OPERACIONES CON FRACCIONES homogéneas

Si la mamá de Carla compró 1/2 kg de naranjas y su papá compró 3/2 kg de naranjas, ¿cuántos kg de naranja hay en total? Esta situación la podemos encontrar a diario en nuestra vida. Para resolverla tenemos que involucrar operaciones básicas como la suma o la resta a números fraccionarios. Las características de cada fracción nos indicarán qué pasos tenemos que seguir.

Cada vez que dividimos un todo en varias partes iguales usamos fracciones. Todas las fracciones son divisiones sin resolver que tienen un numerador y un denominador, ambos separados por una raya fraccionaria. Las usamos cuando repartimos comida, seguimos instrucciones de recetas o pedimos una parte o porción de algo.

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suma de fracciones homogéneas

Recordemos que dos o más fracciones son homogéneas cuando comparten el mismo denominador. Sumar este tipo de fracciones es muy fácil. Primero sumamos los numeradores, el número resultante será el numerador de la fracción y mantenemos el mismo denominador. Veamos un ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 1}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Blue} 6}}{{\color{Red} 5}}=\frac{{\color{Blue} 1+6}}{{\color{Red} 5}}=\frac{7}{5}}$

– Otros ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 1}}{{\color{Red} 2}}+\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 2}}=\frac{{\color{Blue} 1+3}}{{\color{Red} 2}}=\frac{4}{2}=2}$

$\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 12}}{{\color{Red} 8}}+\frac{{\color{Blue} 4}}{{\color{Red} 8}}=\frac{{\color{Blue} 12+8}}{{\color{Red} 8}}=\frac{20}{8}}$

sustracción de fracciones homogéneas

Del mismo modo que se resuelve la suma de fracciones homogéneas, en la sustracción primero restamos los numeradores y conservamos el mismo denominador. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 6}}{{\color{Red} 7}}-\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 7}}=\frac{{\color{Blue} 6-3}}{{\color{Red} 7}}=\frac{3}{7}}$

– Otros ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 8}}{{\color{Red} 5}}-\frac{{\color{Blue} 4}}{{\color{Red} 5}}=\frac{{\color{Blue} 8-4}}{{\color{Red} 5}}=\frac{4}{5}}$

$\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 10}}{{\color{Red} 3}}-\frac{{\color{Blue} 8}}{{\color{Red} 3}}=\frac{{\color{Blue} 10-8}}{{\color{Red} 3}}=\frac{2}{3}}$

fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son fracciones que tienen distinto numerador y denominador pero representan una misma cantidad. Hay dos métodos para calcular fracciones equivalentes: por amplificación y por simplificación.

Por el método de amplificación multiplicamos el numerador y el denominador por un mismo número.

Por ejemplo, $\frac{1}{3}$ es la fracción equivalente a $\frac{3}{9}$ , porque tanto el numerador como el denominador fueron multiplicados por 3.

Por el método de simplificación dividimos el numerador y el denominador por un mismo número.

Por ejemplo, la fracción $\frac{22}{10}$ es equivalente a $\frac{11}{5}$ porque tanto el numerador como el denominador fueron divididos por 2.

Se puede simplificar una fracción hasta obtener su mínima expresión, es decir, hasta conseguir la fracción irreducible. Se la llama irreducible porque el numerador y el denominador no comparten los mismos divisores. Obtener esta expresión hace que se simplifiquen los cálculos y la escritura de fracciones.

¿Cómo sabemos si dos fracciones son equivalentes?

El cálculo que permite determinar si dos fracciones son iguales es el método de multiplicar cruzado los numeradores y denominadores de ambas fracciones.

Para saber si $\frac{2}{5}$ y $\frac{4}{10}$ son fracciones equivalentes debes seguir estos pasos:

1. Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda.

2. Multiplica el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera.

3. Compara los dos resultados. Sin los dos son iguales significa que las dos fracciones son equivalentes.

$\boldsymbol{\frac{2}{5}=\frac{4}{10}}$

orden de fracciones

Todos los números tienen un orden y las fracciones no son la excepción. Para establecer ese orden podemos comparar sus elementos y determinar si son mayores, menores o iguales unas con otras. Los símbolos que se usan para compararlas son:

Símbolo	Significado
>	Mayor que
<	Menor que

Cuando las fracciones tienen igual denominador y se quiere saber si una es mayor que la otra solo tenemos que comparar sus numeradores. Una fracción es mayor que otra si tiene el numerador más grande. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{7}{6}>\frac{5}{6}}$ porque 7 es mayor que 5.

Para determinar si una fracción es menor que otra y sus denominadores son iguales, solo comparamos los numeradores. Veamos un ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{8}{9}<\frac{13}{9}}$ porque 8 es menor que 13.

problemas

Día a día nos cruzamos con problemas que involucran fracciones y son las diferentes operaciones básicas las que nos permiten resolverlos. Algunas veces nos toca comparar fracciones para saber, por ejemplo, quién comió más chocolate; otras veces cuántas partes de jugo se tomó y cuántas quedan.

