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Conjuntos

La idea de conjuntos se remonta prácticamente a los comienzos de la humanidad, cuando el hombre agrupaba elementos que consideraba de la misma naturaleza o con características similares, sin embargo, fue en 1874 cuando George Cantor publicó la teoría de conjuntos.

Definición

Un conjunto es una agrupación o colección de elementos que poseen características o propiedades en común, y puede tener una cantidad finita o infinita de miembros.

A continuación, algunos ejemplos de conjuntos:

  • El conjunto de los estudiantes de un aula de clases.
  • El conjunto de las frutas cítricas.
  • El conjunto de las figuras geométricas planas.
  • El conjunto de los números naturales.

Estos conjuntos están conformados por cantidades finitas o infinitas de elementos que poseen rasgos o características en común.

Elementos

Los objetos o miembros que integran un conjunto se denominan “elementos del conjunto”, y están asociados entre ellos por características en común que pueden ir desde el color, forma, tamaño y género, hasta propiedades matemáticas más complejas.

¿Sabías qué?
Los conjuntos también son conocidos como colecciones.

Representación 

Por lo general, los conjuntos se suelen denotar con una letra mayúscula, y si los elementos que lo conforman son letras, deberán ser minúsculas. También se pueden representar de forma gráfica, mediante unos gráficos circulares llamados diagramas de Venn, o bien de manera algebraica en notación de conjunto a partir de llaves.

Diagramas de Venn

Los diagramas de Venn son representaciones en forma de círculos planos dentro de los cuales se colocan los elementos del conjunto. Estos diagramas son muy útiles cuando se desea conocer la relación entre diferentes conjuntos. Veamos los siguientes ejemplos:

  • A es el conjunto de las vocales.

Como se observa, A es el conjunto, y los elementos que lo integran son a, e, i, o, u.

  • B es el conjunto de las hojas de plantas.
  • C es el conjunto de las figuras geométricas.

Representación con llaves

Los conjuntos y sus elementos también pueden representarse indicando el nombre del conjunto y dentro de llaves los elementos que lo integran separados por comas. Cuando los conjuntos son infinitos, se escriben los primeros elementos y se coloca punto suspensivo antes de cerrar la llave. Veamos los siguientes ejemplos:

  • A es el conjunto de los colores primarios:

A = {amarillo, azul, rojo}

  • B es el conjunto de las vocales del alfabeto:

B = {a, e, i, o, u}

  • C es el conjunto de los números impares:

C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}

Subconjuntos

En ocasiones, necesitamos referirnos a un grupo específico de elementos que pertenecen a un conjunto, por ejemplo, si estamos hablando del conjunto de los mamíferos y nos queremos referir específicamente a los felinos. En ese grupo particular de elementos de un conjunto se denomina subconjunto y se denota con el símbolo ⊆ cuando todos los elementos del subconjunto están incluidos en el conjunto, y con el símbolo ⊂ cuando al menos un elemento del subconjunto no está incluido en el conjunto.

¡A practicar!

El conjunto B que se muestra en la figura está formado por algunas especies marinas. Identifica el subconjunto de especies marinas que son animales con ojos.

Solución

Como se observa, los elementos del conjunto que están en la categoría de animales con ojos serían los peces, el caballito de mar y el cangrejo, quienes conformarían el subconjunto.

Los números reales y sus subconjuntos

Los números son clasificados y agrupados en conjuntos y sobconjuntos. De manera que, si consideramos como conjunto a los números reales (\mathbb{R}), los subconjuntos que lo integran serían los números racionales (\mathbb{Q}), irracionales (\mathbb{I}), enteros (\mathbb{Z}) y naturales (\mathbb{N}).

Estas relaciones se pueden denotar como:

\left \{ \left \{ \mathbb{Q} \right \} ,\left \{ \mathbb{I} \right \},\left \{ \mathbb{Z} \right \},\left \{ \mathbb{N} \right \}\right \}\subseteq \left \{ \mathbb{R} \right \}

Cada subconjunto es a su vez un conjunto particular de números, por ello cada uno se encuentra entre llaves.

Relaciones de pertenencia

Para indicar que un elemento posee una relación de pertenencia con determinado conjunto, se emplea el símbolo ∈. Y por el contrario, si queremos indicar que no pertenece, debemos emplear el símbolo ∉. Estos símbolos y sus usos fueron propuesto por el conocido matemático y filósofo de Italia G. Peano a finales del siglo XVIII. Por ejemplo:

  • El número π pertenece al conjunto de los números irracionales:

\pi \in \left \{ \mathbb{I} \right \}

  • Los números 3/4, 5/2 y 9/4 pertenecen al conjunto de los números racionales.

\left ( \frac{3}{4},\frac{5}{2},\frac{9}{4} \right )\in \left \{ \mathbb{Q} \right \}

  • El número 1/6 no pertenece al conjunto de los números enteros.

\frac{1}{6}\notin \left \{ \mathbb{Z} \right \}

  • El cubo pertenece al grupo de las figuras geométricas tridimensionales.

¿Sabías qué?
El conjunto que no contiene elementos se denomina “conjunto vacío”, y se denota con el símbolo \phi.