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Conjuntos

La idea de conjuntos se remonta prácticamente a los comienzos de la humanidad, cuando el hombre agrupaba elementos que consideraba de la misma naturaleza o con características similares, sin embargo, fue en 1874 cuando George Cantor publicó la teoría de conjuntos.

Definición

Un conjunto es una agrupación o colección de elementos que poseen características o propiedades en común, y puede tener una cantidad finita o infinita de miembros.

A continuación, algunos ejemplos de conjuntos:

El conjunto de los estudiantes de un aula de clases.
El conjunto de las frutas cítricas.
El conjunto de las figuras geométricas planas.
El conjunto de los números naturales.

Estos conjuntos están conformados por cantidades finitas o infinitas de elementos que poseen rasgos o características en común.

Elementos

Los objetos o miembros que integran un conjunto se denominan “elementos del conjunto”, y están asociados entre ellos por características en común que pueden ir desde el color, forma, tamaño y género, hasta propiedades matemáticas más complejas.

¿Sabías qué?

Los conjuntos también son conocidos como colecciones.

Representación

Por lo general, los conjuntos se suelen denotar con una letra mayúscula, y si los elementos que lo conforman son letras, deberán ser minúsculas. También se pueden representar de forma gráfica, mediante unos gráficos circulares llamados diagramas de Venn, o bien de manera algebraica en notación de conjunto a partir de llaves.

Diagramas de Venn

Los diagramas de Venn son representaciones en forma de círculos planos dentro de los cuales se colocan los elementos del conjunto. Estos diagramas son muy útiles cuando se desea conocer la relación entre diferentes conjuntos. Veamos los siguientes ejemplos:

A es el conjunto de las vocales.

Como se observa, A es el conjunto, y los elementos que lo integran son a, e, i, o, u.

B es el conjunto de las hojas de plantas.
C es el conjunto de las figuras geométricas.

Representación con llaves

Los conjuntos y sus elementos también pueden representarse indicando el nombre del conjunto y dentro de llaves los elementos que lo integran separados por comas. Cuando los conjuntos son infinitos, se escriben los primeros elementos y se coloca punto suspensivo antes de cerrar la llave. Veamos los siguientes ejemplos:

A es el conjunto de los colores primarios:

A = {amarillo, azul, rojo}

B es el conjunto de las vocales del alfabeto:

B = {a, e, i, o, u}

C es el conjunto de los números impares:

C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}

Subconjuntos

En ocasiones, necesitamos referirnos a un grupo específico de elementos que pertenecen a un conjunto, por ejemplo, si estamos hablando del conjunto de los mamíferos y nos queremos referir específicamente a los felinos. En ese grupo particular de elementos de un conjunto se denomina subconjunto y se denota con el símbolo ⊆ cuando todos los elementos del subconjunto están incluidos en el conjunto, y con el símbolo ⊂ cuando al menos un elemento del subconjunto no está incluido en el conjunto.

¡A practicar!

El conjunto B que se muestra en la figura está formado por algunas especies marinas. Identifica el subconjunto de especies marinas que son animales con ojos.

Solución

Como se observa, los elementos del conjunto que están en la categoría de animales con ojos serían los peces, el caballito de mar y el cangrejo, quienes conformarían el subconjunto.

Los números reales y sus subconjuntos

Los números son clasificados y agrupados en conjuntos y sobconjuntos. De manera que, si consideramos como conjunto a los números reales ( $\mathbb{R}$ ), los subconjuntos que lo integran serían los números racionales ( $\mathbb{Q}$ ), irracionales ( $\mathbb{I}$ ), enteros ( $\mathbb{Z}$ ) y naturales ( $\mathbb{N}$ ).

Estas relaciones se pueden denotar como:

$\left \{ \left \{ \mathbb{Q} \right \} ,\left \{ \mathbb{I} \right \},\left \{ \mathbb{Z} \right \},\left \{ \mathbb{N} \right \}\right \}\subseteq \left \{ \mathbb{R} \right \}$

Cada subconjunto es a su vez un conjunto particular de números, por ello cada uno se encuentra entre llaves.

