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Ángulos en triángulos. Resolución mediante ecuaciones.

Las ecuaciones tienen gran cantidad de aplicaciones, una de ellas es en la resolución de problemas geométricos. Cuando en dichas situaciones problemáticas los datos están expresados mediante incógnitas, se deben utilizar no sólo ecuaciones, sino también el conocimiento de las propiedades de las figuras dadas, las relaciones entre los ángulos, etc. Los ángulos en triángulos es uno de los primeros temas a abordar.

Antes de empezar con la resolución de problemas se hará un breve repaso de la clasificación de triángulos, ya que es el conocimiento básico que hay que tener para poder abordar el tema. Luego se desarrollarán las estrategias para resolverlos.

Los triángulos pueden clasificarse según sus ángulos y según sus lados, ésta última clasificación es la que debe saberse muy bien para poder resolver los problemas de este tipo.

clasificación de triángulos según sus lados

Equiláteros: tienen sus tres lados iguales.
Isósceles: poseen dos lados iguales y un lado desigual.
Escalenos: cuentan con los tres lados desiguales.

Observar la siguiente figura, en donde se indican los lados iguales y desiguales de tres triángulos, siendo el caso (a) un equilátero, el (b) un isósceles y el (c) un escaleno.

En forma complementaria a lo antedicho, existen ciertas reglas que relacionan ángulos interiores y exteriores. Éstas sirven para poder hallar las respuestas en algunos problemas de resolución de triángulos.

ángulos interiores y exteriores de un triángulo

En el siguiente triángulo abc se pueden apreciar todos sus ángulos:

reglas para la resolución de triángulos

Regla 1: La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°.
Regla 2: La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es igual a 360°.

Regla 3: Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a dicho ángulo.

Regla 4: La suma entre un ángulo interior y el exterior contiguo a él es 180°, dado que dicho ángulo es adyacente. Es decir, suplementario y consecutivo.

ejERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1:

En el triángulo abc de la figura se conocen los siguientes datos: . Hallar los ángulos interiores α,β, ε y sus tres ángulos exteriores μ, δ, λ.

Como se tienen los datos de los tres ángulos interiores, se puede aplicar la regla 1, entonces:

Una vez hallado el valor de “x” se tiene que reemplazar en las ecuaciones de α y β para hallar las amplitudes de dichos ángulos:

Se puede verificar si se desea, para corroborar que se han realizado bien todos los pasos y cálculos anteriores:

94° + 56° + 30° = 150° + 30° = 180°

Aún quedan por calcular los ángulos exteriores. Se lo hará mediante la regla 4:

Análogamente como se hizo con los ángulos interiores, se puede verificar:

86° + 124° +150° = 210° + 150° = 360°

EJERCICIO 2:

En el siguiente triángulo isósceles se sabe que . Hallar los ángulos internos α, ε y β.

Al ser un triángulo isósceles tiene la propiedad de que “los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales”. El ángulo α es opuesto al lado ac y el ángulo ε es opuesto al lado ab. Como ac=ab, entonces α=ε.

α=ε

Luego se deben calcular los valores de los tres ángulos interiores, reemplazando la incógnita por el valor de x obtenido.

Para hallar β se utilizará la regla 1, queda:

Las aplicaciones de los ángulos son muy variadas, en el área de arquitectura se trabaja frecuentemente con ellos.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

En el siguiente triángulo escaleno abc hallar el valor de los ángulos interiores siendo .

2. En el siguiente triangulo isósceles abc hallar los ángulos exteriores, siendo .

3. Hallar los ángulos interiores del triángulo escaleno abc, siendo .

RESPUESTAS

¿Sabías qué...?

Al triángulo que tiene lados de 3, 4 y 5 unidades se lo conoce como triángulo perfecto y fue utilizado por los egipcios para trazar ángulos rectos, ya que es un triángulo rectángulo.

Ángulos entre paralelas. Resolución mediante ecuaciones

En geometría, al cortar dos rectas paralelas con una recta secante quedan determinados varios ángulos. Éstos se ajustan a algunas propiedades que permiten realizar tanto cálculos numéricos entre ellos como cálculos algebraicos.

RECTA

Propiedades de la recta

La recta es la menor distancia entre dos puntos.
La recta es infinita en longitud.
Dos puntos determinan una recta.
Por un punto pueden pasar infinitas rectas.

