También conocida como la batalla de Yaguachi, fue un combate armado que se libró en la actual provincia ecuatoriana de Guayas, cerca de la zona de Yaguachi, entre las tropas de la División Protectora de Quito y las fuerzas realistas. Este conflicto resultó con la victoria patriota y la independencia definitiva de Guayaquil.
Beligerantes: Gran Colombia, Guayaquil y División Protectora de Quito contra el Imperio español y su Ejército realista
Comandantes: Antonio José de Sucre contra Francisco González
DESARROLLO
El presidente Aymerich diseñó un plan ofensivo con una tropa comandada por el coronel Francisco González, que había viajado desde Quito para terminar definitivamente con la revolución del 9 de octubre de 1820, fecha en la que Guayaquil proclamó su independencia. La idea consistía en enfrentar a ambos bandos el 20 de agosto de 1821.
Melchor de Aymerich y Villajuana (5 de enero de 1754-11 de octubre de 1836) fue un militar español y el último presidente y gobernador español de Quito.
Antonio José de Sucre lideraba las fuerzas independentistas y, al conocer las intenciones del ejército español, envió al general Mires a atacar de forma anticipada a los realista en Yaguachi, el 19 de agosto de 1821. La estrategia militar de Mires obligó al bando enemigo a replegarse, reorganizarse y a retroceder lentamente. La batalla terminó con la derrota de los realistas.
¿Sabías qué?
El coronel González se fugó del lugar del enfrentamiento con unos pocos hombres. En el campo de batalla las bajas realistas superaron por mucho a las patriotas, mientras que las fuerzas españolas perdieron cerca de 400 soldados, los independentistas tuvieron unas 20 víctimas.
El éxito patriota restauró el ánimo libertario, razón por la que se expidió el Decreto de Gratitud y Agradecimiento a la República de Colombia al general Sucre y sus oficiales.
Algunas de las más destacadas actuaciones durante esta contienda fueron llevadas a cabo por personajes como el coronel Cayetano Cestaris, el mayor Morán, Abdón Calderon, Baltazar García y de la Rocha y José Ariza, entre otros.
También llamada Junta Protectora de Quito o Ejército de Guayaquil, fue una tropa militar creada después de la independencia de Guayaquil para lograr la liberación de otros pueblos de la Real Audiencia de Quito. Estuvo comandada por el coronel Luis Urdaneta, con León de Febres Cordero como jefe de Estado Mayor
FORMACIÓN
La independencia de Guayaquil se logró el 9 de octubre del 1820, con este suceso se rompieron los lazos entre la Provincia de Guayaquil y el Imperio español. Después de redactar el acta de independencia, la recién organizada Junta de Gobierno provisional pretendía expandir las intenciones emancipadoras hacia otros poblados cercanos, como Quito y Cuenca. De este modo, en noviembre de 1820, se creó la División Protectora de Quito.
La División Protectora de Quito estaba conformada por los batallones Libertadores, Vengadores, Voluntarios de la Patria y Daule, entre otros, bajo el mando directo del coronel Luis Urdaneta y con el coronel León de Febres Cordero como jefe de Estado Mayor.
Luis Urdaneta Farías (24 de octubre de 1768-27 de agosto de 1831)
León de Febres Cordero y Oberto (28 de junio de 1797-7 de julio de 1872)
TRAYECTORIA
Batalla de Camino Real
Fecha: 9 de noviembre de 1820
Lugar: sector de Camino Real, cerca de Bilován, Ecuador
Resultado: victoria guayaquileña
Primera batalla de Huachi
Fecha: 28 de noviembre de 1820
Lugar: sector de Huachi Grande, a las afueras de Ambato, Ecuador
Resultado: victoria realista
Batalla de Yaguachi
Fecha: 19 de agosto de 1821
Lugar: Cantón de Yaguachi, Provincia del Guayas, Ecuador
Resultado: victoria independentista
Segunda batalla de Huachi
Fecha: 12 de septiembre de 1821
Lugar: Huachi Grande, cerca de Ambato, Ecuador
Resultado: victoria realista
Batalla de Tanizagua
Fecha: 3 de enero de 1821
Lugar: Guaranda, provincia de Bolívar, Ecuador
Resultado: victoria realista
Batalla de Pichincha
Fecha: 24 de mayo de 1822
Lugar: faldas del volcán Pichincha, Quito, Ecuador
Resultado: victoria independentista, toma de Quito
¿Sabías qué?
El 6 de abril de 1821, Antonio José de Sucre llegó a Guayaquil y lideró la División Protectora de Quito para partir a Yaguachi.
El triunfo de la batalla de Camino Real representó no solo el primer gran éxito de Luis Urdaneta y Febres Cordero, sino la esperanza de todas las fuerzas guayaquileñas que deseaban consolidar la emancipación en la región.
FIN DE LA DIVISIÓN
Tras la batalla de Pichincha, Sucre entró a la ciudad de Quito y, meses después, en julio, Guayaquil se incorporó a la Gran Colombia. Bajo este contexto, se ordenó la desintegración de la División Protectora de Quito.
Día a día utilizamos el lenguaje coloquial para describir situaciones a través de las palabras; sin embargo, muchas de estas palabras expresan problemas que pueden ser traducidas al lenguaje matemático: un lenguaje universal formado por números, letras y símbolos especiales que nos permite entender conceptos complejos en términos precisos.
¿QUÉ ES?
Es el conjunto de símbolos, operaciones y reglas que se utilizan para expresar y resolver problemas matemáticos. Este tipo de lenguaje se basa en la lógica y la precisión. Además, puede ser utilizado por cualquier persona, independientemente de su idioma o cultura.
El lenguaje matemático también es conocido como lenguaje simbólico, ya que sirve para expresar ideas, conceptos y operaciones matemáticas mediante uno o más símbolos.
CARACTERÍSTICAS
Se basa en un sistema de símbolos y fórmulas en lugar de palabras para comunicar ideas y conceptos de manera más clara y precisa.
Todos los símbolos se utilizan de forma rigurosa para representar una idea o concepto específico.
Se utiliza en todo el mundo.
Elimina detalles irrelevantes y se enfoca en los conceptos y las relaciones más significativas.
Se basa en la lógica y la deducción para establecer y demostrar una afirmación matemática.
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
Son un componente clave en este tipo de lenguaje. Los símbolos matemáticos nos ayudan a representar conceptos abstractos como números, operaciones, funciones, relaciones, probabilidad, etc. Los símbolos más comunes son los siguientes:
Lenguaje matemático
Lenguaje coloquial
+
Suma/Adición/Aumentar
−
Resta/Sustracción/Diferencia
×
Multiplicación/Producto
÷
División/Cociente
=
Igual
±
Más menos
%
Porcentaje
>
Mayor que
<
Menor que
≥
Mayor o igual qué
≤
Menor o igual qué
∑
Sumatoria
√
Raíz cuadrada
≡
Equivalencia
≠
Desigualdad
π
Pi
∞
Infinito
ƒ
Función
∫
Integral
NOTACIÓN
Es una parte importante del lenguaje matemático, se utiliza para simplificar la representación de conceptos complejos; por ejemplo, la fórmula del teorema de Pitágoras (a2 + b2 = c2) es más fácil de recordar y aplicar que una explicación verbal del mismo.
