RAÍZ DE UN NÚMERO

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Su cálculo consiste en hallar un número que multiplicado por sí mismo cierta cantidad de veces resulte en otro número determinado. Para poder emplear de manera correcta esta operación es necesario saber sus elementos y propiedades.

Todos los cálculos matemáticos tienen una operación inversa. La suma es la operación inversa de la resta, la división lo es de la multiplicación y la radicación lo es de la potenciación. Posiblemente creas que la radicación es la operación más compleja, pero no es así. Si conoces sus elementos y propiedades podrás resolver cualquier raíz de un número.

¿qué es una raíz?

Es una operación matemática en la que se obtiene un número que se ha multiplicado por sí mismo n veces bajo el operador radical. Esta se encuentra formada por los siguientes elementos:

Donde:

Radical $(\sqrt{\: \: })$ : representa el símbolo de la operación de radicación.
Índice de la raíz $\left ( n \right )$ : indica el grado de una raíz, lo que se traduce en cuántas veces se multiplicó por sí mismo el resultado de la radicación. El índice de una raíz debe ser diferente de cero.
Radicando $\left ( a \right )$ : es el producto de la multiplicación de la raíz según lo indique el índice. El radicando pertenece al conjunto de los números reales.
Raíz $\left ( b \right )$ : es el resultado de la radicación.

Condiciones a cumplir

$n \in \mathbb{N}\:\: ,\, n \geq 2$
$a \in \mathbb{R}$
Si $n$ es par, $a$ debe ser $\geq 0$ , para que el resultado sea un número real $\left ( \mathbb{R} \right )$ .

¿Cómo se relacionan la potencia y la raíz de un número?

La relación de las operaciones matemáticas potenciación y radicación se refleja así:

La base de la potenciación es el resultado o raíz de la radicación.
La potencia de la potenciación es el radicando de la radicación.
El exponente de la potenciación coincide con el índice de la radicación.

Por lo tanto, podemos expresar a una raíz como un exponente fraccionario, en el cual el denominador de la fracción corresponde al índice de la raíz y el numerador al exponente del radicando.

$\boldsymbol{\left ( \sqrt[n]{a}\right )^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}={a^{\frac{m}{n}}}}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{5^{2}}=5^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[3]{6}={6^{\frac{1}{3}}}$

Origen del término

Antiguos papiros egipcios demuestran que en esta cultura se calculaban raíces. Muchos especialistas asocian el origen del símbolo de la raíz con la letra r de la palabra latina radix, que significa “raíz”. No obstante, este término fue introducido en siglo XVI por Christoph Rudolff, quien lo usó en su libro Coss.

propiedades de las raíces

Raíz de cero

La raíz con radicando 0 es igual a 0, siempre que su índice sea diferente de dicho número.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{0}=0\: ; n\neq 0}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{0}=0$

$\sqrt[5]{0}=0$

Raíz de la unidad

La raíz de 1 siempre será igual a 1.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{1}=1\: ; n\neq 0}$

– Ejemplo:

$\sqrt[4]{1}=1$

$\sqrt[7]{1}=1$

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{27\cdot 125}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{125}=3\cdot 5=15$

Raíz de un cociente

La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces del dividendo y del divisor.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$

– Ejemplo

$\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}=\frac{3}{2}$

Raíz de una raíz

La raíz de una raíz es igual a una nueva raíz con el mismo radicando e índices multiplicados.

$\boldsymbol{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{\sqrt[5]{32.768}}=\sqrt[3\cdot 5]{32.768}=\sqrt[15]{32.768}=2$

Potencia de una raíz

La potencia de una raíz es igual a la misma raíz con el radicando elevado a dicha potencia.

$\boldsymbol{\left ( \sqrt[n]{a}\right )^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}}$

– Ejemplo:

$\left ( \sqrt[]{5}\right )^{4}=\sqrt[]{5^{4}}=\sqrt[]{625}=25$

Los problemas con radicales pueden tener una, dos o ninguna solución, y esto depende principalmente del radicando y del índice de la raíz. Sin embargo, para poder resolverlos de manera correcta se requiere tener conocimiento tanto de sus propiedades como también de la regla de los signos.

Suma y resta de radicales

Los radicales pueden sumarse o restarse siempre y cuando sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y radicando. En este caso, sumamos o restamos los coeficientes (los números que están fuera de la raíz) y dejamos el mismo índice y radicando.

