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Método de Ruffini

El matemático Paolo Ruffini ideó un método para dividir polinomios denominado regla de Ruffini en su honor. Con ella se pueden calcular los coeficientes de la división de un polinomio por un binomio x-a. Es una forma que simplifica y facilita este tipo de operaciones matemáticas.

 

Antes de aplicar la regla de Ruffini se deben revisar los conceptos de teorema del resto y teorema de Gauss.

TEOREMA DEL RESTO

Dado un polinomio P(x) y otro Q(x)= x-a, el resto de dividir a P(x) entre Q(x) es P(a).

P(a) es R, el resto de dicha división.

En otras palabras, el resto de un polinomio P(x) se puede calcular realizando la especialización del mismo. Es decir, reemplazando el valor numérico para x=a. Ejemplo:

Calcular el resto de la división entre P(x) y Q(x).

P(x)=2x3-2x2+2x-8
Q(x)= x-1

Especializando en x=1 se obtiene:

P(1)=2·(1)3-2·(1)2+2·(1)-8
P(1)=2·1-2·1+2-8
P(1)=2-2+2-8=-6

El resto de la división entre P(x) y Q(x) es -6.

Consecuencias del teorema del resto

Un polinomio es divisible por (x-a), sí y sólo sí P(a) =0, sí y sólo sí “a” es raíz de P(x).
En el ejemplo anterior P(x) no es divisible por Q(x), ya que el resto es distinto de cero.[/su_note]

método de gauss

Con el teorema de Gauss se pueden hallar las posibles raíces de un polinomio. Éstas se obtienen realizando el cociente entre los divisores del término independiente de un polinomio y los divisores del coeficiente principal. Este método es útil para polinomios de grado tres o superiores, dado que en caso de tener un polinomio de grado dos hay otras formas más sencillas de resolución.

EJEMPLO

Según el método de Gauss hallar las posibles raíces del polinomio: P(x)=2x3+x2+5x-8.

Los coeficientes de un polinomio corresponden a la parte numérica del polinomio.

Cuando la x no tiene escrito un coeficiente a la izquierda, significa que éste es 1.

El término cúbico es el que tiene a la variable x elevada al cubo y el término independiente es aquel que no tiene parte literal. Para realizar el método de Gauss debe identificarse el término cuyo grado sea mayor (de allí se obtiene el coeficiente principal) y el término independiente.

En este ejemplo, el coeficiente del término cúbico es el principal, por lo tanto:

coeficiente principal: 2

término independiente: -8

COEFICIENTE PRINCIPAL DIVISORES  TÉRMINO INDEPENDIENTE  DIVISORES
2 -1,-2,1,2 -8 -8,-4,-2,-1,1,2,4,8

Se efectúan todos los posibles cocientes:

Se toma el primer divisor del término independiente y se lo divide por todos los divisores del coeficiente principal:

De aquí se obtienen cuatro posibles raíces: 4, 8, -8 y -4.

Se debe hacer el mismo procedimiento con cada uno de los divisores del término independiente. Otro ejemplo:

Se puede observar que algunos resultados se repiten, por lo tanto hasta el momento las posibles raíces son:

4, 8, -8, -4, 2, -2

Se continúa con el cálculo de las raíces probables (si deseas puedes hacerlo). Una vez calculadas todas ellas se obtienen las siguientes posibilidades:

-1/2, 1/2, -1, 1, -2, 2, -4, 4, -8, 8

Para saber si son o no raíces se puede aplicar el teorema del resto.

En el polinomio estudiado anteriormente se tiene que una de las raíces posibles es 1, se especializa entonces en a=1.

P(x)=2x3+x2+5x-8

P(1)=2·(1)3+(1)2+5(1)-8 = 2+1+5-8 =0

Y como P(1)=0, entonces 1 es raíz del polinomio P(x)=2x3+x2+5x-8.

Esto significa que P(x)=2x3+x2+5x-8 es divisible por x-1.

Del mismo modo se realiza con las otras posibles raíces para hallar que otro u otros valores verifican que P(x)=0.

“Un polinomio puede tener tantas raíces como su grado. Es decir, un polinomio de grado 3 puede tener hasta 3 raíces. Aunque no siempre todas las raíces obtenidas pertenecen al conjunto de los números reales.”

REGLA DE RUFFINI

Paolo Ruffini, matemático, médico y filósofo italiano.

