producto – Elbibliote.com

Fracciones equivalentes

Si una pizza la dividimos en dos partes iguales y nos comemos una de las partes y otra pizza la dividimos en cuatro partes iguales, pero nos comemos dos de ellas, en ambas pizzas nos comimos exactamente la misma cantidad, esto es un modelo de lo que se conoce como fracción equivalente, que representan la misma cantidad, aunque tengan numerador y denominador diferente.

¿qué son las fracciones equivalentes?

Las fracciones equivalentes son aquellas fracciones que representan la misma parte de un entero, es decir, representan el mismo número aunque tengan numerador y denominador diferente.

Por ejemplo, tenemos tres pasteles de chocolate iguales, de uno nos comemos medio pastel, de otro nos comemos dos cuartos de pastel y del tercero nos comemos cuatro octavos de pastel. ¿De cuál pastel comimos más cantidad? Veamos.

Como puedes observar comimos la misma cantidad en los tres pasteles, aunque el primero lo representamos como un medio, el segundo como dos cuartos y el tercero como cuatro octavos, los tres representan la misma cantidad, por lo que se consideran fracciones equivalentes.

Entonces, como las fracciones equivalentes son iguales, las representamos de la siguiente forma:

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$

Producto cruzado

Una forma para determinar si una fracción es equivalente es empleando el método del producto cruzado, si los productos del numerador de una y el denominador de la otra son iguales, entonces se puede decir que es una fracción equivalente. Veamos algunos ejemplos:

Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes:

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$

Para ello, multiplicamos el denominador de una por el numerador de la otra de la siguiente forma:

Como ambos resultados son iguales, entonces podemos decir que son fracciones equivalentes.

$\frac{2}{4} = \frac{3}{7}$

Multiplicamos el denominador de una por el numerador de la otra de la siguiente forma:

En este caso los productos son diferentes, por lo tanto las fracciones no son equivalentes.

$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$

Multiplicamos el denominador de una por el numerador de la otra de la siguiente forma:

Como ambos resultados son iguales, entonces podemos decir que son fracciones equivalentes.

Todas las fracciones se pueden representar en forma de gráfica, para ello se emplean figuras geométricas que se dividen en las partes que indique el denominador y se colorean las partes que indica el numerador.

¿Cómo calcular fracciones equivalentes?

Las fracciones equivalentes pueden calcularse por amplificación o simplificación.

Por amplificación:

La amplificación consiste en multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número, que debe ser diferente a cero.

Multiplicamos el numerador y el denominador por 2, por lo tanto 4/6 es una fracción equivalente de 2/3.

Podemos obtener una fracción equivalente al multiplicar esta nueva fracción por 2 o por cualquier otro número diferente a cero, en este caso vamos a multiplicarla por 3.

Multiplicamos el numerador y el denominador por 3 y a partir de allí obtenemos la fracción equivalente 12/18.

También podemos multiplicar la fracción original por cualquier otro número y obtener otra fracción equivalente, en este caso, vamos a multiplicar la fracción original por 5.

Al multiplicar el numerador y el denominador por 5, obtenemos la fracción equivalente 10/5.

Entonces, todas las fracciones obtenidas anteriormente son equivalentes a la fracción original y las podemos representar de la siguiente manera:

¿Sabías qué?

Al representar fracciones equivalentes se debe colocar el signo igual (=) entre ellas para indicar que representan el mismo valor.

Por simplificación:

La simplificación consiste en dividir el numerador y el denominador por el mismo número, que debe ser diferente a cero y debe ser un divisor común del numerador y el denominador.

Dividimos el numerador y el denominador entre 2, por lo tanto 9/15 es una fracción equivalente de 18/30.

Podemos obtener otra fracción equivalente al dividir 9/15 por cualquier otro número diferente a cero, que sea divisor común del numerador y el denominador, en este caso vamos a dividirla entre 3.

Dividimos el numerador y el denominador entre 3, por lo tanto 3/5 es una fracción equivalente de 9/15.

También podemos dividir la fracción original por cualquier otro número y obtener la fracción equivalente, en este caso, vamos a dividir la fracción original por 6.

Dividimos el numerador y el denominador entre 6, por lo tanto 3/5 es una fracción equivalente de 18/30.

Entonces las siguientes fracciones son equivalentes:

¿Sabías qué?

Las fracciones irreducibles son aquellas que ya no pueden simplificarse porque ya no hay ningún divisor común entre en el numerador y el denominador. Por ejemplo 3/5 es una fracción irreducible porque no existe un divisor común entre 3 y 5.