IMPORTANCIA
Es esencial en áreas como la física, la ingeniería, la economía, la informática, la química y muchas otras disciplinas científicas debido a que las fórmulas y los símbolos matemáticos se utilizan para modelar y resolver problemas complejos en estas áreas.
También es importante en la educación. Los niños aprenden a leer, escribir y hablar en este lenguaje desde una edad temprana, inicialmente manejan los números y la aritmética básica y, a medida que avanzan, usan ecuaciones y fórmulas para resolver problemas más complejos. De igual forma, durante su progreso estudiantil, también aprenden otras áreas de las matemáticas, como la geometría, la trigonometría y el álgebra, las cuales necesitan del lenguaje matemático para ser comprendidas.
El lenguaje matemático es una valiosa herramienta para resolver problemas. Así, por ejemplo, en lugar de escribir “el doble de siete es catorce”, podemos escribir “7 × 2 = 14”.
EVOLUCIÓN
• Edad Antigua: las matemáticas se expresaban en lenguaje verbal y pictórico. Los egipcios utilizaban jeroglíficos para representar números y problemas matemáticos, mientras que los babilonios empleaban tablas para realizar cálculos.
• Grecia Clásica: los matemáticos empezaron a utilizar la notación simbólica para representar las matemáticas de forma más rigurosa; por ejemplo, Euclides utilizó símbolos para los conceptos básicos de geometría, como las líneas, ángulos y triángulos.
• Edad Media: la incorporación de la numeración árabe y la invención del álgebra marcaron un paso importante en la forma en que se representaban las matemáticas.
• Renacimiento: en este período se volvió más formal y preciso. Los matemáticos comenzaron a utilizar símbolos especiales para operaciones matemáticas y a representar las relaciones entre las variables.
• Siglo XVIII: el cálculo y la geometría analítica se desarrollaron como disciplinas principales de las matemáticas. La notación simbólica se hizo más compleja y sofisticada para representar conceptos abstractos y complicados.
• Siglo XIX: la teoría de conjuntos y la lógica matemática se convirtieron en disciplinas importantes. El lenguaje matemático se hizo aún más exacto y formal gracias a la introducción de la notación moderna de conjunto y de la teoría de funciones.
• Siglo XX: la informática y la estadística se expandieron, lo que llevó a la creación de nuevas disciplinas que utilizan un lenguaje simbólico, como la lógica matemática, la teoría de la computación y la estadística matemática. En la actualidad, sigue evolucionando para adaptarse a las nuevas tecnologías y a los avances de la investigación.
Ejemplo
Representemos en lenguaje matemático las siguientes expresiones:
Un número
Un número más cien
El siguiente de un número
El anterior de un número
Siete veces un número
El producto de dos números
La diferencia de dos números
Un número disminuido en cinco unidades
El cubo de un número
La cuarta parte de un número
El cociente entre un número y seis es igual a dos
Un número menos cincuenta es igual treinta
La raíz cuadrada de un número es ocho
¿Sabías qué?
La palabra “cálculo” proviene del latín calcŭlus, que significa “piedra pequeña”. Antes de que los árabes introdujeran los números indo-arábigos, los antiguos romanos usaban piedras pequeñas para contar y hacer cálculos matemáticos. Estos procedimientos se realizaban en un ábaco, que es un instrumento de operaciones aritméticas sencillas que utiliza cuentas para representar números.
El origen de los símbolos
Muchos de los símbolos matemáticos tienen su origen en la palabra o concepto que representan. Por ejemplo, el símbolo “+” proviene del latín plus, que significa “más”; el símbolo “-” proviene del latín minus, que significa “menos”, y el símbolo “=” proviene del latín aequalitas, que significa “igualdad”.
¡A practicar!
1. Escribe en lenguaje matemático las siguientes expresiones.
La historia de la Tierra se divide en grandes períodos que reciben el nombre de eones. Los primeros tres están agrupados en el Precámbrico. En tanto, el cuarto, llamado Fanerozoico, se subdivide en tres eras geológicas. La última de ellas se conoce como Cenozoico, y se extiende desde hace 66 millones de años hasta nuestros días.
LA ERA CENOZOICA
La era cenozoica, también llamada Cenozoico, es la última división de la escala temporal geológica del eón Fanerozoico. Su nombre deriva de las palabras griegas kainos y zoion, que significan “nuevo” y “animal” respectivamente, razón por la que esta era también es conocida como la era de los animales nuevos. Inició hace aproximadamente 66 millones de años y se extiende hasta la actualidad.
Orogenia alpina
Es la etapa de formación de montañas durante el Cenozoico. Se produjo cuando África, India y la placa Cimmeria colisionaron contra Eurasia, lo que dio origen a las principales cadenas montañosas del sur de Europa y Asia.
¿Sabías qué?
Antiguamente, la era cenozoica también era llamada era terciaria.
Era de los mamíferos
La era cenozoica también es conocida como “la era de los mamíferos” puesto que, al extinguirse los dinosaurios, los mamíferos se convirtieron en la fauna característica.
¿Sabías qué?
Durante el Cenozoico, los continentes adquirieron su orientación y posición actuales.
Eones reconocidos por la Unión Internacional de Ciencias Geológicas
Supereón
Eón
Era
Millones de años
–
Fanerozoico
Cenozoico
66
Mesozoico
251 ± 0,4
Paleozoico
542 ± 1,0
PRECÁMBRICO
Proterozoico
2.500
Arcaico
3.800
Hádico
ca. 4.570
¿CÓMO SE DIVIDE LA ERA CENOZOICA?
La era cenozoica se divide en tres períodos, los cuales se subdividen en épocas, y estas a su vez en edades.
Subdivisión de la era cenozoica
Era
Período
Época
Inicio (millones de años)
Cenozoica
Cuaternario
Holoceno
0,0117
Pleistoceno
2,58
Neógeno
Plioceno
5,333
Mioceno
23,03
Paleógeno
Oligoceno
33,9
Eoceno
56,0
Paleoceno
66,0
Período paleógeno
También llamado terciario temprano, fue un período caracterizado por la evolución de los mamíferos pequeños. Se divide en tres épocas llamadas Paleoceno, Eoceno y Oligoceno.
Paleoceno
Duración
Desde hace 66 millones de años hasta 59,2 millones de años.
Subdivisión
Comprende tres edades: Thanetiense, Selandiense y Daniense.
Clima
Fue inicialmente frío y seco, luego, durante el máximo térmico del Paleoceno-Eoceno, las temperaturas se incrementaron hasta alcanzar un clima cálido y húmedo.
Flora
Aparecen los helechos, el cactus y las palmeras. El clima cálido dio paso a la aparición de bosques tropicales y subtropicales. Las angiospermas del Cretácico proliferaron.
Fauna
Se diversificaron los mamíferos y las aves, mientras que los reptiles disminuyeron en cantidad. Abundó la vida marina, la cual era parecida a la fauna moderna.
¿Sabías qué?
El Paleoceno es la época posterior a la extinción masiva del final del Cretácico.
Edades del Paleoceno
Edad
Inicio (millones de años)
Thanetiense
59,2
Selandiense
61,6
Daniense
66,0
Las angiospermas también son llamadas plantas con flores.
