SUCESIONES

Las sucesiones son series de números con un orden establecido llamado patrón. Algunas tienen un patrón en el que se suman o restan cantidades constantes, mientras que en otras el patrón se forma por medio de la multiplicación o división de cantidades constantes. Hoy aprenderemos cómo se llaman estos tipos de sucesiones y cómo calcular sus términos generales.

¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?

Una sucesión es una secuencia ordenada de números o elementos que obedecen a un patrón o regla de formación particular. Por ejemplo, veamos la siguiente sucesión:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 …

En este caso, la sucesión está formada por números ordenados que reconocemos como cifras pares. Los puntos suspensivos al final nos indican que la sucesión es infinita.

Nota que cada número es 2 unidades superior al anterior, por lo tanto, el patrón de la sucesión consta de sumar 2.

Si denominamos a₁ al primer término de la sucesión, a₂ al segundo término, a₃ al tercer término, y así sucesivamente, podemos determinar la regla de sucesión que sigue hasta el enésimo valor que llamaremos a_n. Los subíndices indican el lugar que ocupa cada elemento en la sucesión.

Observa que:

a₁ = 2

a₂ = 4

a₃ = 6

a₄ = 8

a_n = 2n

A partir de este análisis podemos obtener el término general de la sucesión:

a_n = 2n

Donde n es cualquier número entero. Por ejemplo, si n = 5, el quinto término de la sucesión es:

a₅ = 2 × 5 = 10

Los término a₂₀ y a₂₅ de esta misma sucesión son los siguientes:

• a₂₀ = 2 × 20 = 40
• a₂₅ = 2 × 25 = 50

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TIPOS DE SUCESIONES

Existen varias maneras de clasificar las sucesiones, por ejemplo, podemos decir que las sucesiones pueden ser finitas, o infinitas. Sin embargo, también podemos clasificarlas de acuerdo a la diferencia o a la razón entre sus términos. En estos casos hablamos de sucesiones aritméticas y geométricas.

Sucesiones aritméticas

Son aquellas en las que cada término, con excepción del primero, tiene una diferencia con el término anterior en una cantidad constante. Por ejemplo:

20.000, 22.000, 24.000, 26.000, ..

Esta es una sucesión aritmética porque la diferencia entre un término y el siguiente es la misma en cada caso, es decir, la diferencia es constante.

A esta diferencia, denominada diferencia común y representada como d, la podemos obtener por medio de una resta entre cualquier término y su término anterior. Para la sucesión antes señalada la diferencia común d es:

d = 22.000 − 20.000 = 2.000

d = 24.000 − 22.000 = 2.000

d = 26.000 − 24.000 = 2.000

Observa que sin importar el término que elijas la diferencia siempre será la misma.

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– Otro ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

5, 1, −3, −7, −11, −15, …

La diferencia común d = −4 porque:

d = 1 − 5 = −4

d = −3 − 1 = −4

d = −15 − (−11) = −4

Término enésimo de una sucesión aritmética

El término enésimo de una sucesión aritmética con un primer término a₁ y una diferencia común d es el siguiente:

a_n = a₁ + d(n − 1)

– Ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

−3, −1, 1, 3, 5, … 

La diferencia común d = 2 porque:

d = −1 − (−3)

d = 2

Por lo tanto, si a₁ = −3 y d = 2, el término enésimo de la sucesión es:

a_n = a₁ + d(n −1)

a_n = −3 + 2(n − 1)

a_n = −3 + (2n − 2)

a_n = −3 + 2n − 2

a_n = 2n − 5

Entonces, si queremo determinar a₁₀, a₁₂ y a₁₅ solo aplicamos:

• a₁₀ = 2n − 5 = 2 (10) − 5 = 20 − 5

a₁₀ =15

 

• a₁₂ = 2n − 5 = 2 (12) − 5 = 24 − 5

a₁₂ = 19

 

• a₁₅ = 2n − 5 = 2 (15) − 5 = 30 − 5

a₁₅ = 25

Sucesiones geométricas

Son aquellas en las que cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión. El cociente entre cualquier término y su precedente es constante. Por ejemplo:

20.000, 30.000, 45.000, 67.500, 101.250, …

Esta es una sucesión geométrica porque el cociente de la división entre cualquier término y su anterior es el mismo en cada caso.

Este cociente es igual al múltiplo común entre términos y se llama razón común (r). Se obtiene al dividir un término con el que le precede. Para esta sucesión la razón común se determina así:

r = 30.000 ÷ 20.000 = 1,5

r = 45.000 ÷ 30.000 = 1,5

r = 101.250 ÷ 67.500 = 1,5

Observa que sin importar el término que elijas la razón común es la misma: 1,5.