Relaciones de pertenencia

Para indicar que un elemento posee una relación de pertenencia con determinado conjunto, se emplea el símbolo ∈. Y por el contrario, si queremos indicar que no pertenece, debemos emplear el símbolo ∉. Estos símbolos y sus usos fueron propuesto por el conocido matemático y filósofo de Italia G. Peano a finales del siglo XVIII. Por ejemplo:

El número π pertenece al conjunto de los números irracionales:

$\pi \in \left \{ \mathbb{I} \right \}$

Los números 3/4, 5/2 y 9/4 pertenecen al conjunto de los números racionales.

$\left ( \frac{3}{4},\frac{5}{2},\frac{9}{4} \right )\in \left \{ \mathbb{Q} \right \}$

El número 1/6 no pertenece al conjunto de los números enteros.

$\frac{1}{6}\notin \left \{ \mathbb{Z} \right \}$

El cubo pertenece al grupo de las figuras geométricas tridimensionales.

¿Sabías qué?

El conjunto que no contiene elementos se denomina “conjunto vacío”, y se denota con el símbolo $\phi$ .

Lenguaje matemático

Día a día utilizamos el lenguaje coloquial para describir situaciones a través de las palabras; sin embargo, muchas de estas palabras expresan problemas que pueden ser traducidas al lenguaje matemático: un lenguaje universal formado por números, letras y símbolos especiales que nos permite entender conceptos complejos en términos precisos.

¿QUÉ ES?

Es el conjunto de símbolos, operaciones y reglas que se utilizan para expresar y resolver problemas matemáticos. Este tipo de lenguaje se basa en la lógica y la precisión. Además, puede ser utilizado por cualquier persona, independientemente de su idioma o cultura.

El lenguaje matemático también es conocido como lenguaje simbólico, ya que sirve para expresar ideas, conceptos y operaciones matemáticas mediante uno o más símbolos.

CARACTERÍSTICAS

Se basa en un sistema de símbolos y fórmulas en lugar de palabras para comunicar ideas y conceptos de manera más clara y precisa.
Todos los símbolos se utilizan de forma rigurosa para representar una idea o concepto específico.
Se utiliza en todo el mundo.
Elimina detalles irrelevantes y se enfoca en los conceptos y las relaciones más significativas.
Se basa en la lógica y la deducción para establecer y demostrar una afirmación matemática.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

Son un componente clave en este tipo de lenguaje. Los símbolos matemáticos nos ayudan a representar conceptos abstractos como números, operaciones, funciones, relaciones, probabilidad, etc. Los símbolos más comunes son los siguientes:

Lenguaje matemático	Lenguaje coloquial
+	Suma/Adición/Aumentar
−	Resta/Sustracción/Diferencia
×	Multiplicación/Producto
÷	División/Cociente
=	Igual
±	Más menos
%	Porcentaje
>	Mayor que
<	Menor que
≥	Mayor o igual qué
≤	Menor o igual qué
∑	Sumatoria
√	Raíz cuadrada
≡	Equivalencia
≠	Desigualdad
π	Pi
∞	Infinito
ƒ	Función
∫	Integral

NOTACIÓN

Es una parte importante del lenguaje matemático, se utiliza para simplificar la representación de conceptos complejos; por ejemplo, la fórmula del teorema de Pitágoras (a² + b² = c²) es más fácil de recordar y aplicar que una explicación verbal del mismo.

IMPORTANCIA

Es esencial en áreas como la física, la ingeniería, la economía, la informática, la química y muchas otras disciplinas científicas debido a que las fórmulas y los símbolos matemáticos se utilizan para modelar y resolver problemas complejos en estas áreas.

También es importante en la educación. Los niños aprenden a leer, escribir y hablar en este lenguaje desde una edad temprana, inicialmente manejan los números y la aritmética básica y, a medida que avanzan, usan ecuaciones y fórmulas para resolver problemas más complejos. De igual forma, durante su progreso estudiantil, también aprenden otras áreas de las matemáticas, como la geometría, la trigonometría y el álgebra, las cuales necesitan del lenguaje matemático para ser comprendidas.

El lenguaje matemático es una valiosa herramienta para resolver problemas. Así, por ejemplo, en lugar de escribir “el doble de siete es catorce”, podemos escribir “7 × 2 = 14”.

EVOLUCIÓN

• Edad Antigua: las matemáticas se expresaban en lenguaje verbal y pictórico. Los egipcios utilizaban jeroglíficos para representar números y problemas matemáticos, mientras que los babilonios empleaban tablas para realizar cálculos.

