VOLVER A LOS ARTÍCULOSLos polinomios son expresiones algebraicas con las que se pueden realizar diversas operaciones matemáticas, como la suma o adición, la resta o sustracción, la multiplicación y la división, entre otras. Tanto la división como la multiplicación de polinomios se ajustan a determinadas reglas especiales que se deben conocer al momento de la resolución de ejercicios.
Las operaciones básicas con polinomios son: suma o adición, resta o sustracción, multiplicación y división.
En esta ocasión se desarrollarán los temas multiplicación o producto de polinomios y división de polinomios. Si necesitas repasar la suma y resta puedes ingresar al contenido de Adición y Sustracción de polinomios.
PRODUCTO DE POLINOMIOS
Las propiedades que intervienen en la multiplicación o producto de polinomios son las siguientes:
- Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
- Propiedades del producto.
- Propiedades de la potenciación.
EJEMPLO 1:
Hallar el producto P(x)·Q(x). Si P(x) = x3+2x+1 y Q(x) = 3x
P(x)·Q(x)= (x3+2x+1)·(3x)
Se procede a realizar la propiedad distributiva. Se comienza de la siguiente manera:
P(x)·Q(x)=3x4 +…..
Obsérvese que se aplicó la propiedad de multiplicación de potencias: “El resultado del producto de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la suma de los exponentes”.
En este caso x3 .2x
La potencia de 2x es 1, por lo tanto:
x3 .2x1=2x3+1=2x4
Al realizar la propiedad distributiva para cada uno de los términos de P(x) se obtiene el producto:
P(x)·Q(x)=3x4+6x2+3x
Dados dos polinomios P(x) y Q(x), se verifica que:
grado de [P(x)·Q(x)] = grado [P(x)]·grado[Q(x)]
EJEMPLO 2:
Hallar el producto P(x)·Q(x). Si P(x) = 2x3+x2+1 y Q(x) = x+5
P(x)·Q(x)= (2x3+x2+1)·(x+5)
En primer lugar se realiza la propiedad distributiva entre el primer término de Q(x) y el polinomio P(x), comenzando de izquierda a derecha:
P(x)·Q(x)= 2x4+x3+x+…
Luego se distribuye el segundo término de Q(x) por el polinomio P(x).
P(x)·Q(x)= 2x4+x3+x+10x3+5x2+5
Finalmente se agrupan términos que compartan la misma parte literal (incluida su potencia),en este ejercicio son x3 y 10x3, al sumarlos queda 11x3.
P(x)·Q(x)= 2x4+11x3+5x2+x+5
Observar que los términos se ubicaron en forma decreciente con respecto a sus potencias.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
La división de polinomios se realiza del mismo modo que con números.
Dividendo = divisor · cociente + resto
IMPORTANTE: el polinomio dividendo debe estar ordenado en forma decreciente de potencias de “x” y completo. En caso de no estar completo se debe completar utilizando el 0 (0x4, 0x3, 0x2, etc.)
| POLINOMIO NO ORDENADO | POLINOMIO ORDENADO INCOMPLETO | POLINOMIO ORDENADO Y COMPLETO |
| P(x)= 2x4+5-x3+x | P(x)= 2x4-x3+x+5 | P(x)= 2x4-x3+0X2+x+5 |
| A(x)= x+5x2-x5+8 | A(x)= -x5+5x2+x+8 | A(x)= -x5+0x4+0x3+5x2+x+8 |
EJEMPLO 3:
Dados P(x)=3x3-2x2-1 y Q(x)= x2-x+1, hallar el polinomio cociente C(x).
Como P(x) está incompleto, se debe completar:
3x3-2x2+0x-1
Luego se escribe la división del mismo modo que con números:
3x3-2x2+0x-1 ⌊ x2-x+1
Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor:
3x3: x2= 3x Se aplicó la propiedad de división de potencias: “El cociente de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la resta de los exponentes”.
El resultado es el primer término del cociente:
3x3-2x2+0x-1 ⌊ x2-x+1
3x
Luego se realiza la distributiva entre 3x y el divisor. Los resultados se colocan debajo del dividendo con signo contrario:
3x3-2x2+0x-1 ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x 3x
Se procede a realizar las sumas algebraicas correspondientes:
3x3-2x2+0x-1 ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x 3x
0x3+x2-3x
Luego se “baja” el siguiente término, que en este caso es el independiente:
3x3-2x2+0x-1 ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x 3x
x2-3x -1
Nuevamente se divide el primer término que aparece en el dividiendo, entre el primer término del divisor:
x2: x2=1
Por lo tanto el segundo termino del cociente es 1.
3x3-2x2+0x-1 ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x 3x +1
x2-3x -1
Se procede una vez más a realizar la propiedad distributiva, esta vez entre el segundo término del cociente y el divisor. Se obtiene de esta forma el resto de la operación.
3x3-2x2+0x-1 ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x 3x +1
x2-3x -1
-x2+x – 1
0x2-2x -2
Resto: R(x)=-2x-2
Cociente: C(x)=3x +1
Se finaliza la división cuando grado del resto es menor que el grado del divisor o cero. En este caso el grado de -2x-2 es menor al grado de x2-x+1.
– La división entre dos polinomios P(x) y Q(x) es posible si grado [P(x)]≥grado [Q(x)].
– grado [C(x)]=[P(x)]-grado [Q(x)]. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.
Otra forma de división es la regla de Ruffini, pero sólo se utiliza para casos especiales.
A PRACTICAR LO APRENDIDO
- Hallar el producto entre los siguientes polinomios:
a) P(x) = x4+3x2-2x+1 y Q(x) = 2x
b) P(x) = 2x2+2x+1 y Q(x) = 3x +4 - Hallar el cociente C(x) y el resto R(x) entre los siguientes polinomios:
a) P(x) = x2+12x+4 y Q(x) = x-2
b) P(x) = 8x3+36x2+15x+13 y Q(x) = 4x2+12x+9
RESPUESTAS
1.
a) P(x)·Q(x)=2x5+6x3-4x2+2x
b) P(x)·Q(x)=6x3+14x2+11x+4
2.
a) C(x)= x+14, R(x)=32
b) C(x) =2x+3, R(x)= -39x-14