Tipos de rectas

Cuando las rectas se encuentran en un mismo plano se denominan coplanares. Éstas pueden ser:

Secantes: se cortan en un punto, es decir, entre ellas existe un punto de intersección.

Paralelas: no poseen punto de intersección entre ellas. En otras palabras, la intersección entre ellas es el conjunto vacío.

Perpendiculares: se intersecan en un punto y dicha intersección determina cuatro ángulos rectos (90°).

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS

Cuando dos rectas se intersecan se determinan cuatro ángulos, al compararlos de a pares pueden ser:

Adyacentes (suman 180°). Son los pares: α,β; γ,δ.
Opuestos por el vértice (tienen la misma amplitud). Son los pares α,δ; β,γ.

ÁNGULOS ADYACENTES

Estos ángulos son consecutivos y suplementarios. Son consecutivos porque son contiguos: comparten un mismo vértice y un lado en común. Son suplementarios porque entre ambos forman un ángulo llano, es decir un ángulo de 180°.

ángulos entre DOS paralelas Y UNA SECANTE

De la figura anterior se observa que:

Las rectas a y b son paralelas.
c es secante a la recta a.
c es secante a la recta b.

Los ángulos se representarán con números para mejor comprensión, pero en la sección de ejercicios se utilizarán las letras griegas α, β, γ, etc.

Ángulos internos:

Son aquellos comprendidos entre las rectas a y b: $\hat{3}, \hat{4},\hat{5},\hat{6}$ .

Ángulos externos:

Son aquellos que se observan en la región externa a las rectas a y b: $\hat{1}, \hat{2}, \hat{7}, \hat{8}$ .

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

ALTERNOS

Son pares de ángulos que se ubican en semiplanos distintos con respecto a la transversal (secante). Éstos:

Son congruentes, es decir, tienen la misma amplitud.
No son adyacentes.

Alternos internos

Alternos externos

CONJUGADOS

Están ubicados en el mismo semiplano respecto de la transversal. Éstos:

Suman 180° (son suplementarios).
No son adyacentes.

Conjugados internos

Conjugados externos

Correspondientes

Son pares de ángulos que se encuentran ubicados en el mismo semiplano con respecto a la transversal. Éstos:

Tienen la misma amplitud. Es decir, son congruentes.
No son adyacentes.

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

Dadas a//b (a paralela a b). Hallar los ángulos α,β y γ:

Se comienza en orden alfabético (alfabeto griego) para una resolución más organizada:

$\hat{\alpha }$ y 50° son adyacentes, es decir, entre ambos suman 180°. Entonces:

$\hat{\alpha }$ + 50°= 180°
$\hat{\alpha }$ = 180°- 50°
$\hat{\alpha }$ = 130°

Se puede ir escribiendo en el gráfico los valores a medida que se van obteniendo para visualizar mejor la ubicación de los nuevos datos y si éstos son coherentes o no. Por ejemplo, $\hat{\alpha }$ es un ángulo obtuso, por lo tanto sus valores deben ser mayores que 90° y menores que 180°. 130° cumple con esta condición.

Para hallar $\hat{\beta }$ se puede realizar el siguiente análisis previo:

$\hat{\beta }$ y $\hat{\alpha }$ son adyacentes.
50° y $\hat{\beta }$ son opuestos por el vértice

Se realizará el procedimiento para ambos casos, aunque con una de las dos opciones es suficiente para hallar la respuesta.

Como $\hat{\beta }$ y $\hat{\alpha }$ son adyacentes:

$\hat{β} + \hat{α} = 180 ° \hat{β} + 130 ° = 180 ° \hat{β} = 180 ° - 130 ° \hat{β} = 50 °$

Los ángulos 50° y $\hat{\beta }$ son opuestos por el vértice, por lo tanto son iguales, eso significa que:

$\overset{⏞}{β} = 50 °$

La última incógnita a hallar es el valor de $\hat{\gamma }$ :

$\hat{\beta }$ y $\hat{\gamma }$ suman 180° por ser conjugados externos.

Como ya se tiene el valor de $\hat{\beta }$ = 50°, se reemplaza en la igualdad:

$\hat{β} + \hat{γ} = 180 ° 50 ° + \hat{γ} = 180 ° \hat{γ} = 180 ° - 50 ° \hat{γ} = 130 °$

Respuestas:

$\hat{α} = 130 ° \hat{β} = 50 ° \hat{γ} = 130 °$

EJEMPLO 2

Hallar el valor de los ángulos $\hat{\alpha }$ y $\hat{\beta }$ .

