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Múltiplos y divisores

La multiplicación y la división son operaciones básicas de los números naturales. Ambas se relacionan con el concepto de divisibilidad del cual derivan nuevas definiciones: múltiplos y divisores. Ambos términos señalan la cantidad de veces que un número está contenido dentro de otro y la cantidad de veces que un número puede dividir a otro.

Múltiplos Divisores
¿Qué son? Números que contienen a otros una cantidad entera o exacta de veces. Números que dividen a otros una cantidad entera o exacta de veces.
¿Cuál es el primero? Para cualquier número, el primer múltiplo siempre será 0. Para cualquier número, el primer divisor siempre será 1.
Propiedad 1 Todos los números naturales son múltiplos de 1 y de sí mismos.

 

  • 5.1=5

5 es múltiplo de 1 y de sí mismo.

 Todos los número son divisores de sí mismo, excepto el número cero.

 

  • 8\div 8=1

8 es divisor de sí mismo. El resto es cero, por eso es divisor.
Propiedad 2 El cero es múltiplo de todos los números.

 

  • 14.0=0

0 es múltiplo de 14.

 El número 1 es divisor de todos los números.

 

  • 9\div 1=9

1 es divisor de 9.
Propiedad 3 Los múltiplos de un número natural son infinitos.

 

  • 3 = \left \{0,3,6,9,12,15,18... \right \}
 Los divisores de un número distinto de cero son finitos.

 

  • 12 = \left \{1,2,3,4,6,12 \right \}
Ejemplos
  • 3 . 6=18

18 es múltiplo de 3 y de 6.

 

  • 9.4=36

36 es múltiplo de 9 y de 4.
  • 72\div9 =8

9 es divisor de 72.

 

  • 36 \div 4= 9

4 es divisor de 36.

 

Múltiplos y divisores

Se denominan múltiplos de un número a los resultados obtenidos de multiplicar dicho número por todos los números naturales, y divisores de un número a los términos que lo dividen y da un resultado exacto.

Una secuencia de números: Los múltiplos

Al multiplicar un número con cada uno de los números naturales, el resultado que se obtiene es un múltiplo de ese número.

3 x 0 = 0
3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 7 = 21
3 x 8 = 24
3 x 9 = 27
3 x 10 = 30

Los números marcados en rojo son múltiplos de 3. Estos números resultan de la multiplicación del número 3 por números naturales.

Como los números naturales son infinitos, los múltiplos de un número también lo son, así que los múltiplos de 3 y de cualquier número continúan hasta el infinito.

Divisores: Una división exacta

En la vida cotidiana dividimos con mucha frecuencia.

Un divisor es todo número que al dividir un número entre este el resultado de la división es exacto es decir, un número entero. Observando la división: 24 ÷ 2 = 12

En este caso el 2 es divisor de 24 porque al resolver 24 ÷ 2 el resultado es 12 y se dice que la división es exacta.

Un número puede contener uno o más divisores. De esta forma al resolver 24 ÷ 3 el resultado sería 8 y al ser una división exacta se dice entonces que el tres es divisor de 24.

En la siguiente tabla podemos observar que a 24 solo lo podemos dividir entre los números 1, 2, 3, 4, 8 y 24 para que el resultado sea exacto.

24 ÷ 1 = 24
24 ÷ 2 = 12
24 ÷ 3 = 8
24 ÷ 4 = 6
24 ÷ 8 = 3
24 ÷ 24 = 1

¿Cuándo un número es divisor?

Para determinar cuando un número es divisor se tienen una serie de criterios que permiten identificar cuando un número es divisible entre otro. Por ello, estos criterios se conocen con el nombre de criterios de divisibilidad. A continuación veremos algunos de ellos:

  1. Un número es divisible entre 2 si:
    Es un número par. Todo número par tiene como divisor el número 2.
  1. Un número es divisible entre 3 si:
    Al sumar las cifras que lo componen da como resultado un múltiplo de 3. Por ejemplo: 342 es divisible entre 3 porque al sumar: 3 + 4 +2 el resultado es 9, el cual es un múltiplo de 3.
  1. Un número es divisible entre 5 si:
    El número termina en 0 o 5. Por ejemplo: 25, 30, 45 son divisibles entre 5 ya que terminan en 5 o 0.

Recuerda que estos son algunos de los más comunes y que para que un número sea divisible entre otro, el resultado al dividirlos debe ser exacto.

Ten siempre presente que:

  1. Todo número es divisible entre 1.
  2. Todo número es divisible entre sí mismo y corresponde a su máximo divisor.