Etiqueta: ejercicios con ángulos entre paralelas

En geometría, al cortar dos rectas paralelas con una recta secante quedan determinados varios ángulos. Éstos se ajustan a algunas propiedades que permiten realizar tanto cálculos numéricos entre ellos como cálculos algebraicos. 

RECTA

Propiedades de la recta

• La recta es la menor distancia entre dos puntos.
• La recta es infinita en longitud.
• Dos puntos determinan una recta.
• Por un punto pueden pasar infinitas rectas.

Tipos de rectas

Cuando las rectas se encuentran en un mismo plano se denominan coplanares. Éstas pueden ser:

Secantes: se cortan en un punto, es decir, entre ellas existe un punto de intersección.

Paralelas: no poseen punto de intersección entre ellas. En otras palabras, la intersección entre ellas es el conjunto vacío.

Perpendiculares: se intersecan en un punto y dicha intersección determina cuatro ángulos rectos (90°).

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS

Cuando dos rectas se intersecan se determinan cuatro ángulos, al compararlos de a pares pueden ser:

• Adyacentes (suman 180°). Son los pares: α,β; γ,δ.
• Opuestos por el vértice (tienen la misma amplitud). Son los pares α,δ; β,γ.

ángulos entre DOS paralelas Y UNA SECANTE

De la figura anterior se observa que:

• Las rectas a y b son paralelas.
• c es secante a la recta a.
• c es secante a la recta b.

Los ángulos se representarán con números para mejor comprensión, pero en la sección de ejercicios se utilizarán las letras griegas α, β, γ, etc.

Ángulos internos:

Son aquellos comprendidos entre las rectas a y b: .

Ángulos externos:

Son aquellos que se observan en la región externa a las rectas a y b:  .

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

ALTERNOS

Son pares de ángulos que se ubican en semiplanos distintos con respecto a la transversal (secante). Éstos:

• Son congruentes, es decir, tienen la misma amplitud.
• No son adyacentes.

Alternos internos 

Alternos externos 

CONJUGADOS

Están ubicados en el mismo semiplano respecto de la transversal. Éstos:

• Suman 180° (son suplementarios).
• No son adyacentes.

Conjugados internos

Conjugados externos 

Correspondientes 

Son pares de ángulos que se encuentran ubicados en el mismo semiplano con respecto a la transversal. Éstos:

• Tienen la misma amplitud. Es decir, son congruentes.
• No son adyacentes.

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

Dadas a//b (a paralela a b). Hallar los ángulos α,β y γ:

Se comienza en orden alfabético (alfabeto griego) para una resolución más organizada:

 y 50° son adyacentes, es decir, entre ambos suman 180°. Entonces:

 + 50°= 180°
 = 180°- 50°
 = 130°

Se puede ir escribiendo en el gráfico los valores a medida que se van obteniendo para visualizar mejor la ubicación de los nuevos datos y si éstos son coherentes o no. Por ejemplo,  es un ángulo obtuso, por lo tanto sus valores deben ser mayores que 90° y menores que 180°. 130° cumple con esta condición.

Para hallar  se puede realizar el siguiente análisis previo:

•  y  son adyacentes.
• 50° y  son opuestos por el vértice

Se realizará el procedimiento para ambos casos, aunque con una de las dos opciones es suficiente para hallar la respuesta.

Como  y  son adyacentes:

$$\begin{gathered} \hat{\beta }+\hat{\alpha }=180° \\ \hat{\beta } +130° =180° \\ \hat{\beta }=180°–130° \\ \hat{\beta }=50° \end{gathered}$$

Los ángulos 50° y  son opuestos por el vértice, por lo tanto son iguales, eso significa que:

$\overbrace{\beta }=50°$

La última incógnita a hallar es el valor de :

 y   suman 180° por ser conjugados externos.

Como ya se tiene el valor de  = 50°, se reemplaza en la igualdad:

$$\begin{gathered} \hat{\beta }+\hat{\gamma }=180° \\ 50° + \hat{\gamma } = 180° \\ \hat{\gamma } = 180° – 50° \\ \hat{\gamma } = 130° \end{gathered}$$

Respuestas:

$$\begin{gathered} \hat{\alpha }=130° \\ \hat{\beta }= 50° \\ \hat{\gamma } =130° \end{gathered}$$

EJEMPLO 2

Hallar el valor de los ángulos  y .

Cuando los ejercicios incluyen ecuaciones, primero se debe hallar el valor de x y luego obtener las amplitudes de cada uno de los ángulos solicitados.

 y  son ángulos correspondientes, por lo tanto sus amplitudes son iguales. El procedimiento para resolver este ejercicio es el siguiente:

$$\begin{gathered} \hat{\alpha } = \hat{\beta } \\ 5x–4°=4x+6° \\ 5x–4x=6°+4° \\ x=10° \end{gathered}$$

Se reemplaza el valor de x en cada ecuación:

$$\begin{gathered} \hat{\alpha }=50° \\ \hat{\alpha }=50° –4° \\ \hat{\alpha }=46° \\ \hat{\beta }=4·10°+6° \\ \hat{\beta }=40°+6° \\ \hat{\beta }=46° \end{gathered}$$

El resultado es lógico, dado que al ser correspondiente ambos ángulos deben ser iguales.

EJEMPLO 3:

Hallar el valor de los ángulos  y .

Los ángulos dados son conjugados externos, por lo tanto suman 180°.

a practicar lo aprendido

1. Hallar los ángulos  y .
   a)Dado  = 140°.

   

   b) Dado  = 135°.

2. 

3.  Hallar las amplitudes de los ángulos dados.
   a)

   

   b)

   

RESPUESTAS

1.
a)

$$\begin{gathered} \hat{\beta }=40° \\ \hat{\gamma }= 140° \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \hat{\beta }=45° \\ \hat{\gamma } =45° \end{gathered}$$

2.
a)

$\hat{\alpha } =\hat{\beta } =60°$

b)

$\hat{\alpha }=\hat{\beta } =120°$