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Ángulos entre paralelas. Resolución mediante ecuaciones

En geometría, al cortar dos rectas paralelas con una recta secante quedan determinados varios ángulos. Éstos se ajustan a algunas propiedades que permiten realizar tanto cálculos numéricos entre ellos como cálculos algebraicos. 

RECTA

Propiedades de la recta

  • La recta es la menor distancia entre dos puntos.
  • La recta es infinita en longitud.
  • Dos puntos determinan una recta.
  • Por un punto pueden pasar infinitas rectas.

Tipos de rectas

Cuando las rectas se encuentran en un mismo plano se denominan coplanares. Éstas pueden ser:

Secantes: se cortan en un punto, es decir, entre ellas existe un punto de intersección.

Paralelas: no poseen punto de intersección entre ellas. En otras palabras, la intersección entre ellas es el conjunto vacío.

Perpendiculares: se intersecan en un punto y dicha intersección determina cuatro ángulos rectos (90°).

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS

Cuando dos rectas se intersecan se determinan cuatro ángulos, al compararlos de a pares pueden ser:

  • Adyacentes (suman 180°). Son los pares: α,β; γ,δ.
  • Opuestos por el vértice (tienen la misma amplitud). Son los pares α,δ; β,γ.
ÁNGULOS ADYACENTES

Estos ángulos son consecutivos y suplementarios. Son consecutivos porque son contiguos: comparten un mismo vértice y un lado en común. Son suplementarios porque entre ambos forman un ángulo llano, es decir un ángulo de 180°.

 

ángulos entre DOS paralelas Y UNA SECANTE

De la figura anterior se observa que:

  • Las rectas a y b son paralelas.
  • c es secante a la recta a.
  • c es secante a la recta b.

Los ángulos se representarán con números para mejor comprensión, pero en la sección de ejercicios se utilizarán las letras griegas α, β, γ, etc.

Ángulos internos:

Son aquellos comprendidos entre las rectas a y b: \hat{3}, \hat{4},\hat{5},\hat{6}.

Ángulos externos:

Son aquellos que se observan en la región externa a las rectas a y b:  \hat{1}, \hat{2}, \hat{7}, \hat{8}.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

ALTERNOS

Son pares de ángulos que se ubican en semiplanos distintos con respecto a la transversal (secante). Éstos:

  • Son congruentes, es decir, tienen la misma amplitud.
  • No son adyacentes.

Alternos internos 

Alternos externos 

CONJUGADOS

Están ubicados en el mismo semiplano respecto de la transversal. Éstos:

  • Suman 180° (son suplementarios).
  • No son adyacentes.

Conjugados internos

Conjugados externos 

 

Correspondientes 

Son pares de ángulos que se encuentran ubicados en el mismo semiplano con respecto a la transversal. Éstos:

  • Tienen la misma amplitud. Es decir, son congruentes.
  • No son adyacentes.

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

Dadas a//b (a paralela a b). Hallar los ángulos α,β y γ:

Se comienza en orden alfabético (alfabeto griego) para una resolución más organizada:

\hat{\alpha } y 50° son adyacentes, es decir, entre ambos suman 180°. Entonces:

\hat{\alpha } + 50°= 180°
\hat{\alpha } = 180°- 50°
\hat{\alpha } = 130°

Se puede ir escribiendo en el gráfico los valores a medida que se van obteniendo para visualizar mejor la ubicación de los nuevos datos y si éstos son coherentes o no. Por ejemplo, \hat{\alpha } es un ángulo obtuso, por lo tanto sus valores deben ser mayores que 90° y menores que 180°. 130° cumple con esta condición.

Para hallar \hat{\beta } se puede realizar el siguiente análisis previo:

  • \hat{\beta } y \hat{\alpha } son adyacentes.
  • 50° y \hat{\beta } son opuestos por el vértice

Se realizará el procedimiento para ambos casos, aunque con una de las dos opciones es suficiente para hallar la respuesta.

Como \hat{\beta } y \hat{\alpha } son adyacentes:

β^+α^=180°β^ +130° =180°β^=180°–130°β^=50°

Los ángulos 50° y \hat{\beta } son opuestos por el vértice, por lo tanto son iguales, eso significa que:

β⏞=50°

La última incógnita a hallar es el valor de \hat{\gamma }:

\hat{\beta } y \hat{\gamma }  suman 180° por ser conjugados externos.

