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Factorización

La factorización o descomposición en factores es un recurso que se utiliza regularmente en álgebra. La descomposición en factores (algebraicos) es un procedimiento matemático que se puede hallar por inspección en algunos casos, pero para la mayoría de ellos se requiere conocer propiedades específicas.

 

Las expresiones algebraicas se pueden factorizar, los polinomios son un tipo de éstas, por lo tanto también tienen la posibilidad de ser factorizados.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS
2x + 3y(y-1) – 8y2 A(x)=x4+3x3-5x+8
3x4 + 9 B(x)=3x4 + 9
a + 5a -a2 C(x)=2x

 

Existen polinomios de más de una variable, pero no se trabajará con ellos en esta instancia.

Existen casos de factoreo que permiten descomponer expresiones algebraicas de acuerdo a sus características particulares.

factor común

El factor común es uno de los casos más utilizados, dado que es el primero que suele aprenderse y se aplica en numerosa cantidad de situaciones.

EJEMPLO 1:

Hallar el factor común de las siguiente expresión algebraica: a2+a

Los signos positivos y negativos permiten identificar los términos de una expresión:

a2+a Por lo tanto, en este caso se observan dos términos.

En ambos términos se visualiza la letra a, en consecuencia, ella es el factor común.

Resolución

Sabiendo que a es el factor común se multiplica a toda la expresión por \fn_cm \small \frac{a}{a} que es lo mismo que multiplicar por 1, no la modifica.

El divisor a que está fuera del paréntesis puede escribirse dentro de él:

Ahora se puede dividir cada fracción y queda:

Otra forma de resolver

Se realiza el pensamiento inverso la división. Al saber que a es factor común porque se encuentra en ambos miembros de a2+a, se escribe:

Y luego se colocan dentro del paréntesis los valores que al multiplicar por a dan como resultado a2+a.

a·a=a2

a·1=a

Entonces se obtiene el resultado final:

EJEMPLO 2:

Hallar el factor común de la siguiente expresión algebraica: 6x +3

En este ejercicio, el factor común es 3, dado que el número tres divide exactamente tanto al 6 como al 3. Entonces:

Extracción del factor común 3:

3(      )

Para calcular qué información debe colocarse dentro del paréntesis se realiza la división de la expresión algebraica por 3:

6x:3 +3:3= 2x+1

Escritura dentro del paréntesis de la expresión obtenida al realizar la división:

3(2x+1)

FACTOR COMÚN EN POLINOMIOS

Del mismo modo que con los ejemplos anteriores, se pueden factorizar polinomios, en dicho caso se intenta reducirlos para aplicar fórmulas o métodos específicos para ellos.

EJEMPLO 3

Factorizar el polinomio P(x)=x3+2x2+x

Se observa que en todos los términos se encuentra la letra x, por lo tanto se extraerá factor común x:

P(x)=x(x2+2x+1)

Se debe seguir factorizando hasta que ya no sea posible, por lo tanto, falta realizar la factorización de x2+2x+1.

x2+2x+1 es un trinomio y existen varios caminos para factorizarlo:

  • Hallar sus raíces con la fórmula de Bhaskara y con ellas escribirlo mediante la expresión a(x-x1)(x-x2), donde a es el coeficiente principal; x1, x2 son las dos raíces.
  • Resolverlo mediante el procedimiento para trinomios de la forma x2+bx+c.
  • Identificar si es un trinomio cuadrado perfecto completo o incompleto, en dicho caso proceder a aplicar el procedimiento adecuado.

x2+2x+1 es un trinomio cuadrado perfecto dado que es el resultado de un cuadrado de binomio.

CUADRADO DE BINOMIO: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Es decir:

a2 + 2ab + b2 =(a + b)2

Como a=x y b=1:

x2+2x+1 = (x+1)2

Para finalizar se escribe la factorización completa de P(x):

P(x)=x(x2+2x+1)
P(x)=x(x+1)2
P(x)=x(x+1)(x+1)

Por lo tanto:

P(x)=x3+2x2+x = x(x+1)(x+1)

El método de Ruffini también permite factorizar polinomios. Puedes revisar ese contenido y repasar conceptos relacionados en Artículos destacados.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

  1. Hallar el factor común de las siguientes expresiones algebraicas:
    a) 6x2-3x
    b) ay – by
    c) x2y2-xy3
  2. Factorizar los siguientes polinomios:
    a) P(x)= x2+7x+12
    b) P(x)= x3+9x2+20x
    c) P(x) = x3+8x2+15x

RESPUESTAS

1.
a) 3(2x2-1)
b) y (a – b)
c) xy2(x – y)

2.
a) P(x)= (x+3)(x+4)
b) P(x)= x(x+4)(x+5)
c) P(x)= x(x+3)(x+5)

¿Sabías qué...?
El teorema del binomio adjudicado a Isaac Newton, del cual se deriva la fórmula del cuadrado de un binomio, fue descubierto por primera vez por el matemático persa Al-Karaŷí alrededor del año 1000.

