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Operaciones con polinomios

Los polinomios se utilizan en diversos campos de las matemáticas, como el análisis matemático y el cálculo. Sin embargo tienen aplicaciones variadas: en física, en química, en informática, en economía, en medicina, etc. Para operar con polinomios se requiere conocer las propiedades de la potenciación y los conceptos fundamentales de expresiones algebraicas.

Para aprender a trabajar con polinomios es necesario conocer antes los siguientes contenidos:

  1. Expresiones algebraicas.
  2. Monomios, binomios, trinomios y polinomios.
  3. Adición y sustracción de polinomios.
  4. Producto y división de polinomios.

EJERCICIOS CON OPERACIONES COMBINADAS ENTRE POLINOMIOS

Una vez que se han trabajado y practicado los temas anteriores, es posible avanzar en la resolución de ejercicios con operaciones combinadas, por ejemplo:

EJERICICIO 1

Dados los polinomios:

A(x) = x3 + 2x − 1
B(x) = 3x2 − 7
C(x) = x − 1

Hallar:

a) A(x) + B(x) · C(x) =
b) [C(x)]2 − B(x) =
c) 3A(x) − B(x) =

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1. a)

A(x) + B(x) · C(x) =

Se reemplaza cada polinomio es su ubicación correspondiente:

A(x) + B(x) · C(x) = (x3 + 2x − 1) + (3x2 − 7) · ( x − 1)

Se realizan las operaciones según la jerarquía correspondiente, en este caso primero hay que realizar la multiplicación entre  B(x) y C(x).

A(x) + B(x) · C(x) = (x3 + 2x − 1) + (3x3 − 3x2 − 7x + 7)

Al ser una suma, se pueden quitar los paréntesis:

A(x) + B(x) · C(x) = x3 + 2x − 1 + 3x3 − 3x2 − 7x + 7

Se agrupan términos con parte literal semejante:

A(x) + B(x) · C(x) = x3 + 3x3 − 3x2 + 2x − 7x + 7 − 1

Se realiza la suma algebraica de los términos con igual parte literal y se escribe el polinomio resultante ordenado en forma decreciente de potencias de x:

A(x) + B(x) · C(x) = 4x3 − 3x2 − 5x + 6

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1. b)

[C(x)]2 − B(x) =

Cuando un polinomio está elevado al cuadrado hay que observar primero a qué tipo de polinomio pertenece.

CUADRADO DE UN POLINOMIO

Cuando un polinomio está elevado a la potencia 2, se debe analizar primero qué tipo de polinomio es y en base a ello operar.

  • Si es un monomio, se eleva al cuadrado tanto su parte numérica como su parte literal.

Ej: P(x) = 2x
[P(x)]2 = (2x)2 = 22x2 = 4x2

Ej: Q(x) = x + 1
[Q(x)]2 = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

  • Si es un trinomio o un polinomio de grado superior a tres se puede multiplicar el polinomio por sí mismo.

Ej: D(x) = x3 + 2x + 1
[D(x)]2 = (x3 + 2x + 1) (x3 + 2x + 1) = x6 + 4x4 + 2x3 + 4x2 + 4x + 1

En el ejercicio 1. b) intervienen C(x) = x − 1 y B(x) = 3x2 − 7, ambos son binomios (tienen dos términos). Por lo tanto para resolver [C(x)]2 se aplica el cuadrado de un binomio.

[C(x)]2 = (x − 1)2 = x2 − 2x + 1

Luego se debe restar o sustraer B(x). Como hay un símbolo menos (−) a la izquierda del paréntesis del polinomio B(x), los signos de éste serán los contrarios al aplicar la regla de los signos.

[C(x)]2 − B(x) = (x−1)2 − (3x2 − 7) = x2 − 2x + 1 − 3x2 + 7

Finalmente se agrupan los términos cuyas partes literales son semejantes:

[C(x)]2 − B(x) =  x2 − 3x2 − 2x + 1 + 7

Se realizan las sumas algebraicas correspondientes y se obtiene el resultado:

[C(x)]2 − B(x) = −2x2 − 2x + 8

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1.c)

3A(x) − B(x) =

Cuando un polinomio está multiplicado por un número o por un monomio, se procede a realizar la propiedad distributiva para resolver esta operación en primer lugar.

