áreas y perímetros

La geometría es una rama de la matemática que estudia las formas de diferentes figuras como triángulos, cuadrados, y rectángulos, entre otras. Una parte de su estudio consta de la mediciones de áreas y perímetros. A continuación, trabajaremos sobre estos cálculos en algunas figuras geométricas.

cálculo de áreas en figuras geométricas

Las figuras geométricas comparten entre sí ciertas características que son de interés para la geometría. Entre esas características se encuentra el cálculo de áreas. El área es la extensión de la superficie de una figura, y para calcularla primero se debe saber ante qué tipo de figura nos encontramos. En esta sección, trabajaremos con rectángulos y triángulos.

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Área de rectángulos y triángulos

Área de un rectángulo:

Para calcular el área de un rectángulo se debe conocer su base y su altura. En la siguiente figura se muestran dichos valores.

El área se calculará entonces como la multiplicación de la longitud de sus lados:

$A = b\times h$

Los rectángulos son un tipo de paralelogramo, es decir, cuadriláteros con sus lados opuestos paralelos dos a dos. Los rectángulos tienen la particularidad de que sus cuatro ángulos internos miden 90°. De esta forma, se puede afirmar que el cuadrado es un tipo de rectángulo que se diferencia del resto porque todos sus lados tienen la misma longitud.

Área de un triángulo:

Para calcular el área de un triángulo, debemos imaginarlo como la mitad de un rectángulo. En la siguiente figura se puede ver tal afirmación.

El área se calculará entonces como la multiplicación de la longitud de sus lados pero dividido por dos (porque hablamos de la mitad de un rectángulo):

$A=\frac{b\times h}{2}$

Teorema de Pitágoras

Los triángulos rectángulos son aquellos que poseen un ángulo interno igual a 90º. Los catetos en este caso son la base (b) y la altura (h), y el lado de mayor longitud recibe el nombre de hipotenusa.

El teorema de Pitágoras dice que: “La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado“.

Si consideramos ambos catetos como C₁ y C₂, y la hipotenusa como H, el teorema de Pitágoras queda expresado de la siguiente manera:

$H^{2}=(C_{1})^{2}+(C_{1})^{2}$

Cálculo de área de un rectángulo

Se tiene una pieza de madera en forma de rectángulo que mide 1 metro de base y 3 metros de alto. ¿Cuál es el área de esta pieza?

$A=b\times h=1\, m\times 3\, m=3\, m^{2}$

La pieza tiene un área de 3 m².

Cálculo de área de un triángulo

Se tiene un triángulo rectángulo de 2 centímetros de base y 4 centímetros de altura. ¿Cuál es su área?

$A=\frac{b\times h}{2}=\frac{2\, cm\times 4\, cm}{2}=\frac{8\, cm^{2}}{2}=4\, cm^{2}$

El triángulo tiene un área de 4 cm².

¿Sabías qué?

Según sus ángulos, los triángulos pueden clasificarse en agudos, rectángulos y obtusos.

unidades usadas para medir superficie o área

En los ejemplos anteriores, se observa que cuando se calcula un área el resultado tiene una unidad de longitud elevada al cuadrado. Las unidades sirven para poder expresar el tamaño de determinadas mediciones. En este caso, se trata del área de una figura geométrica.

Tipos de unidades

Las unidades más comunes para expresar áreas de figuras geométricas son los metros cuadrados (m²) y los centímetros cuadrados (cm²). Sin embargo, cualquier unidad de longitud puede ser utilizada para el cálculo de un área.

Existen otras unidades de área como la hectárea que equivale a la superficie de un cuadrado de 100 m en cada lado. Es decir, 1 hectárea equivale a 10.000 m².

Ejemplo de cálculo de área con diferentes unidades

Se tiene el siguiente cuadrado (un rectángulo donde sus cuatro lados son iguales) con el valor de sus lados expresados en diferentes unidades.

El área del cuadrado se puede calcular de la siguiente manera:

$A=L^{2}$

Donde:

A = área.

L = longitud de uno de los lados del cuadrado.

De acuerdo al valor del número que se reemplace en la ecuación, el área será diferente numéricamente, pero las diferentes unidades de longitud permiten correlacionar todos los valores. De esta forma, representan al mismo valor de área pero con diferente unidad:

Área (m²) = (0,5 m)²= 0,25 m²
Área (cm²) = (50 cm)²= 2.500 cm²
Área (mm²)= (500 mm)²= 250.000 mm²

Sin embargo, cualquiera de las tres opciones son el mismo resultado. Solo que con unidades diferentes. La diferencia es solo numérica.

Por lo tanto:

0,25 m²= 2.500 cm²= 250.000 mm²

cálculo de perímetro de figuras geométricas simples y compuestas

El cálculo del perímetro se realiza de modo similar al cálculo del área. El perímetro es el contorno de la figura, por lo tanto, para calcularlo se recurrirá simplemente a la suma de la longitud de sus lados.

Perímetro de figuras

A continuación, se mostrarán las fórmulas de cálculo de perímetro de triángulos, cuadrados y rectángulos.

Perímetro de un triángulo = cateto + cateto + hipotenusa
Perímetro de un cuadrado = lado + lado + lado + lado
Perímetro de un rectángulo = base + altura + base + altura

El cálculo del perímetro puede realizarse en figuras simples, como es el caso de los tres ejemplos anteriormente mencionados, o en figuras compuestas, cuando se combinan dos o más de estas figuras.