La regla de Ruffini es de gran utilidad para la factorización de polinomios. Se la considera una división simplificada para los casos en que el divisor es un polinomio de grado 1 y mónico, es decir con coeficiente 1.

Polinomios que se pueden dividir con el método Ruffini:

P(x)=2x3+4x2+5x-6 y Q(x)= x-1

P(x)=x4-x3-3x2+x-8 y Q(x)= x+5

Polinomios que NO se pueden dividir con la regla de Ruffini:

P(x)=2x4+x3+x2+5x-8 y Q(x)=3x-1 no es posible ya que el divisor Q(x) no es mónico, no tiene coeficiente 1, sino 3.

P(x)=2x3+x2+5x-8   y Q(x) = x2-1 no es posible porque Q(x) no es un polinomio de grado uno.

EJEMPLO 1:

Realizar la división entre P(x)=3x3-5x2-16x+12 y Q(x)=(x+2)

Se trazan dos líneas de la siguiente forma:

Luego se colocan los coeficientes de P(x):

La raíz se ubica en la siguiente posición:

Recordar que Q(x) = x+2, entonces la raíz es -2 porque Q(-2) =-2+2=0

Se coloca el primer coeficiente debajo de la línea horizontal:

Luego se procede a multiplicar la raíz por ese primer coeficiente:

A continuación se realiza la suma algebraica en la fila conformada por el segundo coeficiente y el resultado de la multiplicación antedicha:

Siguiendo el mismo procedimiento se continúa resolviendo:

Cuando se llega a la última fila, el resultado es el resto de la división, en este caso es 0.

Los coeficientes que se obtuvieron como resultado pertenecen a un polinomio de un grado menor al dividendo. Observar que inicialmente el polinomio era de grado 3, ahora queda expresado en dos factores, un polinomio de grado dos y (x+2).

P(x)=(3x2 -11x+6)(x+2)

3x2 -11x+6 es el cociente de la división entre P(x) y Q(x).

Se puede seguir factorizando, para ello se puede utilizar nuevamente Ruffini o directamente aplicar la fórmula de Bhaskara.

En esta oportunidad se realizará nuevamente la regla de Ruffini para (3x2 -11x+6). Se pueden calcular las posibles raíces con el teorema de Gauss para ir probando cuál de ellas genera un resto cero. En este caso se continuará con el método de Ruffini, utilizaremos el valor 3 como raíz.

Una vez obtenido resto cero, se reescribe el polinomio P(x):

P(x)=(3x2 -11x+6)(x+2)

P(x)=(3x-2)(x-3)(x+2)

Como la factorización implica que dentro de los paréntesis los polinomios sean mónicos, se debe extraer el 3 que se encuentra junto a la x de la siguiente forma:

(3x-2) = 3(x-2/3) se realizó factor común 3.

Los pasos que se han ido realizando en la factorización son:

P(x)=3x3-5x2-16x+12
P(x)=(3x2 -11x+6)(x+2)
P(x)=(3x-2)(x-3)(x+2)
P(x)=3(x-2/3)(x-3)(x+2) Polinomio factorizado.

EJEMPLO 2:

Hallar el resto de dividir P(x) entre Q(x):

P(x)=2x3-2x2+2x-8
Q(x)= x-1

El resto R es igual a -6.
Los polinomios que intervienen son los mismos que los utilizados en el ejemplo del teorema del resto. Ambos métodos sirven para hallar el resto. Pero si se desea factorizar, la opción a utilizar es la regla de Ruffini.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

1. Hallar el resto al dividir P(x) entre Q(x) en los siguientes casos:
a) P(x)=x3-7x2+14x-21 y Q(x)= x-2
b) P(x)=x3-x+2 y Q(x)= x+5
c) P(x)=x3-6x2+5x+11 y Q(x)= x-2

2. Dividir P(x) entre Q(x) utilizando el método de Ruffini e indicar su cociente y resto.
a) P(x)=2x3+4x2-5x-3 y Q(x)= x-2
b)P(x)=4x3-8x2-9x+7 y Q(x)= x-3
c) P(x)=2x3+5x2-4x+2 y Q(x)= x+3

respuestas

1.
a) R=-13
b) R= -118
c) R= 5

2.
a) Cociente: 2x2+8x+11, Resto: 19
b) Cociente: 4x2+4x+3, Resto: 16
c) Cociente: 2x2-x-1, Resto: 5

¿Sabías qué...?
Una de las aplicaciones de los polinomios de Zernike (establecidos por el físico Fritz Zernike) es en el campo de la medicina. Intervienen en los cálculos para la corrección de defectos visuales como miopía y astigmatismo.

