Las sucesiones son secuencias ordenadas de términos que siguen una determinada regla de recurrencia o patrón. Estas pueden ser aritméticas o geométricas. Las aritméticas tienen una diferencia con el término anterior en una cantidad constante, por ejemplo, 2, 4, 6, 8,… En cambio, en las geométricas cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión, por ejemplo, 2, 4, 8, 16, 32,… Las sucesiones se utilizan en las matemáticas, en entidades financieras, en ciencias naturales, en informática y hasta en el arte.
La espiral de Fibonacci se trata de una espiral áurea que podemos construir a partir de los números contenidos en la sucesión de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13,…
LA RECTA NUMÉRICA
La recta numérica es una representación gráfica unidimensional que nos permite ubicar los números reales (), lo cual resulta de gran utilidad para comparar valores o indicar soluciones de intervalos en las inecuaciones. Se caracteriza por poseer el cero centrado y se considera el origen de la recta; hacia la izquierda se ubican los números negativos y a la derecha los positivos. Entre dos números, será mayor el que esté más a la derecha. Existen métodos para representar con precisión algunos números radicales sobre la recta.
Las reglas graduadas son un ejemplo de rectas numéricas. En estas vemos las divisiones de las unidades enteras que equivalen a las décimas.
PLANO CARTESIANO
Es un sistema de representación bidimensional muy utilizado en matemática y otras áreas para la ubicación de puntos en el plano. Su nombre se debe al filósofo y matemático René Descartes, quien propuso su aplicación en el siglo XVII como una base del sistema de coordenadas rectangulares. Está formado por un eje horizontal denominado eje de las abscisas, que tradicionalmente denotamos con la letra x; y un eje vertical llamado eje de las ordenadas, que por lo general representamos con la letra y. Cada eje se comporta como una recta numérica que se prolonga hasta el infinito.
Por lo general, lo mapas contienen ejes de coordenadas que asemejan el plano cartesiano. Las unión de dos coordenadas dan la ubicación de un punto.
FUNCIONES
Son expresiones matemáticas que indican una relación de correspondencia entre un conjunto de partida y un conjunto de llegada. Para que una relación sea considerada función, debe cumplirse que cada elemento del dominio tenga una sola imagen en el conjunto de llegada. Las funciones pueden ser inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.
Las funciones también se pueden clasificar de acuerdo con los operadores que contienen sus términos y estas pueden ser polinómicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, entre otras.
FUNCIÓN LINEAL
La función lineal es un tipo de funciónpolinómica cuyo mayor grado de exponente es 1. Su representación gráfica es una línea recta que puede ser descrita a partir de la ecuación explícita: y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es su ordenada al origen. Si conocemos la función de la recta podemos graficarla por medio una tabla de valores que cumpla con las soluciones de la función.
Estas gráficas representan dos funciones lineales. Las que no pasan por el origen se llaman funciones afines. Con dos puntos como mínimo se puede construir la recta.
PROPORCIONES
Las proporciones son una medida que relaciona a dos razones mediante una constante. El cociente que resulta de dividir una razón de proporción se conoce como constante de proporcionalidad. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una cantidad, la otra también aumenta; o si al disminuir una cantidad, la otra también disminuye. En cambio, dos magnitudes son inversamente proporcionales si al incrementar el valor de una, el valor de la otra disminuye; o si al disminuir el valor de una, la otra aumenta.
La cantidad de productos que compramos son directamente proporcionales con el precio, ya que a medida que más compramos más dinero pagamos.
La proporción es una medida que utilizamos casi de manera intuitiva para expresar relaciones entre dos magnitudes, tales como la longitud, la masa, el tiempo o las unidades monetarias. El concepto de proporciones está implícito cuando graficamos funciones lineales o al aplicar una regla de tres.
