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Álgebra

El álgebra es una rama de la Matemática que estudia a las operaciones matemáticas en un sentido general, abstracto y genérico. Se divide en varias clases: lineal, vectorial, tensorial, conmutativa, diferencial, booleana y elemental, entre otras. La que se suele aprender en la escuela es la elemental, el resto es parte de los contenidos de educación superior.

Estatua del matemático Al-Khwarizmi frente a Itchan Kala en la ciudad de Jiva, Uzbekistán.

Al-Kwaritzmi es un erudito persa que se destacó en varias áreas: astronomía, geografía, filosofía, astrología y matemáticas, entre otras. Se lo considera el padre del álgebra, dado que en su obra principal desarrolló contenidos de este tema, aplicándolos a la vida cotidiana de aquel entonces. En su obra, Hisāb al-ŷabr wa’l muqābala, realizó explicaciones sumamente didácticas e incorporó el sistema de numeración que actualmente se utiliza: el sistema arábigo.

Gracias a este extraordinario matemático actualmente se utilizan los términos guarismo, algoritmo y álgebra.

El tradado matemático de Al-Khwaritzmi se tradujo al latín y se utilizó en universidades europeas durante siglos.

ÁLGEBRA ELEMENTAL

El álgebra elemental incluye gran cantidad de temas que se abarcan durante varias etapas de la escolaridad. Si se estudian ecuaciones, se está aprendiendo álgebra, del mismo modo con los polinomios, los radicales, las funciones, etc. Gran parte de lo que se aprende en la escuela corresponde a esta rama de la Matemática.

introducción al álgebra: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Notación algebraica

La notación es un sistema de signos que se utilizan para representar conceptos, éstos dependen principalmente de la disciplina a la cual correspondan. En el caso del álgebra, estos signos convencionales son: números y letras.

Números: corresponden a cantidades determinadas y conocidas.

Letras: pueden representar cantidades desconocidas o conocidas. Por lo general se suelen utilizar las últimas letras del alfabeto para las cantidades desconocidas: x, y, z.

Signos

Se dividen en tres tipos:

  • Signos de operación: el álgebra comparte con la aritmética los signos de operación +, -, ÷, ⋅, √ y n (potencia).
  • Signos de agrupación: estos signos determinan la jerarquía de operaciones, es decir cuál de ellas debe realizarse primero. Son los paréntesis, los corchetes y las llaves.
  • Signos de relación: sirven para comparar dos cantidades. Éstos son: >, <, ≤, ≥, =.

Fórmulas

Las fórmulas algebraicas permiten establecer generalizaciones. Por ejemplo, en geometría la longitud de una circunferencia puede resolverse mediante la fórmula L = 2πr.

Expresión algebraica

Cualquier expresión con números y letras es una expresión algebraica, puede ser que esté compuesta por varias operaciones o por un solo símbolo.

Expresión algebraica compuesta por un solo símbolo: x

Expresión algebraica compuesta por varias operaciones: 2ab+5c-ab2

En esta última, los signos + y – separan a la expresión algebraica en términos, en el ejemplo que precede se observan tres términos: 2ab, 5c y ab2.

Tipos de términos

Los términos en una expresión algebraica pueden ser:

  • Enteros: aquellos que no tienen denominador literal. Por ejemplo: 3x.
  • Fraccionarios: son los que tienen al menos una letra en el denominador. Por ejemplo: \frac{2}{b}.
  • Racionales: incluyen a los enteros y fraccionarios.
  • Irracionales: cuentan con un radical, ya sea en numerador o en denominador: \frac{\sqrt{b}}{3}.
  • Homogéneos: son los que poseen un mismo grado absoluto. Por ejemplo: a2b4 y a3b3.
  • Heterogéneos: su grado absoluto es distinto. Por ejemplo: ab3 y a4b2
GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO

Es la suma de los exponentes de sus factores literales o de su factor literal. Ejemplos: a2b4 es un término de grado 6, a4 es un término de grado 4 y xy2z2 es un término de grado 5.

TÉRMINOS SEMEJANTES

Dos términos son semejantes cuando su parte literal y el exponente de ésta son iguales. Por ejemplo:

2a y 3a son semejantes.
3ab y 7ab son semejantes.
x2 y 4x2 son semejantes.

2a y 2b no son semejantes.
2ab y 3ab2 no son semejantes.
ab2 y a2bc no son semejantes.