 

Operaciones con polinomios

Los polinomios se utilizan en diversos campos de las matemáticas, como el análisis matemático y el cálculo. Sin embargo tienen aplicaciones variadas: en física, en química, en informática, en economía, en medicina, etc. Para operar con polinomios se requiere conocer las propiedades de la potenciación y los conceptos fundamentales de expresiones algebraicas.

Para aprender a trabajar con polinomios es necesario conocer antes los siguientes contenidos:

  1. Expresiones algebraicas.
  2. Monomios, binomios, trinomios y polinomios.
  3. Adición y sustracción de polinomios.
  4. Producto y división de polinomios.

EJERCICIOS CON OPERACIONES COMBINADAS ENTRE POLINOMIOS

Una vez que se han trabajado y practicado los temas anteriores, es posible avanzar en la resolución de ejercicios con operaciones combinadas, por ejemplo:

EJERICICIO 1

Dados los polinomios:

A(x) = x3 + 2x − 1
B(x) = 3x2 − 7
C(x) = x − 1

Hallar:

a) A(x) + B(x) · C(x) =
b) [C(x)]2 − B(x) =
c) 3A(x) − B(x) =

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1. a)

A(x) + B(x) · C(x) =

Se reemplaza cada polinomio es su ubicación correspondiente:

A(x) + B(x) · C(x) = (x3 + 2x − 1) + (3x2 − 7) · ( x − 1)

Se realizan las operaciones según la jerarquía correspondiente, en este caso primero hay que realizar la multiplicación entre  B(x) y C(x).

A(x) + B(x) · C(x) = (x3 + 2x − 1) + (3x3 − 3x2 − 7x + 7)

Al ser una suma, se pueden quitar los paréntesis:

A(x) + B(x) · C(x) = x3 + 2x − 1 + 3x3 − 3x2 − 7x + 7

Se agrupan términos con parte literal semejante:

A(x) + B(x) · C(x) = x3 + 3x3 − 3x2 + 2x − 7x + 7 − 1

Se realiza la suma algebraica de los términos con igual parte literal y se escribe el polinomio resultante ordenado en forma decreciente de potencias de x:

A(x) + B(x) · C(x) = 4x3 − 3x2 − 5x + 6

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1. b)

[C(x)]2 − B(x) =

Cuando un polinomio está elevado al cuadrado hay que observar primero a qué tipo de polinomio pertenece.

CUADRADO DE UN POLINOMIO

Cuando un polinomio está elevado a la potencia 2, se debe analizar primero qué tipo de polinomio es y en base a ello operar.

  • Si es un monomio, se eleva al cuadrado tanto su parte numérica como su parte literal.

Ej: P(x) = 2x
[P(x)]2 = (2x)2 = 22x2 = 4x2

Ej: Q(x) = x + 1
[Q(x)]2 = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

  • Si es un trinomio o un polinomio de grado superior a tres se puede multiplicar el polinomio por sí mismo.

Ej: D(x) = x3 + 2x + 1
[D(x)]2 = (x3 + 2x + 1) (x3 + 2x + 1) = x6 + 4x4 + 2x3 + 4x2 + 4x + 1

En el ejercicio 1. b) intervienen C(x) = x − 1 y B(x) = 3x2 − 7, ambos son binomios (tienen dos términos). Por lo tanto para resolver [C(x)]2 se aplica el cuadrado de un binomio.

[C(x)]2 = (x − 1)2 = x2 − 2x + 1

Luego se debe restar o sustraer B(x). Como hay un símbolo menos (−) a la izquierda del paréntesis del polinomio B(x), los signos de éste serán los contrarios al aplicar la regla de los signos.

[C(x)]2 − B(x) = (x−1)2 − (3x2 − 7) = x2 − 2x + 1 − 3x2 + 7

Finalmente se agrupan los términos cuyas partes literales son semejantes:

[C(x)]2 − B(x) =  x2 − 3x2 − 2x + 1 + 7

Se realizan las sumas algebraicas correspondientes y se obtiene el resultado:

[C(x)]2 − B(x) = −2x2 − 2x + 8

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1.c)

3A(x) − B(x) =

Cuando un polinomio está multiplicado por un número o por un monomio, se procede a realizar la propiedad distributiva para resolver esta operación en primer lugar.