$\boldsymbol{x\sqrt[n]{a}+y\sqrt[n]{a}=(x+y)\sqrt[n]{a}}$

$\boldsymbol{x\sqrt[n]{a}-y\sqrt[n]{a}=(x-y)\sqrt[n]{a}}$

– Ejemplo:

$8\sqrt[3]{5}+7\sqrt[3]{5}=15\sqrt[3]{5}$

$3\sqrt{6}-2\sqrt{6} = (3-2)\sqrt{6}=\sqrt{6}$

cálculo de raíces

En la actualidad existen herramientas que te ayudan a realizar las operaciones matemáticas de manera fácil y rápida, como por ejemplo la calculadora. Con una calculadora, podemos determinar la raíz de un número sin problemas, pero, ¿qué hacer si no tenemos una calculadora? Para ello, es bueno saber los pasos para calcular la raíz cuadrada de cualquier número.

Para calcular la raíz cuadrada de un número como 682.273 seguimos estos pasos:

1. Agrupamos el número en cifras de dos en dos desde la derecha a la izquierda.

2. Buscamos un número que elevado al cuadrado se aproxime a las dos primeras cifras de la izquierda. De este modo, colocamos el 8, pues 8² = 8 × 8 = 64 que se aproxima a 68.

3. Realizamos la resta entre las dos primeras cifras y el resultado de 8² = 64. Luego bajamos las dos cifras siguientes (22).

4. Tomamos el primer resultado de la raíz que es 8 y lo multiplicamos por 2: 8 × 2 = 16. Lo colocamos debajo.

5. El número multiplicado por dos lo usamos para dividir a los dos primeros números del resto anterior (422). Como 42/16 = 2,625, colocamos el número entero (2) después de 16 para formar una nueva cifra: 162. Ahora multiplicamos este nuevo resultado por 2: 162× 2.

6. Utilizamos el resultado de la multiplicación para restarlo a 422. Añadimos el 2 a la raíz.

7. Repetimos el procedimiento. Bajamos las dos cifras siguientes (76) junto al último resto (98) para formar 9.876. Multiplicamos por 2 la raíz hasta ahora obtenida (82 × 2) y la colocamos como nuevo cociente (164).

8. Del mismo modo, el número multiplicado por dos lo utilizamos para dividir a los tres primeros números del resto anterior (9.876), lo que nos da 987/164 = 6,018. De esta división, solo tomamos el número entero (6), que usaremos para colocarlo detrás del (164) para formar una nueva cifra (1.646) y, al mismo tiempo, para multiplicar esta nueva cifra (1646 × 6).

9. El resultado de la multiplicación se utiliza para restarlo al resto anterior (9.876) y el número entero utilizado para hacer esta multiplicación se coloca en la raíz (82) y queda así:

Entonces, $\sqrt{682.276}=\boldsymbol{826}$

¡A practicar!

1. Aplica las propiedades de las raíces para resolver los siguientes ejercicios:

$\sqrt[3]{\frac{216}{27}}=$

Solución

$\sqrt[3]{\frac{216}{27}}=\frac{\sqrt[3]{216}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{6}{3}=2$

$\sqrt[3]{\sqrt[2]{4^{6}\times 3^{12}}}=$

Solución

$\sqrt[3]{\sqrt[2]{4^{6}\times 3^{12}}}=\sqrt[6]{4^{6}\times 3^{12}}=4^{\frac{6}{6}}\times 3^{\frac{12}{6}}=4^{1}\times 3^{2}=4\times3 \times3= 36$

$\frac{\sqrt[3]{27\cdot 125}}{\sqrt[4]{625\cdot 6561}}=$

Solución

$\frac{\sqrt[3]{27\times 125}}{\sqrt[4]{625\times 6561}}=\frac{\sqrt[3]{27}\times \sqrt[3]{125}}{\sqrt[4]{625}\times \sqrt[4]{6561}}=\frac{3\times 5}{5\times 9}=\frac{1}{3}$

$\frac{9\sqrt[3]{27}+18\sqrt[3]{27}}{2\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{27}}=$

Solución

$\frac{9\sqrt[3]{27}+18\sqrt[3]{27}}{2\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{27}}= \frac{(9+18)\sqrt[3]{27}}{(2+1)\sqrt[3]{27}}= \frac{(27)\sqrt[3]{27}}{(3)\sqrt[3]{27}}= 9$