Límite K-Pg
El límite Cretácico-Paleógeno es una posición en el tiempo geológico que marcó el final de la era mesozoica y el comienzo de la era cenozoica por medio del impacto de un asteroide que provocó la extinción masiva de los dinosaurios.
Eoceno
Duración
Desde hace 56 millones de años hasta hace 38 millones de años.
Subdivisión
Comprende cuatro edades: Ypresiense, Luteciense, Bartoniense y Priaboniense.
Clima
Las regiones polares eran más cálidas que en la actualidad y el clima tropical era similar al de hoy en día. El clima fue el más homogéneo de la era.
Flora
Se extendieron bosques de polo a polo, crecieron palmeras en Alaska, las Metasequoia se extendieron ampliamente y se impusieron los árboles caducifolios sobre las especies perennes.
Fauna
Por primera vez, las aves prevalecieron sobre otras especies, evolucionaron los mamíferos cetáceos, aparecieron los tiburones duendes y se inició la expansión de las hormigas.
Edades del Eoceno
Edad
Inicio (millones de años)
Priaboniense
38,0
Bartoniense
41,3
Luteciense
47,8
Ypresiense
56,0
Gran ruptura de Stehlin
Fue un suceso de extinción ocurrido entre el límite del Eoceno y el Oligoceno, en el que los más afectados fueron los mamíferos. Un evento similar ocurrió en Asia y se denominó “Remodelado Mongol”.
Yacimientos paleontológicos más destacados del Eoceno
– Wadi Al-Hitan (Egipto)
– Formación Green River (Utah, Estados Unidos)
– Isla Marambio (Península antártica)
– Arcilla de Londres (Inglaterra)
– Sitio fosilífero de Messel (Hesse, Alemania)
¿Sabías qué?
Durante el Eoceno se originaron las montañas de los Alpes, de Irán y del Asia menor y el sureste asiático.
El Himalaya, la cordillera más alta de la Tierra, se originó en el Eoceno.
Cordillera
El subcontinente indio colisionó con Eurasia a principios de la era lo que provocó la creación de la cordillera más alta del mundo: el Himalaya.
Duración
Desde hace 33,9 millones de años hasta hace 28,1 millones de años.
Subdivisión
Comprende dos edades: Rupeliense y Chattiense.
Clima
Se produjo por primera vez la corriente circumpolar Antártica, responsable del enfriamiento y la formación de glaciares en la Antártica que anteriormente estaba cubierto por bosques.
Flora
Se extendieron los pastos y los árboles tanto en América, como en África, Europa y Asia. Los árboles y arbustos más comunes fueron las hayas, pinos, rosas y las leguminosas de las familias del guisante y el frijol.
Fauna
La vida marina fue muy similar a la moderna, así como la fauna terrestre vertebrada. Los mamíferos se diversificaron, principalmente clases como los roedores, cánidos, primates, mastodontes y brontoterios. Las aves también evolucionaron de rápida forma.
Edades del Oligoceno
Edad
Inicio (millones de años)
Chattiense
28,1
Rupeliense
33,9
El género Mesohippus es un género extinto de mamíferos que vivieron en el Oligoceno medio.
¿Sabías qué?
Durante el Oligoceno, Australia se separó por completo de la Antártida y la India se unió con Asia.
El pasaje de Drake, también denominado mar de Drake, se originó durante el Oligoceno. Este paso permitió por primera vez la circulación oceánica completa alrededor de la Antártida.
Volcanes
La subducción de la placa Pacífica bajo la placa Australiana causó el vulcanismo, especialmente en la isla Norte de Nueva Zelanda.
Período neógeno
Este período sigue al Paleógeno y antecede al Cuaternario. Se caracterizó por importantes movimientos tectónicos y la aparición de los homínidos. Se divide en dos épocas llamadas Plioceno y Mioceno.
Mioceno
Duración
Desde hace 23 millones de años hasta hace 7,2 millones de años.
Subdivisión
Comprende seis edades: Aquitaniense, Burdigaliense, Langhiense, Serravaliense, Tortoniense y Messiniense.
Clima
Aumentó la temperatura global y durante la segunda mitad de la época inició el enfriamiento de la Tierra y la creciente aridez del clima. Empezó la formación de las capas de hielo del hemisferio sur.
Flora
Existieron los primeros bosques de laminariales e inició la propagación de la hierba. Asimismo, se expandieron las globigerinas (tipo de plancton) y las diatomeas de agua dulce (tipo de fitoplancton).
Fauna
Los mamíferos y las aves estaban muy bien asentados. Abundaron las especies de mamíferos como el rinoceronte, el camello, el caballo y el gato. Se destaca la aparición de grandes simios que vivieron en África, Asia y el sur de Europa.
Cráneo de Australopithecus: género de un homínido extinto que vivió durante el Mioceno y el Plioceno.
Edades del Mioceno
Edad
Inicio (millones de años)
Messiniense
7,3
Tortoniense
11,6
Serravaliense
13,8
Langhiense
15,9
Burdigaliense
20,4
Aquitaniense
23,1
Megalodón: una animal de grandes dientes
También llamado megalodonte, es una especie extinta de tiburón que vivió desde el inicio del Mioceno hasta el final del Plioceno. Se lo considera uno de los mayores depredadores de la historia y su nombre deriva del griego y significa “diente grande”.
Plioceno
Duración
Desde hace 5,3 millones de años hasta hace 3,6 millones de años.
Subdivisión
Comprende dos edades: Zancliense y Piacenziense.
Clima
Fue estacionario, más fresco y seco, muy parecido al clima moderno. Los océanos se enfriaron y las capas de hielo en la Antártida crecieron hasta que el continente quedó cubierto por glaciares. Se produjo el enfriamiento global o glaciación.
Flora
Todas las especies tropicales se redujeron a nivel mundial, los bosques caducifolios se expandieron y casi todo el norte se vio cubierto de coníferas y tundra. Se limitaron las selvas tropicales al Ecuador.
Fauna
Se propagaron los herbívoros y los predadores. A medida que los cocodrilos y los caimanes se extinguían, evolucionaron los géneros de serpientes venenosas, así como los roedores y las aves. Los primates continuaron su evolución.
¿Sabías qué?
Charles Lyell fue quien propuso el término Plioceno. Este deriva de las palabras griegas pleion y xeno, que significan “continuación de lo reciente”.
Edades del Plioceno
Edad
Inicio (millones de años)
Piacenziense
3,6
Zancliense
5,3
Período cuaternario
Este período sigue al Neógeno y se ha extendido hasta la actualidad. Se ha caracterizado por la aparición del Homo sapiens sobre la Tierra. Se divide en dos épocas llamadas Pleistoceno y Holoceno.
Pleistoceno
Duración
Desde hace 2,5 millones de años hasta hace unos 126.000 años.
Subdivisión
Comprende cuatro edades: Gelasiense, Calabriense, Ioniense o Pleistoceno Medio y Tarantiense o Pleistoceno Superior o Tardío.
Clima
Caracterizado por las glaciaciones. Las temperaturas fluctuaron durante toda la época pero no se elevaron tanto como en otros períodos, se considera una continuación del clima del Plioceno.