Cuando los ejercicios incluyen ecuaciones, primero se debe hallar el valor de x y luego obtener las amplitudes de cada uno de los ángulos solicitados.

$\hat{\alpha }$ y $\hat{\beta }$ son ángulos correspondientes, por lo tanto sus amplitudes son iguales. El procedimiento para resolver este ejercicio es el siguiente:

$\hat{α} = \hat{β} 5 x - 4 ° = 4 x + 6 ° 5 x - 4 x = 6 ° + 4 ° x = 10 °$

Se reemplaza el valor de x en cada ecuación:

$\hat{α} = 50 ° \hat{α} = 50 ° - 4 ° \hat{α} = 46 ° \hat{β} = 4 \cdot 10 ° + 6 ° \hat{β} = 40 ° + 6 ° \hat{β} = 46 °$

El resultado es lógico, dado que al ser correspondiente ambos ángulos deben ser iguales.

EJEMPLO 3:

Hallar el valor de los ángulos $\hat{\alpha }$ y $\hat{\beta }$ .

Los ángulos dados son conjugados externos, por lo tanto suman 180°.

a practicar lo aprendido

Hallar los ángulos $\hat{\beta }$ y $\hat{\gamma }$ .
a)Dado $\hat{\alpha }$ = 140°.

a//b

b) Dado $\hat{\alpha }$ = 135°.
a//b
Hallar las amplitudes de los ángulos dados.
a)

a//b

b)

a//b

RESPUESTAS

1.
a)

$\hat{β} = 40 ° \hat{γ} = 140 °$

$\hat{β} = 45 ° \hat{γ} = 45 °$

2.
a)

$\hat{α} = \hat{β} = 60 °$

$\hat{α} = \hat{β} = 120 °$

¿Sabías qué...?

El símbolo = fue inventado por Robert Recorde en 1557. Utilizó esa representación porque le parecía que “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”.

Cálculo de áreas mediante ecuaciones

Área es la medida de una superficie, es decir, en ocasiones se utilizan como sinónimos, pero estrictamente no lo son. En otras palabras, la superficie es una región de un plano y el área es un número acompañado de una unidad de medida. Para el cálculo de áreas se utilizan las fórmulas correspondientes y se aplican determinados procedimientos matemáticos.

Fórmulas de áreas y perímetros de figuras poligonales.

Antes de comenzar a resolver ejercicios y problemas que impliquen cálculos de áreas es indispensable repasar las fórmulas correspondientes y revisar en qué unidades se pueden medir. Si deseas repasar dicho contenido puedes ingresar a la Enciclopedia de Matemática: Geometría.

CÁLCULO DE ÁREAS

Cuando se tienen los datos numéricos para calcular el área de una figura simplemente se realizan los reemplazos correspondientes en las fórmulas y se obtienen los resultados. Ejemplos:

Calcular el área de la siguiente figura:

En primer lugar se debe identificar qué fórmula hay que aplicar.

Como se trata de un rectángulo la fórmula es A = a · b o A = b · h.

A = a · b significa que se multiplica el largo (a) por el ancho (b).

A = b · h representa que se multiplica la base (b) por la altura (h).

Ambas expresiones significan lo mismo en cuanto a operaciones matemáticas se refiere.

Sustitución de datos en la fórmula:

A = a · b

A = 6 cm · 4 cm = 24 cm² (observar que la unidad de área es igual a la longitud al cuadrado)

Hallar el área de un triángulo cuya base mide 4 m y su altura 3,75 m.

Primero se dibuja la figura para identificar qué datos brinda el enunciado.

DATOS:

b = 4 m

h = 3,75 m

Se escribe la fórmula correspondiente:

$A= \frac{b \cdot h}{2}$

Y finalmente se reemplazan los datos en la fórmula:

$A= \frac{4 m \cdot 3, 75 m}{2} = \frac{15 m^{2}}{2} = 7, 5 m^{2}$

Respuesta: el área es 7,5 m².

Las longitudes se pueden medir en mm, cm, m, etc. Las áreas en cambio son unidades al cuadrado: mm², cm²y m²entre otras.

PROBLEMAS GEOMÉTRICOS CON ECUACIONES

Este tipo de problemas requiere conocer las fórmulas geométricas para cálculo de áreas y perímetros. Además, se necesita tener práctica con la resolución de ecuaciones y comprender el lenguaje coloquial.

