carreras dio 5 vueltas alrededor de la pista. ¿Cuántos metros corrió?
Primero calculamos el perímetro de la pista de carreras:
Perímetro = 80 m + 25 m + 40 m + 35 m + 40 m = 220 m
Como dio 5 vueltas, multiplicamos el resultado del perímetro por 5.
220 m × 5 = 1.100 m
Por lo tanto, el auto corrió 1.100 metros.
Castillos amurallados
Las murallas se han usado desde la prehistoria y se hicieron populares en la Edad Media. Muchos castillos de todo el mundo fueron amurallados para proteger el perímetro que los rodea con el fin de frenar y alejar a los ejércitos que deseaban conquistar sus tierras. No solo se amurallaban castillos sino también ciudades enteras, como la ciudad de Quebec en Canadá para establecer un perímetro de defensa y proteger a los ciudadanos.
¡A practicar!
1. Observa las siguientes figuras regulares y responde las preguntas.
¿Cuál es el perímetro del cuadrado morado?
Solución
El perímetro es de 16 cm.
¿Cuál es el perímetro del pentágono naranja?
Solución
El perímetro es de 30 cm.
¿Cuál es el perímetro del triángulo azul?
Solución
El perímetro es de 9 cm.
¿Cuál es el perímetro del hexágono verde?
Solución
El perímetro es de 30 cm.
2. Observa las siguientes figuras no regulares y responde las preguntas.
¿Cuál es el perímetro de la figura A?
Solución
El perímetro es 20 cm.
¿Cuál es el perímetro de la figura B?
Solución
El perímetro es 19 cm.
¿Cuál es el perímetro de la figura C?
Solución
El perímetro es 26 cm.
¿Cuál es el perímetro de la figura D?
Solución
El perímetro es 25 cm.
3. Un granjero quiere separar las ovejas de las vacas con una cerca triangular en una parte de su granja. Cada lado de la cerca tiene 12 metros. ¿Cuál es el perímetro de la cerca?
Solución
El perímetro de la cerca es 36 metros.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Perímetro de polígonos”
El siguiente artículo permitirá ampliar la información sobre el perímetro de polígonos.
Existen diferentes magnitudes físicas como la longitud, el área, el volumen y el tiempo que emplean unidades de medidas particulares. En el caso de la longitud, mide la distancia entre dos puntos; el área mide la superficie; el volumen mide el espacio y el tiempo mide la duración de un suceso. Desde 1960 se creó el Sistema Internacional de Unidades que busca que todos los países usen las mismas unidades de medición: el metro, el kilogramo, el metro cuadrado, el metro cúbico, el segundo, etc.
Los mayas usaban su propio calendario para medir el tiempo y planificar sus cosechas.
Instrumentos de medición
Medir es comparar con base en un patrón, de manera que para poder medir usamos instrumentos que se encuentran calibrados y presentan ciertas características como el rango de medición que soportan y que se indica en su cota superior e inferior. Algunos ejemplos de instrumentos que se usan en la escuela son la regla, la escuadra y el transportador. Los dos primeros miden longitudes y el último mide tamaños de ángulos.
Las reglas que usamos en la escuela generalmente vienen graduadas en centímetros y milímetros.
El tiempo
Para medir el tiempo usamos los relojes y cronómetros. Los relojes pueden ser análogos cuando emplean manecillas o digitales cuando no las emplean. La lectura del tiempo en estos casos se realiza de diferente manera. En un reloj analógico, la esfera se encuentra dividida en 12 horas que a su vez también presenta su división en minutos. Por otro lado, el formato de 24 horas es un sistema de medición que divide el día en 24 horas y comienza a partir de la medianoche hasta la medianoche siguiente.
Existen otras unidades de tiempo, como el día, la semana, el año, el lustro, la década, el siglo y el milenio.
Conversión de unidades
En el mundo existen diferentes unidades de medidas que pueden estar o no relacionados. Esto sucede con el metro, unidad usada para medir longitudes. El metro presenta submúltiplos como el decímetro, el centímetro y el milímetro; y múltiplos como el kilómetro, el hectómetro y el decámetro. Por medio de diagramas podemos transformar unidades de acuerdo a la relación que existan entre ellas, por ejemplo, las unidades de longitud y de capacidad aumentan de 10 en 10 y las de tiempo (segundo, minuto y hora) aumentan de 60 en 60.
El sistema para medir el tiempo es sexagesimal porque cada unidad es 60 veces menor que la anterior.
Podemos medir muchas cosas como la altura de un edificio, el tiempo que tardamos en llegar a un lugar o el volumen de una pelota. Todo esto es posible gracias a las unidades de medición, que son referencias convencionales de una magnitud física. Las magnitudes más comunes son la longitud, el área, el volumen y el tiempo.
Longitud
Es una magnitud física que permite medir la distancia entre dos puntos, como la distancia que hay entre la casa y la escuela. Una de las unidades de longitud más aceptada es el metro (m). El metro puede multiplicarse varias veces sobre sí mismo para formar unidades mayores o múltiplos y también puede dividirse varias veces en partes iguales para formar unidades más pequeñas de referencia denominadas submúltiplos. Por ejemplo:
El kilómetro (km) es un múltiplo del metro porque equivale a 1.000 veces su tamaño.
El centímetro (cm) es un submúltiplo porque equivale a la centésima parte de un metro.
No es tan reciente
El metro como unidad de medida de longitud se empezó a utilizar durante la Revolución francesa, a finales del siglo XVIII, sin embargo, se oficializó 100 años después cuando la Comisión Internacional de Pesos y Medidas lo definió como la distancia que existía entre dos marcas ubicadas en una barra de platino e iridio. Hoy día, el metro es definido como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante 1/299792458 de segundo.
Área o superficie
Es una magnitud que mide la extensión o superficie de una figura, por ejemplo, la superficie total del piso de una casa o de un campo de fútbol. Mientras mayor sea la región encerrada por una figura mayor será su área. Las unidades de medida comúnmente se expresan elevadas al cuadrado como el metro cuadrado (m2), el kilómetro cuadrado (km2) o el centímetro cuadrado (cm2).