Cuando se tienen varios términos semejantes se puede realizar la operación de reducción de términos. Ésta consiste en convertir en un solo término dos o más términos semejantes.

Pueden ocurrir tres situaciones:

  1. Si todos los términos semejantes tienen el mismo signo: se suma la parte numérica, se escribe la parte literal y el término resultante tendrá el mismo signo que tienen todos. Por ejemplo:
    2ab +3ab +7ab = 12ab
    -5y -2y = -7y
  2. Si dos términos semejantes tienen distinto signo: se restan los coeficientes y se coloca en el resultado el signo del que mayor valor absoluto. Por ejemplo:
    4x2y – 6x2y = -2x2y
    En este ejemplo se restaron los coeficientes 4 y 6 y se colocó el signo de -6.-9a+5a= -4a
  3. Si varios términos semejantes tienen distinto signo: se procede a agrupar todos los términos con el mismo signo y al reducir a dos términos se realiza el procedimiento anteriormente citado. Por ejemplo:
    4x+6x-7x+3x-8x=

    POSITIVOS NEGATIVOS
    4x
    6x
    3x    		 7x
    8x
    13x 15x

    No es indispensable en la resolución realizar la tabla precedente, la misma se ha confeccionado para la mejor visualización del procedimiento.
    4x+6x+3x-7x-8x= 13x-15x = -2x

Ábaco, instrumento que sirve para realizar manualmente operaciones sencillas. Es el más antiguo instrumento de cálculo.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

Reducir los siguientes términos semejantes:

  1. 3ab + 5ab =
  2. -8xy2 -7xy2=
  3. 19xyz -7xyz=
  4. -26a +12a=
  5. 4ab2+7ab2-18ab2+14ab2-12ab2=
  6. 10x-7x-15x+24x+8x=

RESPUESTAS

  1. 8ab
  2. -15xy2
  3. 12xyz
  4. -14a
  5. -5ab2
  6. 20x
¿Sabías qué...?
La palabra álgebra tiene origen en la palabra árabe al-jabru, ésta significa “reducción”.
                    

 

 

 

Factorización

La factorización o descomposición en factores es un recurso que se utiliza regularmente en álgebra. La descomposición en factores (algebraicos) es un procedimiento matemático que se puede hallar por inspección en algunos casos, pero para la mayoría de ellos se requiere conocer propiedades específicas.

 

Las expresiones algebraicas se pueden factorizar, los polinomios son un tipo de éstas, por lo tanto también tienen la posibilidad de ser factorizados.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS
2x + 3y(y-1) – 8y2 A(x)=x4+3x3-5x+8
3x4 + 9 B(x)=3x4 + 9
a + 5a -a2 C(x)=2x

 

Existen polinomios de más de una variable, pero no se trabajará con ellos en esta instancia.

Existen casos de factoreo que permiten descomponer expresiones algebraicas de acuerdo a sus características particulares.

factor común

El factor común es uno de los casos más utilizados, dado que es el primero que suele aprenderse y se aplica en numerosa cantidad de situaciones.

EJEMPLO 1:

Hallar el factor común de las siguiente expresión algebraica: a2+a

Los signos positivos y negativos permiten identificar los términos de una expresión:

a2+a Por lo tanto, en este caso se observan dos términos.

En ambos términos se visualiza la letra a, en consecuencia, ella es el factor común.

Resolución

Sabiendo que a es el factor común se multiplica a toda la expresión por \fn_cm \small \frac{a}{a} que es lo mismo que multiplicar por 1, no la modifica.

El divisor a que está fuera del paréntesis puede escribirse dentro de él:

Ahora se puede dividir cada fracción y queda:

Otra forma de resolver

Se realiza el pensamiento inverso la división. Al saber que a es factor común porque se encuentra en ambos miembros de a2+a, se escribe:

Y luego se colocan dentro del paréntesis los valores que al multiplicar por a dan como resultado a2+a.

a·a=a2

a·1=a

Entonces se obtiene el resultado final:

EJEMPLO 2:

Hallar el factor común de la siguiente expresión algebraica: 6x +3

En este ejercicio, el factor común es 3, dado que el número tres divide exactamente tanto al 6 como al 3. Entonces:

Extracción del factor común 3:

3(      )

Para calcular qué información debe colocarse dentro del paréntesis se realiza la división de la expresión algebraica por 3:

6x:3 +3:3= 2x+1

Escritura dentro del paréntesis de la expresión obtenida al realizar la división:

3(2x+1)

FACTOR COMÚN EN POLINOMIOS

Del mismo modo que con los ejemplos anteriores, se pueden factorizar polinomios, en dicho caso se intenta reducirlos para aplicar fórmulas o métodos específicos para ellos.