3A(x) = 3(x3 + 2x − 1) = 3x3 + 6x − 3

Luego se continúa resolviendo:

3A(x) − B(x) = 3x3 + 6x − 3 − (3x2 − 7) = 3x3 + 6x − 3 − 3x2 + 7 

Finalmente se resuelven las sumas algebraicas correspondientes y se ordena el polinomio resultante:

3A(x) − B(x) = 3x3 − 3x2 + 6x + 7 − 3

3A(x) − B(x) = 3x3 − 3x2 + 6x + 4

Papiro de Rhind, realizado por el escriba Ahmes en el año 1650 a. C. Contiene información matemática aplicable a agricultura, astronomía, construcción, etc.

A continuación puedes practicar tanto algunas operaciones básicas entre polinomios, como las que son combinadas.

A PRACTICAR

Dados los polinomios:

A(x) = −2x4 + 3x3 + 7x2 − 5
B(x) = 3x + 1
C(x) = 2x5 + 3x3

  1. Realizar las siguiente sumas:
    a) A(x) + B(x) =
    b) A(x) + C(x) =
  2. Hallar el resultado de la resta:
    a) A(x) − B(x) =
    b) A(x) − C(x) =
  3. Hallar:
    a) B(x) · C(x) =
    b) A(x) · B(x) =
  4. Obtener el resultado de las siguientes operaciones con polinomios:
    a) 3A(x) + 2x3 · B(x) =
    b) A(x) · [B(x) + C(x)] =

RESPUESTAS

Se designará al polinomio resultado como P(x).

  1. a) P(x) = −2x4 + 3x3 + 7x2 + 3x − 4
    b) P(x) = 2x5 − 2x4 + 6x3 + 7x2 − 5
  2. a) P(x) = −2x4 + 3x3 + 7x2 − 3x − 6
    b) P(x) = −2x5 − 2x4 + 7x2 − 5
  3. a) P(x) = 6x6 + 2x5 + 9x4 + 3x3
    b) P(x) = −6x5 + 7x4 + 24x3 + 7x2 − 15x − 5
  4. a) P(x) = 11x3 + 21x2 − 15
    b) P(x) = −4x9 + 6x8 + 8x7 + 9x6 + 5x5 + 7x4 + 9x3 + 7x2 − 15x − 5
¿Sabías qué...?
Tanto la historia del álgebra como de las matemáticas comenzaron en el antiguo Egipto y Babilonia. Una muestra de ello es el papiro de Rhind que contiene problemas matemáticos escritos en un documento de 6 metros de longitud y 33 cm de ancho.

Producto y división de polinomios

Los polinomios son expresiones algebraicas con las que se pueden realizar diversas operaciones matemáticas, como la suma o adición, la resta o sustracción, la multiplicación y la división, entre otras. Tanto la división como la multiplicación de polinomios se ajustan a determinadas reglas especiales que se deben conocer al momento de la resolución de ejercicios.

Las operaciones básicas con polinomios son: suma o adición, resta o sustracción, multiplicación y división.

En esta ocasión se desarrollarán los temas multiplicación o producto de polinomios y división de polinomios. Si necesitas repasar la suma y resta puedes ingresar al contenido de Adición y Sustracción de polinomios.

PRODUCTO DE POLINOMIOS

Las propiedades que intervienen en la multiplicación o producto de polinomios son las siguientes:

  • Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
  • Propiedades del producto.
  • Propiedades de la potenciación.

EJEMPLO 1: 

Hallar el producto P(x)·Q(x). Si P(x) = x3+2x+1 y Q(x) = 3x

P(x)·Q(x)= (x3+2x+1)·(3x)

Se procede a realizar la propiedad distributiva. Se comienza de la siguiente manera:

P(x)·Q(x)=3x4 +…..

Obsérvese que se aplicó la propiedad de multiplicación de potencias: “El resultado del producto de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la suma de los exponentes”.

En este caso x3 .2x

La potencia de 2x es 1, por lo tanto:

x3 .2x1=2x3+1=2x4

Al realizar la propiedad distributiva para cada uno de los términos de P(x) se obtiene el producto:

P(x)·Q(x)=3x4+6x2+3x

GRADO DEL POLINOMIO PRODUCTO

Dados dos polinomios P(x) y Q(x), se verifica que:

grado de [P(x)·Q(x)] = grado [P(x)]·grado[Q(x)]

EJEMPLO 2:

Hallar el producto P(x)·Q(x). Si P(x) = 2x3+x2+1 y Q(x) = x+5

P(x)·Q(x)= (2x3+x2+1)·(x+5)

En primer lugar se realiza la propiedad distributiva entre el primer término de Q(x) y el polinomio P(x), comenzando de izquierda a derecha:

P(x)·Q(x)= 2x4+x3+x+…

Luego se distribuye el segundo término de Q(x) por el polinomio P(x).