¡A practicar!

Comprueba mediante el producto cruzado si las siguientes fracciones son equivalentes:

2/4 = 4/8
3/6 = 6/9
1/5 = 2/10

2. Calcula tres fracciones equivalentes mediante el método de la amplificación:

3. Calcula las fracciones equivalentes por simplificación hasta que sean irreducibles.

16/36
12/18
20/25

Fotosíntesis y respiración celular

Existe una estrecha relación entre la fotosíntesis y la respiración celular ya que, los productos de un sistema son los reactivos del otro. Ambos consumen y crean las mismas sustancias como agua, glucosa, oxígeno y dióxido de carbono, pero de diferentes maneras. Juntos, permiten que la vida en la Tierra reúna energía para su uso en otras reacciones.

	Fotosíntesis	Respiración celular
Utiliza	Luz solar, agua y dióxido de carbono.	Glucosa y oxígeno.
Producto	Glucosa y oxígeno.	Dióxido de carbono y agua.
Ocurre en:	Plantas y otros organismos fotosintéticos.	Todos los seres vivos.
Propósito	Capturar, convertir y almacenar la energía.	Liberar energía.
Función en común	Sintetizar y usar ATP	Sintetizar y usar ATP
Proceso metabólico	Anabólico	Catabólico
Ubicación	Cloroplasto	Citoplasma y mitocondrias
Fuente de energía	Luz solar	Glucosa
Portadores de electrones	NADPH	NADH y FADH₂
Etapas	Reacciones de luz y ciclo de Calvin.	Glucólisis, oxidación del piruvato, ciclo de Krebs y cadena de transporte de electrones.

Trucos para aprender las tablas de multiplicar

La multiplicación es una de las operaciones básicas de matemática y su conocimiento es esencial durante la resolución de problemas. Para realizar multiplicaciones sencillas y complejas es necesario conocer las tablas de multiplicar, las cuales también se emplean en otras operaciones como la división.

Una gran herramienta

La multiplicación es la operación matemática que consiste en determinar el resultado de un número que se haya sumado tantas veces como indique otro. La palabra multiplicación proviene del latín de la palabra multus que significa “mucho” y plico que quiere decir “doblar”. En este sentido, multiplicar es doblar o repetir un número muchas veces.

En símbolo “x” fue utilizado por primera vez como signo de multiplicación en 1631 por el matemático inglés William Oughtred.

La expresión 4 x 2 indica que el 4 se debe sumar a sí mismo 2 veces, es decir, que el resultado de esa operación sería 8 porque 4 + 4 = 8. Ese es el principio de esta operación matemática, sin embargo; existen multiplicaciones un poco más complejas como 9 x 8, 7 x 9, o 6 x 8, que para poder resolverlas hay que realizar sumas muy largas, lo que resultaría tedioso y poco práctico durante los cálculos.

Para hacer cálculos de multiplicaciones se idearon las tablas de multiplicar, que no son más que un atajo para realizar sumas largas de forma rápida. La forma más común de representar las tablas de multiplicación es, como su nombre lo indica, a través de tablas. Normalmente se muestran las tablas del 1 al 10 y cada una de ellas indica las multiplicaciones del número que representan del 1 al 10 o del 0 al 10.

Muchas veces los estudiantes se esmeran en memorizar las tablas y no en aprenderlas, por lo cual al poco tiempo las olvidan. Esto se debe a que no entiende el significado de la multiplicación, de sus propiedades y de sus elementos principales, memorizar las tablas sin ningún aprendizaje significativo es similar a leer una receta de cocina que al poco tiempo se olvida. Los maestros y padres deben trabajar por indagar más sobre la multiplicación, de esta forma sin necesidad de memorizaciones tediosas sin sentido, el estudiante las recordará porque sabe para qué sirven y cómo funcionan.

La matemática no tiene que ser una tortura. Padres y maestros deben trabajar porque el aprendizaje de los niños sea siempre significativo.

Elementos de la multiplicación

En una multiplicación se pueden observar los siguientes elementos:

Factores: son todos aquellos números que se multiplican. Dentro de los factores se encuentra un multiplicando que, como su nombre lo indica, es el número que se multiplica y el multiplicador que es el número que indica el número de veces que se suma el multiplicando por sí mismo.

Producto: es el resultado de la multiplicación de los factores.