Volumen
Es un tipo de magnitud que mide el espacio que ocupa un cuerpo: a mayor volumen, mayor será el espacio que ocupe. Las unidades de medidas más usadas son las elevadas al cubo como el metro cúbico (m3) y el centímetro cúbico (cm3).
Se estima que el volumen total del agua en la Tierra es de 1.386 millones de kilómetros cúbicos (km3).
Tiempo
Es una magnitud física que permite medir la duración o separación de acontecimientos. Gracias al tiempo podemos medir cuánto dura un partido de fútbol o conocer qué pasó al comienzo o al final de una película.
Las medidas de tiempo más usadas son el segundo, el minuto y la hora.
Aunque no se sabe con exactitud cuándo se inventó el reloj mecánico, existen datos históricos que permiten estimar su invención en el siglo XIII. Los relojes de este tipo empleaban un sistema de ruedas giratorias que, por medio de un conjunto de pesas, ponían en movimiento a las manecillas. Este tipo de relojes anticipó a los modelos actuales.
Sistema Internacional de unidades (SI)
Es un sistema que busca la unificación de las unidades de medida usadas en diferentes países. A pesar de que la mayoría de ellos lo han adoptado como sistema de medida oficial, existen algunos que manejan sus propias unidades. Fue creado en 1960, en la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en Francia.
Algunas unidades aceptadas por el Sistema Internacional de Medidas
Magnitud física
Unidad
Símbolo
Longitud
Metro
m
Volumen
Metro cúbico
m3
Área
Metro cuadrado
m2
Tiempo
Segundo
s
Masa
Kilogramo
kg
Temperatura
Kelvin
K
Unidades de medida extranjera
Muy pocos países no han adoptado al Sistema Internacional de Unidades como sistema de medida. De hecho, solo tres naciones no lo han declarado oficial en sus legislaciones: Estados Unidos, Liberia y Myammar.
Las unidades de medidas del Sistema Internacional no han sido las únicas empleadas en la medición. En la actualidad podemos usar otras, como las pulgadas, empleadas particularmente para identificar tornillos y medir pantallas de monitores y celulares.
El petróleo, por ejemplo, se suele medir en barriles y la mayoría de los biberones vienen graduados en onzas. Hay otras unidades de medidas usadas para fines específicos como la hectárea y el acre, empleadas para medir áreas de superficies.
Equivalencias de interés
1 pulgada = 2,54 centímetro
1 barril = 159 litros aproximadamente
1 onza = 28,35 gramos
1 hectárea = 10.000 metros cuadrados
1 acre = 4.046,86 metros cuadrados
Unidades de medidas usadas por los pueblos originarios
Nuestros pueblos originarios no eran la excepción si de medir las cosas se trataba. De hecho, cada una de las grandes civilizaciones precolombinas utilizaban unidades de medidas propias.
Los mayas tenían conocimientos avanzados en el campo de la astronomía, lo que les permitió elaborar su calendario por medio de medidas de tiempo propias. Gracias a esto, ellos podían calcular las estaciones y planificar el tiempo de las cosechas.
En el otro extremo del continente, los incas ya tenían un sistema de numeración propio: los quipus, que les permitieron realizar diversos cálculos matemáticos. En el campo de la medición, esta civilización también empleaba sus propias unidades: por ejemplo, para medir longitudes usaban partes del cuerpo como referencia, como la rikra, que consistía en la distancia de los dos dedos pulgares con los brazos extendidos en sentido horizontal.
Las antiguas civilizaciones emplearon sus propios sistemas de medición de unidades de tiempo, de longitud y de volumen. Había sistemas más precisos que otros pero todos servían para realizar diversas tareas, desde las más simples (como contabilizar o medir volúmenes de agua) hasta las más complejas (como la construcción de grandes edificaciones, templos y acueductos).
LOS NÚMEROS NATURALES SON LOS QUE USAMOS PARA CONTAR, POR EJEMPLO, LA CANTIDAD DE JUGUETES QUE TENEMOS O LAS HORAS QUE FALTAN PARA SALIR A JUGAR. TODOS ELLOS TIENEN UNA RELACIÓN CON LOS DEMÁS NÚMEROS. PARA ESCRIBIR ESTAS RELACIONES USAMOS ALGUNOS SÍMBOLOS ESPECIALES QUE APRENDERÁS HOY.
RELACIONES ENTRE NÚMEROS
TODOS LOS NÚMEROS NATURALES TIENEN UNA RELACIÓN. EN LA IMAGEN VEMOS UN ORDEN DE 1 EN 1 PORQUE CADA NÚMERO A LA DERECHA TIENE UNA UNIDAD MÁS QUE EL ANTERIOR. SI QUEREMOS SABER QUÉ NÚMERO ES MAYOR O MENOR QUE OTRO PODEMOS UTILIZAR UNA RECTA NUMÉRICA. MIENTRAS MÁS A LA DERECHA DE LA RECTA ESTÉ EL NÚMERO, MAYOR SERÁ SU VALOR.
HAY NÚMEROS QUE REPRESENTAN MÁS CANTIDAD QUE OTROS Y POR LO TANTO, TAMBIÉN HAY NÚMEROS QUE REPRESENTAN MENOS CANTIDAD QUE OTROS. ESTA RELACIÓN SE LLAMA ORDEN Y LA USAMOS CADA VEZ QUE CONTAMOS O COMPARAMOS CIFRAS.
ENTRE DOS NÚMEROS, UNO PUEDE SER MAYOR QUE OTRO, IGUAL A OTRO O MENOR QUE OTRO. CADA RELACIÓN TIENE UN SÍMBOLO ÚNICO PARA QUE PUEDAS DIFERENCIARLO.
MAYOR QUE
CUANDO ESCRIBIMOS NÚMEROS PODEMOS VER QUE UNOS REPRESENTAN MÁS CANTIDADES QUE OTROS. POR EJEMPLO:
¿CUÁNTOS CANGREJOS HAY EN LA CAJA ROJA?