Como ya se tiene el valor de \hat{\beta } = 50°, se reemplaza en la igualdad:

β^+γ^=180°50° + γ^ = 180°γ^ = 180° – 50°γ^ = 130°

Respuestas:

α^=130°β^= 50°γ^ =130°

 

EJEMPLO 2

Hallar el valor de los ángulos \hat{\alpha } y \hat{\beta }.

a//b

Cuando los ejercicios incluyen ecuaciones, primero se debe hallar el valor de x y luego obtener las amplitudes de cada uno de los ángulos solicitados.

\hat{\alpha } y \hat{\beta } son ángulos correspondientes, por lo tanto sus amplitudes son iguales. El procedimiento para resolver este ejercicio es el siguiente:

α^ = β^5x–4°=4x+6°5x–4x=6°+4°x=10°

Se reemplaza el valor de x en cada ecuación:

α^=50° α^=50° –4°α^=46° β^=4·10°+6°β^=40°+6°β^=46°

El resultado es lógico, dado que al ser correspondiente ambos ángulos deben ser iguales.

EJEMPLO 3:

Hallar el valor de los ángulos \hat{\alpha } y \hat{\beta }.

a//b

Los ángulos dados son conjugados externos, por lo tanto suman 180°.

a practicar lo aprendido

  1. Hallar los ángulos \hat{\beta } y \hat{\gamma }.
    a)Dado \hat{\alpha } = 140°.

    a//b

    b) Dado \hat{\alpha } = 135°.

  2. a//b
  3.  Hallar las amplitudes de los ángulos dados.
    a)

    a//b

    b)

    a//b

 

RESPUESTAS

1.
a)

β^=40°γ^= 140°

b)

β^=45°γ^ =45°

2.
a)

α^ =β^ =60°

b)

α^=β^ =120°

¿Sabías qué...?
El símbolo = fue inventado por Robert Recorde en 1557. Utilizó esa representación porque le parecía que “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”.

 

¿Qué son los teoremas?

Hay teoremas que se hicieron famosos como el de Pitágoras, Thales y el del binomio; éstos son proposiciones cuya verdad puede ser demostrada dentro de un sistema formal. A continuación vamos a explicar qué es un teorema y qué proponen algunos de ellos.

Los teoremas cuentan con un número de premisas que pueden ser demostradas por medio de la matemática o la lógica. Generalmente contemplan un número de condiciones que pueden ser enumeradas o anticipadas de antemano, a las cuales se las denomina respuestas. Luego está la conclusión, la cual es verdadera en función a las condiciones propuestas por el teorema.

No todas las afirmaciones matemáticas se convierten en teoremas, para que lleguen a tener la categoría de tales deben ser lo suficientemente interesante dentro de la ciencia para su posterior aplicación en las situaciones de la vida. Cuando las afirmaciones no llegan al rango de teoremas, se convierten en un lema, corolario o proposición.

Lema: es una proposición que forma parte de un teorema más largo.
Corolario: es una afirmación que sigue a un teorema. Puede ser demostrado usando las propiedades del teorema anteriormente comprobado.
Proposición: es un resultado que no está asociado a ningún teorema en especial.

Un teorema se demuestra dentro de un marco lógico que consiste en un conjunto de axiomas y un proceso de inferencia. A su vez, se denomina demostración de ese teorema a la secuencia finita de fórmulas lógicas bien formadas.

Hay otras ciencias, como la física o la economía, que utilizan teoremas para producir afirmaciones que se deducen a partir de otras y que se las llama también teoremas.

Teorema de Pitágoras

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos y el lado mayor del triángulo se llama hipotenusa.

Sabiendo ello, el teorema dice: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

¿Sabías qué...?
Pitágoras enseñaba que la Tierra estaba situada en el centro del universo.

Pitágoras (569 – 500 a. C)

Nació en la Isla de Samos, Grecia y fue discípulo de Thales de Mileto. Fundó una escuela en Crotona que además de ser filosófica era religiosa y política. Seguían algunas costumbres algo curiosas, debían abstenerse de ingerir alimentos de origen animal, ayunar frecuentemente, vestir de color blanco, realizar actividad física y tener todos sus bienes en común. Quienes ingresaban a la escuela lo hacían con la categoría de “iniciados” y debían pasar arduos exámenes para llegar al segundo nivel denominado “oyente”. Los alumnos que no respondían a las exigencias pitagóricas eran eliminados de la escuela.