Signo: es el símbolo que representa a la operación de la multiplicación, comúnmente se representa con la letra equis (x) pero en algunos casos puede ser expresado con un punto.

En el ejemplo anterior 4 x 2 = 8, los factores son 4 y 2 de los cuales el multiplicando es el 4 y el multiplicador es el 2. Por su parte, el producto en dicha multiplicación es 8.

Los factores también son denominados coeficientes.

Propiedades de la multiplicación

La multiplicación, al igual que las demás operaciones matemáticas básicas, tiene algunas propiedades que cumple. Estas propiedades permiten simplificar la resolución de problemas y también ayudan a entender cómo funciona esta operación.

Propiedad conmutativa

Esta propiedad establece que al multiplicar varios números, no importa el orden de los factores, el resultado siempre será el mismo.

4 x 2 = 8
2 x 4 = 8

Propiedad asociativa

Cuando se multiplican tres o más factores, pueden multiplicarse los dos primeros y el resultado multiplicarlo por el tercero, o multiplicar los dos últimos y el resultado multiplicarlo por el primero, en todo caso, sin importar cómo se agrupen los factores el resultado siempre será el mismo.

2 x 3 x 1 = (2 x 3) x 1 = 6 x 1 = 6
2 x 3 x 1 = 2 x (3 x 1) = 2 x 3 = 6

Propiedad del elemento neutro

El producto de cualquier número multiplicado por 1 siempre será igual al mismo número.

Ejemplo:

7 x 1 = 7
9 x 1 = 9
2 x 1 = 2

Propiedad distributiva

Al multiplicar un número por una suma o resta se puede resolver primero la suma o resta y el resultado multiplicarlo por el número o se puede multiplicar el número por cada uno de los elementos de la suma o resta y luego sumar o restar según sea el caso. En ambos casos, el resultado siempre es el mismo.

3 x (2 + 4) = 3 x 6 = 18
3 x (2 + 4) = (3 x 2) + (3 x 4) = 6 + 12 = 18

2 x (7 -2) = 2 x 5 = 10

2 x (7 -2) = (2 x 7) – (2 x 2) = 14 – 4 = 10

Las propiedades de la multiplicación son muy útiles para resolver problemas.

Algunos trucos

Después de reconocer los elementos esenciales de la multiplicación y sus propiedades, existen algunos trucos que permiten aprender las tablas con mayor facilidad y se presentan a continuación:

Tabla del 0: aunque no es común ver esta tabla, es importante saber que todos los números multiplicados por 0 dan como resultado el número 0.

Tabla del 1: como se mencionó con anterioridad en la propiedad del elemento neutro, todo número multiplicado por 1 da como resultado al mismo número.

Tabla del 2: en esta tabla el resultado de un número multiplicado por 2 es igual al doble del número.

Tabla del 5: los números de esta tabla terminan en 0 o en 5.

Tabla del 9: esta tabla presenta cierta regularidad en los productos mostrados. La siguiente imagen permite observar cómo las primeras cifras de los productos siguen una secuencia ascendente mientras que las demás cifras siguen una secuencia descendente.

Tabla del 10: en este caso solamente es necesario agregar un 0 al lado del multiplicando.

¿Sabías qué...?

Mientras aprendes las tablas es normal que no recuerdes el resultado de alguna multiplicación, en estos casos puedes recurrir mentalmente a la propiedad conmutativa, es decir, invertir la posición de los factores para saber el resultado.

Operaciones básicas de los números naturales y sus propiedades

La matemática está constituida por numerosos tipos de operaciones, sin embargo, existen 4 operaciones básicas que todo individuo debe conocer. Estas operaciones son: la suma, la resta, la multiplicación y la división. A continuación estudiaremos las propiedades de dichas operaciones.

Propiedades de la suma

Propiedad asociativa: en esta propiedad, al sumar tres o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden en el que se agrupan los sumandos.

${\color{Red} \left ( 2+7 \right )}+3={\color{Red} 9}+3=\mathbf{12}$

$2+{\color{Red} \left ( 7+3 \right )}=2+{\color{Red} 10}=\mathbf{12}$

Así que:

$\left ( 2+7 \right )+3=2+\left ( 7+3 \right )=\mathbf{12}$

Propiedad conmutativa: en esta propiedad, al sumar dos o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden de los sumandos, es decir, el orden de los sumandos no altera el resultado.