3A(x) = 3(x3 + 2x − 1) = 3x3 + 6x − 3

Luego se continúa resolviendo:

3A(x) − B(x) = 3x3 + 6x − 3 − (3x2 − 7) = 3x3 + 6x − 3 − 3x2 + 7 

Finalmente se resuelven las sumas algebraicas correspondientes y se ordena el polinomio resultante:

3A(x) − B(x) = 3x3 − 3x2 + 6x + 7 − 3

3A(x) − B(x) = 3x3 − 3x2 + 6x + 4

Papiro de Rhind, realizado por el escriba Ahmes en el año 1650 a. C. Contiene información matemática aplicable a agricultura, astronomía, construcción, etc.

A continuación puedes practicar tanto algunas operaciones básicas entre polinomios, como las que son combinadas.

A PRACTICAR

Dados los polinomios:

A(x) = −2x4 + 3x3 + 7x2 − 5
B(x) = 3x + 1
C(x) = 2x5 + 3x3

  1. Realizar las siguiente sumas:
    a) A(x) + B(x) =
    b) A(x) + C(x) =
  2. Hallar el resultado de la resta:
    a) A(x) − B(x) =
    b) A(x) − C(x) =
  3. Hallar:
    a) B(x) · C(x) =
    b) A(x) · B(x) =
  4. Obtener el resultado de las siguientes operaciones con polinomios:
    a) 3A(x) + 2x3 · B(x) =
    b) A(x) · [B(x) + C(x)] =

RESPUESTAS

Se designará al polinomio resultado como P(x).

  1. a) P(x) = −2x4 + 3x3 + 7x2 + 3x − 4
    b) P(x) = 2x5 − 2x4 + 6x3 + 7x2 − 5
  2. a) P(x) = −2x4 + 3x3 + 7x2 − 3x − 6
    b) P(x) = −2x5 − 2x4 + 7x2 − 5
  3. a) P(x) = 6x6 + 2x5 + 9x4 + 3x3
    b) P(x) = −6x5 + 7x4 + 24x3 + 7x2 − 15x − 5
  4. a) P(x) = 11x3 + 21x2 − 15
    b) P(x) = −4x9 + 6x8 + 8x7 + 9x6 + 5x5 + 7x4 + 9x3 + 7x2 − 15x − 5
¿Sabías qué...?
Tanto la historia del álgebra como de las matemáticas comenzaron en el antiguo Egipto y Babilonia. Una muestra de ello es el papiro de Rhind que contiene problemas matemáticos escritos en un documento de 6 metros de longitud y 33 cm de ancho.

Producto y división de polinomios

Los polinomios son expresiones algebraicas con las que se pueden realizar diversas operaciones matemáticas, como la suma o adición, la resta o sustracción, la multiplicación y la división, entre otras. Tanto la división como la multiplicación de polinomios se ajustan a determinadas reglas especiales que se deben conocer al momento de la resolución de ejercicios.

Las operaciones básicas con polinomios son: suma o adición, resta o sustracción, multiplicación y división.

En esta ocasión se desarrollarán los temas multiplicación o producto de polinomios y división de polinomios. Si necesitas repasar la suma y resta puedes ingresar al contenido de Adición y Sustracción de polinomios.

PRODUCTO DE POLINOMIOS

Las propiedades que intervienen en la multiplicación o producto de polinomios son las siguientes:

  • Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
  • Propiedades del producto.
  • Propiedades de la potenciación.

EJEMPLO 1: 

Hallar el producto P(x)·Q(x). Si P(x) = x3+2x+1 y Q(x) = 3x

P(x)·Q(x)= (x3+2x+1)·(3x)

Se procede a realizar la propiedad distributiva. Se comienza de la siguiente manera:

P(x)·Q(x)=3x4 +…..

Obsérvese que se aplicó la propiedad de multiplicación de potencias: “El resultado del producto de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la suma de los exponentes”.

