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Transformaciones en el plano

Si nos desplazamos desde donde estamos a otra posición decimos que hay una transformación en el espacio. Sucede lo mismo si trasladamos un punto o una figura en el plano. Estos movimientos en el plano conservan la forma y tamaño de la figura, algunos ejemplos son la traslación, la rotación y la simetría.

Traslación

Es un movimiento directo sin cambios de orientación. La traslación depende de un sentido, una dirección y una magnitud, tres conceptos que se reducen un elemento geométrico: el vector. Así que podemos hallar la imagen de cualquier punto a través de un vector dado.

– Ejemplo:

Para determinar la imagen del punto A a través de una traslación por el vector $\vec{u}$ seguimos estos pasos:

Trazamos un vector equipolente a $\vec{u}$ cuyo origen coincida con el punto A.
Marcamos el punto A’, el cual es la imagen del punto A.

¿Sabías qué?

Un vector es equipolente a otro cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Traslación en el plano cartesiano

Como la traslación depende de un vector determinado, cuando desplazamos una figura en el plano cartesiano dado un vector $\vec{u}$ debemos sumar las coordenadas de sus vértices con las del vector para saber las coordenadas de los vértices de la figura trasladada.

– Ejemplo:

Para trasladar un triángulo ABC según el vector $\vec{u}$ = (3, 2), debemos ubicar la imagen de cada punto en el plano de la manera antes explicada.

Las coordenadas de los vértices de la figura trasladada son iguales a la suma de las coordenadas iniciales con las coordenadas del vector:

$A(1, 1) + \vec{u}(3, 2)=A'(1+3,1+2)=\boldsymbol{A'(4,3)}$

$B(3, 1) + \vec{u}(3, 2)=B'(3+3,1+2)=\boldsymbol{B'(6,3)}$

$C(1, 6) + \vec{u}(3, 2)=C'(1+3,6+2)=\boldsymbol{C'(4,8)}$

¿Sabías qué?

Toda figura trasladada debe conservar la orientación y ser idéntica a la figura inicial.

Rotación

Es un movimiento que consiste en girar todos los puntos de una figura en un ángulo determinado en torno a un centro de rotación.

Ángulos dirigidos

En una rotación siempre se genera un ángulo con una lado inicial y un lado final. El ángulo dirigido será positivo si el giro es en sentido contrario al de las manecillas del reloj, en cambio, el ángulo será negativo si el giro es en sentido de las manecillas del reloj.

Ángulo positivo

Ángulo negativo

El centro de rotación es un punto en torno al cual se rota o gira la figura; en los cubos de Rubik este centro de rotación permite girar las caras del cubo en cualquier dirección.

Rotación en el plano

Para hallar la imagen de un punto R en el plano bajo un ángulo de rotación es necesario conocer el ángulo dirigido y el centro de rotación. Así que, si hay un punto fijo O en el plano y un ángulo dirigido α, la rotación de centro O y ángulo α de un punto R es una transformación en el plano que asigna a R un punto único R’.

– Ejemplo 1:

Cuando se rota un polígono en el plano cartesiano, debemos determinar la imagen de cada vértice y hallar las coordenadas de los vértices de la imagen del polígono original.

– Ejemplo 2:

El triángulo A’B’C es la imagen del triángulo ABC según el centro de rotación C y un ángulo dirigido de −90°.

Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son A(3, 0), B(0, 2) y C(0, 0).

Las coordenadas de los vértices del triángulos A’B’C son A’(0, −3, ), B’(2, 0) y C(0, 0).

Simetría axial

La simetría axial es una transformación en el plano en el que cada punto C se asocia a otro punto C’ llamado “imagen”. Los puntos C y C’ están a igual distancia de un recta que se llama “eje de simetría” y el segmento $\overline{CC'}$ es perpendicular a dicho eje.

– Ejemplo:

El triángulo A’B’C’ es la imagen simétrica del triángulo ABC respecto al eje de simetría m.

Simetría axial en el plano cartesiano

Dos puntos P y P’ son simétricos respecto al eje y (eje de las ordenadas) si sus abscisas son opuestas y sus ordenadas son iguales. Así que:

P(x, y) → P'(−x, y)

Por lo tanto:

x = −x’

y = y’

Por otro lado, dos puntos P y P’ son simétricos al eje x (eje de las abscisas) si sus abscisas son iguales y sus ordenadas son opuestas. Así que:

P(x, y) → P'(x, −y)

Por lo tanto:

x = x’

y = −y’

– Ejemplo 1:

El triángulo A’B’C’ con A’(2, 1), B’(4, 1) y C’(3, 3) es la imagen simétrica del triángulo ABC con A(−2, 1), B(−4, 1) y C(−3, 3).

