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Método de Ruffini

El matemático Paolo Ruffini ideó un método para dividir polinomios denominado regla de Ruffini en su honor. Con ella se pueden calcular los coeficientes de la división de un polinomio por un binomio x-a. Es una forma que simplifica y facilita este tipo de operaciones matemáticas.

 

Antes de aplicar la regla de Ruffini se deben revisar los conceptos de teorema del resto y teorema de Gauss.

TEOREMA DEL RESTO

Dado un polinomio P(x) y otro Q(x)= x-a, el resto de dividir a P(x) entre Q(x) es P(a).

P(a) es R, el resto de dicha división.

En otras palabras, el resto de un polinomio P(x) se puede calcular realizando la especialización del mismo. Es decir, reemplazando el valor numérico para x=a. Ejemplo:

Calcular el resto de la división entre P(x) y Q(x).

P(x)=2x3-2x2+2x-8
Q(x)= x-1

Especializando en x=1 se obtiene:

P(1)=2·(1)3-2·(1)2+2·(1)-8
P(1)=2·1-2·1+2-8
P(1)=2-2+2-8=-6

El resto de la división entre P(x) y Q(x) es -6.

Consecuencias del teorema del resto

Un polinomio es divisible por (x-a), sí y sólo sí P(a) =0, sí y sólo sí “a” es raíz de P(x).
En el ejemplo anterior P(x) no es divisible por Q(x), ya que el resto es distinto de cero.[/su_note]

método de gauss

Con el teorema de Gauss se pueden hallar las posibles raíces de un polinomio. Éstas se obtienen realizando el cociente entre los divisores del término independiente de un polinomio y los divisores del coeficiente principal. Este método es útil para polinomios de grado tres o superiores, dado que en caso de tener un polinomio de grado dos hay otras formas más sencillas de resolución.

EJEMPLO

Según el método de Gauss hallar las posibles raíces del polinomio: P(x)=2x3+x2+5x-8.

Los coeficientes de un polinomio corresponden a la parte numérica del polinomio.

Cuando la x no tiene escrito un coeficiente a la izquierda, significa que éste es 1.

El término cúbico es el que tiene a la variable x elevada al cubo y el término independiente es aquel que no tiene parte literal. Para realizar el método de Gauss debe identificarse el término cuyo grado sea mayor (de allí se obtiene el coeficiente principal) y el término independiente.

En este ejemplo, el coeficiente del término cúbico es el principal, por lo tanto:

coeficiente principal: 2

término independiente: -8

COEFICIENTE PRINCIPAL DIVISORES  TÉRMINO INDEPENDIENTE  DIVISORES
2 -1,-2,1,2 -8 -8,-4,-2,-1,1,2,4,8

Se efectúan todos los posibles cocientes:

Se toma el primer divisor del término independiente y se lo divide por todos los divisores del coeficiente principal:

De aquí se obtienen cuatro posibles raíces: 4, 8, -8 y -4.

Se debe hacer el mismo procedimiento con cada uno de los divisores del término independiente. Otro ejemplo:

Se puede observar que algunos resultados se repiten, por lo tanto hasta el momento las posibles raíces son:

4, 8, -8, -4, 2, -2

Se continúa con el cálculo de las raíces probables (si deseas puedes hacerlo). Una vez calculadas todas ellas se obtienen las siguientes posibilidades:

-1/2, 1/2, -1, 1, -2, 2, -4, 4, -8, 8

Para saber si son o no raíces se puede aplicar el teorema del resto.

En el polinomio estudiado anteriormente se tiene que una de las raíces posibles es 1, se especializa entonces en a=1.

P(x)=2x3+x2+5x-8

P(1)=2·(1)3+(1)2+5(1)-8 = 2+1+5-8 =0

Y como P(1)=0, entonces 1 es raíz del polinomio P(x)=2x3+x2+5x-8.

Esto significa que P(x)=2x3+x2+5x-8 es divisible por x-1.

Del mismo modo se realiza con las otras posibles raíces para hallar que otro u otros valores verifican que P(x)=0.

“Un polinomio puede tener tantas raíces como su grado. Es decir, un polinomio de grado 3 puede tener hasta 3 raíces. Aunque no siempre todas las raíces obtenidas pertenecen al conjunto de los números reales.”

REGLA DE RUFFINI

Paolo Ruffini, matemático, médico y filósofo italiano.

La regla de Ruffini es de gran utilidad para la factorización de polinomios. Se la considera una división simplificada para los casos en que el divisor es un polinomio de grado 1 y mónico, es decir con coeficiente 1.