$5+8=\mathbf{13}$

$8+5=\mathbf{13}$

Así que:

$5+8=8+5=\mathbf{13}$

Elemento neutro: el elemento neutro de la suma es el cero. La suma de cualquier número y cero da como resultado el mismo número.

$9+0=\mathbf{9}$

Propiedades de la resta

Elemento neutro: el elemento neutro de la resta es el cero. La resta de cualquier número y cero da como resultado el mismo número.

$15-0=\mathbf{15}$

Elemento simétrico: restar un número con su opuesto, es decir, un número con el mismo valor, produce como resultado el elemento neutro de la resta 0.

$15-15=\mathbf{0}$

Propiedades de la multiplicación

Propiedad asociativa: al multiplicar tres o más números, el resultado es el mismo sin importar como se agrupen o efectúen los factores.

${\color{Red} (3\times4 )}\times 5={\color{Red} 12}\times 5=\mathbf{60}$

$3\times {\color{Red} (4\times 5)}=3\times {\color{Red} 20}=\mathbf{60}$

Entones:

$(3\times4 )\times5=3\times(4\times5)=\mathbf{60}$

Propiedad conmutativa: al multiplicar dos números, el resultado es el mismo sin importar el orden de los multiplicandos, es decir, el orden de los factores no altera el producto.

$9\times7=\mathbf{63}$

$7\times9=\mathbf{63}$

Entonces:

$9\times7=7\times9=\mathbf{63}$

Elemento neutro: el elemento neutro de la multiplicación es el uno. La multiplicación de cualquier número y uno da como resultado el mismo número.

$18\times1=\mathbf{18}$

Propiedad distributiva: al multiplicar un número por una suma o una resta, se multiplica el número por cada uno de los elementos contenidos en el paréntesis y luego se suma o resta según sea el caso.

$5\times (3{\color{Red} +}4)=(5\times3){\color{Red} +}(5\times4)=15+20=\mathbf{35}$

$6\times(5{\color{Red} -}2)=(6\times5){\color{Red} -}(6\times2)=30-12=\mathbf{18}$

Propiedades de la división

Cuando se dividen dos números naturales o enteros, el resultado no siempre es otro número natural o entero, es decir, la división no es una operación interna de este tipo de números.

$10\div 4=\boldsymbol{\mathbf{}2,5}$

Cuando se intercambian de lugar el divisor con el dividendo no se obtiene el mismo resultado, es decir, la división no es una operación conmutativa.

$10\div 4\neq 4\div 10$

Porque:

$10\div 4=\boldsymbol{\mathbf{}2,5}$

$4\div 10=\mathbf{0,4}$

Como consecuencia de que no existe ningún cociente que multiplicado por cero sea igual al dividendo, no se puede dividir por dicho número.
Una división es exacta si el dividendo es igual al divisor por el cociente, y es entera si el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

→ División exacta

Donde:

20 = dividendo

4 = divisor

5 = cociente

0 = resto

→ División entera

Donde:

19 = dividendo

5 = divisor

3 = cociente

4 = resto

¡A practicar!

Resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades necesarias:

a) $3\times(6+5)$

b) $7+0$

c) $6\times(3\times2)$

d) $12\div 4$

e) $24\times1$

f) $35-35$

g) $10+15$

h) $(1+2)+3$

i) $8\times(4-2)$

j) $15\div 3$

k) $18\times1$

l) $24-0$

m) $9+(8+5)$

n) $25\div 4$

o) $(8\times1)\times4$

Soluciones

a) 33 | b) 7 | c) 36 | d) 3 | e) 24 | f) 0 | g) 25 | h) 6 | i) 16 | j) 5 | k) 18 | l) 24 | m) 22 | n) 6, resto = 1 | o) 32

Reacción ácido-base

Una reacción-ácido base se puede observar en la vida cotidiana, como es el caso de los antiácidos que son usados para tratar la acidez en algunas personas. Su principio es sencillo, comúnmente son compuestos básicos que sirven para neutralizar la acidez de los jugos gástricos, por esta razón las reacciones ácido-base son conocidas también como reacciones de neutralización.

Conceptos básicos

Reacción química

Proceso en el cual una o varias sustancias (denominadas reactivos o reactantes) sufren una transformación en su estructura molecular y en los enlaces, de manera que originan otras sustancias diferentes o productos.

Ácido

Compuesto químico que al disolverse en agua origina un incremento en la concentración de los iones de hidrógeno.

El fisicoquímico Gilbert N. Lewis, por su parte, lo define de manera más amplia como aquella especie química capaz de aceptar un par de electrones de otra especie.