– Ejemplo 2:

El triángulo A’B’C’ con A’(1, −1), B’(3, −1) y C’(2, −3) es la imagen simétrica del triángulo ABC con A(1, 1), B(3, 1) y C(2, 3).

Ángulos entre paralelas. Resolución mediante ecuaciones

En geometría, al cortar dos rectas paralelas con una recta secante quedan determinados varios ángulos. Éstos se ajustan a algunas propiedades que permiten realizar tanto cálculos numéricos entre ellos como cálculos algebraicos.

RECTA

Propiedades de la recta

La recta es la menor distancia entre dos puntos.
La recta es infinita en longitud.
Dos puntos determinan una recta.
Por un punto pueden pasar infinitas rectas.

Tipos de rectas

Cuando las rectas se encuentran en un mismo plano se denominan coplanares. Éstas pueden ser:

Secantes: se cortan en un punto, es decir, entre ellas existe un punto de intersección.

Paralelas: no poseen punto de intersección entre ellas. En otras palabras, la intersección entre ellas es el conjunto vacío.

Perpendiculares: se intersecan en un punto y dicha intersección determina cuatro ángulos rectos (90°).

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS

Cuando dos rectas se intersecan se determinan cuatro ángulos, al compararlos de a pares pueden ser:

Adyacentes (suman 180°). Son los pares: α,β; γ,δ.
Opuestos por el vértice (tienen la misma amplitud). Son los pares α,δ; β,γ.

ÁNGULOS ADYACENTES

Estos ángulos son consecutivos y suplementarios. Son consecutivos porque son contiguos: comparten un mismo vértice y un lado en común. Son suplementarios porque entre ambos forman un ángulo llano, es decir un ángulo de 180°.

ángulos entre DOS paralelas Y UNA SECANTE

De la figura anterior se observa que:

Las rectas a y b son paralelas.
c es secante a la recta a.
c es secante a la recta b.

Los ángulos se representarán con números para mejor comprensión, pero en la sección de ejercicios se utilizarán las letras griegas α, β, γ, etc.

Ángulos internos:

Son aquellos comprendidos entre las rectas a y b: $\hat{3}, \hat{4},\hat{5},\hat{6}$ .

Ángulos externos:

Son aquellos que se observan en la región externa a las rectas a y b: $\hat{1}, \hat{2}, \hat{7}, \hat{8}$ .

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

ALTERNOS

Son pares de ángulos que se ubican en semiplanos distintos con respecto a la transversal (secante). Éstos:

Son congruentes, es decir, tienen la misma amplitud.
No son adyacentes.

Alternos internos

Alternos externos

CONJUGADOS

Están ubicados en el mismo semiplano respecto de la transversal. Éstos:

Suman 180° (son suplementarios).
No son adyacentes.

Conjugados internos

Conjugados externos

Correspondientes

Son pares de ángulos que se encuentran ubicados en el mismo semiplano con respecto a la transversal. Éstos:

Tienen la misma amplitud. Es decir, son congruentes.
No son adyacentes.

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

Dadas a//b (a paralela a b). Hallar los ángulos α,β y γ:

Se comienza en orden alfabético (alfabeto griego) para una resolución más organizada:

$\hat{\alpha }$ y 50° son adyacentes, es decir, entre ambos suman 180°. Entonces:

$\hat{\alpha }$ + 50°= 180°
$\hat{\alpha }$ = 180°- 50°
$\hat{\alpha }$ = 130°

Se puede ir escribiendo en el gráfico los valores a medida que se van obteniendo para visualizar mejor la ubicación de los nuevos datos y si éstos son coherentes o no. Por ejemplo, $\hat{\alpha }$ es un ángulo obtuso, por lo tanto sus valores deben ser mayores que 90° y menores que 180°. 130° cumple con esta condición.

Para hallar $\hat{\beta }$ se puede realizar el siguiente análisis previo:

$\hat{\beta }$ y $\hat{\alpha }$ son adyacentes.
50° y $\hat{\beta }$ son opuestos por el vértice

Se realizará el procedimiento para ambos casos, aunque con una de las dos opciones es suficiente para hallar la respuesta.

Como $\hat{\beta }$ y $\hat{\alpha }$ son adyacentes:

$\hat{β} + \hat{α} = 180 ° \hat{β} + 130 ° = 180 ° \hat{β} = 180 ° - 130 ° \hat{β} = 50 °$

Los ángulos 50° y $\hat{\beta }$ son opuestos por el vértice, por lo tanto son iguales, eso significa que:

$\overset{⏞}{β} = 50 °$

La última incógnita a hallar es el valor de $\hat{\gamma }$ :

$\hat{\beta }$ y $\hat{\gamma }$ suman 180° por ser conjugados externos.