• Grecia Clásica: los matemáticos empezaron a utilizar la notación simbólica para representar las matemáticas de forma más rigurosa; por ejemplo, Euclides utilizó símbolos para los conceptos básicos de geometría, como las líneas, ángulos y triángulos.

• Edad Media: la incorporación de la numeración árabe y la invención del álgebra marcaron un paso importante en la forma en que se representaban las matemáticas.

• Renacimiento: en este período se volvió más formal y preciso. Los matemáticos comenzaron a utilizar símbolos especiales para operaciones matemáticas y a representar las relaciones entre las variables.

• Siglo XVIII: el cálculo y la geometría analítica se desarrollaron como disciplinas principales de las matemáticas. La notación simbólica se hizo más compleja y sofisticada para representar conceptos abstractos y complicados.

• Siglo XIX: la teoría de conjuntos y la lógica matemática se convirtieron en disciplinas importantes. El lenguaje matemático se hizo aún más exacto y formal gracias a la introducción de la notación moderna de conjunto y de la teoría de funciones.

• Siglo XX: la informática y la estadística se expandieron, lo que llevó a la creación de nuevas disciplinas que utilizan un lenguaje simbólico, como la lógica matemática, la teoría de la computación y la estadística matemática. En la actualidad, sigue evolucionando para adaptarse a las nuevas tecnologías y a los avances de la investigación.

Ejemplo

Representemos en lenguaje matemático las siguientes expresiones:

Un número	$x$
Un número más cien	$x+100$
El siguiente de un número	$x+1$
El anterior de un número	$x-1$
Siete veces un número	$7x$
El producto de dos números	$x\times y$
La diferencia de dos números	$x-y$
Un número disminuido en cinco unidades	$x-5$
El cubo de un número	$x^{3}$
La cuarta parte de un número	$\frac{x}{4}$
El cociente entre un número y seis es igual a dos	$\frac{x}{6}=2$
Un número menos cincuenta es igual treinta	$x-50=30$
La raíz cuadrada de un número es ocho	$\sqrt{x}=8$

¿Sabías qué?

La palabra “cálculo” proviene del latín calcŭlus, que significa “piedra pequeña”. Antes de que los árabes introdujeran los números indo-arábigos, los antiguos romanos usaban piedras pequeñas para contar y hacer cálculos matemáticos. Estos procedimientos se realizaban en un ábaco, que es un instrumento de operaciones aritméticas sencillas que utiliza cuentas para representar números.

El origen de los símbolos

Muchos de los símbolos matemáticos tienen su origen en la palabra o concepto que representan. Por ejemplo, el símbolo “+” proviene del latín plus, que significa “más”; el símbolo “-” proviene del latín minus, que significa “menos”, y el símbolo “=” proviene del latín aequalitas, que significa “igualdad”.

¡A practicar!

1. Escribe en lenguaje matemático las siguientes expresiones.

El doble de un número.
El quíntuple de un número.
Un tercio de un número.
La raíz cuadrada de un número.
La raíz cúbica del producto de dos números.
La suma de los cuadrados de dos números.
La mitad de un número más diez.
El doble de un número menos su mitad.

Números mixtos

Las fracciones representan una parte de un todo, así que son útiles para expresar, por ejemplo, la cantidad de trozos de pizza que nos comimos. Cuando el numerador es mayor que el denominador se dicen que son impropias y se pueden expresar como un número mixto: una combinación de un número natural con una fracción propia.

recordemos las fracciones

Una fracción es una división de un entero en partes iguales. Está formada por un numerador y un denominador.

El numerador es el número de partes que se ha tomado del total.
El denominador es el número de partes en las que se dividió la unidad.

Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador, mientras que las fracciones impropias tienen su numerador mayor al denominador.

¿qué son los números mixtos?

Los números mixtos, también conocidos como fracciones mixtas, están formados por un número natural (parte entera) y una fracción propia (parte fraccionaria).

Los números mixtos son otra forma de representar fracciones impropias, las cuales siempre son mayores que la unidad.

Gráficas de fracciones impropias

Son una manera visual de ver las fracciones. Para realizar estas representaciones gráficas basta con dividir una figura en tantas partes como indique el denominador. Luego repetimos esta figura hasta poder colorear la cantidad de partes que señala el numerador.