Polinomios que se pueden dividir con el método Ruffini:

P(x)=2x3+4x2+5x-6 y Q(x)= x-1

P(x)=x4-x3-3x2+x-8 y Q(x)= x+5

Polinomios que NO se pueden dividir con la regla de Ruffini:

P(x)=2x4+x3+x2+5x-8 y Q(x)=3x-1 no es posible ya que el divisor Q(x) no es mónico, no tiene coeficiente 1, sino 3.

P(x)=2x3+x2+5x-8   y Q(x) = x2-1 no es posible porque Q(x) no es un polinomio de grado uno.

EJEMPLO 1:

Realizar la división entre P(x)=3x3-5x2-16x+12 y Q(x)=(x+2)

Se trazan dos líneas de la siguiente forma:

Luego se colocan los coeficientes de P(x):

La raíz se ubica en la siguiente posición:

Recordar que Q(x) = x+2, entonces la raíz es -2 porque Q(-2) =-2+2=0

Se coloca el primer coeficiente debajo de la línea horizontal:

Luego se procede a multiplicar la raíz por ese primer coeficiente:

A continuación se realiza la suma algebraica en la fila conformada por el segundo coeficiente y el resultado de la multiplicación antedicha:

Siguiendo el mismo procedimiento se continúa resolviendo:

Cuando se llega a la última fila, el resultado es el resto de la división, en este caso es 0.

Los coeficientes que se obtuvieron como resultado pertenecen a un polinomio de un grado menor al dividendo. Observar que inicialmente el polinomio era de grado 3, ahora queda expresado en dos factores, un polinomio de grado dos y (x+2).

P(x)=(3x2 -11x+6)(x+2)

3x2 -11x+6 es el cociente de la división entre P(x) y Q(x).

Se puede seguir factorizando, para ello se puede utilizar nuevamente Ruffini o directamente aplicar la fórmula de Bhaskara.

En esta oportunidad se realizará nuevamente la regla de Ruffini para (3x2 -11x+6). Se pueden calcular las posibles raíces con el teorema de Gauss para ir probando cuál de ellas genera un resto cero. En este caso se continuará con el método de Ruffini, utilizaremos el valor 3 como raíz.

Una vez obtenido resto cero, se reescribe el polinomio P(x):

P(x)=(3x2 -11x+6)(x+2)

P(x)=(3x-2)(x-3)(x+2)

Como la factorización implica que dentro de los paréntesis los polinomios sean mónicos, se debe extraer el 3 que se encuentra junto a la x de la siguiente forma:

(3x-2) = 3(x-2/3) se realizó factor común 3.

Los pasos que se han ido realizando en la factorización son:

P(x)=3x3-5x2-16x+12
P(x)=(3x2 -11x+6)(x+2)
P(x)=(3x-2)(x-3)(x+2)
P(x)=3(x-2/3)(x-3)(x+2) Polinomio factorizado.

EJEMPLO 2:

Hallar el resto de dividir P(x) entre Q(x):

P(x)=2x3-2x2+2x-8
Q(x)= x-1

El resto R es igual a -6.
Los polinomios que intervienen son los mismos que los utilizados en el ejemplo del teorema del resto. Ambos métodos sirven para hallar el resto. Pero si se desea factorizar, la opción a utilizar es la regla de Ruffini.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

1. Hallar el resto al dividir P(x) entre Q(x) en los siguientes casos:
a) P(x)=x3-7x2+14x-21 y Q(x)= x-2
b) P(x)=x3-x+2 y Q(x)= x+5
c) P(x)=x3-6x2+5x+11 y Q(x)= x-2

2. Dividir P(x) entre Q(x) utilizando el método de Ruffini e indicar su cociente y resto.
a) P(x)=2x3+4x2-5x-3 y Q(x)= x-2
b)P(x)=4x3-8x2-9x+7 y Q(x)= x-3
c) P(x)=2x3+5x2-4x+2 y Q(x)= x+3

respuestas

1.
a) R=-13
b) R= -118
c) R= 5

2.
a) Cociente: 2x2+8x+11, Resto: 19
b) Cociente: 4x2+4x+3, Resto: 16
c) Cociente: 2x2-x-1, Resto: 5

¿Sabías qué...?
Una de las aplicaciones de los polinomios de Zernike (establecidos por el físico Fritz Zernike) es en el campo de la medicina. Intervienen en los cálculos para la corrección de defectos visuales como miopía y astigmatismo.

 

Factorización

La factorización o descomposición en factores es un recurso que se utiliza regularmente en álgebra. La descomposición en factores (algebraicos) es un procedimiento matemático que se puede hallar por inspección en algunos casos, pero para la mayoría de ellos se requiere conocer propiedades específicas.