HAY 24 CANGREJOS.
¿CUÁNTO CANGREJOS HAY EN LA CAJA AZUL?
HAY 12 CANGREJOS.
¿CUÁL CAJA TIENE MAYOR CANTIDAD DE CANGREJOS?
LA CAJA ROJA TIENE MAYOR CANTIDAD DE CANGREJOS PORQUE 24 ES MAYOR QUE 12.
ESTA RELACIÓN ENTRE DOS NÚMEROS LA PODEMOS ESCRIBIR CON EL SÍMBOLO > QUE SIGNIFICA “MAYOR QUE”.
24 > 12
SI UBICAMOS CADA NÚMERO EN LA RECTA NUMÉRICA TENEMOS QUE:
EL NÚMERO 24 ES MAYOR QUE 12 PORQUE SE ENCUENTRA MÁS A LA DERECHA EN LA RECTA NUMÉRICA.
OTRO EJEMPLO:
OBSERVA ESTOS NÚMEROS, ¿CUÁL ES MAYOR?
365 357
PARA RESPONDER LA PREGUNTA DEBEMOS REPRESENTAR EN LA RECTA NUMÉRICA CADA NÚMERO Y COMPARARLOS:
COMO EL 365 ESTÁ MÁS A LA DERECHA EN LA RECTA, 365 ES MAYOR QUE 357. ENTONCES:
365 > 357
¡A ORDENAR NÚMEROS!
ORDENA DE MAYOR A MENOR ESTOS NÚMEROS. USA EL SÍMBOLO “MAYOR QUE” PARA REPRESENTAR LA RELACIÓN ENTRE CADA UNO DE ELLOS.
125 – 89 – 856 – 632
SOLUCIÓN
856 > 632 > 125 > 89
IGUAL QUE
ES POSIBLE QUE DOS CANTIDADES SEAN IGUALES. POR EJEMPLO:
CADA CAJA TIENE CARACOLAS MARINAS, ¿CUÁNTAS HAY EN LA CAJA ROJA?, ¿CUÁNTAS HAY EN LA CAJA AZUL?
EN LAS DOS CAJAS HAY LO MISMO: 15 CARACOLAS MARINAS.
CUANDO DOS NÚMEROS SON IGUALES USAMOS EL SÍMBOLO = QUE SIGNIFICA “IGUAL A “.
15 = 15
EL SÍMBOLO DE IGUALDAD TAMBIÉN SIRVE PARA DEMOSTRAR QUE UN NÚMERO ES IGUAL A LA SUMA DE OTROS. EJEMPLO:
15 = 10 + 5
15 = 5 + 5 + 5
15= 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3
SI BUSCAMOS REPRESENTAR LA IGUALDAD EN UNA RECTA NUMÉRICA, LOS DOS NÚMEROS SERÁN REPRESENTADOS EN EL MISMO LUGAR.
¡COMPAREMOS NÚMEROS!
INDICA SI ESTAS IGUALDADES SON CORRECTAS:
543 = 500 + 40 + 3
SOLUCIÓN
CORRECTO.
123 = 10 + 2 + 3
SOLUCIÓN
INCORRECTO. LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE 123 = 100 + 20 + 3.
LA IGUALDAD
SIEMPRE QUE DOS EXPRESIONES SEAN IGUALES DECIMOS QUE HAY UNA IGUALDAD MATEMÁTICA. EL SIGNO USADO ES =. ESTE SIGNO FUE CREADO POR ROBERT RECORDE EN 1557. ÉL USÓ DOS RECTAS PARALELAS PARA REPRESENTARLO.
MENOR QUE
ALGUNOS NÚMEROS REPRESENTAN MENOS CANTIDADES QUE OTROS. POR EJEMPLO:
¿CUÁNTOS PECES HAY EN LA CAJA ROJA?
HAY 18 PECES.
¿CUÁNTOS PECES HAY EN LA CAJA AZUL?
HAY 21 PECES.
¿CUÁL CAJA TIENE MENOR CANTIDAD DE PECES?
LA CAJA ROJA TIENE MENOR CANTIDAD DE PECES PORQUE 18 ES MENOR QUE 21.
ESTA RELACIÓN ENTRE DOS NÚMEROS LA PODEMOS ESCRIBIR CON EL SÍMBOLO < QUE SIGNIFICA “MENOR QUE”.
18 < 21
SI UBICAMOS CADA NÚMERO EN LA RECTA NUMÉRICA TENEMOS QUE:
EL NÚMERO 18 ES MENOR QUE 21 PORQUE SE ENCUENTRA MÁS A LA IZQUIERDA EN LA RECTA NUMÉRICA.
OTRO EJEMPLO:
OBSERVA ESTOS NÚMEROS, ¿CUÁL ES MENOR?
433 448
PARA RESPONDER LA PREGUNTA DEBEMOS REPRESENTAR EN LA RECTA NUMÉRICA CADA NÚMERO Y COMPARARLOS:
COMO EL 433 ESTÁ MÁS A LA IZQUIERDA EN LA RECTA, 433 ES MENOR QUE 448. ENTONCES:
433 < 448
¿SABÍAS QUÉ?
LA ABERTURA DE LOS SÍMBOLOS < Y > SIEMPRE IRÁ HACIA EL NÚMERO MAYOR, Y LA PUNTA IRÁ HACIA EL NÚMERO MENOR.
¡A ORDENAR NÚMEROS!
ORDENA DE MENOR A MAYOR ESTOS NÚMEROS. USA EL SÍMBOLO “MENOR QUE” PARA REPRESENTAR LA RELACIÓN ENTRE CADA UNO DE ELLOS.