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{5}{3}}=$ $=\boldsymbol{1\frac{2}{3}}$
$\boldsymbol{\frac{11}{5}}=$ $=\boldsymbol{2\frac{1}{5}}$
$\boldsymbol{\frac{10}{4}}=$ $=\boldsymbol{2\frac{2}{4}}$

Observa que la cantidad de partes enteras de las gráficas es igual al valor de la parte entera del número mixto, mientras que la última gráfica determina la parte fraccionaria. Así que el número mixto resulta de sumar un entero y una fracción propia.

¿Cómo transformar una fracción impropia a un número mixto?

Lo primero que debemos hacer es dividir el numerador entre el denominador de la fracción, el cociente será igual a la parte entera, mientras que el resto será igual al numerador de la parte fraccionaria y el denominador será igual al de la fracción impropia inicial.

– Ejemplo:

– Otros ejemplos:

Fracción impropia		División		Número mixto
$\frac{8}{5}$	→	$8 : {\color{Red} 5}={\color{Blue} 1}\: \: \: resto ={\color{DarkOrange} 3}$	→	$\boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 3}}{{\color{Red} 5}}}$
$\frac{11}{4}$	→	$11 : {\color{Red} 4} = {\color{Blue} 2}\: \: resto={\color{DarkOrange} 3}$	→	$\boldsymbol{{\color{Blue} 2}\frac{{\color{DarkOrange} 3}}{{\color{Red} 4}}}$
$\frac{5}{3}$	→	$5:{\color{Red} 3}={\color{Blue} 1}\: \: resto={\color{DarkOrange} 2}$	→	$\boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 2}}{{\color{Red} 3}}}$

¿cómo transformar un número mixto a una fracción impropia?

En esta conversión tenemos que multiplicar la parte entera por el denominador de la parte fraccionaria y sumar a ese resultado el numerador. Luego, colocamos como denominador de la fracción impropia el mismo denominador de la parte fraccionaria del número mixto.

– Ejemplo:

$\boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 4}}{{\color{Red} 5}}}$

→

${\color{Blue} 1}\times {\color{Red} 5}=5+{\color{DarkOrange} 4}=\boldsymbol{9}$

→

$\boldsymbol{\frac{9}{{\color{Red} 5}}}$

– Otros ejemplos:

Número mixto		Operación		Fracción impropia
$\boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 3}}{{\color{Red} 5}}}$	→	${\color{Blue} 1}\times {\color{Red} 5}=5+{\color{DarkOrange} 3}=\boldsymbol{8}$	→	$\boldsymbol{\frac{8}{{\color{Red} 5}}}$
$\boldsymbol{{\color{Blue} 2}\frac{{\color{DarkOrange} 3}}{{\color{Red} 4}}}$	→	${\color{Blue} 2}\times {\color{Red} 4}=8+{\color{DarkOrange} 3}=\boldsymbol{11}$	→	$\boldsymbol{\frac{11}{{\color{Red} 4}}}$
$\boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 2}}{{\color{Red} 3}}}$	→	${\color{Blue} 1}\times {\color{Red} 3}=3+{\color{DarkOrange} 2}=\boldsymbol{5}$	→	$\boldsymbol{\frac{5}{{\color{Red} 3}}}$

Números mixtos en la vida cotidiana

Muchas veces usamos números mixtos para expresar cantidad de ingredientes o tiempo, por ejemplo:

Un partido de fútbol dura 1½ hora o un partido de fútbol dura una hora y media.
Faltan 2¼ horas para la película o faltan dos horas y cuarto para la película.
El postre necesita 3½ cucharadas de azúcar o el postre necesita tres cucharadas y media de azúcar.

¿Sabías qué?

Para sumar y restar números mixtos de forma sencilla primero debemos convertirlos en fracciones impropias.

números mixtos en la recta numérica

Para ubicar números mixtos en la recta numérica consideramos inicialmente la parte entera, esta nos indicará entre cuáles números está la parte fraccionaria. Como la parte fraccionaria consta de una fracción propia, solo tenemos que dividir el segmento entre los dos números enteros en la cantidad de partes que señale el denominador, luego contamos tantos espacios como muestre el numerador y marcamos el número mixto o su equivalente fracción impropia.

– Ejemplo:

Ubiquemos en la recta numérica el número mixto $1\frac{4}{5}$ .

La parte entera es 1, así que solo dibujamos la recta entre 1 y 2.

Como el denominador de la parte fraccionaria es 5, dividimos el segmento entre 1 y 2 en 5 partes iguales.