EJEMPLOS 1:

El perímetro de un terreno rectangular es de 250 m. Si el largo es el triple de su ancho:

a) ¿Cuáles son sus dimensiones?
b) ¿Cuál es el área del terreno?

El primer paso es esquematizar y escribir los datos:

DATOS:

P = 250 m
ancho = x
largo = 3x

a) Para hallar sus dimensiones es necesario conocer el valor de x. Como se tiene el dato del perímetro, en primer lugar se debe utilizar la fórmula de perímetro de un rectángulo:

P = 2a + 2b

Es decir:

P = 2 · largo + 2 · ancho

250 m = 2 · 3x + 2 · x

250 m = 6x + 2x

250 m = 8x

31,25 m = x

Al escribir se deja la incógnita del lado izquierdo:

x = 31,25 m

Como la x es igual al ancho y 3x es el largo, ya se pueden obtener ambas medidas:

largo = 3x = 3·31,25 m = 93,75 m

largo = 93,75 m

ancho = 31,25 m

b) Con los datos obtenidos en a) se calcula el área del terreno:

A= a·b

A = 93,75 m · 31,25 m

A ≅ 2929,69 m²

El símbolo ≅ significa “aproximadamente” y se utiliza cuando la respuesta ha sido redondeada.

EJEMPLO 2:

Calcular el área de un rectángulo sabiendo que uno de sus lados mide 3 metros menos que el otro y su perímetro es de 38 metros.

En primer lugar se realiza el esquema y se extraen los datos del enunciado:

DATOS:

P = 38 m
ancho = x – 3 m
largo = x

En segundo lugar se deben calcular sus dimensiones:

38 m = x + x – 3 m + x + x -3 m

38 m = 4x -6 m

38 m + 6 m = 4x

44 m = 4x

44 m : 4 = x

x = 11 m

Medidas de las dimensiones:

largo = x = 11 m

largo = 11 m

ancho = x − 3m = 11m − 3 m = 8 m (se elige a este dato como ancho dado que su medida es menor a la del otro lado).

ancho = 8 m

Finalmente se calcula el área:

A = a · b

A = 11 m · 8 m = 88 m²

A = 88 m²

En los ejemplos anteriores la resolución se hacía por medio de ecuaciones lineales, pero podría suceder que se requiera resolver ecuaciones cuadráticas, como en el caso del siguiente ejemplo:

EJEMPLO 3:

Calcular la medida de la base y la altura del paralelogramo si su área es de 75 m². Su base mide el triple que su altura.

Primero se esquematiza y se escriben los datos:

DATOS:

área = 75 m²base = 3x
altura = x

Se reemplazan los datos en la fórmula del área de un paralelogramo:

A = b · a

75 m² = 3x · x

75 m² = 3x²

75 m² : 3= x²

25 m² = x²

$x= \sqrt{25 m^{2}}$

x= 5 m

Dimensiones:

h = x

h = 5 m

b = 3x = 3· 5m = 15 m

b = 15 m

a practicar lo aprendido

Si el perímetro de un rectángulo es 50 m y la base es 5 m más larga que la altura, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? ¿Cuál es su área?
Un triángulo equilátero de lado x tiene un perímetro de 30 m. Si su altura mide 11 m, ¿cuál es su área?
Calcular la medida de la base y la altura del paralelogramo si su área es de 8 cm².

RESPUESTAS

150 m²
55 m²
h = 2 cm; b = 4 cm

¿Sabías qué...?

El símbolo para representar raíz cuadrada surgió en 1525, antes se expresaba mediante palabras “raíz de…”. Christoph Rudolff ideó este símbolo

porque se asemejaba a una r estilizada.

Ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones algebraicas de segundo grado o ecuaciones cuadráticas son aquellas en las cuales al menos una de sus incógnitas se encuentra elevada al cuadrado, siendo éste el mayor grado que pueden tener. Este tipo de ecuaciones se requieren no solo en aplicaciones del campo de la matemática, también son de gran utilidad para la resolución de problemas de física, entre otros.

La forma típica de las ecuaciones de segundo grado es:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Siendo x la incógnita; a, b y c los coeficientes. La incógnita es un valor variable, mientras que los coeficientes son constantes y a≠0 (a debe ser distinta a cero).