489 – 511 – 263 – 384
SOLUCIÓN
263 < 384 < 489 < 511
LOS SÍMBOLOS DE RELACIÓN SIRVEN PARA QUE COMPAREMOS CANTIDADES. ES POSIBLE QUE NO NOS DEMOS CUENTA, PERO SIEMPRE LOS USAMOS. POR EJEMPLO, MIENTRAS MÁS AÑOS TENEMOS, MÁS ALTOS SOMOS. SI MARCAMOS EN LA PARED NUESTRA ESTATURA VEREMOS QUE CADA AÑO LA MEDIDA ES MAYOR QUE LA ANTERIOR, O VISTO DE OTRO MODO, QUE LA ESTATURA ANTERIOR ES MENOR QUE LA ACTUAL.
Todas las fracciones representan una división o las partes de un entero. Las usamos día a día cuando queremos repartir chocolates con amigos, una pizza con familiares y hasta picar una torta de cumpleaños para los invitados. Cada vez que organizamos una reunión y pensamos cuántos invitados vendrán, hacemos uso de las fracciones.
lectura de fracciones
Toda fracción tiene un numerador y un denominador. Podemos representarlos en esta caja de rosquillas. ¡Observa! La caja es el entero y lo dividimos en 12 partes iguales porque hay 12 rosquillas. Ese es el denominador. El numerador será igual a las rosquillas repartidas. Si solo repartirmos 4, podemos decir que comimos 4/12 de la caja.
Las fracciones reciben diferentes nombres de acuerdo a los números que aparecen en el numerador y el denominador. El numerador lo leemos como cualquier número natural y el denominador de la siguiente manera:
Denominador
Lectura
2
Medios
3
Tercios
4
Cuartos
5
Quintos
6
Sextos
7
Séptimos
8
Octavos
9
Novenos
10
Décimos
A partir del 11 el número se lee terminado en -avos. Por ejemplo, onceavos, doceavos, treceavos y así sucesivamente.
– Veamos algunos ejemplos:
se lee “tres séptimos”.
se lee “cinco tercios”.
se lee “siete doceavos”.
se lee “dos décimos”.
se lee “ocho medios”.
¡Es tu turno!
Observa las siguientes fracciones, ¿cómo se leen?
Solución
Nueve cuartos.
Solución
Veinticinco treceavos.
Solución
Cinco octavos.
representación gráfica
En una fracción, el denominador indica las partes en las que se divide al entero y el numerador las partes que se toman.
Estas definiciones son importantes para realizar los gráficos de fracciones.
¿Cómo graficar una fracción propia?
Realicemos el gráfico de la fracción
Lo primero que hacemos es dibujar una figura. En este caso dibujaremos un rectángulo. Este será el entero.
Luego dividimos el entero en la cantidad de partes que nos indique el denominador. En este caso, como el denominador es 5, dividimos el rectángulo en 5 partes iguales.
Después pintamos la cantidad de partes que señale el numerador. Como en esta fracción el numerador es 3, pintamos 3 partes. El resultado será el gráfico de la fracción.
¿Cómo graficar una fracción impropia?
La fracciones impropias tienen el numerador mayor al denominador y por lo tanto son mayores que 1.
Realicemos el gráfico de la fracción
Primero dibujamos un figura que represente al entero. En este caso es un cuadrado.
Ahora dividimos el entero en tantas partes como nos señale el denominador. El denominador de esta fracción es 4, así que dividimos al cuadrado en 4 partes iguales.
Luego pintamos las partes que nos indique el numerador. Como el numerador es 6, no es suficiente con una sola figura, así que dibujamos de nuevo otro cuadrado con 4 partes y pintamos las partes necesarias para llegar a 6. Ese será el gráfico de la fracción.
¿Sabías qué?
Siempre que el numerador sea mayor que el denominador será necesario que dibujemos más de un entero para representar la fracción.
¡A practicar!
Representa gráficamente las siguientes fracciones:
Solución
Solución
Solución
representación en la recta numérica
La recta numérica es una línea recta sin principio ni final que contiene a todos los números. Ubicamos los números a partir del cero en segmentos iguales.
Entre el 0 y el 1, el 1 y el 2, o entre cualquier entero podemos encontrar fracciones. Todas estas también se pueden ubicar en la recta numérica.
Para ubicar las fracciones en la recta numérica solo tenemos que dividir la unidad en segmentos iguales según lo que indica el denominador y a partir del cero contamos tantos lugares como indique el numerador. Luego marcamos la fracción.
– Ejemplo:
Para representar en la recta numérica la fracción sigue estos pasos:
Divide el espacio entre 0 y 1 en 5 partes iguales.
Cuenta desde el cero dos lugares porque el numerador es 2.
Ubica la fracción.
¿Sabías qué?
Para representar en la recta numérica fracciones impropias se usan fracciones mixtas. Estas fracciones están formadas por una parte entera y una fraccionaria.
Ubica las fracciones
¿Qué fracción se representa en esta recta numérica?
¿cómo se relacionan las fracciones y las divisiones?
Las fracciones son partes de un todo, es decir, son divisiones de ese todo. Por esta razón están directamente relacionadas una con la otra.
Toda fracción es una división sin resolver entre dos números: el numerador y el denominador.
Entonces, es igual a . Las dos son formas correctas de escribir una división.
¿Sabías qué?
Podemos expresar las fracciones con la raya horizontal o con una diagonal, por ejemplo, es igual a .
La representación de las horas
Un reloj analógico marca diferentes fracciones con el paso de las horas. En una hora hay cuatro cuartos de hora, así que, cuando decimos que pasaron 15 minutos después de las 12, realmente decimos que pasó 1/4 de hora. Cuando la aguja de los minutos (aguja larga) llega al 6 significa que pasó media (1/2) hora y a los 45 minutos pasaron 3/4 de una hora.
Actividades
1. ¿Cómo se lee la fracción 3/10? Realiza su gráfico.
Solución
3/10 se lee “tres décimos”.
Su gráfico es igual a este:
2. ¿Cómo se lee la fracción 5/12? Representa la fracción en la recta numérica.
Solución
5/12 se lee “cinco doceavos”.