Contamos 4 espacios desde el número 1 porque el numerador de la parte fraccionaria es 4.

Escribimos el número mixto o su fracción impropia equivalente $\frac{9}{5}$ en ese punto.

¡A practicar!

1. ¿Qué número mixto representan estos gráficos?

2. Convierte los siguientes números mixtos a fracciones impropias.

a. $3\frac{2}{5}$

b. $1\frac{6}{7}$

c. $2\frac{3}{5}$

3. Convierte las siguientes fracciones impropias a números mixtos.

a. $\frac{4}{3}$

b. $\frac{10}{7}$

c. $\frac{15}{4}$

4. Ubica los siguientes número mixtos en la recta numérica.

a. $3\frac{3}{4}$

b. $1\frac{1}{3}$

c. $2\frac{3}{5}$

Respuestas

1a. $3\frac{3}{4}$

1b. $1\frac{1}{5}$

1c. $2\frac{4}{7}$

2a. $\frac{17}{5}$

2b. $\frac{13}{7}$

2c. $\frac{13}{5}$

3a. $1\frac{1}{3}$

3b. $1\frac{3}{7}$

3c. $3\frac{3}{4}$

4a.

4b.

4c.

Teléfonos de contacto ante la pandemia (COVID-19)

A continuación se detalla un listado de los números de emergencia habilitados por los gobiernos de cada país para el público en general, con la finalidad de que se puedan disipar dudas sobre cómo actuar y a la vez informar sobre posibles casos de infectados con el virus Covid-19 que existan en cada comunidad.

Argentina: 107 / 0800-222-1002

Bolivia: 800-10-1104

Brasil: 136

Chile: 600-360-77-77

Colombia: 123 / 192 celular

Costa Rica: 1322

Cuba: 7-838-33-50

Ecuador: 171

El Salvador: 132

España: 900-102112

Guatemala: 1517

Honduras: 911

México: 800-0044-800

Nicaragua: 8418-9953

Panamá: 169

Paraguay: 911 / 0983-87-92-75

Perú: 113

Puerto Rico: 311

República Dominicana: 809-686-9140 / 1-809-200-4091

Uruguay: 0800-1919

Venezuela: 0800-8444526 / 0800-2684319

Sustantivos propios y comunes

Los sustantivos comunes son aquellos que nos permiten nombrar elementos existentes de forma general. En cambio, los sustantivos propios se usan para señalar de forma directa a seres o elementos concretos.

	Sustantivos propios	Sustantivos comunes
Descripción	Palabra que nombra a una persona, animal, objeto o lugar concreto y específico. Dicho nombre le otorga individualidad a lo nombrado.	Palabra que nombra a las personas, animales, objetos, lugares o sentimientos de forma genérica. Dicho nombre indica que existen otros elementos o unidades que comparten las mismas características.
Clasificación	Tipo de sustantivo	Tipo de sustantivo
Uso de artículos	No	Sí
Uso de su primera letra en mayúscula	Siempre	Al iniciar una oración o párrafo, o después de un punto y seguido
Género	Masculino o femenino	Masculino o femenino
Número	Singular	Singular o plural
Tipos	Antropónimos Topónimos	Concretos Abstractos Individuales Colectivos Contables No contables
Ejemplos	Roma, María, Saturno, El Cairo, India, Hércules, Júpiter, José, Verónica, Barbanegra, Carolina, América, Quetzalcóatl, Organización de las Naciones Unidas, Gilgamesh, Torre Eiffel, río de la Plata, Nike, Liverpool, Nueva York.	Zapato, televisión, teléfono, camiseta, nevera, perro, manada, pared, alegría, miedo, café, mano, teatro, guardería, lápiz, cristalería, bosque, nube, diente, chocolate.

Sustantivos y adjetivos

Los sustantivos son las palabras que utilizamos para nombrar todo lo que conocemos, como personas, animales, objetos, lugares o sentimientos, mientras que los adjetivos son las palabras que utilizamos para describir las características o cualidades que poseen esos sustantivos. Así, ambos tipos de palabras trabajan en conjunto para que podamos comunicarnos y expresarnos correctamente.