Operaciones con polinomios

Los polinomios se utilizan en diversos campos de las matemáticas, como el análisis matemático y el cálculo. Sin embargo tienen aplicaciones variadas: en física, en química, en informática, en economía, en medicina, etc. Para operar con polinomios se requiere conocer las propiedades de la potenciación y los conceptos fundamentales de expresiones algebraicas.

Para aprender a trabajar con polinomios es necesario conocer antes los siguientes contenidos:

  1. Expresiones algebraicas.
  2. Monomios, binomios, trinomios y polinomios.
  3. Adición y sustracción de polinomios.
  4. Producto y división de polinomios.

EJERCICIOS CON OPERACIONES COMBINADAS ENTRE POLINOMIOS

Una vez que se han trabajado y practicado los temas anteriores, es posible avanzar en la resolución de ejercicios con operaciones combinadas, por ejemplo:

EJERICICIO 1

Dados los polinomios:

A(x) = x3 + 2x − 1
B(x) = 3x2 − 7
C(x) = x − 1

Hallar:

a) A(x) + B(x) · C(x) =
b) [C(x)]2 − B(x) =
c) 3A(x) − B(x) =

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1. a)

A(x) + B(x) · C(x) =

Se reemplaza cada polinomio es su ubicación correspondiente:

A(x) + B(x) · C(x) = (x3 + 2x − 1) + (3x2 − 7) · ( x − 1)

Se realizan las operaciones según la jerarquía correspondiente, en este caso primero hay que realizar la multiplicación entre  B(x) y C(x).

A(x) + B(x) · C(x) = (x3 + 2x − 1) + (3x3 − 3x2 − 7x + 7)

Al ser una suma, se pueden quitar los paréntesis:

A(x) + B(x) · C(x) = x3 + 2x − 1 + 3x3 − 3x2 − 7x + 7

Se agrupan términos con parte literal semejante:

A(x) + B(x) · C(x) = x3 + 3x3 − 3x2 + 2x − 7x + 7 − 1

Se realiza la suma algebraica de los términos con igual parte literal y se escribe el polinomio resultante ordenado en forma decreciente de potencias de x:

A(x) + B(x) · C(x) = 4x3 − 3x2 − 5x + 6

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1. b)

[C(x)]2 − B(x) =

Cuando un polinomio está elevado al cuadrado hay que observar primero a qué tipo de polinomio pertenece.

CUADRADO DE UN POLINOMIO

Cuando un polinomio está elevado a la potencia 2, se debe analizar primero qué tipo de polinomio es y en base a ello operar.

  • Si es un monomio, se eleva al cuadrado tanto su parte numérica como su parte literal.

Ej: P(x) = 2x
[P(x)]2 = (2x)2 = 22x2 = 4x2

Ej: Q(x) = x + 1
[Q(x)]2 = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

  • Si es un trinomio o un polinomio de grado superior a tres se puede multiplicar el polinomio por sí mismo.

Ej: D(x) = x3 + 2x + 1
[D(x)]2 = (x3 + 2x + 1) (x3 + 2x + 1) = x6 + 4x4 + 2x3 + 4x2 + 4x + 1

En el ejercicio 1. b) intervienen C(x) = x − 1 y B(x) = 3x2 − 7, ambos son binomios (tienen dos términos). Por lo tanto para resolver [C(x)]2 se aplica el cuadrado de un binomio.

[C(x)]2 = (x − 1)2 = x2 − 2x + 1

Luego se debe restar o sustraer B(x). Como hay un símbolo menos (−) a la izquierda del paréntesis del polinomio B(x), los signos de éste serán los contrarios al aplicar la regla de los signos.

[C(x)]2 − B(x) = (x−1)2 − (3x2 − 7) = x2 − 2x + 1 − 3x2 + 7

Finalmente se agrupan los términos cuyas partes literales son semejantes:

[C(x)]2 − B(x) =  x2 − 3x2 − 2x + 1 + 7

Se realizan las sumas algebraicas correspondientes y se obtiene el resultado:

[C(x)]2 − B(x) = −2x2 − 2x + 8

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1.c)

3A(x) − B(x) =

Cuando un polinomio está multiplicado por un número o por un monomio, se procede a realizar la propiedad distributiva para resolver esta operación en primer lugar.