Si para elaborar 10 panes se necesitan 300 g de harina y tú deseas preparar 20 panes, de seguro concluirás en que para duplicar la cantidad de panes, debes duplicar la cantidad de ingredientes, es decir, que utilizarás 600 g de harina. La relaciones (300 g de harina: 10 panes / 600 g de harina: 20 panes) se mantienen constantes, es decir, son proporcionales.
proporción numérica
Las proporciones expresan relaciones entre dos o más razones que se dan de manera constante, es decir, si el cociente entre dos razones (divisiones) diferentes da el mismo resultado, entonces, las dos razones son proporcionales. Supongamos que tenemos dos razones:
Decimos que ambas razones son proporcionales si se cumple que:
– Ejemplo:
, ya que y
Propiedad de las proporciones
En una proporción, siempre se debe cumplir que el producto de los valores medios, debe ser igual al producto de los valores extremos:
Donde:
a y d: valores extremos
b y c: valores medios
En el ejemplo anterior, porque 3 × 28 = 84 y 4 × 21 = 84.
– Otro ejemplo:
Determina si los rectángulos A y B son proporcionales.
Para saber si ambos rectángulos son proporcionales debemos comparar la relación de sus lados, en otras palabras, dividir la base entre la altura (o puede ser también la altura entre la base) de cada rectángulo, y si dicho cociente es el mismo, decimos que los rectángulos A y B son proporcionales.
Rectángulo A: (9,50 ÷ 7,50) = 1,27
Rectángulo B: (4,75 ÷ 3,75) = 1,27
Puesto que ambos rectángulos tienen la misma relación de proporción, concluimos en que sí son proporcionales.
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una cantidad, la otra también aumenta; o si al disminuir una cantidad, la otra también disminuye. La razón entre dos cantidades siempre será la misma y se llama constante de proporcionalidad.
– Ejemplo:
El boleto para entrar al cine cuenta $ 2, 2 boletos cuestan $ 4, 3 boletos cuestan $ 6, …
Cantidad de boletos
Precio ($)
Constante de proporcionalidad
1
2
2/1 = 2
2
4
4/2 = 2
3
6
6/3 = 2
4
8
8/4 = 2
Observa que al dividir el valor de una magnitud entre otra, el resultado siempre es el mismo, es decir, es constante. Como una magnitud aumenta a medida que la otra aumenta, esta relación (cantidad de boletos-precio) es directamente proporcional.
¿Sabías qué?
Una magnitud es cualquier cualidad de un objeto que podemos medir, como la masa, la longitud, el tiempo o el número de alumnos, por ejemplo.
En una empresa se conoce que por cada artículo que se venda se obtiene una ganancia de $ 2/artículo, de manera que si se realiza una gráfica que relacione las ventas de artículos en función de las ganancias obtenidas, observaremos una recta inclinada en sentido creciente, lo que indica que la proporción es directa.
Desde el punto de vista gráfico podemos deducir que una proporción es directa si la recta que relaciona a los valores de una proporción es creciente de izquierda a derecha, es decir, si su pendiente es positiva.
¿Cómo resolver problemas de proporcionalidad directa?
Las proporciones, al igual que la regla de tres, se utilizan para resolver problemas de proporcionalidad. Sirven para hallar el cuarto término de una proporción si conocemos tres valores.
Lo primero que debemos ver en este problema son las magnitudes que intervienen, y en este caso son dos: el número de lápices y el precio. Ambas magnitudes son directamente proporcionales porque a medida que una aumenta también lo hace la otra.
De este problema conocemos 3 cantidades de estas magnitudes y desconoces una cuarta: lo que cuestan 9 lápices.
Resolvemso de la siguiente manera:
Lápices
Precio ($)
3
→
9
9
→
x
Planteamos la proporción, luego despejamos x:
Por lo tanto, 9 lápices costarán $ 27.
2. Un ciclista recorre 80 kilómetros en 2 horas. Si mantiene siempre la misma velocidad, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 4 horas?
Horas
Kilómetros
2
→
80
4
→
x
Planteamos la proporción, luego despejamos x:
El ciclista recorrerá 160 kilómetros en 4 horas.
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al incrementar el valor de una, el valor de la otra disminuye; o si al disminuir el valor de una, la otra aumenta. El producto entre dos cantidades siempre será la misma y se llama constante de proporcionalidad.