	Sustantivos	Adjetivos
Función	Se utilizan para nombrar a las personas, animales, objetos, lugares o sentimientos.	Se utilizan para describir las características o cualidades de las personas, animales, objetos, lugares o sentimientos.
Clasificación	Categoría gramatical o clase de palabra.	Categoría gramatical o clase de palabra.
Género	Masculino o femenino.	Masculino o femenino (con algunas excepciones, como la palabra “inteligente”).
Número	Singular o plural.	Singular o plural.
Tipos	Propios Comunes Individuales Colectivos Concretos Abstractos Contables No contables Primitivos Derivados Formas aumentativas Formas diminutivas	Calificativos Relacionales Exclamativos e interrogativos Demostrativos Determinativos Posesivos Numerales Indefinidos
Ejemplos	País, trabajador, María, vaca, mesa, televisor, alegría, vaso, guitarra, cuaderno, madre, hierro, árbol, océano, estudiante, piscina, gato, computadora, idea, círculo.	Dos, afortunado, verde, bajo, alto, insatisfecho, séptimo, difícil, sincero, carismático, anaranjado, directo, redondo, argentino, suave, arreglado, risueño, grande, valiente, nervioso.

Sistema de numeración decimal

Un sistema de numeración consiste, esencialmente, en un procedimiento para nombrar o representar la serie ordenada de los números naturales mediante el empleo de un repertorio limitado de palabras o signos.

El sistema de numeración decimal es el sistema adoptado universalmente y consta de diez símbolos que son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

El sistema de numeración decimal es el más utilizado universalmente.

Con ellos se representan todos los números. Al llegar al número diez, como no se dispone de ninguna cifra para representarlo, construimos su signo combinando dos cifras correspondientes a otros dos números y escribimos 10 (1 y 0). La cifra 1 colocada en esta posición significa decena (1 decena). La cifra 8 en esta posición y seguida de cero (80), significaría 8 decenas.

Utilizando dos cifras podemos representar hasta el número 99 (9 decenas y 9 unidades). Para el siguiente a 99 utilizamos ya tres cifras: 100. El 1 colocado en esta posición significa una centena.

Este sistema de numeración, en que cada diez unidades de un orden forman una del orden superior, es el comúnmente llamado sistema decimal.

El sistema de numeración decimal se llama así porque tiene al número diez como base. Ello significa que, en este sistema, toda cantidad se expresa como suma de múltiplos de las potencias sucesivas de diez (o sea, los productos de la forma 10 · 10 · … · 10).

El diez es la base del sistema de numeración decimal.

Origen

La actual representación decimal de los números encuentra su origen en la India, aunque se introdujo en Europa a través de textos árabes. El primer texto europeo que las contiene (aunque no en el estado actual y, además, sin el 0) es el Codex Vigilanus, en honor a su autor el monje Vigila, que lo redactó en el año 976, en Albelda (Logroño, España).

Números negativos

Los números negativos surgen por la necesidad de poder representar simbólicamente deudas, pérdidas, entre otras cantidades que no podían ser expresadas por los números positivos. Conozcamos más acerca de ellos.

Los números positivos, en particular los naturales, sirven fundamentalmente para contar, ordenar y medir. Los negativos se utilizan para designar posiciones, indicar temperaturas, saldos negativos, etc.

En la recta numérica puede ubicarse cualquier número real.

¿Cuándo surgen?

Los símbolos matemáticos y formas de resolver cálculos fueron modificándose en el tiempo para responder a los requerimientos de las distintas sociedades.

En la antigüedad, el hombre sólo necesitaba contar. Por ejemplo, al cazar en grupo debía poder indicarle a sus compañeros cuántos animales veían, si observaba uno o varios.

Con el transcurso de los años, el hombre comenzó a comerciar y así tuvo la necesidad de llevar un registro de las mercancías involucradas en los intercambios o de las reservas que poseía.

El desarrollo de las actividades comerciales produjo la necesidad de incorporar un registro de cantidades, para el cual se utilizaron distintos símbolos de acuerdo a la época y región.

Hasta ese momento no eran necesarias las cantidades negativas, lo que se puede apreciar en los primeros sistemas de numeración como el egipcio, romano y griego.

Cuando los hindúes y los mayas (en dos lugares del mundo muy alejados y por lo tanto sin comunicación entre ellos) comenzaron a utilizar al cero, se abrió el camino para la aparición de los números negativos.

Los números que son menores al cero son negativos.

Los chinos y los hindúes tenían nociones acerca de números negativos, pero fueron los últimos quienes comenzaron a representarlos en forma de símbolos para un uso corriente: el comercio.