P(x)·Q(x)= 2x4+x3+x+10x3+5x2+5

Finalmente se agrupan términos que compartan la misma parte literal (incluida su potencia),en este ejercicio son x3 y 10x3, al sumarlos queda 11x3.

P(x)·Q(x)= 2x4+11x3+5x2+x+5

Observar que los términos se ubicaron en forma decreciente con respecto a sus potencias.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

La división de polinomios se realiza del mismo modo que con números.

              Dividendo = divisor · cociente + resto

IMPORTANTE: el polinomio dividendo debe estar ordenado en forma decreciente de potencias de “x” y completo. En caso de no estar completo se debe completar utilizando el 0 (0x4, 0x3, 0x2, etc.)

POLINOMIO NO ORDENADO POLINOMIO ORDENADO INCOMPLETO POLINOMIO ORDENADO Y COMPLETO
P(x)= 2x4+5-x3+x P(x)= 2x4-x3+x+5 P(x)= 2x4-x3+0X2+x+5
A(x)= x+5x2-x5+8 A(x)= -x5+5x2+x+8 A(x)= -x5+0x4+0x3+5x2+x+8

EJEMPLO 3:

Dados P(x)=3x3-2x2-1 y Q(x)= x2-x+1, hallar el polinomio cociente C(x).

Como P(x) está incompleto, se debe completar:

3x3-2x2+0x-1

Luego se escribe la división del mismo modo que con números:

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1         

Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor:

3x3: x2= 3x  Se aplicó la propiedad de división de potencias: “El cociente de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la resta de los exponentes”.


El resultado es el primer término del cociente:

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
                         3x

Luego se realiza la distributiva entre 3x y el divisor. Los resultados se colocan debajo del dividendo con signo contrario:

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x         3x

Se procede a realizar las sumas algebraicas correspondientes:

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x         3x

 0x3+x2-3x

Luego se “baja” el siguiente término, que en este caso es el independiente:

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x         3x

        x2-3x -1

Nuevamente se divide el primer término que aparece en el dividiendo, entre el primer término del divisor:

x2: x2=1

Por lo tanto el segundo termino del cociente es 1.

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x         3x +1

        x2-3x -1

Se procede una vez más a realizar la propiedad distributiva, esta vez entre el segundo término del cociente y el divisor. Se obtiene de esta forma el resto de la operación.

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x         3x +1

        x2-3x -1
     -x2+x – 1

      0x2-2x -2

Resto: R(x)=-2x-2

Cociente: C(x)=3x +1

Se finaliza la división cuando grado del resto es menor que el grado del divisor o cero. En este caso el grado de -2x-2 es menor al grado de x2-x+1.

IMPORTANTE

– La división entre dos polinomios P(x) y Q(x) es posible si grado [P(x)]≥grado [Q(x)].

– grado [C(x)]=[P(x)]-grado [Q(x)]. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

Otra forma de división es la regla de Ruffini, pero sólo se utiliza para casos especiales.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

  1. Hallar el producto entre los siguientes polinomios:
    a) P(x) = x4+3x2-2x+1 y Q(x) = 2x
    b) P(x) = 2x2+2x+1 y Q(x) = 3x +4
  2. Hallar el cociente C(x) y el resto R(x) entre los siguientes polinomios:
    a) P(x) = x2+12x+4 y Q(x) = x-2
    b) P(x) = 8x3+36x2+15x+13 y Q(x) = 4x2+12x+9

RESPUESTAS

1.
a) P(x)·Q(x)=2x5+6x3-4x2+2x
b) P(x)·Q(x)=6x3+14x2+11x+4

2.
a) C(x)= x+14, R(x)=32
b) C(x) =2x+3, R(x)= -39x-14

¿Sabías qué...?
La diferencia entre los cuadrados de dos números naturales consecutivos es igual al doble del número menor más 1. Ejemplo: 92-82 =(8·2)+1.