– Ejemplo:
Una empleada fabrica un paquete de cajas en 9 horas, dos empleadas fabrican un paquete en 4 horas y media, tres empleadas fabrican un paquete de cajas en 3 horas, …
Cantidad de empleadas
Horas
Constante de proporcionalidad
1
9
9 × 1 = 9
2
4,5
4, 5 × 2 = 9
3
3
3 × 3 = 9
4
2,25
2,25 × 4 = 9
Observa que al multiplicar el valor de una magnitud entre otra el resultado siempre es el mismo, es decir, es constante. Como una magnitud aumenta a medida que la otra disminuye, esta relación (cantidad de empleadas-horas) es inversamente proporcional.
Ciertas proporciones se dan de manera inversa. En la imagen observamos una gráfica que muestra una recta decreciente, la cual indica que al aumentar la dosis de antibiótico en un paciente, disminuye la concentración de bacterias en su organismo. La pendiente de esta recta sería negativa y su valor absoluto indicaría la constante de proporcionalidad.
¿Cómo resolver problemas de proporcionalidad inversa?
La regla de tres inversa o las mismas proporciones nos ayudan a resolver situaciones problemáticas que involucren magnitudes inversamente proporcionales.
– Ejemplo:
1. Si 10 albañiles pueden realizar una construcción en 30 días, ¿cuánto demorarán en realizar la misma construcción 20 albañiles?
Lo primero que vemos son las magnitudes: el número de albañiles y los días. Estas dos magnitudes son inversamente proporcionales porque a medida que una aumenta la otra disminuye.
Por lo tanto, planteamos las magnitudes conocidas y desconocidas:
Albañiles
Días
10
→
30
20
→
x
A partir de estas relaciones, planteamos la proporción. Como la relación es inversamente proporcional invertimos la segunda razón. Luego despejamos x:
Así que 20 albañiles demorarán 15 días en hacer la misma construcción.
2. En un campo, 12 caballos consumen una determinada cantidad de alimento en 3 días. Si la cantidad de caballos se triplica, ¿para cuántos días alcanza el alimento?
Como 12 × 3 = 36, realizamos la tabla con estos valores:
Caballos
Días
12
→
3
36
→
x
Planteamos la proporción, invertimos la segunda razón y luego despejamos x:
Por lo tanto, si se triplica la cantidad de caballo el alimento alcanzará para un día.
¡A practicar!
1. Determina si las siguientes razones son proporcionales:
a)
Solución
Sí, porque 5 × 49 = 245 y 7 × 35 = 245. Entonces,
b)
Solución
No, porque 64 × 9 = 576 y 21 × 8 = 168. Entonces,
c)
Solución
Sí, porque 11 × 52 = 572 y 13 × 44 = 572. Entonces,
2. Los rectángulos A y B son proporcionales, ¿qué altura debe tener X para que el rectángulo A sea proporcional al rectángulo B?
Solución
X debe ser igual a 6 m.
3. Dada la siguiente tabla de valores, determina la constante de proporcionalidad que relaciona los valores:
x
y
Constante
2
3
5
7,5
6
9
8
12
Solución
x
y
Constante
2
3
3 ÷ 2 = 1,5
5
7,5
7,5 ÷ 5 = 1, 5
6
9
9 ÷ 6 = 1,5
8
12
12 ÷ 8 = 1,5
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Proporcionalidad directa e inversa”
En este artículo encontrarás una explicación y ejemplos relacionados con los cálculos de proporcionalidad.
Cuando dos magnitudes se relacionan de manera directamente proporcional pueden representarse como una función de expresión algebraica y = mx + b. Estas funciones pueden identificarse rápidamente por medio de su gráfica, pues en el plano cartesiano siempre estarán representadas con una línea recta ascendente o descendente.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Si conocemos la función matemática que relaciona a dos variables, podemos construir su gráfica, o al menos una aproximación de ella. Para esta tarea solo calculamos, a partir de la función, una serie de puntos que cumplan con la solución. Debemos tener en cuenta que cuantos más puntos utilicemos para graficar una función, mayor precisión obtendremos.