Flora
La vida fue diversa a pesar de las glaciaciones. El bioma tundra se desarrolló hacia el hemisferio norte de la Tierra, con abundantes líquenes; también predominaron los árboles de coníferas, musgos y algunos helechos.
Fauna
Un aspecto destacado de la fauna de la época fue la aparición de la megafauna, donde los mamíferos fueron el grupo dominante con la característica particular de que podían resistir las bajas temperaturas del momento.
Edades del Pleistoceno
Edad
Inicio (millones de años)
Tarantiense
0,13
Ioniense
0,78
Calabriense
1,81
Gelasiense
2,59
Megafauna
Se conoce como megafauna al conjunto de animales que vivieron aproximadamente entre 20 y 8 mil años atrás en el período cuaternario, cuya masa en estado adulto superaba la tonelada.
Son períodos en los cuales las temperaturas bajan en forma extraordinaria, disminuyen las lluvias y se crean masas de hielo de gran espesor. El hielo cubre gran parte de la Tierra y genera diversas consecuencias para el planeta, entre ellas, la extinción de algunos animales y plantas.
ÚLTIMO PERÍODO GLACIAL
Glaciaciones en el período Cuaternario
En este período se desarrolló el hombre en la Tierra, que convivió con animales de grandes dimensiones. Los glaciares cubrían una cuarta parte de la superficie terrestre.
El período Cuaternario se divide en:
Pleistoceno
Holoceno
10.000 – Actualidad
Inició al finalizar la última glaciación. Debido a la subida del nivel de los mares surgió el estrecho de Bering, que separó a Alaska de Siberia. Además, se elevaron varios territorios del planeta. El clima ha variado entre períodos de calentamiento y períodos de enfriamiento.
Desarrollo humano: el Paleolítico
El Paleolítico es la fase inicial de la Edad de Piedra. Esta fase de la prehistoria abarca el período más largo de la historia del hombre y corresponde a la época caracterizada por el uso y desarrollo de materiales de piedra tallada. El Paleolítico estuvo marcado por cambios climáticos continuos entre períodos de glaciación y períodos interglaciares.
Duración
Desde hace aproximadamente 11.700 años hasta la actualidad.
Subdivisión
Sin edades.
Clima
Es una época interglaciar, con temperaturas más llevaderas que las épocas anteriores. Durante el Holoceno se produjo un evento climático conocido como “óptimo climático del Holoceno”, caracterizado por un clima cálido.
Flora
La vida vegetal no ha sufrido muchos cambios evolutivos, sin embargo sí se ha propagado significativamente. Las plantas con mayor distribución en la Tierra son las angiospermas. La selva más importante es la amazónica. Resalta el hecho de que la acción humana ha afectado negativamente los bosques y selvas.
Fauna
Múltiples mamíferos del Pleistoceno se extinguieron en el Holoceno, como los mamuts, moas y dodos. Igualmente, la acción humana ha repercutido negativamente en el desarrollo de la vida animal, pues existen en la actualidad diversos animales en peligro de extinción como el orangután, el pato azul, el lince ibérico y el camello salvaje, entre muchos otros.
Edades del Holoceno
Si bien el Holoceno no está dividido en edades que toman en cuenta los fósiles registrados y encontrados, es posible dividir esta época con base en el desarrollo de la humanidad en Edad de Piedra y Edad de los Metales.
¿Sabías qué?
Se han extinguido tantas especies en el Holoceno que se ha llegado a considerar a este proceso de extinción como la sexta gran extinción.
RECURSOS PARA DOCENTES
Micrositio “El Paleolítico”
Este recurso le permitirá comprender la importancia de la expansión geográfica de la humanidad entre las diversas etapas del Paleolítico.
Este artículo describe el Mesolítico, sus fases, características culturales y la importancia de la presencia del hombre en esta parte de la Edad de Piedra.
Este reino incluye a los diferentes tipos de plantas que se encuentran en el planeta Tierra. Cada grupo tiene características especiales y únicas, donde se han incluido alrededor de 260 mil especies. Una de las principales características de este reino es que todos sus miembros poseen clorofila.
Organismos con células eucariotas (que tienen núcleo).
Comienzos
Como ya sabemos, la vida comenzó en el agua, por lo que es probable que las algas fueran las antecesoras de este grupo. En este medio cuentan con características muy particulares: no se desecan, se mantienen con un adecuado sostén y se reproducen fácilmente debido a que el agua sirve como medio para dispersar las esporas.
Multicelulares.
Tienen pared celular.
Tienen un nivel de organización de órganos.
Autótrofos.
Contienen un pigmento llamado clorofila que ayuda a absorber la luz solar. Obtienen su color verde de la clorofila que se encuentra dentro de sus células.
No presentan sistema de locomoción, viven anclados a un sustrato.
Su reproducción puede ser sexual o asexual.
CLASIFICACIÓN DENTRO DEL REINO
El reino vegetal se clasifica en subgrupos: briofitas y cormofitas. Los criterios en los cuales se basa esta clasificación son:
Si las estructuras del cuerpo de la planta presentan diferenciación.
Si presenta sistema vascular para el transporte de sustancias.
Si la planta produce flores y semillas.
Briofitas (Briophyta)
Las plantas de este grupo tienen cuerpos diferenciados como tallos o estructuras foliares, pero carecen de un sistema vascular para el transporte de sustancias. Se encuentran tanto en la tierra como en hábitats acuáticos, por lo que se conocen como anfibios del reino vegetal.
Las briofitas han desarrollado rizoides para anclar y absorber agua junto con sales minerales disueltas.
No tienen semillas y se desarrollan en dos fases: gametofito y esporofito.
Esporofito: está compuesto por filamento y cápsula, en esta última se originan las esporas.
Gametofito: se produce al germinar una espora, pero requiere de la humedad adecuada para ello.
Clasificación de las briofitas
Antoceros: briofitas simples.
Hepáticas: briofitas de aspecto plano.
Musgos: briofitas filiformes.
Cormofitas (Cormophyta)
Son plantas vasculares que tienen raíz, tallo y hojas. En el transcurso del tiempo se adaptaron al medio terrestre. Pueden clasificarse en Pteridophyta y Spermatophyta.
Pteridophyta (sin semillas)
No producen flores.
Se desarrollan en fases independientes, en una de ellas producen esporas y en otra células sexuales.
Tienen estructuras bien diferenciadas, como el tallo, la raíz, las hojas y un sistema vascular.
Generalmente habitan en sitios húmedos y con poca luminosidad.
Los helechos y los equisetos forman parte del grupo de las pteridofitas.
Spermatophyta (con semillas)
Tienen semillas y flores.
Habitan en diversos lugares del planeta.
Se clasifican en gimnospermas y angiospermas, estas últimas a su vez se dividen en monocotiledóneas y dicotiledóneas.
Según su capacidad de formación de semillas, el reino de las plantas se clasificó en criptógamas y fanerógamas. Las criptógamas son plantas que no tienen órganos reproductivos conspicuos o bien desarrollados, como los briófitos y los pteridofitos. Por su parte, las fanerógamas son plantas que tienen órganos reproductivos conspicuos y producen semillas como las gimnospermas y las angiospermas.