Los ácidos tienen un sabor es agrio, un ejemplo es el jugo de limón que contiene ácido cítrico, de hecho, la palabra ácido proviene del término latino acidus que significa “ágrio”.

El vinagre es un tipo de ácido usado en la cocina y se denomina ácido acético.

Base

A lo largo de la historia se han realizado numerosos esfuerzos para definir a estos compuestos. Una de las definiciones más recientes es la de Lewis, que lo describe como aquella sustancia capaz de donar un par de electrones.

Las bases son resbalosas al tacto y su sabor es amargo, un ejemplo se observa en el jabón que es un tipo de base.

Reacciones ácido-base

De la misma forma en la que se han planteado diferentes definiciones para los ácidos y para las bases con el paso del tiempo, también han surgido descripciones alternativas para las reacciones de ácido-base. Uno de los primeros en estudiar a este tipo de reacciones fue el químico sueco Svante Arrhenius, quién sostenía que eran reacciones en las que los ácidos formaban cationes de hidrógeno H⁺ (que luego se demostró que no existen de forma aislada sino en la forma de H₃O⁺ o ión hidronio) y las bases formaban aniones OH^–.

Definición según Svante Arrhenius

Es aquella reacción química producida entre un ácido y una base para formar una sal y agua.

Cumple la siguiente forma: Ácido + base-→ sal + agua

Por ejemplo: HCl + NaOH → NaCl +H2O

Aunque la definición de Arrhenius era sencilla, tenía sus limitaciones, por ejemplo se cumplía solamente en una solución acuosa. Por esta razón, los científicos Johannes Nicolaus Brønsted y Thomas Martin Lowry plantearon una definición en función de la capacidad que tienen las bases de aceptar protones y los ácidos de cederlos, desde este punto de vista se consideran tanto al concepto planteado por Arrehnius como a las reacciones de ácido-base en soluciones no acuosas.

El planteamiento Brønsted-Lowry no se limita a un medio acuso pero se enfoca únicamente a los ácidos que contienen hidrógeno.

Definición según Johannes Nicolaus Brønsted y Thomas Martin Lowry

Reacción química en la que se elimina un catión hidrógeno del ácido el cual se adiciona posteriormente a la base.

Como fórmula general se tiene: AH + B → base conjugada + ácido conjugado

Dónde:

AH = ácido B = base

Base conjugada: ión o molécula que resulta del ácido y cede el protón.

Ácido conjugado: ión o molécula resultante de la base que gana el protón.

Por ejemplo: CH3COOH_(ácido) + H2O_(base)→ CH3COO⁻_{(base conjugada)} + H3O⁺_{(ácido conjugado)}

El agua (H2O) es una sustancia anfótera, es decir, puede comportarse como ácido o como base según el caso.

Posteriormente, el fisicoquímico estadounidense Gilbert N. Lewis no se fundamentó ni en la ionización en un medio acuoso planteada por Arrhenius ni en la transferencia de protones de Brønsted-Lowry, sino que por su parte analizó la transferencia de electrones que se produce en las reacciones de ácido-base. En este sentido, se define a la base como el compuesto capaz de donar un par electrónico y al ácido como el compuesto capaz de recibirlo. A través de este planteamiento se pudieron incluir sustancias que anteriormente no se consideraban en las definiciones anteriores.

Todas las sustancias catalogadas como ácidos en el planteamiento Brønsted-Lowry también son ácidos para Lewis ya que aceptan el par electrónico.

Definición según Lewis

Reacción química que se produce como producto de la donación del par electrónico de la base al ácido. El resultado es un enlace covalente entre los dos compuestos.

Tiene por fórmula general: A + :B → A^–—B⁺

Dónde:

A = ácido de Lewis

B = base de Lewis

A-—B+ = compuesto resultante

Por ejemplo: AlCl3 _(ácido) + :NH3 _(base)→ [Al(NH3)Cl3]

Según la definición de Lewis, la molécula de amoníaco cede su par de electrones sobrante al ácido para producir con este un enlace covalente.

El pH

Permite indicar el grado de acidez o basicidad de soluciones acuosas, sus siglas provienen del fránces pouvoir hydrogène que significa “poder del hidrógeno” debido a que mide la concentración de iones de hidrógeno en dichas disoluciones.

Las sustancias con pH menor a 7 se consideran ácidas, por el contrario de las que tienen un pH superior a 7 que son consideradas como alcalinas.