En este caso x3 .2x

La potencia de 2x es 1, por lo tanto:

x3 .2x1=2x3+1=2x4

Al realizar la propiedad distributiva para cada uno de los términos de P(x) se obtiene el producto:

P(x)·Q(x)=3x4+6x2+3x

GRADO DEL POLINOMIO PRODUCTO

Dados dos polinomios P(x) y Q(x), se verifica que:

grado de [P(x)·Q(x)] = grado [P(x)]·grado[Q(x)]

EJEMPLO 2:

Hallar el producto P(x)·Q(x). Si P(x) = 2x3+x2+1 y Q(x) = x+5

P(x)·Q(x)= (2x3+x2+1)·(x+5)

En primer lugar se realiza la propiedad distributiva entre el primer término de Q(x) y el polinomio P(x), comenzando de izquierda a derecha:

P(x)·Q(x)= 2x4+x3+x+…

Luego se distribuye el segundo término de Q(x) por el polinomio P(x).

P(x)·Q(x)= 2x4+x3+x+10x3+5x2+5

Finalmente se agrupan términos que compartan la misma parte literal (incluida su potencia),en este ejercicio son x3 y 10x3, al sumarlos queda 11x3.

P(x)·Q(x)= 2x4+11x3+5x2+x+5

Observar que los términos se ubicaron en forma decreciente con respecto a sus potencias.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

La división de polinomios se realiza del mismo modo que con números.

              Dividendo = divisor · cociente + resto

IMPORTANTE: el polinomio dividendo debe estar ordenado en forma decreciente de potencias de “x” y completo. En caso de no estar completo se debe completar utilizando el 0 (0x4, 0x3, 0x2, etc.)

POLINOMIO NO ORDENADO POLINOMIO ORDENADO INCOMPLETO POLINOMIO ORDENADO Y COMPLETO
P(x)= 2x4+5-x3+x P(x)= 2x4-x3+x+5 P(x)= 2x4-x3+0X2+x+5
A(x)= x+5x2-x5+8 A(x)= -x5+5x2+x+8 A(x)= -x5+0x4+0x3+5x2+x+8

EJEMPLO 3:

Dados P(x)=3x3-2x2-1 y Q(x)= x2-x+1, hallar el polinomio cociente C(x).

Como P(x) está incompleto, se debe completar:

3x3-2x2+0x-1

Luego se escribe la división del mismo modo que con números:

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1         

Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor:

3x3: x2= 3x  Se aplicó la propiedad de división de potencias: “El cociente de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la resta de los exponentes”.


El resultado es el primer término del cociente:

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
                         3x

Luego se realiza la distributiva entre 3x y el divisor. Los resultados se colocan debajo del dividendo con signo contrario:

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x         3x

Se procede a realizar las sumas algebraicas correspondientes:

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x         3x

 0x3+x2-3x

Luego se “baja” el siguiente término, que en este caso es el independiente:

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x         3x

        x2-3x -1

Nuevamente se divide el primer término que aparece en el dividiendo, entre el primer término del divisor:

x2: x2=1

Por lo tanto el segundo termino del cociente es 1.

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x         3x +1

        x2-3x -1

Se procede una vez más a realizar la propiedad distributiva, esta vez entre el segundo término del cociente y el divisor. Se obtiene de esta forma el resto de la operación.

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x         3x +1

        x2-3x -1
     -x2+x – 1

      0x2-2x -2

Resto: R(x)=-2x-2

Cociente: C(x)=3x +1

Se finaliza la división cuando grado del resto es menor que el grado del divisor o cero. En este caso el grado de -2x-2 es menor al grado de x2-x+1.

IMPORTANTE

– La división entre dos polinomios P(x) y Q(x) es posible si grado [P(x)]≥grado [Q(x)].

– grado [C(x)]=[P(x)]-grado [Q(x)]. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

Otra forma de división es la regla de Ruffini, pero sólo se utiliza para casos especiales.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

  1. Hallar el producto entre los siguientes polinomios:
    a) P(x) = x4+3x2-2x+1 y Q(x) = 2x
    b) P(x) = 2x2+2x+1 y Q(x) = 3x +4
  2. Hallar el cociente C(x) y el resto R(x) entre los siguientes polinomios:
    a) P(x) = x2+12x+4 y Q(x) = x-2
    b) P(x) = 8x3+36x2+15x+13 y Q(x) = 4x2+12x+9

RESPUESTAS

1.
a) P(x)·Q(x)=2x5+6x3-4x2+2x
b) P(x)·Q(x)=6x3+14x2+11x+4

2.
a) C(x)= x+14, R(x)=32
b) C(x) =2x+3, R(x)= -39x-14

¿Sabías qué...?
La diferencia entre los cuadrados de dos números naturales consecutivos es igual al doble del número menor más 1. Ejemplo: 92-82 =(8·2)+1.