Con respecto a la matemática, los pitagóricos no estaban interesados en resolver problemas sino en establecer principios y conocer conceptos como el de número o triángulo.

Teoremas de Thales

El Teorema de Thales demuestra la relación de proporcionalidad entre los segmentos que delimitan rectas secantes sobre rectas paralelas. Es de gran utilidad cuando se quiere dividir un segmento en partes iguales o proporcionales a otros segmentos.

De acuerdo a este teorema: si tres rectas paralelas (a, b y c), cortan a dos rectas secantes (s y t); los segmentos que delimitan son proporcionales.

Thales de Mileto (624 – 546 a.C)

Fue el primer matemático griego que inició el estudio de la Geometría y uno de los “siete sabios” de la antigüedad. Obtuvo reconocimiento social por sus investigaciones en astronomía y por haber podido predecir el eclipse de Sol que ocurrió el 28 de mayo del 585 a.C.

Intentó dar una explicación física del Universo, y afirmó que todo nacía del agua, la cual era el elemento básico del que estaban hechas todas las cosas.

Se atribuye a Thales el uso de sus conocimientos de geometría para medir las dimensiones de las pirámides de Egipto y calcular la distancia desde la costa hasta barcos en alta mar.

Cálculo de los valores de una proporción matemática

Hallar el valor de un extremo.

1) a/b = c/x

Según la primera propiedad

a · x = b · c

por lo que se tiene que:

O sea, en toda proporción un extremo es igual al producto de los medios divididos por el otro extremo.

Ejemplo
Hallar el valor de un extremo en una proporción continua.
1) a / b = b / x
Según la primera propiedad
a · x = b · b
se pasa a al otro miembro

; o bien:
2) En toda proporción continua un extremo es igual al cuadrado del medio proporcional dividido por el otro extremo.
Ejemplo
Hallar el valor del medio de una proporción.
1) a / x = c / d
De acuerdo con la primera propiedad
a · d = c · x
y el factor c pasa al otro miembro
3) En toda proporción un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio.
Ejemplo
Hallar el valor del medio de una proporción continua.
a / x = x / d
De acuerdo con la primera propiedad


En toda proporción continua el medio es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Las matemáticas en la música

Los sonidos emitidos por los instrumentos de cuerda tales como violín, guitarra, piano, etc., resultan de la vibración de las cuerdas que dicho instrumento posee.

Ahora bien, la altura de la nota musical dada depende tanto de la longitud de la cuerda con que se emite, como de la tensión que esta última soporta.

El monocordio de Pitágoras

Ya Pitágoras había descubierto a través de la utilización de un monocordio, que: “Si una cuerda y su tensión permanecen inalteradas, pero se varía su longitud, el período de vibración es proporcional a su longitud”. Supongamos que un fabricante de pianos utilizara, siguiendo a Pitágoras, cuerdas de idéntica estructura pero de diferentes longitudes para lograr la gama de frecuencias de que goza dicho instrumento. En un piano, con notas de frecuencia comprendida entre 27 y 4.096, la cuerda de mayor longitud resultaría 150 veces más larga que la de menor longitud.

Las leyes de Mersenne

Obviamente, ello hubiera impedido la construcción del piano de nuestro ejemplo, de no mediar las dos leyes del matemático francés Mersenne. La primera dice que: “Para cuerdas distintas de la misma longitud e igual tensión, el período de vibración es proporcional a la raíz cuadrada del peso de la cuerda”. El mayor peso se consigue, generalmente, arrollándole en espiral un alambre más delgado. Así se evita la excesiva longitud de las cuerdas asignadas a los graves.

La segunda ley expresa: “Cuando una cuerda y su longitud permanecen inalteradas pero se varía la tensión, la frecuencia de la vibración es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión”. Siguiendo esta ley se evita que las cuerdas resulten demasiado cortas en los agudos, aumentando su tensión. La incorporación de marcos de acero a los modernos pianos, ha posibilitado tensar los alambres hasta valores insospechados antiguamente y que rondan las 30 toneladas.

¿Hay proporciones geométricas en un piano?

Desde fines del siglo XVIII existe la escala temperada que divide la octava en 12 semitonos iguales de distancia. Los intervalos entre notas en dicha escala siguen una progresión geométrica de razón 12 2. Así están afinados, por ejemplo, todos los pianos modernos.