En la recta se representa así:
3. Une cada fracción con su gráfico:
Solución
4. ¿Qué fracción está representada en la siguiente recta numérica?
Solución
La fracción 3/6.
5. ¿Qué fracción está representada en la siguiente recta numérica?
Solución
La fracción 1/5.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Partes y porciones”
Este recurso permitirá profundizar la representación en la recta numérica.
EL SER HUMANO SIEMPRE HA INTENTADO COMUNICARSE A TRAVÉS DE PINTURAS EN CAVERNAS O CON TALLADOS EN METALES Y MADERA. HOY DÍA TAMBIÉN LO HACEMOS Y EXPRESAMOS NUESTROS SENTIMIENTOS O DESEOS POR MEDIO DE IMÁGENES, COSA QUE LLAMAMOS “PICTOGRAMAS“. ESTOS PICTOGRAMAS SON USADOS EN SEÑALES DE TRÁNSITO, CARTELES PUBLICITARIOS, HISTORIETAS, AVISOS Y GRÁFICOS DE DE INFORMACIÓN QUE PUEDEN SER ENTENDIDOS POR TODAS LAS PERSONAS DEL MUNDO DE FORMA CLARA.
LOS PICTOGRAMAS SON UTILIZADOS EN LAS SEÑALES DE TRÁNSITO COMO ESTE.
TABLAS
LOS DATOS RECOLECTADOS TRAS UNA ENCUESTA PUEDEN ORGANIZARSE EN UNA TABLA. UNA TABLA ES UN CUADRO FORMADO POR FILAS, COLUMNAS Y CELDAS. LAS COLUMNAS SON LAS HILERAS VERTICALES, LAS FILAS SON LAS HILERAS HORIZONTALES Y LAS CELDAS RESULTAN DE LA UNIÓN ENTRE UNA FILA Y UNA COLUMNA. PUEDEN HACERSE CON NÚMEROS, CON PICTOGRAMAS Y CON MÁS DE DOS DATOS.
LAS TABLAS SON DE GRAN AYUDA PARA CONTROLAR EL DINERO QUE TENEMOS Y EL QUE GASTAMOS.
GRÁFICO DE BARRAS
LOS GRÁFICOS DE BARRAS MUESTRAN CON RECTÁNGULOS UNA INFORMACIÓN. ESTOS GRÁFICOS EXPRESAN A TRAVÉS DE BARRAS EL VALOR DE UNA CATEGORÍA Y SON MUY ÚTILES PARA VER DE FORMA RÁPIDA CUÁL TIENE UN MAYOR VALOR O UN MENOR VALOR. PARA REALIZARLO EN NECESARIO QUE PRIMERO ORGANICEMOS LOS DATOS EN UNA TABLA.
LOS GRÁFICOS DE BARRAS PUEDEN SER VERTICALES, HORIZONTALES O APILADOS.
PROBABILIDAD
LA PROBABILIDAD ESTUDIA LA POSIBILIDAD DE QUE UN EVENTO OCURRA O NO. POR EJEMPLO, SI LANZAMOS UN PAR DE DADOS NO SABEMOS CON SEGURIDAD QUÉ NÚMERO SALDRÁ, PERO SÍ SABEMOS QUE SALDRÁ EN CADA UNO UN NÚMERO MENOR A 7. ESTOS SON SUCESOS ALEATORIOS EN LOS QUE INTERVIENE EL AZAR, ES DECIR, QUE NO PODEMOS PREDECIR.
LOS JUEGOS DE CARTAS Y DADOS SON JUEGOS DE AZAR. HAY PROBABILIDAD DE QUE SALGA CUALQUIER CARTA DEL MAZO, ASÍ COMO CUALQUIER NÚMERO MENOR A 7 EN CADA DADO.
¿ALGUNA VEZ HAS LANZADO UN DADO? ¿SIEMPRE SABES QUE NÚMERO SALDRÁ? ¡NO! ¿VERDAD? AUNQUE SABES QUE PUEDE SALIR UN NÚMERO DEL 1 AL 6 NO TIENES SEGURIDAD DE CUÁL DE ESOS NÚMEROS SERÁ. GRACIAS A LA PROBABILIDAD PODEMOS CALCULAR LA CANTIDAD DE VECES QUE UN EVENTO ALEATORIO COMO ESTE PUEDE OCURRIR O NO.
evento ALEATORIO
UN EVENTO ALEATORIO ES AQUEL QUE PUEDE OCURRIR O NO PUEDE OCURRIR Y EN EL QUE INTERVIENE EL AZAR. ES DECIR, QUE SI REPETIMOS EL MISMO EL EVENTO PODEMOS TENER SIEMPRE DISTINTOS RESULTADOS.
– EJEMPLOS:
LANZAR UNA MONEDA.
LANZAR UN DADO.
ELEGIR UNA CARTA DE UN MAZO.
SACAR UN CARAMELO ROJO DE UNA BOLSA CON CARAMELOS DE MÚLTIPLES COLORES.
COMO VES, NO PODEMOS PREDECIR EL RESULTADO DE ESTOS EVENTOS.
LOS DADOS SON OBJETOS CON FORMA DE CUBO Y TIENEN SEIS CARAS. CADA CARA REPRESENTA UN NÚMERO DEL 1 AL 6. ES NORMAL QUE LOS VEAS EN JUEGOS DE MESA COMO EL LUDO, EL MONOPOLIO Y EL PASE INGLÉS. CUANDO LANZAMOS UN DADO ESTAMOS SEGUROS QUE SALDRÁ UNO DE ESOS NÚMEROS, PERO NO SABEMOS CON SEGURIDAD CUÁL, ES DECIR, NO PODEMOS PREDECIR EL RESULTADO. ESO ES LO QUE CONOCEMOS COMO AZAR.
sucesos posibles
OBSERVA ESTAS BOLSAS CON BOLAS DE COLORES. SI SACAMOS UNA BOLA CON LOS OJOS CERRADOS NO SABRÍAMOS DE QUÉ COLOR SALDRÍA LA BOLA. SIN EMBARGO, PODEMOS PREDECIR QUÉ TAN PROBABLE ES QUE SAQUEMOS UN COLOR U OTRO.