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– Otro ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

3, 12, 48, 192, 768, 3.072, …

La razón común es 4 porque:

r = 12 ÷ 3 = 4

r = 48 ÷ 12 = 4

r = 768 ÷ 192 = 4

Término enésimo de una sucesión geométrica

El término enésimo de una sucesión geométrica con un primer término a₁ y una razón común r es el siguiente:

a_n = a₁(r^{n − 1})

– Ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

3, −6, 12, −24, 48, −96, …

La razón común r = −2 porque:

r = −6 ÷ 3 = −2

r = −24 ÷ 12 = −2

r = −96 ÷ 48 = −2

Por lo tanto, si a₁ = 3 y r = −2, el término enésimo de la sucesión es:

a_n = a₁(r^{n − 1})

a_n = 3(−2^{n − 1})

Entonces, si queremos determinar a₈, a₁₀ y a₁₂ solo aplicamos:

• a₈ = 3(−2^{n − 1}) = 3(−2^{8 − 1}) = 3(−2⁷) = 3(−128)

a₈= −384

 

• a₁₀ = 3(−2^{n − 1}) = 3(−2^{10 − 1}) = 3(−2⁹) = 3(−512)

a₁₀ = −1.536

 

• a₁₂ = 3(−2^{n − 1}) = 3(−2^{12 − 1}) = 3(−2¹¹) = 3(−2.048)

a₁₂ = −6.144

Resolvamos unos problemas

1. Marcos comenzó un trabajo y su pago inicial fue de $ 15.000. Se le prometió un aumento de $ 1.500 después de cada año. ¿Cuál será su salario en el séptimo año de trabajo? ¿y en el décimo año?

• Datos

Salario inicial = a₁ = $ 15.000

Aumento anual = d = $ 1.500

• Reflexiona

Su salario después de los primeros años es: 15.000, 16.500, 18.000, 19.500 … Ya que se suma una cantidad constante, esta es una sucesión aritmética. El término general enésimo de una sucesión aritmética es a_n = a₁ + d(n − 1). Donde a₁ = 15.000. Tenemos que calcular la diferencia común, luego el término enésimo y finalmente a₇ y a₁₀.

• Calcula

– Diferencia común, d

d = 16.500 − 15.000 = 1.500

 

– Término enésimo

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 15.000 + 1.500(n − 1)

a_n = 15.000 + 1.500n − 1.500

a_n = 13.500 + 1.500n

 

– Términos a₇ y a₁₀

a₇ = 13.500 + 1.500(7)

a₇ = 13.500 + 10.500

a₇ = 24.000

 

a₁₀ = 13.500 + 1.500(10)

a₁₀ = 13.500 + 15.000

a₁₀ = 28.500

• Responde

En su séptimo año Marcos tendrá un salario de $ 24.000.

En su décimo año Marcos tendrá un salario de $ 28.500.

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2. Un auditorio tiene 15 asientos en la primera fila. Cada fila sucesiva tiene tres asientos más que el anterior. ¿Cuántos asientos hay en las primeras diez filas?

• Datos

Asientos en la primera fila = a₁ = 15

Diferencia con las demás filas = d = 3 asientos

• Reflexiona

Como cada fila tiene 3 asientos más que la anterior se trata de una sucesión aritmética. Primero calculamos el término enésimo y luego determinamos los primeros diez términos.

• Calcula

– Término enésimo

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 15 + 3(n − 1)

a_n = 15 + 3n − 3

a_n = 12 + 3n

 

– Primeros diez términos

a₁ = 12 + 3(1) = 12 + 3 = 15

a₂ = 12 + 3(2) = 12 + 6 = 18

a₃ = 12 + 3(3) = 12 + 9 = 21

a₄ = 12 + 3(4) = 12 + 12 = 24

a₅ = 12 + 3(5) = 12 + 15 = 27

a₆ = 12 + 3(6) = 12 + 18 = 30

a₇ = 12 + 3(7) = 12 + 21 = 33

a₈ = 12 + 3(8) = 12 + 24 = 36

a₉ = 12 + 3(9) = 12 + 27 = 39

a₁₀ = 12 + 3(10) = 12 + 30 = 32

• Responde

La cantidad de asientos en cada fila sigue este orden: 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 32.

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3. José tiene una alcancía. Si el día 1 sacó $ 1, el día 2 sacó $ 2, el día 3 sacó $ 4, el día 4 sacó $ 8, y así sucesivamente, ¿cuánto dinero sacó después de 30 días?

• Datos

Dinero sacado el día 1 = a₁ = $ 1

Dinero sacado el día 2 = a₂ = $ 2

Dinero sacado el día 3 = a₃ = $ 4

Dinero sacado el día 4 = a₄ = $ 8

• Reflexiona

Como la cantidad de dinero sacado se multiplica cada día, se trata de una sucesión geométrica. Por lo tanto, a partir de la fórmula general del término enésimo (a_n = a₁(r^{n − 1})) podremos saber el dinero sacado a los 30 días. Nota que a₁ = 1 y r = 2.

• Calcula

a_n = a₁(r^{n − 1})

a₃₀ = 1(2^{30 − 1})

a₃₀ = 1(2²⁹)

a₃₀ = 536.870.912

• Responde

José sacó $ 536.870.912.