Como ya se tiene el valor de $\hat{\beta }$ = 50°, se reemplaza en la igualdad:

$\hat{β} + \hat{γ} = 180 ° 50 ° + \hat{γ} = 180 ° \hat{γ} = 180 ° - 50 ° \hat{γ} = 130 °$

Respuestas:

$\hat{α} = 130 ° \hat{β} = 50 ° \hat{γ} = 130 °$

EJEMPLO 2

Hallar el valor de los ángulos $\hat{\alpha }$ y $\hat{\beta }$ .

Cuando los ejercicios incluyen ecuaciones, primero se debe hallar el valor de x y luego obtener las amplitudes de cada uno de los ángulos solicitados.

$\hat{\alpha }$ y $\hat{\beta }$ son ángulos correspondientes, por lo tanto sus amplitudes son iguales. El procedimiento para resolver este ejercicio es el siguiente:

$\hat{α} = \hat{β} 5 x - 4 ° = 4 x + 6 ° 5 x - 4 x = 6 ° + 4 ° x = 10 °$

Se reemplaza el valor de x en cada ecuación:

$\hat{α} = 50 ° \hat{α} = 50 ° - 4 ° \hat{α} = 46 ° \hat{β} = 4 \cdot 10 ° + 6 ° \hat{β} = 40 ° + 6 ° \hat{β} = 46 °$

El resultado es lógico, dado que al ser correspondiente ambos ángulos deben ser iguales.

EJEMPLO 3:

Hallar el valor de los ángulos $\hat{\alpha }$ y $\hat{\beta }$ .

Los ángulos dados son conjugados externos, por lo tanto suman 180°.

a practicar lo aprendido

Hallar los ángulos $\hat{\beta }$ y $\hat{\gamma }$ .
a)Dado $\hat{\alpha }$ = 140°.

a//b

b) Dado $\hat{\alpha }$ = 135°.
a//b
Hallar las amplitudes de los ángulos dados.
a)

a//b

b)

a//b

RESPUESTAS

1.
a)

$\hat{β} = 40 ° \hat{γ} = 140 °$

$\hat{β} = 45 ° \hat{γ} = 45 °$

2.
a)

$\hat{α} = \hat{β} = 60 °$

$\hat{α} = \hat{β} = 120 °$

¿Sabías qué...?

El símbolo = fue inventado por Robert Recorde en 1557. Utilizó esa representación porque le parecía que “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”.

Triángulos

Un triángulo es un polígono de tres lados. Identifica triángulos en tu vida cotidiana: una porción de pizza, una escuadra, las señales que indican peligro, un bonete de fiesta, etc. Como puedes observar existen diferencias entre ellos. Ocurre que se distinguen diversos triángulos de acuerdo a la medida de sus lados.

En geometría un triángulo es un polígono que se encuentra determinado por tres rectas. ¿Qué es un polígono? Una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el espacio.

Cada recta del triángulo se corta con otra; entonces nos encontramos con una figura cerrada donde se distinguen tres vértices y tres ángulos. A los segmentos que conforman el triángulo se les llama lados.

NOMBRAR UN TRIÁNGULO

Un triángulo se determina por sus puntos no colineales que se llaman vértices y se los designa con letras mayúsculas.
Los lados son los segmentos que unen dos vértices del triángulo y se denotan por la misma letra que el vértice opuesto, pero en minúscula. Es decir:

El lado ‘a’, es el segmento que une los vértices B y C.
El lado ‘b’, es el segmento que une los vértices A y C.
El lado ‘c’, es el segmento que une los vértices A y B.

PROPIEDADES

Propiedad 1:
La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º

Propiedad 2: (Propiedad Triangular)
Para que pueda construirse el triángulo, la longitud de cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos lados, es decir, “cada lado debe ser mayor que la diferencia de los otros dos”

Como vemos en este triángulo, el lado más largo mide 6 cm y los lados más pequeños miden 2 cm y 5 cm respectivamente.
Si sumamos 2 cm + 5 cm obtenemos como resultado 7 cm que efectivamente es una longitud mayor que 6 cm.

TIPOS DE TRIÁNGULOS SEGÚN LOS LADOS

Escalenos: tiene los tres lados y ángulos distintos.

Isósceles: tiene dos lados iguales y otro desigual, entonces dos de sus ángulos son iguales y uno desigual.