Algunas funciones matemáticas tienen gráficas características en el plano cartesiano, por ejemplo:
Funciones lineales
f(x) = mx + b
Funciones potenciales
f(x) = x2
Funciones exponenciales
f(x) = 2x
Funciones irracionales
f(x) = √x
Funciones racionales
f(x) = 1/x
Funciones trigonométricas
f(x) = sen x
Las funciones lineales se denominan de esta manera ya que su gráfica característica en el plano cartesiano se representa como una recta. Para trazar de forma correcta esta línea, basta con que conozcamos dos puntos en el plano. Por lo general se determinan si calculamos los cortes con los ejes o por medio de la ecuación de la recta.
¿Qué es una función lineal?
Una función lineal es una función cuya gráfica es igual a una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Su expresión algebraica es la siguiente:
f(x) = mx
Donde:
m = constante de proporcionalidad o pendiente de la recta
¿Sabías qué?
Las funciones lineales también son llamadas “funciones de proporcionalidad directa”.
– Ejemplo:
Un tren tiene una velocidad media de 160 km/h. La relación entre la distancia y el tiempo se puede observa en la siguiente tabla:
Tiempo (h) = x
0
1
2
3
4
Distancia (km) = y
0
160
320
480
640
Por medio de esta tabla vemos que las dos magnitudes (tiempo y distancia) son directamente proporcionales porque a medida que una aumenta, la otra también lo hace. Si realizamos una gráfica entre estas dos magnitudes nos resulta una línea recta como esta:
Nota que la recta pasa por el origen (0, 0) y va en aumento, por lo tanto, la recta es continua y creciente. La constante de proporcionalidad es 160, así que la expresión algebraica de esta función es:
f(x) = 160x
Función afín
Una función afín es un tipo de función lineal que no pasa por el origen de coordenadas. Su expresión algebraica es:
f(x) = mx + b
Donde:
m = pendiente de la recta
b = ordenada en el origen: la recta corta al eje de ordenada en el punto (0, n)
– Ejemplo:
Se ha determinado el pago de agua en una casa. Cada recibo indica que por cada metro cúbico de agua consumida se pagan $ 5, mientras que por la distribución y depuración se pagan $ 10. Con estos datos elaboramos la siguiente tabla:
Agua consumida (m3) = x
0
1
2
3
4
Pago ($) = y
10
15
20
25
30
La expresión algebraica de esta función es f(x) = 5x + 10, cuya gráfica se muestra a continuación:
Observa que la línea recta no pasa por el origen, sino que corta en el punto (0, 10).
La función de costo lineal se usa frecuentemente en las operaciones de las pequeñas empresas. El costo es el total de dinero necesario para producir q unidades de un producto. La función se representa con la expresión C(q) que incluye tanto a los costos fijos (independientes) como a los costos variables (dependientes).
ecuación de la recta
La ecuación de la recta es una expresión algebraica que describe una línea recta y relaciona la variación de y con respecto a x, la cual se puede graficar en el plano cartesiano según los componentes en cada uno de los ejes. De manera general la ecuación de una recta se representa así:
y = mx + b
Donde:
y = eje de las ordenadas
x = eje de las abscisas
m = pendiente de la recta
b = punto de intersección de la recta con el eje y
Para determinar la pendiente de la recta usamos la fórmula:
– Ejemplo:
Hallemos la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (−1, 1) y B (1, 7).
Primero identificamos los valores de los ejes. Como ya sabemos, los pares ordenados siempre tienen primero la coordenada del eje x y luego de la coma va la coordenada del eje y; entonces:
En el punto A (−1, 1), x1 = −1 y y1 = 1
En el punto B (1, 7), x2 = 1 y y2 = 7
Ahora solo sustituimos en la fórmula general:
Sabemos que la ecuación de esta recta es y = mx + b porque no pasa por el origen, es decir, representa una función afín. También sabemos que la pendiente (m) es 3, por lo tanto, y = 3x + b; así que faltaría hallar el valor de b.
Para calcula b podemos tomar cualquiera de los puntos A o B. Planteamos la ecuación y luego despejamos.
De este modo sabemos que la recta que pasa por los puntos A y B tiene por ecuación:
y = 3x + 4
Pendiente de la recta y = mx
Para un función lineal f(x) = mx, el coeficiente m se llama pendiente y representa el aumento o disminución de la variable dependiente en relación a la variable independiente.