Algunas ecuaciones cuadráticas son fácilmente reconocibles, mientras que otras requieren algunas transformaciones algebraicas para identificarlas.

Ejemplos

Ecuación cuadrática con a, b y c distintos de cero:

$2 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Ecuación cuadrática con b=0:

$3 x^{2} - 1 = 0$

Ecuación cuadrática con c=0:

$x^{2} + 4 x = 0$

En los tres ejemplos anteriores, la ecuación cuadrática se obtuvo al igualar a cero un trinomio de segundo grado, ya sea completo o incompleto.

TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO

Es un polinomio de grado dos que consta de tres monomios. Ej:

$P (x) = a x^{2} + b x + c, s i e n d o a \neq 0 .$

Si ningún coeficiente tiene como valor cero, la fórmula es completa. Es incompleta en los siguientes casos:

$a x^{2} + c = 0 (b = 0) a x^{2} + b x = 0 (c = 0) a x^{2} = 0 (b = c = 0)$

En caso de que la ecuación no esté presentada en la forma típica, se deben realizar operaciones algebraicas, por ejemplo:

$x^{2} = 1$

Se realizan las transformaciones necesarias para que del lado derecho de la igualdad quede cero:

$x^{2} - 1 = 0$

De este modo se puede identificar que dicha ecuación es cuadrática, pero su coeficiente b=0.

Otro ejemplo que requiere transformaciones aritméticas:

$4 x^{2} + 8 = 2 x^{2} + x$

Se llevan los términos de la derecha hacia el lado izquierdo, cambiando sus signos:

$4 x^{2} + 8 - 2 x^{2} - x = 0$

Se agrupan términos con la misma parte literal y mismo grado:

$4 x^{2} - 2 x^{2} - x + 8 = 0$

Se resuelve:

$2 x^{2} - x + 8 = 0$

En esta oportunidad se observa un trinomio completo de segundo grado.

Por último, puede ocurrir que a simple vista no se observen términos cuadráticos, pero al resolver la siguiente ecuación el resultado será un trinomio de segundo grado:

$(x + 2) (x - 3) = 5$

Se resuelve la multiplicación de los dos binomios:

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6 = 5 x^{2} - x - 6 - 5 = 0 x^{2} - x - 11 = 0$

Al escribir la ecuación cuadrática en la forma típica se pueden identificar sus coeficientes y resolver por medio de la fórmula resolvente o de Bhaskara.

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

Las ecuaciones cuadráticas incompletas se resuelven de manera sencilla, despejando la incógnita, x.

Existen algunas reglas que permiten trabajar con ecuaciones. Las reglas simplificadas de transposición de términos son las siguientes:

Si un término está sumando en un miembro de la igualdad, pasa al otro restando y viceversa. Por ejemplo:
$4 x + 5 = - 3 x^{2} + 9 4 x + 5 + 3 x^{2} = 9$
Si un término se encuentra multiplicando en un miembro de la igualdad, pasa al otro dividiendo y viceversa. Por ejemplo:
$3 x = 6 x = 6 : 3$
Si un término está elevado a una potencia de un lado de la igualdad, esa potencia pasa al otro lado como una raíz cuyo índice es la potencia y viceversa. Por ejemplo:
$x^{3} = 8 x = \sqrt[3]{8}$

Ejemplo 1:

$x^{2} - 4 = 0 x^{2} = 4 | x | = \sqrt{4} | x | = 2 x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

Cuando una potencia par se pasa al otro miembro de la igualdad como raíz, hay dos valores de x que resuelven la igualdad. Por ello se utiliza el módulo, |x|.

Ejemplo 2:

$3 x^{2} + 2 x = 0$

Una forma sencilla de resolver esta ecuación es extraer factor común x:

$x (3 x + 2) = 0$

Para que el producto x(3x+2) sea igual a cero, uno de sus factores debe ser cero. Entonces, la ecuación anterior es válida si:

$x = 0, 3 x + 2 = 0$

De este modo se pueden hallar los dos valores de x que satisfacen la ecuación:

$x_{1} = 0$

(no se requieren cálculos)

Para x₂ se debe despejar la segunda ecuación (segundo factor).