Gimnospermas: son plantas que tienen un cuerpo bien diferenciado, un sistema vascular y producen semillas desnudas, es decir, que no están encerradas dentro de una fruta. Los árboles perennes, siempreverdes leñosos pertenecen a este grupo.
Angiospermas: a diferencia de las gimnospermas, las semillas de las angiospermas están encerradas dentro de los frutos. Se conocen comúnmente como plantas con flores. Las semillas germinan de hojas embrionarias llamadas cotiledones; según el número de cotiledones presentes en las semillas, se dividen en dos: monocotiledóneas y dicotiledóneas.
Tienen un solo cotiledón, las piezas florales se disponen en grupos de tres, el tallo no tiene formación de madera secundaria y sus hojas presentan nerviación paralela.
Dicotiledóneas
El embrión tiene dos cotiledones que se transforman en hojas adultas, tienen una raíz principal, raíces secundarias, cuatro o cinco pétalos y la nerviación se presenta en patrones pinnados o palmados.
¿CÓMO CONTRIBUYEN LAS PLANTAS A NUESTRA VIDA?
Las plantas son extremadamente importantes en la vida de las personas en todo el mundo, de ellas dependen la mayor parte de las necesidades humanas básicas como alimentos, ropa, refugio y atención médica.
Combustible
Las plantas ayudan a proporcionar algunas de nuestras necesidades energéticas. En algunas partes del mundo, la madera es el principal combustible utilizado por las personas para cocinar y calentar sus hogares.
Importancia biológica
La fotosíntesis de las plantas proporciona el oxígeno en la atmósfera de nuestro planeta.
Evitan la erosión del suelo.
Reducen el nivel de contaminantes en el aire.
Son la base para muchas cadenas alimenticias en el mundo.
Los bosques ayudan en la formación de lluvias.
Actúan como hábitat de muchos animales.
Utilidad industrial
Las plantas proporcionan la materia prima para muchos tipos de productos farmacéuticos, así como también para tabaco, café y alcohol.
¿Sabías qué?
El Aloe vera es una planta medicinal muy popular que se ha utilizado durante miles de años para el tratamiento de diferentes enfermedades, principalmente las relacionadas con la piel.
La industria de la fibra depende en gran medida de los productos del algodón.
La madera de una amplia variedad de árboles se emplea para la fabricación de un sinfín de productos.
Algunas plantas se utilizan en la fabricación de jabón, gelatina y otros alimentos.
RECURSOS PARA DOCENTES
Video “Reino Plantae”
Video que muestra los dos grandes grupos de plantas. Explica las características principales de cada grupo y parte de su clasificación.
TEORÍA CELULAR Y CARACTERÍSTICAS DE LOS SERES VIVOS
Se consideran seres vivos todos aquellos organismos que están hechos de células, que son las unidades de la vida. Existen dos tipos de células: las procariotas y las eucariotas. La teoría celular describe las células y cómo funcionan. Es considerada uno de los principios básicos de la biología, el crédito de la misma se lo llevan los grandes científicos Theodor Schwann, Matthias Schleiden y Rudolph Virchow, aunque ningún avance se hubiera logrado si no fuera por los trabajos de Robert Hooke. Todas las funciones de los seres vivos dependen de las células: el movimiento, la reproducción, el crecimiento, la sensibilidad, la respiración, la excreción y la nutrición.
Robert Hooke acuño el término “célula” al examinar la estructura porosa del corcho y observar pequeñas celdillas.
LA CÉLULA: UNIDAD ESTRUCTURAL Y FUNCIONAL
La célula puede definirse como la unidad fundamental de los organismos vivos capaz de reproducirse independientemente. Cada célula está contenida dentro de una membrana puntuada con puertas, canales y bombas especiales. Estos dispositivos permiten la entrada o la salida de moléculas seleccionadas mediante dos mecanismos principales: transporte pasivo y transporte activo. Protegido por la membrana se encuentra el citosol, el cual a su vez está compuesto por el citoesqueleto, una red de estructuras proteicas filamentosas. Finalmente, uno de los organelos más importantes de la célula, y el que se encarga de que se cumplan las funciones vitales y de resguardar el ADN, es el núcleo, presente únicamente en las células eucariotas.
En el núcleo de cada célula, la molécula de ADN se empaqueta en estructuras parecidas a hilos llamadas cromosomas.
CÉLULA ANIMAL VS CÉLULA VEGETAL
De los dos tipos de célula que existen, la más desarrollada es la eucariota. Las células eucariotas se pueden clasificar en dos tipos: la célula vegetal y la célula animal. Ambos tipos de célula comparten organelos como la membrana plasmática, el núcleo, el citoplasma, el retículo endoplasmático, el aparato de Golgi, las mitocondrias y las vacuolas. Por otro lado, se diferencian en organelos como los lisosomas, la pared celular, los cloroplastos y los centriolos. La teoría endosimbiótica propone que los cloroplastos fueron una vez células procariotas que vivían dentro de células huéspedes y que quedaron atrapadas dentro de ellas. Por un lado, recibían protección y, por otro lado, ellos proporcionaban nutrientes, y así, con el paso del tiempo, se formaron las células eucariotas.
Una de las diferencias entre la célula animal y la vegetal es que esta última posee una pared celular que le da soporte.
NUTRICIÓN Y RESPIRACIÓN CELULAR
Se conoce como respiración al conjunto de reacciones bioquímicas mediante las cuales la energía es liberada a partir de sustancias alimenticias, como por ejemplo, la glucosa. La respiración celular se lleva a cabo a través de 3 procesos: glucólisis, mediante el cual es extraída la energía de la glucosa; ciclo de Krebs, mecanismo mediante el cual las células vivas descomponen moléculas de combustible orgánico en presencia de oxígeno para recoger la energía que necesitan para crecer y dividirse; y finalmente la cadena transportadora de electrones, la ruta final de la respiración aerobia y la única parte del metabolismo de la glucosa donde se utiliza el oxígeno atmosférico.
El adenosín trifosfato o ATP es una molécula transportadora energía y se encuentra en las células de todos los seres vivos.
FUNCIONES CELULARES DE REPRODUCCIÓN Y RELACIÓN
El mecanismo de reproducción celular más difundido es la mitosis. Es un proceso de división celular mediante el cual una célula se divide y da origen a dos células hijas genéticamente idénticas a ella. Se compone por las siguientes fases: profase, metafase, anafase y telofase. Por otro lado, la meiosis es la forma especializada de división celular que se produce en las células sexuales, por ejemplo: las esporas de plantas, los espermatozoides y los óvulos. Se compone de las siguientes fases: meiosis I y meiosis II, cada una con profase, metafase, anafase y telofase. Además de los procesos de mitosis y meiosis, para que se separen físicamente las células ocurre la citocinesis.
El ciclo celular es un conjunto ordenado de sucesos que pueden producir crecimiento y división en células hijas.