Equilátero: tiene los tres lados y ángulos iguales.

POSTULADOS DE TALES DE MILETO

Tales de Mileto (624-548 a.C) fue un filósofo y geómetra griego. Trascendió en la historia por iniciar el desarrollo racional de la Geometría. Además propuso que el agua era el principio de todas las cosas.

Se le atribuye, entre otras cosas, las siguientes contribuciones a la Geometría:

1º Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
2º En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.
3º Dos triángulos son iguales si tienen dos ángulos y un lado iguales.

1º Ángulos opuestos por el vértice.

2º Triángulos isósceles.

3º Triángulos iguales.

TIPOS DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS

Acutángulo: los tres ángulos son agudos, es decir, miden menos de 90º.

Rectángulo: tienen un ángulo recto de 90º.

Obtusángulo: tienen un ángulo obtuso, es decir, mide más de 90º y menos de 180º.

Operaciones en el sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal es un sistema de base 60 que tiene su origen en la antigua Babilonia. En la actualidad se aplica a las medidas del tiempo y a la amplitud de los ángulos.

En la antigüedad, los habitantes de Levante mediterráneo, Mesopotamia y Persia contaban utilizando las tres falanges de los dedos: meñique, anular, medio e índice. Con el dedo pulgar realizaban dicha cuenta, comenzando por el dedo meñique podían llegar a contar hasta 12.

Si se deseaba contar más que 12, se levantaba un dedo de la mano libre cada vez que se completaba el conteo de la docena, de este modo se podía llegar hasta el número 60 (12 x 5).

¿Sabías qué...?

Para simbolizar los minutos se utiliza la abreviatura “min”, ya que la “m” corresponde a metros, unidad de longitud.

Dos dedos levantados: 2 × 12 = 24. La mano abierta indica que se contó hasta la falange que representa al 5.Por lo tanto 24 + 5 = 29.

Esta forma de contar fue fácilmente adoptada en la antigüedad y se mantuvo en el tiempo. Los babilonios dividían a la circunferencia (360) en seis partes iguales, es decir, en 60 (360 ÷ 6 = 60), que además es el mínimo común múltiplo de los seis primeros números naturales.

USOS DEL SISTEMA

El sistema sexagesimal se utiliza para medir tiempos y ángulos. Con respecto al tiempo, sus unidades son horas, minutos y segundos; y a la medición de ángulos le corresponden grados, minutos y segundos.

TIEMPO			ÁNGULOS
horas	minutos	segundos	grados	minutos	segundos
h	min	s	º	′	″

Este sistema es posicional y 60 unidades de un orden forman una unidad. Por tanto, se desprende que al medir tiempos:
60 segundos corresponde a 1 minuto.
60 minutos corresponde a 1 hora.

Del mismo modo cuando se miden ángulos:
60″ equivalen a 1′
60′ equivalen a 1º

Se pueden realizar las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división en sistema sexagesimal tanto para medidas de tiempo como para cálculos con ángulos.

SUMA DE ÁNGULOS

35°40′25′′ + 27°23′10′′ =

Para sumar dos ángulos debemos realizar los cálculos en forma vertical:

35° 40′ 25′′
+ 27° 23′ 10′′

Luego realizamos la suma comenzando de derecha a izquierda: primero los segundos, luego sumamos los minutos y finalmente los grados.

35° 40′ 25′′
+ 27° 23′ 10′′
62° 63′ 35′′

Cuando en los segundos o en los minutos los valores sobrepasan al número 59, debemos restar el número 60 tantas veces como sea necesario.

35° 40′ 25′′
+ 27° 23′ 10′′
62° 63′ 35′′
+ 1°− 60′
63° 3′ 35′′

Siempre que se restan 60′, se debe sumar 10; esto es
debido a la equivalencia correspondiente.

Con este procedimiento obtuvimos el resultado:

35° 40′ 25′′ + 27° 23′ 10′′ = 63° 3′ 35′′

RESTA DE ÁNGULOS

125° 48′ 20′′ − 80° 15′ 30′′ =

Del mismo modo que en la suma, colocamos los ángulos encolumnando grados, minutos y segundos.

47′ 80′′
125° 48’ 20′′
− 80° 15′ 30′′
45° 32′ 50′′

Respondemos:
125° 47′ 80′′ − 80°15′30′′ = 45° 32′ 50′′

Cuándo el minuendo es menor al sustraendo, se pide “prestado” a los minutos.

En este ejercicio, 1′ se convierte en 60′′.
Se suman 20′′ + 60′′ y el minuendo se convierte en 80′′, así que 80′′ − 30′′ = 50′′.
No se debe olvidar restarle ese minuto “prestado” a los 48′, que quedan en 47′.