EJEMPLO 3

Factorizar el polinomio P(x)=x3+2x2+x

Se observa que en todos los términos se encuentra la letra x, por lo tanto se extraerá factor común x:

P(x)=x(x2+2x+1)

Se debe seguir factorizando hasta que ya no sea posible, por lo tanto, falta realizar la factorización de x2+2x+1.

x2+2x+1 es un trinomio y existen varios caminos para factorizarlo:

  • Hallar sus raíces con la fórmula de Bhaskara y con ellas escribirlo mediante la expresión a(x-x1)(x-x2), donde a es el coeficiente principal; x1, x2 son las dos raíces.
  • Resolverlo mediante el procedimiento para trinomios de la forma x2+bx+c.
  • Identificar si es un trinomio cuadrado perfecto completo o incompleto, en dicho caso proceder a aplicar el procedimiento adecuado.

x2+2x+1 es un trinomio cuadrado perfecto dado que es el resultado de un cuadrado de binomio.

CUADRADO DE BINOMIO: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Es decir:

a2 + 2ab + b2 =(a + b)2

Como a=x y b=1:

x2+2x+1 = (x+1)2

Para finalizar se escribe la factorización completa de P(x):

P(x)=x(x2+2x+1)
P(x)=x(x+1)2
P(x)=x(x+1)(x+1)

Por lo tanto:

P(x)=x3+2x2+x = x(x+1)(x+1)

El método de Ruffini también permite factorizar polinomios. Puedes revisar ese contenido y repasar conceptos relacionados en Artículos destacados.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

  1. Hallar el factor común de las siguientes expresiones algebraicas:
    a) 6x2-3x
    b) ay – by
    c) x2y2-xy3
  2. Factorizar los siguientes polinomios:
    a) P(x)= x2+7x+12
    b) P(x)= x3+9x2+20x
    c) P(x) = x3+8x2+15x

RESPUESTAS

1.
a) 3(2x2-1)
b) y (a – b)
c) xy2(x – y)

2.
a) P(x)= (x+3)(x+4)
b) P(x)= x(x+4)(x+5)
c) P(x)= x(x+3)(x+5)

¿Sabías qué...?
El teorema del binomio adjudicado a Isaac Newton, del cual se deriva la fórmula del cuadrado de un binomio, fue descubierto por primera vez por el matemático persa Al-Karaŷí alrededor del año 1000.

Inecuaciones

Las inecuaciones son expresiones matemáticas ampliamente usadas por muchas disciplinas y su solución, a diferencia de la mayoría de las ecuaciones, no comprende valores concretos sino que abarca un conjunto de números.

¿Qué es una inecuación?

Es una expresión matemática que contiene al menos una variable y está caracterizada por incluir signos de desigualdad, de manera que su resultado es un conjunto de valores que la variable puede tomar para que se cumpla la desigualdad planteada.

El conjunto solución de una solución se denomina intervalo.

Símbolos de desigualdad

La desigualdad es una expresión algebraica que sirve para relacionar dos cantidades semejantes mediante signos. Los signos matemáticos más usuales para establecer estas relaciones son:

Símbolo Significado Ejemplo
> Mayor que 15 > 4
< Menor que 3 < 7
≥ Mayor o igual que* a ≥ b
≤ Menor o igual que* b ≤ a

*a y b pueden ser valores iguales o diferentes que permitan hacer cumplir la desigualdad.

Elementos de una inecuación

Algunos elementos son similares entre las ecuaciones y las inecuaciones. Pero se tratan de expresiones algebraicas distintas. Quizá el elemento más resaltante de toda inecuación es el signo de desigualdad. Debido a éste, la solución de dichas expresiones suelen variar un poco de la manera en la que se resuelven las ecuaciones.