PRODUCCIÓN CELULAR
Las proteínas están presentes en los seres vivos y son las responsables de construir estructurasbiológicas y realizar variadas funciones indispensables para el desarrollo de los organismos. El ADN determina el orden de los aminoácidos en la formación de proteínas. La síntesis de proteínas tiene como finalidad permitir al organismo formar aquellas macromoléculas que se necesitan para llevar a cabo sus funciones. La síntesis de proteínas en las células consta de dos etapas: la transcripción y la traducción. Por un lado, la transcripción es el proceso mediante el cual la información contenida en el ADN es copiada en forma de ARN mensajero (ARNm). En la traducción, el ARNm sale del núcleo y se mueve hacia los ribosomas, donde se produce la síntesis de proteínas.
Los ribosomas son los organelos encargados de fabricar proteínas, pueden encontrarse libres en el citoplasma o unidos al retículo endoplasmático rugoso.
Recibimos de nuestros progenitores un bien fundamental: el material genético. El mecanismo de reproducción celular más difundido es la mitosis, proceso por el cual una célula da origen a 2 células hijas idénticas entre sí e idénticas a la célula que las originó. Este tipo de reproducción se da en células somáticas, sin embargo, para las células sexuales existe otro tipo de reproducción: la meiosis, que sólo sucede en organismos con reproducción sexual.
¿CÓMO SE DESARROLLA EL CICLO CELULAR?
El ciclo celular es un conjunto ordenado de sucesos que pueden producir crecimiento y división en células hijas. La duración del mismo dependerá del tipo celular en cuestión, algunas células lo pueden completar en una hora y otras pueden hacerlo en varios días. También dependerá de algunos factores externos y/o internos, como la presencia o falta de nutrientes y proteínas dentro de la célula, y la temperatura.
¿Sabías qué?
La creación constante de nuevas células permite que nuestro cuerpo se renueve, que exista un balance y que se eviten enfermedades.
Las células en el camino hacia la división celular avanzan a través de una serie de etapas de crecimiento, replicación de ADN y división que producen dos células idénticas o células con carga genética de ambos padres.
Algunas células en división celular se pueden observar fácilmente en el microscopio con ayuda de una tinción.
Interfase
Durante la interfase, la célula experimenta procesos de crecimiento normales mientras se prepara para la división celular. Para que una célula pase de la interfase a la fase mitótica, se deben cumplir muchas condiciones internas y externas. Las tres etapas de la interfase se llaman G1, S y G2.
G1
La primera etapa de la interfase se denomina fase G1 (primer gap) porque, desde un aspecto microscópico, se ven pocos cambios. Sin embargo, durante la etapa G1, la célula es bastante activa a nivel bioquímico. La célula acumula los componentes básicos del ADN cromosómico y las proteínas asociadas, así como también suficientes reservas de energía para completar la tarea de replicar cada cromosoma en el núcleo.
G0
La fase G0 o fase de reposo es un período en el ciclo celular en el que las células existen en un estado inactivo. La fase G0 se ve como una fase G1 extendida, donde la célula no se divide ni se prepara para dividirse, o se ve como una etapa distinta que se produce fuera del ciclo celular. Algunos tipos de células, como las células nerviosas y musculares del corazón, se vuelven inactivas cuando alcanzan la madurez, pero continúan desempeñando sus funciones principales durante el resto de la vida del organismo.
Células en G0
Algunos tipos de células que entran en la fase G0 pueden salir de ese estado inactivo y entrar en la fase G1, mientras que otras células G0 no pueden hacerlo.
S
Es la segunda etapa de la interfase del ciclo en la que se produce la replicación o síntesis del ADN y como resultado el núcleo contiene el doble de proteínas nucleares y de ADN que al principio. Cada cromosoma tendrá dos cromátidas hermanas idénticas unidas por el centrómero. Las células que entran en esta fase del ciclo se dividen inevitablemente.
G2
Es la tercera fase de la interfase del ciclo celular en la que continúa la síntesis de proteínas y ARN. Al final de este período se observan con el microscopio cambios en la estructura celular que indican el principio de la división celular. Termina cuando la cromatina empieza a condensarse al inicio de la división.
Estado M o fase de división celular
Representa la división celular y agrupa a la mitosis y meiosis y citocinesis. Cuando una célula se divide debe transmitir a sus células hijas los requisitos esenciales para la vida, la información hereditaria para dirigir los procesos vitales, y la de los materiales en el citoplasma que necesitan las células hijas para sobrevivir y utilizar dicha información.
MITOSIS
Proceso de división celular mediante el cual una célula se divide y da origen a dos células hijas genéticamente idénticas a ella. En este proceso, el ADN de una célula se divide en dos conjuntos de cromosomas exactamente iguales.
Durante la mitosis, el cuerpo produce nuevas células tanto para el crecimiento como para la reparación de tejidos dañados o envejecidos.
¿Qué células del cuerpo se dividen por mitosis?
Las células somáticas son las únicas que se dividen por mitosis y se definen como aquellas que forman la mayoría del cuerpo de cualquier ser pluricelular, están en los huesos, los órganos, los tejidos e incluso en la sangre. Son diploides, es decir, tienen doble carga cromosómica.
Por ejemplo, si nos caemos de nuestra bicicleta y nos raspamos la rodilla, el cuerpo se encarga de activar el proceso de mitosis para reparar el daño causado en nuestros tejidos. De igual manera, si nuestro hígado necesita crecer porque nosotros hemos crecido, las células hepáticas se dividen mediante la mitosis para así producir mayor cantidad.
Fases de la mitosis
Profase
Metafase
Anafase
Telofase
MEIOSIS
Es la forma especializada de división celular que se produce en las células sexuales, por ejemplo: las esporas de plantas, los espermatozoides y los óvulos.
Durante la meiosis, el ADN de una célula diploide (2n) se somete a un largo proceso de replicación que dará como resultado una célula tetraploide (4n), la cual se someterá posteriormente a dos divisiones celulares sucesivas que darán origen a cuatro células haploides (n) conocidas como gametos.
Estas células haploides luego se fusionan con las células haploides del sexo opuesto durante la reproducción y se genera así una nueva célula diploide o cigoto.
Durante este proceso se produce el entrecruzamiento, que no es más que la mezcla de cromosomas de ambos progenitores. A futuro, el entrecruzamiento produce variabilidad genética, ya que los descendientes no serán simples copias de uno de los padres.
¿Cómo se divide la meiosis?
La meiosis se divide en meiosis I y meiosis II, cada una cuenta con profase, metafase, anafase y telofase, y culmina con la citocinesis.
¿QUÉ ES LA CARIOCINESIS Y CITOCINESIS?
Es el proceso físico de la división celular que divide el citoplasma de una célula parental en dos células hijas. Ocurre simultáneamente con dos tipos de división nuclear llamados mitosis y meiosis, que se dan en las células animales. La mitosis y cada una de las dos divisiones meióticas dan como resultado dos núcleos separados contenidos dentro de una sola célula. La citocinesis realiza un proceso esencial para separar la célula por la mitad y garantizar que un núcleo termine en cada célula hija.
Por otro lado, la cariocinesis es la división celular en la que el material genético es dividido y transferido a las células hijas. Se da tanto en la mitosis como en la meiosis.
RECURSOS PARA DOCENTES
Ver infografía “Ciclo celular”
En esta infografía encontrará todo el proceso del ciclo celular.