Los números negativos no fueron aceptados definitivamente hasta el siglo XVIII, hasta entontes los denominaban “deudos”, “absurdos” o “falsos”.

Identificando números

El número cero indica el origen de un sistema de referencia, es decir, es el valor central entre todos los números. Si nos ubicamos en el cero, podemos saber qué números son mayores o menores a él. Lo que nos permite, por ejemplo, darnos relacionar distintas cantidades.

Temperaturas

Seguramente alguna vez habrás oído la expresión “La temperatura es de 4 grados bajo cero”.

Dicha frase indica que existen cuatro unidades por debajo del cero, lo que se representa numéricamente como -4 ºC.

Así como tenemos temperaturas positivas, existen las negativas.

Existen distintas escalas de temperatura, entre ellas la Celsius (ºC) y la Fahrenheit (ºF).

Posición

La posición de un objeto puede expresarse mediante números positivos, negativos o el cero. Si tomamos al suelo como el punto cero, todos los puntos debajo del piso tendrán valores negativos. Por ejemplo, si realizamos un pozo de 4 metros de profundidad y descendemos al fondo, estaremos parados en -4 metros.

Tomando un punto como cero, los números ubicados hacia un lado son negativos y hacia el otro, positivos.

Saldos negativos

Describir saldos negativos es posible gracias a los números negativos. Cuando queremos comprar un objeto solemos calcular mentalmente la diferencia entre el dinero que tenemos y el valor del objeto. Veamos un problema:

Tengo ahorrados $150 y deseo comprar un libro que cuesta $210. ¿Me alcanza el dinero? ¿Cuánto me falta?

Realizamos el siguiente análisis.

Ahorros ( + )	Precio del libro ( – )
150	210

El número 210 es mayor que el 150, por ello no alcanzará el dinero ahorrado para comprarlo.

Para averiguar cuánto me falta hay varias formas de resolver:

Pienso, ¿qué número sumado a 150 da como resultado 210? Ese número es 60.

150 +60 =210

Por lo tanto, me faltarían $60.

Otra forma es trabajando con los números negativos:

+150 -210= -60

No es necesario colocar el signo + delante de un número positivo, por lo tanto podría escribirse como:

150-210 = – 60

¿Por qué se coloca un menos delante del número 60?

Porque el valor absoluto del número -210 es mayor al valor absoluto de 150.

Valores absolutos:

|-210|=210 mayor valor absoluto

|150|=150 menor valor absoluto

El signo que debe colocarse en el resultado final es el que corresponde al número con mayor valor absoluto.

Un caso contrario:

-110+320= 210

Aquí el resultado es positivo, porque el valor absoluto de |+320| es mayor al de |-110|.

|+320|=320 mayor valor absoluto

|-110|=110 menor valor absoluto

¿Qué es un número natural?

Un número natural se designa con N. Se trata de aquellos que se utilizan para contar los elementos de un conjunto.

Un número natural es cualquier miembro del siguiente conjunto: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}

En el caso del ejemplo anterior, comienza en cero y prosigue ad infinitum, lo que significa “hasta el infinito”. El número que se encuentra a la derecha de otro número se denomina sucesivo o siguiente.

El conjunto ℕ se toma a partir del cero en este caso, ya que éste representa la cantidad de elementos que tiene el conjunto vacío.

Llamamos segmento de una sucesión natural al conjunto de todos los números naturales iguales o menores que cierto número natural, K. Se denota de la siguiente manera: I 1, K I

Propiedades del conjunto de los números naturales

Los números naturales nos permiten contar los elementos de un conjunto determinado, y cuando realizamos operaciones con ellos, podemos obtener resultados catalogados o no como número naturales.

Al sumar y al multiplicar dos números naturales obtendremos como resultado un número natural.

En cambio, en la división y en la resta de números naturales, no siempre obtendremos como resultado otro número natural.

Cada elemento tiene un sucesor. Si tomamos un número natural sabremos cuál es el que le sigue, es decir el sucesor, y esto nos indicará que no hay un número natural en medio de ellos.
La función de los números naturales es representar cantidades (mayores o menores) . Si queremos decir que un número es mayor que otro usamos >, mientras que para decir que un número es más pequeño que otro se utiliza <.

Ejemplo 10 > 1 o 1 < 10