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 Ejercicios de potenciación

La potenciación es muy útil para resolver diversos tipos de problemas, como en la descomposición de números en sus factores primos o en el empleo de la notación científica. Sin embargo, en estos y muchos otros casos en donde es aplicada la potenciación, se cumplen algunas propiedades que es indispensable conocerlas.

Elementos de una potencia

Una potencia es una expresión con la forma an, donde a es la base y n es su índice o exponente. La definición de una potencia varía en función al conjunto numérico al cual pertenece el exponente. Sus elementos principales son:

Base: es el número que se debe multiplicar por sí mismo.

Exponente: número que indica las veces que se debe multiplicar la base por sí misma, también se denomina índice.

Potencia: es el resultado de la potenciación.

 

Las potencias pueden aplicarse tanto en números reales como en números complejos.
¿Cómo leer una potencia?

Para leer una potencia, primero se lee el valor de su base y luego su exponente. Por ejemplo, 42 se lee como “cuatro elevado al cuadrado”, se usa la expresión cuadrado para expresar que el exponente es el número 2. En el caso de que el exponente sea el número 3 se usa la expresión cubo, de esta forma, 73 se leería “siete elevado al cubo”. Para los demás exponentes se emplean los números ordinales: “siete elevado a la quinta”, “nueve elevado a la sexta”, etc.

 

Cuando el exponente de la potencia es 1, simplemente se coloca la base sin exponente porque cualquier número multiplicado por uno da el mismo número.

Repaso de las propiedades

Las propiedades de la potenciación o de las potencias permiten resolver ejercicios que involucran potencias.

Propiedades de la potencia
1 Potencia de exponente 0 a^{0}=1
2 Potencia de exponente 1 a^{1}=a
3 Potencia con exponente negativo a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}
4 Multiplicación de potencias de igual base a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}
5 División de potencias de igual base \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}
6 Potencia de una potencia \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{m\times n}
7 Potencia de un producto \left ( a\times b \right )^{n}= a^{n}\times b^{n}
8 Potencia de una división \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}
Las potencias de base 10 son usadas para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas en un sistema denominado notación científica.

Propiedades que no se cumplen en la potenciación

  • Propiedad distributiva

Aunque se cumple para la multiplicación y la división, como se pueden observar en las propiedades 7 y 8 de la tabla anterior, la propiedad distributiva no se cumple con respecto a la adición y a la sustracción.

{\color{Red} \left ( a+b \right )^{n}\neq a^{n}+b^{n}}

{\color{Red} \left ( a-b \right )^{n}\neq a^{n}-b^{n}}

  • Propiedad asociativa

No se cumple en la potenciación.

{\color{Red} \left ( a^{m} \right )^{n}\neq a^{(m^{n})}}

  • Propiedad conmutativa

Solo se cumple cuando la base y el exponente tienen el mismo valor numérico (como 55, 77, 44, etc.). Generalmente se cumple que:

{\color{Red} a^{n}\neq n^{a}}

 

No existe una solución para la expresión 00, en este caso se trata de una indeterminación.

Aplicación de las propiedades

  • Aplica las propiedades de la potenciación para resolver los siguientes ejercicios:

a) \mathbf{\frac{5^{7}}{5^{3}}-\left ( 3^{2} \right )^{2}}

 

Primero empleamos la propiedad 5 para la división:

{\color{Blue} \frac{5^{7}}{5^{3}}}-\left ( 3^{2} \right )^{2}={\color{Blue} 5^{7-3}}-\left ( 3^{2} \right )^{2}={\color{Blue} 5^{4}}-\left ( 3^{2} \right )^{2}

Luego aplicamos la propiedad 6 para la segunda parte del ejercicio:

5^{4}-\left ( {\color{DarkGreen} 3^{2}} \right )^{{\color{DarkGreen} 2}}=5^{4}-{\color{DarkGreen} 3^{2\times 2}}=5^{4}-{\color{DarkGreen} 3^{4}}

Resolvemos ambas potencias:

5^{4}=5\times 5\times 5\times 5=\mathbf{625}

3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=\mathbf{81}

Finalmente sustituimos los valores:

5^{4}-3^{4}=625-81=\mathbf{544}

Solución:

\frac{5^{7}}{5^{3}}-\left ( 3^{2} \right )^{2}= \mathbf{544}

 

b) \mathbf{\frac{5^{2}\times 2^{3}\times 6^{0}}{2^{2}\times 5}}

Por la propiedad 1 sabemos que 60 = 1, así que, al ser multiplicaciones, su valor no afectará el resultado. La expresión queda de la siguiente forma:

\frac{5^{2}\times 2^{3}\times 6^{0}}{2^{2}\times 5}=\frac{5^{2}\times 2^{3}}{2^{2}\times5}

Luego calculamos las potencias:

5^{2}=5\times 5=\mathbf{25}

2^{3}=2\times 2\times 2=\mathbf{8}

2^{2}=2\times 2=\mathbf{4}

Sustituimos los resultados de las potencias:

\frac{5^{2}\times 2^{3}}{2^{2}\times5}=\frac{25\times 8}{4\times 5}=\frac{200}{20}=\mathbf{10}

Solución:

\frac{5^{2}\times 2^{3}\times 6^{0}}{2^{2}\times 5}=\mathbf{10}

 

c) \mathbf{2^{3}-7^{2}+\frac{3^{6}}{3^{4}}}

Aplicamos la propiedad 5 en la división:

2^{3}-7^{2}+{\color{Blue} \frac{3^{6}}{3^{4}}}=2^{3}-7^{2}+{\color{Blue} 3^{6-4}}=2^{3}-7^{2}+{\color{Blue} 3^{2}}

Resolvemos las potencias:

2^{3}=2\times 2\times 2=\mathbf{8}

7^{2}=7\times 7=\mathbf{49}

3^{2}=3\times 3=\mathbf{9}

 

Sustituimos los resultados en las potencias y resolvemos:

2^{3}-7^{2}+3^{2}=8-49+9=\mathbf{-32}

Solución:

2^{3}-7^{2}+\frac{3^{6}}{3^{4}}=\mathbf{-32}

d) \mathbf{\frac{2^{7}\times 3^{7}}{6^{4}}}

En este problema se pueden resolver las potencias por separado y luego sustituir, pero existe una manera más sencilla de llegar al resultado a través de las propiedades de la potenciación. Lo primero que se debe hacer es aplicar la propiedad 7 en el numerador. De este modo, la expresión queda de la siguiente forma:

\frac{2^{7}\times 3^{7}}{6^{4}}=\frac{\left ( 2\times 3 \right )^{7}}{6^{4}}

Resolvemos el producto para originar una fracción con potencias de igual base:

\frac{\left ( 2\times 3 \right )^{7}}{6^{4}}=\frac{6^{7}}{6^{4}}

Aplicamos la propiedad 5:

\frac{6^{7}}{6^{4}}=6^{7-4}=6^{3}

Resolvemos:

6^{3}=6\times 6\times6=\mathbf{216}

Solución:

\frac{2^{7}\times 3^{7}}{6^{4}}=\mathbf{216}

 

e) \mathbf{(2)^{2}\times \left ( -2 \right )^{3}}

 

Para empezar, calculamos las potencias:

\left ( 2 \right )^{2}=2\times 2=\mathbf{4}

\left ( -2 \right )^{3}=\left ( -2 \right )\times \left ( -2 \right )\times \left ( -2 \right )=\mathbf{-8}

 

Después sustituimos las potencias en la expresión inicial y resolvemos:

(2)^{2}\times \left ( -2 \right )^{3}=4\times \left ( -8 \right )=\mathbf{-32}

Solución:

(2)^{2}\times \left ( -2 \right )^{3}=\mathbf{-32}
En las potencias con base negativa se debe aplicar la regla de los signos.

Aplicación en expresiones algebraicas

Además de lo útiles que son las propiedades de la potenciación para resolver problemas numéricos, también pueden emplearse en expresiones algebraicas complejas con la finalidad de hacerlas más sencillas. A continuación se muestran algunos ejemplos.