  • Miembros: son las partes de una inecuación que están separadas por el signo de la desigualdad. En la imagen el primer miembro corresponde a 4x – 1 mientras que el segundo término corresponde a 2x + 1.
  • Términos: son las expresiones literales o numéricas separadas por los signos más (+) o menos (-). Son términos de la inecuación mostrada: 4x, -1, 2x y 1.
  • Variable: es la letra que representa al conjunto de valores que satisfacen la desigualdad.
  • Grado de la inecuación: se encuentra indicado por el mayor exponente que posea la variable. En el caso del ejemplo mostrado, se trata de una inecuación de primer grado porque su mayor exponente es 1. Si el mayor exponente fuera 2 sería una inecuación de segundo grado y así sucesivamente.
Las inecuaciones pueden presentarse de varias formas como fracción o valor absoluto.

Resolución de ecuaciones de primer grado

El objetivo de la resolución de una inecuación es encontrar todos los valores de la variable para los cuales es válida la expresión. Estos valores pueden pertenecer a uno o más intervalos que pueden graficarse en la recta real.

Al operar con inecuaciones se pueden observar las siguientes reglas:

  1. La inecuación no varía cuando se suma o resta un mismo valor en ambos miembros de la desigualdad.

Por ejemplo:

Si se suma 3 a ambos miembros se obtiene:

Al sumar y restar los términos semejantes se obtiene:

El conjunto solución son todos los valores mayores a 4.

  1. Si se multiplica o divide a ambos miembros de una inecuación por un mismo número positivo, la inecuación que resulta es equivalente a la inicial.

Se multiplican ambos miembros por 2:

Se resuelven las operaciones:

De esta forma, la ecuación

Es equivalente de la ecuación

y puede resolverse a través de la regla 1 explicada anteriormente.

  1. Si se multiplica o divide a ambos miembros de una inecuación por un mismo número negativo, la inecuación que resulta cambiará de sentido en su signo de desigualdad y la misma será equivalente de la inecuación inicial.

Por ejemplo:

Se multiplica ambos miembros de la igualdad por -1:

Se resuelve la multiplicación y se cambia el sentido de la desigualdad:

De manera que

Es una inecuación equivalente de

Y es la misma que se resolvió en el ejemplo de la regla 1.

Las inecuaciones serán válidas para unos valores y no serán válidas para otros.

Problemas

Para resolver problemas con inecuaciones se deben aplicar las reglas explicadas anteriormente de forma tal que la variable quede localiza en un miembro de la inecuación y los términos constantes en otro.

En este caso, para eliminar el -3 del primer miembro se debe sumar a ambos miembro el número 3:

Para eliminar la x del segundo miembro se debe restar –x a ambos miembros de la inecuación:

Se resuelven las operaciones:

Por lo tanto, el resultado de la inecuación 

 Es decir, todos los números menores o iguales a 8.

Se puede comprobar el resultado al seleccionar un número menor igual a 8 y luego reemplazarlo en la inecuación, al final debería obtenerse una desigualdad válida.

Por ejemplo, si se selecciona el 5 que es menor a 8, y se reemplaza en la inecuación se obtiene:

Como el 7 es menor que 10, entonces 5 es parte del conjunto solución de la desigualdad.

En caso de que se consideren a los valores diferentes al conjunto solución, la desigualdad que se obtiene no será lógica.

Por ejemplo, se sabe que la solución de este problema son todos los números menores o iguales a 8. Para comprobar si es cierto, seleccionamos un número mayor a 8, para este caso seleccionaremos el 9.

Se cumplen los mismos pasos anteriores:

Como 15 no es menor a 14, entonces 9 no pertenece al conjunto solución de la inecuación.

Hay problemas que involucran paréntesis y se debe aplicar en lo posible alguna propiedad matemática como la distributiva para eliminarlos.

Se multiplican ambos miembros por 3 para eliminar el denominador de la fracción:

Se dividen ambos miembros entre -10, como es un número negativo, la dirección de la desigualdad cambia:

Se multiplican ambos lados por 5 para eliminar el denominador de la variable:

La expresión anterior también puede escribirse de forma inversa. Sólo se debe intercambiar el signo de la desigualdad:

Para tener una mejor idea del conjunto solución se suele convertir la fracción a decimal, de este modo

Lo que quiere decir que el conjunto solución son todos los números mayores o iguales a 9,5.

Una de las aplicaciones de las inecuaciones es para calcular el costo, ingreso y utilidad de una empresa.