3A(x) = 3(x3 + 2x − 1) = 3x3 + 6x − 3

Luego se continúa resolviendo:

3A(x) − B(x) = 3x3 + 6x − 3 − (3x2 − 7) = 3x3 + 6x − 3 − 3x2 + 7 

Finalmente se resuelven las sumas algebraicas correspondientes y se ordena el polinomio resultante:

3A(x) − B(x) = 3x3 − 3x2 + 6x + 7 − 3

3A(x) − B(x) = 3x3 − 3x2 + 6x + 4

Papiro de Rhind, realizado por el escriba Ahmes en el año 1650 a. C. Contiene información matemática aplicable a agricultura, astronomía, construcción, etc.

A continuación puedes practicar tanto algunas operaciones básicas entre polinomios, como las que son combinadas.

A PRACTICAR

Dados los polinomios:

A(x) = −2x4 + 3x3 + 7x2 − 5
B(x) = 3x + 1
C(x) = 2x5 + 3x3

  1. Realizar las siguiente sumas:
    a) A(x) + B(x) =
    b) A(x) + C(x) =
  2. Hallar el resultado de la resta:
    a) A(x) − B(x) =
    b) A(x) − C(x) =
  3. Hallar:
    a) B(x) · C(x) =
    b) A(x) · B(x) =
  4. Obtener el resultado de las siguientes operaciones con polinomios:
    a) 3A(x) + 2x3 · B(x) =
    b) A(x) · [B(x) + C(x)] =

RESPUESTAS

Se designará al polinomio resultado como P(x).

  1. a) P(x) = −2x4 + 3x3 + 7x2 + 3x − 4
    b) P(x) = 2x5 − 2x4 + 6x3 + 7x2 − 5
  2. a) P(x) = −2x4 + 3x3 + 7x2 − 3x − 6
    b) P(x) = −2x5 − 2x4 + 7x2 − 5
  3. a) P(x) = 6x6 + 2x5 + 9x4 + 3x3
    b) P(x) = −6x5 + 7x4 + 24x3 + 7x2 − 15x − 5
  4. a) P(x) = 11x3 + 21x2 − 15
    b) P(x) = −4x9 + 6x8 + 8x7 + 9x6 + 5x5 + 7x4 + 9x3 + 7x2 − 15x − 5
¿Sabías qué...?
Tanto la historia del álgebra como de las matemáticas comenzaron en el antiguo Egipto y Babilonia. Una muestra de ello es el papiro de Rhind que contiene problemas matemáticos escritos en un documento de 6 metros de longitud y 33 cm de ancho.

Producto y división de polinomios

Los polinomios son expresiones algebraicas con las que se pueden realizar diversas operaciones matemáticas, como la suma o adición, la resta o sustracción, la multiplicación y la división, entre otras. Tanto la división como la multiplicación de polinomios se ajustan a determinadas reglas especiales que se deben conocer al momento de la resolución de ejercicios.

Las operaciones básicas con polinomios son: suma o adición, resta o sustracción, multiplicación y división.

En esta ocasión se desarrollarán los temas multiplicación o producto de polinomios y división de polinomios. Si necesitas repasar la suma y resta puedes ingresar al contenido de Adición y Sustracción de polinomios.

PRODUCTO DE POLINOMIOS

Las propiedades que intervienen en la multiplicación o producto de polinomios son las siguientes:

  • Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
  • Propiedades del producto.
  • Propiedades de la potenciación.

EJEMPLO 1: 

Hallar el producto P(x)·Q(x). Si P(x) = x3+2x+1 y Q(x) = 3x

P(x)·Q(x)= (x3+2x+1)·(3x)

Se procede a realizar la propiedad distributiva. Se comienza de la siguiente manera:

P(x)·Q(x)=3x4 +…..

Obsérvese que se aplicó la propiedad de multiplicación de potencias: “El resultado del producto de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la suma de los exponentes”.