– EJEMPLO:
NOTA QUE:
HAY 2 BOLAS ROJAS.
HAY 10 BOLAS AMARILLAS.
HAY MÁS BOLAS DE COLOR AMARILLO, ASÍ QUE:
ES MÁS PROBABLE QUE SAQUEMOS UNA BOLA DE COLOR AMARILLO.
NOTA QUE:
HAY 6 BOLAS ROJAS.
HAY 6 BOLAS AMARILLAS.
HAY IGUAL CANTIDAD DE BOLAS DE COLOR ROJO Y AMARILLO, ASÍ QUE:
ES IGUAL DE PROBABLE QUE SAQUEMOS UNA BOLA DE COLOR AMARILLO O DE COLOR ROJO.
NOTA QUE:
HAY 10 BOLAS ROJAS.
HAY 2 BOLAS AMARILLAS.
HAY MENOS BOLAS DE COLOR AMARILLO, ASÍ QUE:
ES MENOS PROBABLE QUE SAQUEMOS UNA BOLA DE COLOR AMARILLO.
SEGURO, PROBABLE O IMPOSIBLE
LOS SUCESOS SON CADA UNO DE LOS RESULTADOS POSIBLES DE UN EVENTO ALEATORIO. ESTOS PUEDEN SER SEGUROS, PROBABLES O IMPOSIBLES.
LOS SUCESOS SEGUROS OCURREN SIEMPRE.
LOS SUCESOS PROBABLES OCURREN A VECES.
LOS SUCESOS IMPOSIBLES NO OCURREN NUNCA.
– EJEMPLO:
ES SEGUROSACAR UNA BOLA AMARILLA.
ES PROBABLE SACAR UNA BOLA VERDE.
ES IMPOSIBLESACAR UNA BOLA AZUL.
¿SABÍAS QUÉ?
LOS SUCESOS QUE OCURREN CON SEGURIDAD SE LLAMAN “SUCESOS DETERMINISTAS”, POR EJEMPLO, LA HORA EN LA QUE ABRE UN BANCO SIEMPRE ES LA MISMA.
ALFONSO TIENE BLOQUES DE COLOR AMARILLO, AZUL, ROJO, VERDE, BLANCO Y NEGRO PARA JUGAR. SI ESTÁN TODOS EN UNA CAJA Y SACA DE A UNO SIN VER ES SEGURO QUE ALFONSO ELEGIRÁ UN BLOQUE DE CUALQUIERA DE ESOS COLORES, ES PROBABLE QUE ELIJA UN BLOQUE AMARILLO, PERO ES IMPOSIBLE QUE ELIJA UN BLOQUE DE COLOR ANARANJADO O GRIS.
RECOPILACIÓN DE DATOS
TODOS LOS DATOS PUEDEN ORGANIZARSE EN UNA TABLA, EN UNA TABLA DE PICTOGRAMAS O EN UN GRÁFICO DE BARRAS. POR EJEMPLO, SI QUEREMOS ORGANIZAR LOS BLOQUES PARA JUGAR POR COLOR TENEMOS QUE CONTAR UNO POR UNO Y HACER GRUPOS DE COLORES. LUEGO LOS REPRESENTAMOS. POR EJEMPLO:
TABLA
COLOR DEL BLOQUE
CANTIDAD DE BLOQUES
AMARILLO
16
AZUL
28
ROJO
32
VERDE
20
TABLA DE PICTOGRAMA
COLOR DEL BLOQUE
CANTIDAD DE BLOQUES
AMARILLO
AZUL
ROJO
VERDE
CLAVE
= 4 BLOQUES
GRÁFICO DE BARRAS
NOTA QUE TANTO LA TABLA, COMO LA TABLA DE PICTOGRAMAS Y EL GRÁFICO DE BARRAS REPRESENTAN LOS MISMOS DATOS.
¡A PRACTICAR!
COMPLETA CON “SEGURO”, “PROBABLE” O “IMPOSIBLE” LAS SIGUIENTES ORACIONES.
ES ____ LANZAR UN DADO Y QUE SALGA EL NÚMERO 7.
SOLUCIÓN
IMPOSIBLE
ES ____ LANZAR UNA MONEDA Y QUE SALGA CARA.
SOLUCIÓN
PROBABLE
ES ____ LANZAR UN DADO Y QUE SALGA UN NÚMERO MENOR A 7.
SOLUCIÓN
SEGURO
2. OBSERVA ESTA RULETA. LUEGO RESPONDE LAS PREGUNTAS.
¿CUÁNTAS ZONAS ROJAS HAY?
SOLUCIÓN
3
¿CUÁNTAS ZONAS VERDES HAY?
SOLUCIÓN
2
¿CUÁNTAS ZONAS MORADAS HAY?
SOLUCIÓN
2
¿CUÁNTAS ZONAS AMARILLAS HAY?
SOLUCIÓN
1
¿CUÁL COLOR ES MÁS PROBABLE QUE SALGA LUEGO DE GIRAR LA RULETA?
SOLUCIÓN
EL ROJO.
¿CUÁL COLOR ES MENOS PROBABLE QUE SALGA LUEGO DE GIRAR LA RULETA?
SOLUCIÓN
EL AMARILLO.
¿CUÁLES COLORES TIENEN IGUAL PROBABILIDAD DE SALIR LUEGO DE GIRAR LA RULETA?
SOLUCIÓN
EL VERDE Y EL MORADO.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Probabilidad”
Este artículo servirá de ayuda para profundizar sobre los conceptos básicos de la probabilidad.
Cada vez que necesitamos hacer una multiplicación del mismo número repetidas veces, recurrimos a la potenciación. Esta operación, así como muchas otras, cumple con ciertas propiedades. ¿Cuál es la manera correcta de aplicarlas?, ¿cuáles son los beneficios? A continuación, aprenderás cuáles son y sus aplicaciones prácticas.