– Ejemplo:
En la función f(x) = −3x, la pendiente es −3.
En la función f(x) = 5x, la pendiente es 5.
En una gráfica, la pendiente de una recta representa la inclinación de la misma respecto del eje x. La podemos hallar al dividir el valor de la variable dependiente entre el valor de la variable independiente.
– Ejemplo:
Esta gráfica muestra tres líneas rectas que pasan por el origen, así que cada una representa a un función lineal de forma f(x) = mx.
Para saber la pendiente de la recta solo debemos fijarnos en cualquiera de sus puntos y hallar su cociente.
Recta a
Recta b
Recta c
Valor de la pendiente
Si m es positiva, significa que la recta es creciente de izquierda a derecha.
Si m es negativa, significa que la recta es decreciente de izquierda a derecha.
Si m es cero, significa que la recta no posee inclinación respecto al eje horizontal, es decir, se trataría de una recta paralela al eje horizontal.
Una función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, el mayor exponente de x es 1. Para expresar cualquier tipo de recta, pase o no por el origen, se utiliza la ecuación explícita de la recta: y = mx + b. Donde y es la variable dependiente, x es la variable independiente, m es la pendiente y b es la ordenada al origen.
¿cómo Graficar una función lineal?
Dada la ecuación de la recta y = 2x + 3. La pendiente es 2 y el punto de intersección de la recta con el eje y es igual a 3. Para determinar el valor de y es necesario darle valores a x y efectuar la operación correspondiente, de la siguiente manera:
Si x = 1 y = 2(1) + 3 y = 2 + 3 y = 5
Si x = 2 y = 2(2) + 3 y = 4 + 3 y = 7
Si x = 3 y = 2(3) + 3 y = 6 + 3 y = 9
Si x = −1 y = 2(−1) + 3 y = −2 + 3 y = 1
Si x = −2 y = 2(−2) + 3 y = −4 + 3 y = −1
Si x = −3 y = 2(−3) + 3 y = −6 + 3 y = −3
Para obtener una recta bien definida es recomendable utilizar al menos tres puntos. Será de gran ayuda realizar una tabla de valores en la que observes las coordenadas de cada punto como esta:
x
y
Punto
−3
−3
(−3, −3)
−2
−1
(−2, −1)
−1
1
(−1, 1)
1
5
(1, 5)
2
7
(2, 7)
3
9
(3, 9)
Si usamos esta tabla como guía es más sencillo realizar la gráfica de la función.
Nota que la recta se corta en el punto (0, 3), pues b = 3.
¡A practicar!
1. Dadas las siguientes funciones, determina:
a. Pendiente (m)
b. Ordenada al origen (b)
f(x) = 2x − 6
Solución
b = −6
m = 2
f(x) = −x + 4
Solución
b = 4
m = −1
f(x) = 13/5x − 2
Solución
b = −2
m = 13/5
2. Construye una tabla con los siguientes valores de x para cada función.
x = −2, −1, 0, 1, 2, 3
f(x) = −x + 2
Solución
x
y
−2
4
−1
3
0
2
1
1
2
0
3
−1
f(x) = 5x − 3
Solución
x
y
−2
−13
−1
−8
0
−3
1
2
2
7
3
12
f(x) = 3x
Solución
x
y
−2
−6
−1
−3
0
0
1
3
2
6
3
9
f(x) = −2x + 1
Solución
x
y
−2
5
−1
3
0
1
1
−1
2
−3
3
−5
3. Realiza la gráfica de las siguientes funciones:
f(x) = −x + 2
f(x) = −2x + 1
Solución
f(x) = −x + 2
f(x) = −2x + 1
4. Dada la siguiente gráfica, determina:
a. Pendiente de la recta.
b. Ecuación de la recta.
Solución
a. m = −1
b. y = −x + 9
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Función Lineal”
En este artículo podrás encontrar ejercicios relacionados con la construcción de gráficas de funciones lineales a partir de su ecuación explícita, además de problemas de enunciados.