$3 x + 2 = 0 3 x = - 2 x = - \frac{2}{3} x_{2} = - \frac{2}{3}$

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Fórmula resolvente o de Bhaskara

$x_{1}, x_{2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

La fórmula de Bhaskara permite obtener las raíces de una ecuación de segundo grado. De la aplicación de la fórmula puede ocurrir que el resultado sea:

Dos raíces reales distintas.
$(b^{2} - 4 a c > 0)$
Dos raíces reales iguales.
$(b^{2} - 4 a c = 0)$
No tenga raíces reales.
$(b^{2} - 4 a c < 0)$

Ejemplo 3: Resolver la ecuación

$2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$

Primero se identifican los coeficientes a, b y c, siendo éstos:

$a = 2 b = 5 c = - 3$

Se reemplaza en la fórmula:

$x_{1}, x_{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2} x_{1}, x_{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} x_{1}, x_{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{4} x_{1}, x_{2} = \frac{- 5 \pm 7}{4} x_{1} = \frac{- 5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} x_{2} = \frac{- 5 - 7}{4} = \frac{- 12}{4} = - 3$

Por lo tanto:

$x_{1} = \frac{1}{2}, x_{2} = - 3$

También se puede utilizar la fórmula de Bhaskara para ecuaciones cuadráticas incompletas.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

Resolver las siguientes ecuaciones:

$1) x^{2} + 6 x + 8 = 0 2) x^{2} - 25 = 0 3) x^{2} = 2 x 4) x^{2} + 2 x - 8 = 0$

RESPUESTAS

$1) x_{1} = - 2, x_{2} = - 4 2) x_{1} = - 5, x_{2} = 5 3) x_{1} = 0, x_{2} = 2 4) x_{1} = 2, x_{2} = - 4$

¿Sabías qué...?

El matemático y astrónomo Bhaskara nació en la India en el siglo XII y encontró respuestas a las resoluciones cuadráticas varios siglos antes que matemáticos de Europa.

Dinámica

Existe una rama de la física que se encarga de estudiar y analizar el movimiento en relación con las causas que lo originan, la dinámica. Los conocimientos en este campo han permitido realizar diversos descubrimientos como la descripción del movimiento de los planetas.

La dinámica se enfoca en estudiar y describir la evolución a través del tiempo de un sistema físico (un conjunto de objetos ordenados que obedecen ciertas leyes y que en cuyas partes se evidencia una conexión de tipo causal). Para estudiar las alteraciones que se producen en este tipo de sistemas, la dinámica emplea ecuaciones de movimiento.

Las leyes de Newton

El primer estudioso en formular leyes fundamentales en el campo de la dinámica fue Isaac Newton. Su aporte fue tan importante que hasta la fecha sus leyes representan las bases para la mayoría de problemas que involucran cuerpos en movimiento.

Isaac Newton fue un físico británico que nació el 4 de enero de 1643 en el condado de Lincolnshire en Inglaterra.

Primera ley: Ley de la inercia

Establece que un cuerpo permanecerá en estado de reposo o en movimiento rectilíneo uniforme a no ser que se vea sujeto a cambiar su condición por una o varias fuerzas externas.

Segunda ley: Principio fundamental de la dinámica

Plantea que el cambio de movimiento es directamente proporcional a la fuerza que actúa sobre el cuerpo y en su misma dirección. Es decir, la aceleración a la cual se encuentra sometido un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta aplicada e inversamente proporcional a su masa.

Las leyes de Newton revolucionaron los conceptos básicos de la física y ampliaron los conocimientos relacionados con los movimientos de los cuerpos en el universo.

Tercera ley: Principio de acción-reacción

Esta ley propone que con toda acción siempre se produce una reacción igual y en sentido opuesto, es decir, cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste último imprime sobre el primero una fuerza de igual magnitud pero de sentido contrario.

Diferencia entre cinemática y dinámica

Tanto la cinemática como la dinámica son ramas de la mecánica clásica que se dedican al estudio del movimiento de los cuerpos, sin embargo; son muy diferentes. La cinemática se enfoca a estudiar los cuerpos en movimiento sin considerar las causas que originan el movimiento y se limita únicamente a la trayectoria que se describen respecto al tiempo. Por otra parte, la dinámica se concentra en las causas que originan el movimiento de los cuerpos y los cambios que se producen en el estado de movimiento de dichos cuerpos.

En resumen, la cinemática responde a la incógnita: ¿cómo se mueven los cuerpos?, mientras que la dinámica se enfoca en responder ¿por qué se mueven los cuerpos?

