PROPORCIONES

La proporción es una medida que utilizamos casi de manera intuitiva para expresar relaciones entre dos magnitudes, tales como la longitud, la masa, el tiempo o las unidades monetarias. El concepto de proporciones está implícito cuando graficamos funciones lineales o al aplicar una regla de tres.

Si para elaborar 10 panes se necesitan 300 g de harina y tú deseas preparar 20 panes, de seguro concluirás en que para duplicar la cantidad de panes, debes duplicar la cantidad de ingredientes, es decir, que utilizarás 600 g de harina. La relaciones (300 g de harina: 10 panes / 600 g de harina: 20 panes) se mantienen constantes, es decir, son proporcionales.

proporción numérica

Las proporciones expresan relaciones entre dos o más razones que se dan de manera constante, es decir, si el cociente entre dos razones (divisiones) diferentes da el mismo resultado, entonces, las dos razones son proporcionales. Supongamos que tenemos dos razones:

$\frac{a}{b} \: y\: \frac{c}{d}$

Decimos que ambas razones son proporcionales si se cumple que:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

– Ejemplo:

$\frac{3}{4}=\frac{21}{28}$ , ya que $\frac{3}{4}=0,75$ y $\frac{21}{28}=0,75$

Propiedad de las proporciones

En una proporción, siempre se debe cumplir que el producto de los valores medios, debe ser igual al producto de los valores extremos:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow a\times d=b\times c$

Donde:

a y d: valores extremos

b y c: valores medios

En el ejemplo anterior, $\frac{3}{4}=\frac{21}{28}$ porque 3 × 28 = 84 y 4 × 21 = 84.

– Otro ejemplo:

Determina si los rectángulos A y B son proporcionales.

Para saber si ambos rectángulos son proporcionales debemos comparar la relación de sus lados, en otras palabras, dividir la base entre la altura (o puede ser también la altura entre la base) de cada rectángulo, y si dicho cociente es el mismo, decimos que los rectángulos A y B son proporcionales.

Rectángulo A: (9,50 ÷ 7,50) = 1,27

Rectángulo B: (4,75 ÷ 3,75) = 1,27

Puesto que ambos rectángulos tienen la misma relación de proporción, concluimos en que sí son proporcionales.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una cantidad, la otra también aumenta; o si al disminuir una cantidad, la otra también disminuye. La razón entre dos cantidades siempre será la misma y se llama constante de proporcionalidad.

– Ejemplo:

El boleto para entrar al cine cuenta $ 2, 2 boletos cuestan $ 4, 3 boletos cuestan $ 6, …

Cantidad de boletos	Precio ($)	Constante de proporcionalidad
1	2	2/1 = 2
2	4	4/2 = 2
3	6	6/3 = 2
4	8	8/4 = 2

Observa que al dividir el valor de una magnitud entre otra, el resultado siempre es el mismo, es decir, es constante. Como una magnitud aumenta a medida que la otra aumenta, esta relación (cantidad de boletos-precio) es directamente proporcional.

¿Sabías qué?

Una magnitud es cualquier cualidad de un objeto que podemos medir, como la masa, la longitud, el tiempo o el número de alumnos, por ejemplo.

En una empresa se conoce que por cada artículo que se venda se obtiene una ganancia de $ 2/artículo, de manera que si se realiza una gráfica que relacione las ventas de artículos en función de las ganancias obtenidas, observaremos una recta inclinada en sentido creciente, lo que indica que la proporción es directa.

Desde el punto de vista gráfico podemos deducir que una proporción es directa si la recta que relaciona a los valores de una proporción es creciente de izquierda a derecha, es decir, si su pendiente es positiva.

¿Cómo resolver problemas de proporcionalidad directa?

Las proporciones, al igual que la regla de tres, se utilizan para resolver problemas de proporcionalidad. Sirven para hallar el cuarto término de una proporción si conocemos tres valores.

– Ejemplo:

1. Si 3 lápices cuestan $ 9, ¿cuántos costarán 9 lápices?

Lo primero que debemos ver en este problema son las magnitudes que intervienen, y en este caso son dos: el número de lápices y el precio. Ambas magnitudes son directamente proporcionales porque a medida que una aumenta también lo hace la otra.