En este caso x3 .2x

La potencia de 2x es 1, por lo tanto:

x3 .2x1=2x3+1=2x4

Al realizar la propiedad distributiva para cada uno de los términos de P(x) se obtiene el producto:

P(x)·Q(x)=3x4+6x2+3x

GRADO DEL POLINOMIO PRODUCTO

Dados dos polinomios P(x) y Q(x), se verifica que:

grado de [P(x)·Q(x)] = grado [P(x)]·grado[Q(x)]

EJEMPLO 2:

Hallar el producto P(x)·Q(x). Si P(x) = 2x3+x2+1 y Q(x) = x+5

P(x)·Q(x)= (2x3+x2+1)·(x+5)

En primer lugar se realiza la propiedad distributiva entre el primer término de Q(x) y el polinomio P(x), comenzando de izquierda a derecha:

P(x)·Q(x)= 2x4+x3+x+…

Luego se distribuye el segundo término de Q(x) por el polinomio P(x).

P(x)·Q(x)= 2x4+x3+x+10x3+5x2+5

Finalmente se agrupan términos que compartan la misma parte literal (incluida su potencia),en este ejercicio son x3 y 10x3, al sumarlos queda 11x3.

P(x)·Q(x)= 2x4+11x3+5x2+x+5

Observar que los términos se ubicaron en forma decreciente con respecto a sus potencias.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

La división de polinomios se realiza del mismo modo que con números.

              Dividendo = divisor · cociente + resto

IMPORTANTE: el polinomio dividendo debe estar ordenado en forma decreciente de potencias de “x” y completo. En caso de no estar completo se debe completar utilizando el 0 (0x4, 0x3, 0x2, etc.)

POLINOMIO NO ORDENADO POLINOMIO ORDENADO INCOMPLETO POLINOMIO ORDENADO Y COMPLETO
P(x)= 2x4+5-x3+x P(x)= 2x4-x3+x+5 P(x)= 2x4-x3+0X2+x+5
A(x)= x+5x2-x5+8 A(x)= -x5+5x2+x+8 A(x)= -x5+0x4+0x3+5x2+x+8

EJEMPLO 3:

Dados P(x)=3x3-2x2-1 y Q(x)= x2-x+1, hallar el polinomio cociente C(x).

Como P(x) está incompleto, se debe completar:

3x3-2x2+0x-1

Luego se escribe la división del mismo modo que con números:

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1         

Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor:

3x3: x2= 3x  Se aplicó la propiedad de división de potencias: “El cociente de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la resta de los exponentes”.


El resultado es el primer término del cociente:

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
                         3x

Luego se realiza la distributiva entre 3x y el divisor. Los resultados se colocan debajo del dividendo con signo contrario:

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x         3x

Se procede a realizar las sumas algebraicas correspondientes:

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x         3x

 0x3+x2-3x

Luego se “baja” el siguiente término, que en este caso es el independiente:

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x         3x

        x2-3x -1

Nuevamente se divide el primer término que aparece en el dividiendo, entre el primer término del divisor:

x2: x2=1

Por lo tanto el segundo termino del cociente es 1.

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x         3x +1

        x2-3x -1

Se procede una vez más a realizar la propiedad distributiva, esta vez entre el segundo término del cociente y el divisor. Se obtiene de esta forma el resto de la operación.

3x3-2x2+0x-1     ⌊ x2-x+1
-3x3+3x2-3x         3x +1

        x2-3x -1
     -x2+x – 1

      0x2-2x -2

Resto: R(x)=-2x-2

Cociente: C(x)=3x +1

Se finaliza la división cuando grado del resto es menor que el grado del divisor o cero. En este caso el grado de -2x-2 es menor al grado de x2-x+1.

IMPORTANTE

– La división entre dos polinomios P(x) y Q(x) es posible si grado [P(x)]≥grado [Q(x)].

– grado [C(x)]=[P(x)]-grado [Q(x)]. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

Otra forma de división es la regla de Ruffini, pero sólo se utiliza para casos especiales.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

  1. Hallar el producto entre los siguientes polinomios:
    a) P(x) = x4+3x2-2x+1 y Q(x) = 2x
    b) P(x) = 2x2+2x+1 y Q(x) = 3x +4
  2. Hallar el cociente C(x) y el resto R(x) entre los siguientes polinomios:
    a) P(x) = x2+12x+4 y Q(x) = x-2
    b) P(x) = 8x3+36x2+15x+13 y Q(x) = 4x2+12x+9

RESPUESTAS

1.
a) P(x)·Q(x)=2x5+6x3-4x2+2x
b) P(x)·Q(x)=6x3+14x2+11x+4

2.
a) C(x)= x+14, R(x)=32
b) C(x) =2x+3, R(x)= -39x-14

¿Sabías qué...?
La diferencia entre los cuadrados de dos números naturales consecutivos es igual al doble del número menor más 1. Ejemplo: 92-82 =(8·2)+1.