Problemas de dinámica

Los problemas de dinámica son diversos al igual que las aplicaciones de las leyes de Newton. En este artículo nos enfocaremos en problemas en los cuales se aplica la segunda ley de Newton. Dicha ley puede expresarse en términos de ecuación de la siguiente forma:

Dónde:

F: fuerza

m: masa

a: aceleración

La expresión anteriormente planteada es válida únicamente para cuerpos en los que su masa es constante.

En los casos en los que la masa no es constante como sucede con los cohetes que queman combustible a lo largo del trayecto, la ecuación F = m.a no es válida.

El Newton

La unidad de fuerza empleada en el sistema internacional de unidades es el Newton y se representa con el símbolo N. De esta manera 1 N se define como la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo que tenga una masa de 1 kg para desplazarlo a una aceleración de 1 m/s².

Lo anteriormente expuesto quiere decir que 1 N puede expresarse en unidades fundamentales como:

Es importante que al resolver problemas de este tipo las unidades sean equivalentes para que el sistema sea homogéneo, de lo contrario, se deberán transformar las unidades para que así lo sean.

Calcular la masa de un cuerpo que al recibir una fuerza de 80 N adquiere una aceleración de 10 m/s².

Datos:

F = 80 N

a= 10 m/s².

Solución:

Debido a que en el problema piden determinar la masa, se despeja esta variable de la ecuación de fuerza:

Se sustituyen los datos en la ecuación despejada:

La masa del cuerpo es de 8 kilogramos.

Se aplica una fuerza de 82 N a un cuerpo de 15.000 g. Calcular la aceleración que adquiere el cuerpo:

Datos:

F = 82 N

m = 15.000 g

Solución:

Lo primero es transformar la masa a kilogramo (recordemos que el kilogramo forma parte de las unidades que conforman a la unidad de fuerza Newton).

Para la transformación se sabe que 1 kg contiene 1.000 g:

Debido a que en el problema nos solicitan la aceleración despejamos dicha variable de la ecuación:

Se reemplazan los datos en la ecuación despejada:

De manera que la aceleración que adquiere el cuerpo es de 5,46 m/s².

Calcular la fuerza que debe ser ejercida en un cuerpo de 14,2 kg para que adquiera una aceleración de 12 m/s².

Datos:

m = 14,2 kg

a = 12 m/s²

Solución:

Se sustituyen los valores en la ecuación de fuerza:

Para que un cuerpo de 14,2 kg de masa pueda adquirir una aceleración de 12 m/s² se debe aplicar una fuerza de 170,4 N.

Los cuerpos no pueden ejercer una fuerza sobre sí mismos, siempre hay otros agentes que los mueven.

Sistemas de ecuaciones

En matemáticas y en otras disciplinas, el empleo de ecuaciones para calcular variables es frecuente y de gran ayuda. El conjunto de dos o más ecuaciones se conoce como sistema de ecuaciones, y según sea el caso, puede tener o no solución.

¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones que contienen una o más variables. Se encuentran formadas por dos miembros separados por el signo igual.

El símbolo igual “=” fue inventado por Robert Recorde en 1557. Su forma hace alusión a dos rectas paralelas del mismo tamaño que representan la igualdad.

Estas expresiones matemáticas presentan valores conocidos o datos, además de elementos desconocidos denominados incógnitas y que son usualmente representados por letras del alfabeto.

El conjunto de valores que satisfacen a una ecuación se denomina solución. De este modo, una ecuación puede también definirse como una igualdad condicionada en la que sólo algunos valores de las incógnitas la hacen cierta.

Un ejemplo es la siguiente ecuación:

2x-1=3

La solución de la ecuación es 2, ya que es el único valor que puede tomar la incógnita para hacer cumplir la igualdad:

Cuando una ecuación incluye únicamente sumas y restas con una variable elevada a la primera potencia (sin presentar productos entre éstas) se denomina ecuación lineal.

Desde la Antigüedad

Sorprendentemente, muchos fundamentos básicos del álgebra que hoy en día usamos ya eran conocidos en el Antiguo Egipto y eran empleados para calcular problemas matemáticos en los cuales existía un valor desconocido.

El conocimiento avanzado de los egipcios en las matemáticas les permitió realizar cálculos que otras culturas desconocían.