La potencia o potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar varias veces un mismo número. Consta de una base, que es el número que se multiplica, y de un exponente, que es el número que señala la cantidad de veces que se multiplica la base por sí misma. Es decir, la potenciación no es más que una multiplicación abreviada.
principales propiedades de la potencia
Las propiedades de potenciación tienen una gran cantidad de aplicaciones, pero también tienen ciertas restricciones y es importante conocerlas para no cometer errores en su resolución. Entonces, siempre que apliquemos las propiedades será a las operaciones de multiplicación y división, nunca será a las operaciones de suma y resta.
Enverde están las operaciones a las que aplicaremos las propiedades de potenciación, y en rojo, las operaciones a las que no podremos aplicarlas nunca.
En la siguiente tabla podrás observar las propiedades de la potenciación:
Propiedades de la potenciación
Producto de potencia de igual base
am · an = a(m + n)
Cociente de potencia de igual base
am / an = a(m − n)
Potencia de potencia
(am)n = an · m
Producto de potencias con bases diferentes y exponentes iguales
an · bn = (a · b)n
Cociente de potencias con bases diferentes y exponentes iguales
an / bn = (a / b)n
Exponente negativo
a−n = 1 / an
¿Sabías qué?
Cuando el exponente es negativo, mientras mayor sea su valor más pequeño será el resultado.
Notación científica
La notación científica es una forma de expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas que le ha permitido a los científicos simplificar sus cálculos. Es conocida también como notación o patrón exponencial porque emplea potencias de base 10 dentro de su expresión. Las potencias de base 10 son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente. Un ejemplo de notación científica lo vemos en las masas de los objetos astronómicos, por ejemplo, la masa de la Luna es de aproximadamente 735 × 1020 kg.
Ejemplos prácticos
Aplicación a la suma y resta
La aplicación de las propiedades corresponde a varias operaciones matemáticas pero no a la suma y la resta. Sin embargo, eso no significa que no pueda aplicarse a ejercicios donde existan muchos términos que se suman o se restan. Cuando esto sucede, se aplican las propiedades solo a los términos por separado.
Producto de una potencia de igual base
Cuando existe una multiplicación entre dos potencias con igual base, el resultado final será la misma base elevada a la suma de los exponente de potencias que se multiplicaron. Por ejemplo:
53 ·52= 5(3 + 2)= 55
42 ·40= 4(2 + 0)= 42
68 · 62 · 63 = 6(8 + 2 + 3) = 613
Cociente de una potencia de igual base
Cuando dividimos dos potencias con igual base el procedimiento es similar al de la multiplicación, con la diferencia de que aquí restamos los exponentes de las potencias. Por ejemplo:
53/ 52= 5(3 − 2)= 51
42/ 40= 4(2 − 0)= 42
Potencia de una potencia
Cuando tenemos una base elevada a un exponente n, y esta a su vez está elevada a otro exponente m, el resultado final lo obtenemos al multiplicar ambos exponentes (n · m). Por ejemplo:
(42)4= 42 · 4= 48
(33)3= 33 · 3= 39
Producto de potencias con bases diferentes y exponentes iguales
Si multiplicamos dos potencias con igual exponente y bases distintas, el resultado será igual a mantener el exponente y solo multiplicar las bases. Por ejemplo:
53· 43= (5 · 4)3
32·22= (3 · 2)2
Cociente de potencias con bases diferentes y exponentes iguales
De igual manera que en el caso anterior, el resultado será el cociente de las bases elevadas al exponente. Por ejemplo:
53/ 43= (5/4)3
32/ 22= (3/2)2
Exponente negativo
Cuando el exponente es negativo, la potencia será igual a la inversa de su base y el mismo exponente con signo positivo. Por ejemplo:
(2)−2= (1/2)2= 1/22= 1/4
(1/2)−1= 2
Los átomos son las unidades básicas de toda la materia. En conjunto crean las moléculas y son microscópicos. Para poder medir las distancias entre ellos se usa una unidad de longitud llamada angstrom (Å = 1 x 10−10 metros). El exponente igual a −10 nos indica que el valor en metros es equivalente a 0,0000000001 m.
Potencia de decimales y fracciones
Cuando las bases son decimales o fracciones, las propiedades se mantienen sin distinción. Por ejemplo:
(0,1)2= (0,1) · (0,1) = 0,01
Observa que 0,1 = 1 · 10−1 , y aquí se puede aplicar la propiedad de potencia de potencia.
(0,1)2= (1 · 10(−1))2= 10(−1) · 2= 10−2= 0,01
De la misma manera, si sabemos que 0,1 = 1/10:
(0,1)2= (1/10)2= 1/102= 1/100 = 0,01
Cualquiera sea la expresión que se elija para resolver la operación se debe llegar al mismo resultado.
¡A practicar!
Aplica la propiedad correspondiente en cada caso:
34· 31 · 33
Solución
34 · 31 · 33 = 3(4 + 1 + 3) = 38 = 6.561
62 / 62
Solución
62 / 62 = 6(2 − 2) = 60 = 1
(7−1)−3
Solución
(7−1)−3 = 7(−1) · (−3) = 73 = 343
63· 83
Solución
63 · 83 = (6 · 8)3 = 483 = 110.592
(−1/2)−2
Solución
(−1/2)−2 = (−2)2 = (−2) · (−2) = 4
83 / 43
Solución
83 / 43 = (8/4)3 = 23 = 8
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Ejercicios de propiedades de la potencia”
En el artículo podrá reforzar las propiedades de potenciación vistas a partir de ejemplos y ejercicios. También se explica la importancia de la correcta aplicación de las propiedades en cada término al sumar o restar.
En ocasiones necesitamos efectuar cálculos que combinan varios tipos de números y, por lo tanto, diferentes tipos de operaciones. Para estos casos lo más importante es saber las jerarquías o el orden en el que debemos resolverlos, y para eso están los signos de agrupación. Aprendamos cuáles son y cómo usarlos.