 

Las expresiones algebraicas se pueden factorizar, los polinomios son un tipo de éstas, por lo tanto también tienen la posibilidad de ser factorizados.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS
2x + 3y(y-1) – 8y2 A(x)=x4+3x3-5x+8
3x4 + 9 B(x)=3x4 + 9
a + 5a -a2 C(x)=2x

 

Existen polinomios de más de una variable, pero no se trabajará con ellos en esta instancia.

Existen casos de factoreo que permiten descomponer expresiones algebraicas de acuerdo a sus características particulares.

factor común

El factor común es uno de los casos más utilizados, dado que es el primero que suele aprenderse y se aplica en numerosa cantidad de situaciones.

EJEMPLO 1:

Hallar el factor común de las siguiente expresión algebraica: a2+a

Los signos positivos y negativos permiten identificar los términos de una expresión:

a2+a Por lo tanto, en este caso se observan dos términos.

En ambos términos se visualiza la letra a, en consecuencia, ella es el factor común.

Resolución

Sabiendo que a es el factor común se multiplica a toda la expresión por \fn_cm \small \frac{a}{a} que es lo mismo que multiplicar por 1, no la modifica.

El divisor a que está fuera del paréntesis puede escribirse dentro de él:

Ahora se puede dividir cada fracción y queda:

Otra forma de resolver

Se realiza el pensamiento inverso la división. Al saber que a es factor común porque se encuentra en ambos miembros de a2+a, se escribe:

Y luego se colocan dentro del paréntesis los valores que al multiplicar por a dan como resultado a2+a.

a·a=a2

a·1=a

Entonces se obtiene el resultado final:

EJEMPLO 2:

Hallar el factor común de la siguiente expresión algebraica: 6x +3

En este ejercicio, el factor común es 3, dado que el número tres divide exactamente tanto al 6 como al 3. Entonces:

Extracción del factor común 3:

3(      )

Para calcular qué información debe colocarse dentro del paréntesis se realiza la división de la expresión algebraica por 3:

6x:3 +3:3= 2x+1

Escritura dentro del paréntesis de la expresión obtenida al realizar la división:

3(2x+1)

FACTOR COMÚN EN POLINOMIOS

Del mismo modo que con los ejemplos anteriores, se pueden factorizar polinomios, en dicho caso se intenta reducirlos para aplicar fórmulas o métodos específicos para ellos.

EJEMPLO 3

Factorizar el polinomio P(x)=x3+2x2+x

Se observa que en todos los términos se encuentra la letra x, por lo tanto se extraerá factor común x:

P(x)=x(x2+2x+1)

Se debe seguir factorizando hasta que ya no sea posible, por lo tanto, falta realizar la factorización de x2+2x+1.

x2+2x+1 es un trinomio y existen varios caminos para factorizarlo:

  • Hallar sus raíces con la fórmula de Bhaskara y con ellas escribirlo mediante la expresión a(x-x1)(x-x2), donde a es el coeficiente principal; x1, x2 son las dos raíces.
  • Resolverlo mediante el procedimiento para trinomios de la forma x2+bx+c.
  • Identificar si es un trinomio cuadrado perfecto completo o incompleto, en dicho caso proceder a aplicar el procedimiento adecuado.

x2+2x+1 es un trinomio cuadrado perfecto dado que es el resultado de un cuadrado de binomio.

CUADRADO DE BINOMIO: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Es decir:

a2 + 2ab + b2 =(a + b)2

Como a=x y b=1:

x2+2x+1 = (x+1)2

Para finalizar se escribe la factorización completa de P(x):

P(x)=x(x2+2x+1)
P(x)=x(x+1)2
P(x)=x(x+1)(x+1)

Por lo tanto:

P(x)=x3+2x2+x = x(x+1)(x+1)

El método de Ruffini también permite factorizar polinomios. Puedes revisar ese contenido y repasar conceptos relacionados en Artículos destacados.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

  1. Hallar el factor común de las siguientes expresiones algebraicas:
    a) 6x2-3x
    b) ay – by
    c) x2y2-xy3
  2. Factorizar los siguientes polinomios:
    a) P(x)= x2+7x+12
    b) P(x)= x3+9x2+20x
    c) P(x) = x3+8x2+15x

RESPUESTAS

1.
a) 3(2x2-1)
b) y (a – b)
c) xy2(x – y)

2.
a) P(x)= (x+3)(x+4)
b) P(x)= x(x+4)(x+5)
c) P(x)= x(x+3)(x+5)

¿Sabías qué...?
El teorema del binomio adjudicado a Isaac Newton, del cual se deriva la fórmula del cuadrado de un binomio, fue descubierto por primera vez por el matemático persa Al-Karaŷí alrededor del año 1000.