MULTIPLICACIÓN DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO

41° 20′ 33′′ × 2 =

Colocamos la multiplicación del siguiente modo:

41° 20′ 33′′
x 2
82° 40′ 66′′

Ya que 66′′ es mayor a 59′′, debemos proceder a restarle 60′′.

41° 20′ 33′′
x 2
82° 40′ 66′′
+1′ − 60′′
82° 41′ 6′′

Escribimos la respuesta solicitada:

41° 20′ 33′′ × 2 = 82° 41′ 6′′

DIVISIÓN DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO

75° 1′ 36′′ : 3 =

Ubicamos el dividendo y el divisor de la siguiente manera:

75° 4′ 36′′ | 3
0° 25°

Primero dividimos los grados. Continuamos con la división de los minutos:

75° 4′ 36′′ | 3
0 1′ 60′′ 25° 1′

Cuando el resto es distinto de cero, se debe realizar la equivalencia correspondiente.

En este caso convertimos 1′ en 60′′. Al realizarlo, ya no tenemos más minutos para dividir y los segundos se modifican. En el ejercicio que estamos realizando nos queda 36′′ + 60′′ = 96′′.

75° 4′ 36′′ | 3
0° 0′ 60′′ 25°1′32′′
96′′
0

En forma análoga se trabaja con unidades de tiempo. Veamos un ejemplo de suma:

5 h 45 min 12 s + 3 h 17 min 9 s=

5 h 45 min 12 s
3 h 17 min 9 s
8 h 62 min 21s
+ 1 h − 60 min
9 h 2 min 21s

60 minutos es equivalente a 1 h, por lo tanto se restan 60 minutos en la
columna de los minutos, pero no se debe olvidar sumar 1 en la columna de las horas.

Cálculo del ángulo a partir de sus razones trigonométricas

El problema inverso al de calcular las razones trigonométricas de un ángulo conocido, consiste en determinar el valor de dicho ángulo a partir de sus razones trigonométricas.

La resolución de este problema, que tradicionalmente se llevaba a cabo mediante el empleo de las tablas trigonométricas, se ve hoy facilitado por el hecho de que muchas de las modernas calculadoras electrónicas de bolsillo incorporan combinaciones de teclas que permiten obtener el valor del ángulo conocido el seno, el coseno o la tangente del mismo. La denominación tradicional con la que se hace referencia a la medida del ángulo correspondiente al valor de una determinada razón trigonométrica, que se supone conocida, utiliza el término “arco” en lugar de ángulo; es decir, que para cada una de las razones trigonométricas se habla, respectivamente, de arco seno (arc sen), arco coseno (arc cos), arco tangente (arc tg), arco cotangente (arc cotg), arco secante (arc sec) y arco cosecante (arc cosec).

Ejemplo:

a = senα

α = arc sen a

Es decir, si a es el valor numérico del seno de α, es el arco (o el ángulo) que corresponde al valor a del seno.

Observaciones

Arco seno. Como -1 senα 1, arc sen sólo está definido para valores comprendidos entre -1 y 1. Como senα = sen (180º – α), si a = senα , α = arc sen a, pero también 180º – α = arc sen a.

Arco coseno. El arco coseno sólo está definido para valores comprendidos entre -1 y 1. Como cosα = cos (-α) si a = cosα, se tiene α= arc cos a y -α = arc cos a.

Arco tangente. Como tgα = tg (180º + α), si a = tgα , α = arc tg a y 180º + α = arc tg a.

¿Cómo debe interpretarse el valor de la tangente de un ángulo recto?

La tangente de un ángulo resulta de dividir su seno entre su coseno. Si el ángulo mide 90º, la división anterior es 1/0=. Físicamente ninguna magnitud es igual a infinito, así que en cada caso deberá interpretarse el resultado de forma coherente. Por ejemplo, si la pendiente de una rampa fuera infinito debería entenderse que está dispuesta de forma vertical, de modo que todo movimiento sobre ella tiene una componente horizontal nula.

Inclinación

Si la pendiente de una recta es el ángulo que forma dicha recta con el plano horizontal, se define la inclinación como el ángulo entre ésta y el plano vertical de referencia. Si bien el plano horizontal es conocido, aquel que tiene todos sus puntos a la misma altura, los planos verticales pueden ser infinitos, ya que un plano es vertical cuando corta perpendicularmente al horizontal. Por eso es necesario referirse a uno determinado, que puede ser Norte-Sur, la dirección de una calle, etc.