propiedad conmutativa

La multiplicación es una de las operaciones básicas de matemática y su conocimiento es esencial durante la resolución de problemas. Para realizar multiplicaciones sencillas y complejas es necesario conocer las tablas de multiplicar, las cuales también se emplean en otras operaciones como la división.

Una gran herramienta

La multiplicación es la operación matemática que consiste en determinar el resultado de un número que se haya sumado tantas veces como indique otro. La palabra multiplicación proviene del latín de la palabra multus que significa “mucho” y plico que quiere decir “doblar”. En este sentido, multiplicar es doblar o repetir un número muchas veces.

En símbolo “x” fue utilizado por primera vez como signo de multiplicación en 1631 por el matemático inglés William Oughtred.

La expresión 4 x 2 indica que el 4 se debe sumar a sí mismo 2 veces, es decir, que el resultado de esa operación sería 8 porque 4 + 4 = 8. Ese es el principio de esta operación matemática, sin embargo; existen multiplicaciones un poco más complejas como 9 x 8, 7 x 9, o 6 x 8, que para poder resolverlas hay que realizar sumas muy largas, lo que resultaría tedioso y poco práctico durante los cálculos.

Para hacer cálculos de multiplicaciones se idearon las tablas de multiplicar, que no son más que un atajo para realizar sumas largas de forma rápida. La forma más común de representar las tablas de multiplicación es, como su nombre lo indica, a través de tablas. Normalmente se muestran las tablas del 1 al 10 y cada una de ellas indica las multiplicaciones del número que representan del 1 al 10 o del 0 al 10.

Muchas veces los estudiantes se esmeran en memorizar las tablas y no en aprenderlas, por lo cual al poco tiempo las olvidan. Esto se debe a que no entiende el significado de la multiplicación, de sus propiedades y de sus elementos principales, memorizar las tablas sin ningún aprendizaje significativo es similar a leer una receta de cocina que al poco tiempo se olvida. Los maestros y padres deben trabajar por indagar más sobre la multiplicación, de esta forma sin necesidad de memorizaciones tediosas sin sentido, el estudiante las recordará porque sabe para qué sirven y cómo funcionan.

La matemática no tiene que ser una tortura. Padres y maestros deben trabajar porque el aprendizaje de los niños sea siempre significativo.

Elementos de la multiplicación

En una multiplicación se pueden observar los siguientes elementos:

Factores: son todos aquellos números que se multiplican. Dentro de los factores se encuentra un multiplicando que, como su nombre lo indica, es el número que se multiplica y el multiplicador que es el número que indica el número de veces que se suma el multiplicando por sí mismo.

Producto: es el resultado de la multiplicación de los factores.

Signo: es el símbolo que representa a la operación de la multiplicación, comúnmente se representa con la letra equis (x) pero en algunos casos puede ser expresado con un punto.

En el ejemplo anterior 4 x 2 = 8, los factores son 4 y 2 de los cuales el multiplicando es el 4 y el multiplicador es el 2. Por su parte, el producto en dicha multiplicación es 8.

Los factores también son denominados coeficientes.

Propiedades de la multiplicación

La multiplicación, al igual que las demás operaciones matemáticas básicas, tiene algunas propiedades que cumple. Estas propiedades permiten simplificar la resolución de problemas y también ayudan a entender cómo funciona esta operación.

Esta propiedad establece que al multiplicar varios números, no importa el orden de los factores, el resultado siempre será el mismo.

4 x 2 = 8
2 x 4 = 8

Propiedad asociativa

Cuando se multiplican tres o más factores, pueden multiplicarse los dos primeros y el resultado multiplicarlo por el tercero, o multiplicar los dos últimos y el resultado multiplicarlo por el primero, en todo caso, sin importar cómo se agrupen los factores el resultado siempre será el mismo.

2 x 3 x 1 = (2 x 3) x 1 = 6 x 1 = 6
2 x 3 x 1 = 2 x (3 x 1) = 2 x 3 = 6

Propiedad del elemento neutro

El producto de cualquier número multiplicado por 1 siempre será igual al mismo número.

Ejemplo:

7 x 1 = 7
9 x 1 = 9
2 x 1 = 2

Propiedad distributiva

Al multiplicar un número por una suma o resta se puede resolver primero la suma o resta y el resultado multiplicarlo por el número o se puede multiplicar el número por cada uno de los elementos de la suma o resta y luego sumar o restar según sea el caso. En ambos casos, el resultado siempre es el mismo.

3 x (2 + 4) = 3 x 6 = 18
3 x (2 + 4) = (3 x 2) + (3 x 4) = 6 + 12 = 18

2 x (7 -2) = 2 x 5 = 10

2 x (7 -2) = (2 x 7) – (2 x 2) = 14 – 4 = 10

Las propiedades de la multiplicación son muy útiles para resolver problemas.