De este problema conocemos 3 cantidades de estas magnitudes y desconoces una cuarta: lo que cuestan 9 lápices.

Resolvemso de la siguiente manera:

Lápices		Precio ($)
3	→	9
9	→	x

Planteamos la proporción, luego despejamos x:

$\frac{3}{9}=\frac{9}{x}\: \: \Leftrightarrow\: \: 3x=9\times 9\: \: \Leftrightarrow \: \: 3x=81\: \: \Leftrightarrow \: \: x=\frac{81}{3}=\boldsymbol{27}$

Por lo tanto, 9 lápices costarán $ 27.

2. Un ciclista recorre 80 kilómetros en 2 horas. Si mantiene siempre la misma velocidad, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 4 horas?

Horas		Kilómetros
2	→	80
4	→	x

Planteamos la proporción, luego despejamos x:

$\frac{2}{4}=\frac{80}{x}\: \: \Leftrightarrow \: \: 2x=4\times 80\: \: \Leftrightarrow \: \: 2x=320\Leftrightarrow \: \: x=\frac{320}{2}=\boldsymbol{160}$

El ciclista recorrerá 160 kilómetros en 4 horas.

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al incrementar el valor de una, el valor de la otra disminuye; o si al disminuir el valor de una, la otra aumenta. El producto entre dos cantidades siempre será la misma y se llama constante de proporcionalidad.

– Ejemplo:

Una empleada fabrica un paquete de cajas en 9 horas, dos empleadas fabrican un paquete en 4 horas y media, tres empleadas fabrican un paquete de cajas en 3 horas, …

Cantidad de empleadas	Horas	Constante de proporcionalidad
1	9	9 × 1 = 9
2	4,5	4, 5 × 2 = 9
3	3	3 × 3 = 9
4	2,25	2,25 × 4 = 9

Observa que al multiplicar el valor de una magnitud entre otra el resultado siempre es el mismo, es decir, es constante. Como una magnitud aumenta a medida que la otra disminuye, esta relación (cantidad de empleadas-horas) es inversamente proporcional.

Ciertas proporciones se dan de manera inversa. En la imagen observamos una gráfica que muestra una recta decreciente, la cual indica que al aumentar la dosis de antibiótico en un paciente, disminuye la concentración de bacterias en su organismo. La pendiente de esta recta sería negativa y su valor absoluto indicaría la constante de proporcionalidad.

¿Cómo resolver problemas de proporcionalidad inversa?

La regla de tres inversa o las mismas proporciones nos ayudan a resolver situaciones problemáticas que involucren magnitudes inversamente proporcionales.

– Ejemplo:

1. Si 10 albañiles pueden realizar una construcción en 30 días, ¿cuánto demorarán en realizar la misma construcción 20 albañiles?

Lo primero que vemos son las magnitudes: el número de albañiles y los días. Estas dos magnitudes son inversamente proporcionales porque a medida que una aumenta la otra disminuye.

Por lo tanto, planteamos las magnitudes conocidas y desconocidas:

Albañiles		Días
10	→	30
20	→	x

A partir de estas relaciones, planteamos la proporción. Como la relación es inversamente proporcional invertimos la segunda razón. Luego despejamos x:

$\frac{10}{20}=\frac{x}{30}\: \: \Leftrightarrow \: \: 30\times 10=20x\: \: \Leftrightarrow \: \: 300=20x\: \: \Leftrightarrow x=\frac{300}{20}=\boldsymbol{15}$

Así que 20 albañiles demorarán 15 días en hacer la misma construcción.

2. En un campo, 12 caballos consumen una determinada cantidad de alimento en 3 días. Si la cantidad de caballos se triplica, ¿para cuántos días alcanza el alimento?

Como 12 × 3 = 36, realizamos la tabla con estos valores:

Caballos		Días
12	→	3
36	→	x

Planteamos la proporción, invertimos la segunda razón y luego despejamos x:

$\frac{12}{36}=\frac{x}{3}\: \: \Leftrightarrow \: \: 3\times 12=36x\: \: \Leftrightarrow \: \: 36=36x\: \: \Leftrightarrow \: \: x=\frac{36}{36}=\boldsymbol{1}$