Ecuaciones lineales

Las ecuaciones matemáticas pueden ser tan diversas como los números mismos. Se clasifican de acuerdo al máximo exponente al cual se encuentre elevada la incógnita o variable en lo que se denomina grado de la ecuación. Por ejemplo, 2x-3=4-x es una ecuación de primer grado porque el máximo exponente al cual se encuentra elevada la es 1. Por otro lado, una ecuación del tipo: 5x²-3x+1=0 es de segundo grado, por ser 2 el máximo exponente de la incógnita.

Adicionalmente, existen ecuaciones que incluyen funciones matemáticas como las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, entre otras. En estos casos se utiliza una metodología diferente para su resolución de acuerdo a las características de las funciones involucradas.

Las ecuaciones de segundo grado presentan la forma ax²+ bx + c y pueden resolverse con la fórmula mostrada.

Sistema de ecuación

Es un conjunto formado por dos o más ecuaciones que contienen varias incógnitas. Un sistema puede tener o no solución, en caso de tenerla consistirá en el valor o conjunto de valores que al ser sustituidos en las ecuaciones del sistema cumplen con la igualdad del sistema.

Las ecuaciones con una sola incógnita se resuelven a través de despejes. Para ecuaciones con dos o más incógnitas se recurre a los sistemas de ecuaciones.

Clasificación de los sistemas de ecuaciones

Los sistemas de ecuaciones pueden ser clasificados en compatibles o incompatibles de acuerdo a si tienen o no solución.

Sistemas compatibles: son aquellos que admiten solución, se subdividen en sistemas compatibles determinados y sistemas compatibles indeterminados. Los primeros se caracterizan por presentar un conjunto finito de valores que satisfacen la igualdad del sistema, es decir, tienen una sola solución. Los segundos por su parte, presentan un número infinito de soluciones.

Sistemas incompatibles: son aquellos que no admiten ninguna solución posible.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Como se explicó anteriormente, las ecuaciones pueden presentar varios tipos de grado e incluir muchas funciones matemáticas. En este caso, el artículo se centrará en explicar los métodos principales para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado, específicamente en ecuaciones lineales.

Los tres métodos más conocidos para su resolución son:

Método de reducción
Método de sustitución
Método de igualación

Sin embargo, existen otros métodos que hacen uso de matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Método de reducción

A través de este método se trata de cancelar una de las variables para calcular la otra por medio de despejes. Para lograrlo se multiplica una de las ecuaciones de manera que al sumar todos los términos semejantes de todas las ecuaciones se elimine una de las incógnitas.

Por ejemplo:

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de reducción.

En la primera ecuación el coeficiente de la variable es 2, mientras que en la segunda es 1. Una forma de eliminar a la variable es multiplicar la segunda ecuación por -2, de esta forma al sumar los términos semejantes que incluyen dicha variable darán como resultado al número cero y de esta forma se cancela la incógnita.

De esta forma el sistema de ecuaciones queda:

Se suman los términos semejantes

De esta forma, se tiene la ecuación:

Con el valor de conocido se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema y se despeja . Para este caso se seleccionará la primera ecuación del sistema:

De esta forma, el conjunto solución del sistema es x= -1 y y=2 .

En el caso de sistemas con una sola solución, si se sustituyen los valores solución en las ecuaciones se cumple la igualdad en todos los casos.

Método de sustitución

En este método se busca despejar una variable en una ecuación para luego sustituirla en otra de manera de reducir el número de incógnitas.

Por ejemplo:

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución.

Se despeja cualquiera de las variables de cualquiera de las dos ecuaciones. En este caso se despejará la variable de la primera ecuación:

Se sustituye la variable despejada en la otra ecuación. En este punto, se debe tener cuidado de no sustituir la ecuación despejada en la misma ecuación de la cual se obtuvo.

Se resuelven los cálculos hasta despejar la variable

Se sustituye la incógnita y en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se calcula el valor de x. En este método como se despejó dicha incógnita en el primer paso, se puede sustituir directamente en dicha ecuación:

Método de igualación

Este método consiste en despejar una misma incógnita de dos ecuaciones y luego igualarlas para calcular el valor de otra incógnita.

Por ejemplo:

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación.

Se despeja en ambas ecuaciones:

-Primera ecuación

-Segunda ecuación

Se igualan ambas ecuaciones despejadas:

Se despeja el valor de y:

Se sustituye el valor de en cualquiera de las ecuaciones, preferiblemente en cualquiera de las ecuaciones ya despejadas.