Algunos trucos

Después de reconocer los elementos esenciales de la multiplicación y sus propiedades, existen algunos trucos que permiten aprender las tablas con mayor facilidad y se presentan a continuación:

Tabla del 0: aunque no es común ver esta tabla, es importante saber que todos los números multiplicados por 0 dan como resultado el número 0.

Tabla del 1: como se mencionó con anterioridad en la propiedad del elemento neutro, todo número multiplicado por 1 da como resultado al mismo número.

Tabla del 2: en esta tabla el resultado de un número multiplicado por 2 es igual al doble del número.

Tabla del 5: los números de esta tabla terminan en 0 o en 5.

Tabla del 9: esta tabla presenta cierta regularidad en los productos mostrados. La siguiente imagen permite observar cómo las primeras cifras de los productos siguen una secuencia ascendente mientras que las demás cifras siguen una secuencia descendente.

Tabla del 10: en este caso solamente es necesario agregar un 0 al lado del multiplicando.

¿Sabías qué...?

Mientras aprendes las tablas es normal que no recuerdes el resultado de alguna multiplicación, en estos casos puedes recurrir mentalmente a la propiedad conmutativa, es decir, invertir la posición de los factores para saber el resultado.

La matemática está constituida por numerosos tipos de operaciones, sin embargo, existen 4 operaciones básicas que todo individuo debe conocer. Estas operaciones son: la suma, la resta, la multiplicación y la división. A continuación estudiaremos las propiedades de dichas operaciones.

Propiedades de la suma

Propiedad asociativa: en esta propiedad, al sumar tres o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden en el que se agrupan los sumandos.

${\color{Red} \left ( 2+7 \right )}+3={\color{Red} 9}+3=\mathbf{12}$

$2+{\color{Red} \left ( 7+3 \right )}=2+{\color{Red} 10}=\mathbf{12}$

Así que:

$\left ( 2+7 \right )+3=2+\left ( 7+3 \right )=\mathbf{12}$

Propiedad conmutativa: en esta propiedad, al sumar dos o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden de los sumandos, es decir, el orden de los sumandos no altera el resultado.

$5+8=\mathbf{13}$

$8+5=\mathbf{13}$

Así que:

$5+8=8+5=\mathbf{13}$

Elemento neutro: el elemento neutro de la suma es el cero. La suma de cualquier número y cero da como resultado el mismo número.

$9+0=\mathbf{9}$

Propiedades de la resta

Elemento neutro: el elemento neutro de la resta es el cero. La resta de cualquier número y cero da como resultado el mismo número.

$15-0=\mathbf{15}$

Elemento simétrico: restar un número con su opuesto, es decir, un número con el mismo valor, produce como resultado el elemento neutro de la resta 0.

$15-15=\mathbf{0}$

Propiedades de la multiplicación

Propiedad asociativa: al multiplicar tres o más números, el resultado es el mismo sin importar como se agrupen o efectúen los factores.

${\color{Red} (3\times4 )}\times 5={\color{Red} 12}\times 5=\mathbf{60}$

$3\times {\color{Red} (4\times 5)}=3\times {\color{Red} 20}=\mathbf{60}$

Entones:

$(3\times4 )\times5=3\times(4\times5)=\mathbf{60}$

Propiedad conmutativa: al multiplicar dos números, el resultado es el mismo sin importar el orden de los multiplicandos, es decir, el orden de los factores no altera el producto.

$9\times7=\mathbf{63}$

$7\times9=\mathbf{63}$

Entonces:

$9\times7=7\times9=\mathbf{63}$

Elemento neutro: el elemento neutro de la multiplicación es el uno. La multiplicación de cualquier número y uno da como resultado el mismo número.

$18\times1=\mathbf{18}$

Propiedad distributiva: al multiplicar un número por una suma o una resta, se multiplica el número por cada uno de los elementos contenidos en el paréntesis y luego se suma o resta según sea el caso.

$5\times (3{\color{Red} +}4)=(5\times3){\color{Red} +}(5\times4)=15+20=\mathbf{35}$

$6\times(5{\color{Red} -}2)=(6\times5){\color{Red} -}(6\times2)=30-12=\mathbf{18}$

Propiedades de la división

Cuando se dividen dos números naturales o enteros, el resultado no siempre es otro número natural o entero, es decir, la división no es una operación interna de este tipo de números.

$10\div 4=\boldsymbol{\mathbf{}2,5}$

Cuando se intercambian de lugar el divisor con el dividendo no se obtiene el mismo resultado, es decir, la división no es una operación conmutativa.

$10\div 4\neq 4\div 10$

Porque:

$10\div 4=\boldsymbol{\mathbf{}2,5}$

$4\div 10=\mathbf{0,4}$

Como consecuencia de que no existe ningún cociente que multiplicado por cero sea igual al dividendo, no se puede dividir por dicho número.
Una división es exacta si el dividendo es igual al divisor por el cociente, y es entera si el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

→ División exacta