SIGNOS DE AGRUPACIÓN
En matemática, los signos de agrupación hacen referencia a los paréntesis “( )”, corchetes “[ ]” y llaves “{ }” que empleamos para saber el orden o prioridad en el que realizamos las operaciones. En este sentido, existe una convención respecto a la jerarquía de estos signos:
En primer lugar, resolvemos los cálculos que se encuentran entre paréntesis “( )”.
En segundo lugar, realizamos los cálculos que están agrupados dentro de los corchetes “[ ]”.
Finalmente, hacemos las operaciones que están dentro de las llaves “{ }”.
¿Sabías qué?
En una ecuación no deberían aparecer corchetes sin la presencia de paréntesis, ya que los paréntesis tienen la prioridad en el orden de operaciones.
Operaciones combinadas en la calculadora
Muchas calculadoras u hojas de cálculo no utilizan los corchetes ni las llaves para jerarquizar el orden de operaciones combinadas y solo aplican los paréntesis para indicar qué operaciones se realizan primero. Por ejemplo, si deseamos resolver la operación:
El modo de introducir esta operación en algunas calculadoras (con entrada de datos SVPAM) sería:
Como observamos, hay diferentes niveles de jerarquía en los paréntesis, que en este caso, los denotamos por colores.
En las calculadoras también debemos emplear los signos de agrupación para indicar el orden de las operaciones. El uso incorrecto de los paréntesis, o su omisión cuando se necesiten, arrojará resultados erróneos. Por ejemplo, la operación (12 − 10) / 4 da como resultado 0,5; sin embargo, si obviamos los paréntesis y solo escribimos 12 − 10 / 4, el resultado será 9,5.
METODOLOGÍA PARA RESOLVER PROBLEMAS COMBINADOS
Cuando se presentan ejercicios que combinan diversas operaciones, así como diferentes tipos de números, es recomendable que sigamos los siguientes pasos:
1. Identificamos los signos de agrupación que aparecen en el ejercicio para saber el orden en el que vamos a resolver los términos. En este ejemplo tenemos paréntesis, corchetes y llaves.
2. Realizamos primero las operaciones que se encuentran dentro del paréntesis.
Multiplicación y división primero
Si en una operación tenemos dos o más términos que se suman o restan y no hay paréntesis, pero a su vez cada término tiene una multiplicación o una división, primero hacemos la multiplicación o la división antes de hacer la suma o la resta.
Multiplicamos la fracción por 7,81 ya que esta operación tiene prioridad sobre la suma. Las multiplicaciones se resuelven de manera lineal, así que basta con multiplicar −9 × 7,81, y dividir el producto de esta multiplicación entre el denominador de la fracción (4).
Luego realizamos la suma de este resultado con 22,06. Como se trata de una suma de números con signos diferentes, empleamos una regla de los signos: ambos números se restan y se mantiene el signo del número con mayor valor absoluto.
3. Una vez que realizamos todas las operaciones dentro del paréntesis, lo eliminamos y agregamos el resultado obtenido. Luego seguimos con las operaciones dentro de los corchetes:
Multiplicamos el número decimal por 5 y el producto lo dividimos entre 3.
4. Eliminamos los corchetes y colocamos el resultado obtenido. A continuación, realizamos la operación dentro de las llaves:
Multiplicamos el número negativo por el número decimal. Aplicamos la regla de los signo para la multiplicación: (−)(+)=(−).
5. Por último, resolvemos la multiplicación. En este caso solo tenemos que multiplicar el resultado anterior por la fracción 1/12, lo que es igual a solo dividir entre 12 el número −269,28.
6. Escribimos el resultado:
En ocasiones no se utilizan todos los signos de agrupación y se trabaja solo con paréntesis que tienen diferentes jerarquías como podemos ver en la parte superior de la imagen. En este caso, debemos resolver primero las operaciones que están dentro de los paréntesis más internos hasta terminar con los paréntesis externos.
EJERCICIOS COMBINADOS
Los ejercicios combinados pueden involucrar diferentes tipos de números y además varias operaciones, y de ser necesario, el orden para realizarlos viene determinado por los signos de agrupación.
Si los términos dentro de un signo de agrupación contienen diferentes tipos de números, por ejemplo, fracciones, decimales, potencias o radicales; será necesario que realicemos primero una transformación para unificar el tipo de número antes de resolver.
– Ejemplo:
Primero resolvemos la operación dentro de los paréntesis:
En este caso, es una resta de fracciones:
Eliminamos los paréntesis y colocamos el resultado. Luego resolvemos la operación dentro de los corchetes:
Resolvemos la potencia:
Después resolvemos la resta:
Expresamos la fracción como su número decimal equivalente por medio de una división entre su numerador y denominador:
Eliminamos lo corchetes y escribimos el nuevo resultado. Ahora, resolvemos las operaciones dentro de las llaves:
Tenemos dos operaciones dentro de las llaves, y como las multiplicaciones tienen prioridad sobre las sumas, hacemos la multiplicación de la fracción con el número decimal primero:
Después realizamos la suma con el radical:
Resolvemos la raíz cuadrada. En este caso, es un cuadrado perfecto y la raíz es exacta.
Finalmente sumamos:
Por último, escribimos el resultado:
Las operaciones básicas utilizadas en aritmética son la suma, la resta, la multiplicación y la división. Sin embargo, podemos encontrar otras operaciones, como la potenciación, que en esencia es una multiplicación sucesiva de factores iguales. Por ejemplo, si queremos conocer el resultado de 23, solo efectuamos la operación 2 x 2 x 2 = 8.
¡A practicar!
Determina la solución de los siguientes ejercicios combinados.
Solución
Solución
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “¿Cómo realizar ejercicios combinados con fracciones?”
Este recurso describe por medio de ejemplos el procedimiento para realizar operaciones combinadas entre números naturales, fracciones y potencias.
y
;
y
;
y
;
y
;
y
y
y
y
;
y
;
y
ES 
ES 
= 4 BLOQUES