En Aritmética la suma o adición significa aumento, pero en Álgebra la suma algebraica es un concepto más general y puede ser una combinación de sumas y restas. Es importante tener esto en cuenta ya que puede prestar a confusión. Existen reglas para resolver los tres casos de suma algebraica con números enteros, conocer estas reglas facilita la resolución de ejercicios y problemas.
Los ábacos no sirven únicamente para sumar y restar, con ellos también se puede multiplicar, dividir y hasta resolver raíces.
SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
Caso 1
Los números pueden ser todos positivos o todos negativos. Pero en ambos casos, la suma de varios números enteros de igual signo da como resultado otro número entero del mismo signo, cuyo valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.
Expresado en símbolos:
EJEMPLO 1: un panadero ganó $ 2.000 el lunes, $ 5.000 el martes y $ 4.000 el miércoles, ¿cuánto obtuvo de ganancia los primeros tres días de la semana?
(+2.000) + (+5.000) + (+4.000) = +11.000
El resultado es positivo, por lo tanto, el panadero obtuvo una ganancia de 11.000.
EJEMPLO 2: una persona gasta en un día $ 600 y al siguiente gasta $ 400, ¿cuánto gastó en esos dos días?
(−600) + (−400) =−600 −400= −1.000
La persona gastó 1.000 pesos.
Caso 2
Cuando los dos números a sumar son enteros y de distinto signo, el resultado es un número entero cuyo valor absoluto es la diferencia entre sus valores absolutos. El signo resultante es el del número de mayor valor absoluto.
Expresado en símbolos:
EJEMPLO 1: un comerciante realizó un negocio en el cual ganó $ 10.000, a la semana siguiente realizó otro negocio en el cual perdió 2.000. ¿Cuál fue el resultado al finalizar ambos negocios?
(+10.000) + (−2.000) = +8.000
El comerciante ganó 8.000 pesos.
EJEMPLO 2: un agricultor perdió $ 300.000 debido a la sequía, al año siguiente ganó $ 70.000. ¿Cuál fue el saldo luego de esos dos años?
(−300.000) + (+70.000) = −230.000
El agricultor perdió $ 230.000.
Caso 3
Cuando se suman varios números enteros de distintos signos el resultado es otro número entero, éste es la suma de los números positivos más la suma de los números negativos.
EJEMPLO: Ramiro salió de su casa por la mañana con $ 90, en el camino a la escuela compró unas galletas que costaron $40. Al llegar a clases un amigo le devolvió $ 220 que él le había prestado, en el recreo compró un bolígrafo por $ 12 y una goma de borrar por $ 4. ¿Cuánto dinero le quedó al volver a su casa?
Al regresar a su casa Ramino tenía $ 254.
ELEMENTO NEUTRO Y ELEMENTO OPUESTO
El elemento neutro en las sumas algebraicas es el cero, esto significa que al sumar o restar cualquier numero entero a este número su resultado no cambia.
El elemento opuesto de un número entero “a” es el número “−a”. Al sumar ambos el resultado es 0.
Notación de la suma de números enteros
Una manera de facilitar la resolución de sumas algebraicas es no incluir los paréntesis y los signos de la operación de sumar. Observar el siguiente ejemplo en donde todos los términos son positivos.
Nótese que los sumandos se escriben uno a continuación del otro, con su correspondiente signo. Se debe tener en cuenta que cuando el primer sumando es positivo, se elimina el signo.
Cuando los términos son negativos se expresa de la siguiente manera:
A continuación, tres ejemplos en donde los términos tienen distinto signo:
Con más de dos términos de distintos signos, el procedimiento es el mismo que cuando intervienen sólo dos, como ocurre en el siguiente ejemplo:
RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
Dados dos números enteros a y b, siendo a el minuendo y b el sustraendo, la diferencia es un número que sumado al sustraendo da como resultado el minuendo.
Ejemplo:
Además de la suma algebraica existen dos operaciones primordiales que se deben conocer, la multiplicación de números enteros y la división.
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de dos números enteros es el número entero cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los números dados. Su signo es positivo o negativo, dependiendo de los números que intervengan en la operación.
El producto de dos números de igual signo es positivo, siendo negativo el producto de dos números de distinto signo, dicha concepto se conoce como la regla de los signos.
Se puede omitir el símbolo de multiplicación, aquí se lo ha colocado para mayor claridad en la explicación.
Multiplicación o producto de varios números enteros
El producto de varios factores se puede efectuar de dos maneras distintas, por ejemplo si se tiene:
(−6) · (+4) · (−1) · (+2) · (−5)
PRIMER MÉTODO
Se multiplican los dos primeros factores, el resultado a su vez por el tercer factor, el nuevo resultado por el cuarto y de ese modo hasta llegar al último.
SEGUNDO MÉTODO
Dado que el producto de dos números negativos es positivo, agrupando de dos en dos los negativos se obtendrían resultados parciales con signos positivos; por lo tanto:
Si el número de factores negativos es par, todos los resultados serán positivos y por lo tanto el producto será positivo. Ejemplo:
Si el número de factores negativos es impar, al asociar los factores negativos por pares siempre quedará uno solo, esto generará que hará que todo el producto sea negativo.
División exacta de números enteros
El cociente exacto de un número entero D (dividendo) por otro d (divisor), es otro número entero c (cociente) que multiplicado por el segundo da como resultado el primero.
dividendo: divisor = cociente si cociente ⋅divisor = dividendo
D ÷ d = c si c · d = D
En el caso de ser una división exacta, el cociente entre dos números enteros es otro número entero cuyo signo está dado por la regla de los signos y cuyo valor absoluto es el cociente exacto de los valores absolutos de los números dados.
EJEMPLOS:
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
Para todos los casos, división exacta(resto 0) o aquella con resto distinto de cero, el algoritmo de la división es el siguiente:
TÉRMINOS CON PARTE NUMÉRICA Y PARTE LITERAL
Estos conceptos también se aplican cuando los términos incluyen parte literal, por ejemplo:
(+9a) + (−2a) + (+3a) = 10a
(−10b) · (−7b) = −3b
En caso de la multiplicación y división, se tiene que tener en cuenta que:
Cuando se multiplican dos términos con parte literal, el resultado es la parte literal elevada a la suma de las potencias de ambas. El coeficiente numérico corresponde al producto de los números que intervienen. Si hay dos letras o más, se realiza el mismo procedimiento para cada una de ellas. Ejemplos:
3a7 · 3a5 = (3 · 3)a7+5 = 9a12
2x4y2 · 3xy6 = (2 · 3)(x4+1) (y2+6) = 6x5y8
Cuando se dividen dos términos con parte literal, el resultado es la parte literal elevada a la resta de las potencias de ambas y el coeficiente numérico se obtiene dividiendo los números que intervengan. En caso de haber más de una letra, se realiza el procedimiento de las potencias por cada una de las letras. Ejemplos:
4b6 ÷ 2b3 = (4 ÷ 2) (b6−3) = 2b3
12x4y8 ÷ 3xy6 = (12 ÷ 3) (x4−1) (y8+6) = 4x3y2
A PRACTICAR LO APRENDIDO
PROBLEMAS
Martina tenía ahorrados $ 650, su abuela le obsequió $ 200. De todo el dinero que tenía usó $ 320 para comprarse unos cuadernos. ¿Cuánto dinero le queda?