  • Reduce a la única potencia:

a) \mathbf{\frac{\left ( a^{2} \right )^{3}}{a}}

Aplicamos la propiedad 6 en el numerador:

\frac{\left ( a^{2} \right )^{3}}{a}=\frac{a^{6}}{a}

Como se obtuvo una división de potencias de igual base, empleamos la propiedad 5:

\frac{a^{6}}{a}=a^{6-1}=a^{5}

Solución:

\frac{\left ( a^{2} \right )^{3}}{a}=\mathbf{a^{5}}

 

b) \mathbf{\left ( \frac{m^{5}}{m^{3}} \right )^{2}}

Al aplicar la propiedad 5 en la fracción se obtiene que:

\left ( \frac{m^{5}}{m^{3}} \right )^{2}=\left ( m^{5-3} \right )^{2}=\left ( m^{2} \right )^{2}

Por medio de la propiedad 6 se obtiene la siguiente expresión:

\left ( m^{2} \right )^{2}=m^{2\times 2}=\mathbf{m^{4}}

Solución:

\left ( \frac{m^{5}}{m^{3}} \right )^{2}=\mathbf{m^{4}}
Existe la potenciación con exponentes racionales que se denotan en forma de fracción.

La potencia

La potencia, de forma genérica es la capacidad o posibilidad para realizar o generar algo. Una potencia es también una persona, una entidad, estado o nación que posee una gran influencia, fuerza o poder. Sin embargo, tiene varios usos y significados en distintos ámbitos como la Física, las Matemáticas y la Filosofía.

Potencia en física

En Física, potencia es la cantidad de trabajo (fuerza o energía aplicada a un cuerpo) en una unidad de tiempo. Se expresa con el símbolo ‘P’ y se suele medir en vatios o watts (W) y que equivale a 1 julio por segundo. Una fórmula para calcular la potencia es P = T / t, donde ‘T’ equivale a ‘trabajo’ (en julios) y ‘t’ se corresponde con el ‘tiempo’ (en segundos).

La potencia es la cantidad de fuerza o energía aplicada a un cuerpo en un período de tiempo.
La potencia es la cantidad de fuerza o energía aplicada a un cuerpo en un período de tiempo.

 

  • La potencia eléctrica: la potencia eléctrica es la cantidad de energía que emite o absorbe un cuerpo en una unidad de tiempo. La medición de la potencia eléctrica de consumo de un dispositivo eléctrico doméstico en kilovatios por hora (kW/h).
    La potencia reactiva es un tipo de potencia eléctrica que aparece en instalaciones de corriente alterna, asociada a la generación de campos magnéticos y disipada por las cargas reactivas (bobinas y condensadores). Se representa con la letra ‘Q’ y la unidad de medida que se suele utilizar es el voltiamperio reactivo (VAr).
  • La potencia mecánica: la potencia mecánica es la cantidad de fuerza aplicada a un cuerpo en relación a la velocidad con que se aplica. Una de las fórmulas para hallarla es: P = F · v. Por lo tanto, se multiplica la fuerza (F) expresada en newtons (N) por la velocidad (v) expresada en metros por segundo (m/s).

Potencia en Matemática

Una potencia es una expresión matemática que indica la multiplicación de un número por sí mismo tantas veces como indica su exponente. Una potencia aparece representada como un número pequeño escrito a la derecha y arriba acompañando a un número (base).

Un ejemplo de potencia es 72. El número 7 es la base y el 2 es el exponente (también llamado índice o simplemente, potencia). Esta potencia equivaldría a la multiplicación 7 x 7.

Potencia en Filosofía

El concepto de potencia es uno de los objetos de estudio de la Filosofía. La filosofía aristotélica define este término como la “capacidad de ser” en el futuro, en oposición al concepto de “acto”.

En Filosofía también se habla de potencia del alma para referirse a una facultad o capacidad del alma. Según algunas posturas, se consideran tres potencias del alma (memoria, entendimiento y voluntad) que permiten al ser humano recordar, conocer y querer, respectivamente.