Pasos a seguir para resolver problemas con fracciones

Los siguientes pasos también servirán para resolver problemas con números naturales.

Lee atentamente el problema.
Identifica y anota los datos del problema.
Piensa qué pide el problema, ¿qué pregunta hace?
Establece qué operaciones permiten resolver el problema.
Haz los cálculos.
Relee la pregunta del problema para luego contestarla.

1. Carla y María se repartieron una barra de chocolate en 6 partes iguales, Carla comió $\frac{3}{6}$ y María $\frac{2}{6}$ . ¿Quién comió más chocolate?

Datos

Cantidad de chocolate que comió Carla: $\frac{3}{6}$

Cantidad de chocolate que comió María: $\frac{2}{6}$

Pregunta

¿Quién comió más chocolate?

Piensa

Para saber quién comió más hay que comparar las dos fracciones. Como son homogéneas solo no fijamos en los numeradores.

Calcula

$\boldsymbol{\frac{3}{6}>\frac{2}{6}}$ porque 3 es mayor que 2.

Respuesta

Carla comió más chocolate que María.

2. Pedro tenía en la heladera $\frac{3}{4}$ de litro de jugo de naranja. Si tomó $\frac{1}{4}$ de litro, ¿cuánto jugo le quedó?

Datos

Litros de jugo naranja en la heladera: $\frac{3}{4}$

Litros de jugo que tomó Pedro: $\frac{1}{4}$

Pregunta

¿Cuánto jugo le quedó?

Piensa

Hay que restar la cantidad de jugo que tomó Pedro a la cantidad de jugo que había en la heladera.

Calcula

$\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3-1}{4}=\boldsymbol{\frac{2}{4}}$

Respuesta

A Pedro le quedaron $\frac{2}{4}$ de litro de jugo de naranja.

3. Si Pedro prepara $\frac{5}{4}$ de litro de jugo y los une con $\frac{2}{4}$ de litro de jugo que le quedaron, ¿cuánto jugo tiene ahora?

Datos

Litros de jugo que preparó Pedro: $\frac{5}{4}$

Litro de jugo que ya tiene Pedro: $\frac{2}{4}$

Pregunta

¿Cuánto jugo tiene ahora?

Piensa

Para saber la cantidad total de jugo hay que sumar las dos cantidades.

Calcula

$\frac{5}{4}+\frac{2}{4}=\frac{5+2}{4}=\boldsymbol{\frac{7}{4}}$

Respuesta

Pedro tiene ahora $\frac{7}{4}$ de litro de jugo de naranja.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes operaciones.

$\frac{7}{8}-\frac{2}{8}=$

Solución

$\frac{7}{8}-\frac{2}{8}=\frac{7-2}{8}=\boldsymbol{\frac{5}{8}}$

$\frac{4}{3}+\frac{6}{3}=$

Solución

$\frac{4}{3}+\frac{6}{3}=\frac{4+6}{3}=\boldsymbol{\frac{10}{3}}$

$\frac{16}{5}-\frac{4}{5}=$

Solución

$\frac{16}{5}-\frac{4}{5}=\frac{16-4}{5}=\boldsymbol{\frac{12}{5}}$

$\frac{9}{7}+\frac{3}{7}=$

Solución

$\frac{9}{7}+\frac{3}{7}=\frac{9+3}{7}=\boldsymbol{\frac{12}{7}}$

2. Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones.

$\frac{4}{5},\: \: \: \frac{2}{5},\: \: \: \frac{1}{5},\: \: \: \frac{6}{5},\: \: \: \frac{3}{5}$

Solución

$\frac{6}{5}>\frac{4}{5}>\frac{3}{5}>\frac{2}{5}>\frac{1}{5}$

3. Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones.

$\frac{7}{7},\: \: \: \frac{3}{7},\: \: \: \frac{5}{7},\: \: \: \frac{2}{7},\: \: \: \frac{9}{7}$

Solución

$\frac{2}{7}<\frac{3}{7}<\frac{5}{7}<\frac{7}{7}<\frac{9}{7}$

4. Determina si las siguientes fracciones son equivalentes.

$\frac{3}{5}$ y $\frac{9}{15}$

Solución

Son fracciones equivalentes porque 3 × 15 = 45 y 9 × 5 = 45.

$\frac{2}{9}$ y $\frac{10}{42}$

Solución

No son fracciones equivalentes porque 2 × 42 = 84 y 10 × 9 = 90.

$\frac{6}{18}$ y $\frac{3}{9}$

Solución

Son fracciones equivalentes porque 6 × 9 = 54 y 18 × 3 = 54.

5. Marianela se va de vacaciones con su familia. En la primera hora de viaje recorrieron $\frac{3}{8}$ del trayecto y en la segunda hora, $\frac{2}{8}$ del trayecto. ¿Cuánto del trayecto ya recorrieron?