Lucas ha trabajado durante tres semanas para comprarse una bicicleta. La primera semana ganó $ 5.000, la segunda semana cobró $ 3.500 y la última semana $ 5.300. Si la bicicleta cuesta $ 7.200. ¿Le sobra o le falta dinero? ¿Cuánto?
OPERACIONES
Efectuar las siguientes sumas:
a) +(−8b) + (−7b) =
b) (−4a) + (−8a) + (−7a) + (−6a) + (+9a) =
c) (+15xy) + (−12xy)=
Hallar los productos (multiplicación):
a) (−1) · (−3) · (−5) · (+10) =
b) (+4) · (−1) · (+5) · (+6) =
c) (−3) · (+4) · (−3) =
Hallar el resultado de las siguientes multiplicaciones:
a) 3a · 4a = b) 10b5 · 5b9 =
c) 6x · 3x3 =
Efectuar las siguientes divisiones:
a) (−30a5) ÷ (+5a) =
b) (+96b2) ÷ (−2b) =
c) (+40xy2) ÷ (−20y) =
RESPUESTAS
PROBLEMAS
1.
a) Le quedan $ 530.
b) Le sobran $ 6.600.
OPERACIONES
1.
a) −15b
b) −16a
c) +3xy (al ser número positivo puede omitirse el signo +3 = 3)
2.
a) −10a
b) +4b
c) 0
3.
a) −150
b) −120
c) +36
4.
a) 12a2 b) 50b14
c) 18x4
5.
a) −6a4
b) −48b
c) −2xy
¿Sabías qué...?
Los números que se utilizan en forma cotidiana, los arábigos, proceden de la India ya que allí fueron inventados. Sin embargo, los comerciantes árabes los divulgaron en Europa durante la Edad Media.
El sistema sexagesimal es un sistema de base 60 que tiene su origen en la antigua Babilonia. En la actualidad se aplica a las medidas del tiempo y a la amplitud de los ángulos.
En la antigüedad, los habitantes de Levante mediterráneo, Mesopotamia y Persia contaban utilizando las tres falanges de los dedos: meñique, anular, medio e índice. Con el dedo pulgar realizaban dicha cuenta, comenzando por el dedo meñique podían llegar a contar hasta 12.
Si se deseaba contar más que 12, se levantaba un dedo de la mano libre cada vez que se completaba el conteo de la docena, de este modo se podía llegar hasta el número 60 (12 x 5).
¿Sabías qué...?
Para simbolizar los minutos se utiliza la abreviatura “min”, ya que la “m” corresponde a metros, unidad de longitud.
Dos dedos levantados: 2 × 12 = 24. La mano abierta indica que se contó hasta la falange que representa al 5.Por lo tanto 24 + 5 = 29.
Esta forma de contar fue fácilmente adoptada en la antigüedad y se mantuvo en el tiempo. Los babilonios dividían a la circunferencia (360) en seis partes iguales, es decir, en 60 (360 ÷ 6 = 60), que además es el mínimo común múltiplo de los seis primeros números naturales.
USOS DEL SISTEMA
El sistema sexagesimal se utiliza para medir tiempos y ángulos. Con respecto al tiempo, sus unidades son horas, minutos y segundos; y a la medición de ángulos le corresponden grados, minutos y segundos.
TIEMPO
ÁNGULOS
horas
minutos
segundos
grados
minutos
segundos
h
min
s
º
′
″
Este sistema es posicional y 60 unidades de un orden forman una unidad. Por tanto, se desprende que al medir tiempos:
60 segundos corresponde a 1 minuto.
60 minutos corresponde a 1 hora.
Del mismo modo cuando se miden ángulos:
60″ equivalen a 1′
60′ equivalen a 1º
Se pueden realizar las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división en sistema sexagesimal tanto para medidas de tiempo como para cálculos con ángulos.
SUMA DE ÁNGULOS
35°40′25′′ + 27°23′10′′ =
Para sumar dos ángulos debemos realizar los cálculos en forma vertical:
35° 40′ 25′′
+ 27° 23′ 10′′
Luego realizamos la suma comenzando de derecha a izquierda: primero los segundos, luego sumamos los minutos y finalmente los grados.
35° 40′ 25′′ + 27° 23′ 10′′
62° 63′ 35′′
Cuando en los segundos o en los minutos los valores sobrepasan al número 59, debemos restar el número 60 tantas veces como sea necesario.
Cuándo el minuendo es menor al sustraendo, se pide “prestado” a los minutos.
En este ejercicio, 1′ se convierte en 60′′.
Se suman 20′′ + 60′′ y el minuendo se convierte en 80′′, así que 80′′ − 30′′ = 50′′.
No se debe olvidar restarle ese minuto “prestado” a los 48′, que quedan en 47′.
MULTIPLICACIÓN DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO
41° 20′ 33′′ × 2 =
Colocamos la multiplicación del siguiente modo:
41° 20′ 33′′ x 2
82° 40′ 66′′
Ya que 66′′ es mayor a 59′′, debemos proceder a restarle 60′′.
Ubicamos el dividendo y el divisor de la siguiente manera:
75° 4′ 36′′ | 3
0° 25°
Primero dividimos los grados. Continuamos con la división de los minutos:
75° 4′ 36′′ | 3
0 1′ 60′′ 25° 1′
Cuando el resto es distinto de cero, se debe realizar la equivalencia correspondiente.
En este caso convertimos 1′ en 60′′. Al realizarlo, ya no tenemos más minutos para dividir y los segundos se modifican. En el ejercicio que estamos realizando nos queda 36′′ + 60′′ = 96′′.
75° 4′ 36′′ | 3
0° 0′ 60′′ 25°1′32′′
96′′
0
En forma análoga se trabaja con unidades de tiempo. Veamos un ejemplo de suma:
5 h 45 min 12 s + 3 h 17 min 9 s=
5 h 45 min 12 s 3 h 17 min 9 s
8 h 62 min 21s + 1 h − 60 min
9 h 2 min 21s
60 minutos es equivalente a 1 h, por lo tanto se restan 60 minutos en la
columna de los minutos, pero no se debe olvidar sumar 1 en la columna de las horas.
Hallar el valor del medio de una proporción continua.
a /x = x /d
De acuerdo con la primera propiedad
En toda proporción continua el medio es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.
Las matemáticas en la música
Los sonidos emitidos por los instrumentos de cuerda tales como violín, guitarra, piano, etc., resultan de la vibración de las cuerdas que dicho instrumento posee.
Ahora bien, la altura de la nota musical dada depende tanto de la longitud de la cuerda con que se emite, como de la tensión que esta última soporta.
El monocordio de Pitágoras
Ya Pitágoras había descubierto a través de la utilización de un monocordio, que: “Si una cuerda y su tensión permanecen inalteradas, pero se varía su longitud, el período de vibración es proporcional a su longitud”. Supongamos que un fabricante de pianos utilizara, siguiendo a Pitágoras, cuerdas de idéntica estructura pero de diferentes longitudes para lograr la gama de frecuencias de que goza dicho instrumento. En un piano, con notas de frecuencia comprendida entre 27 y 4.096, la cuerda de mayor longitud resultaría 150 veces más larga que la de menor longitud.
Las leyes de Mersenne
Obviamente, ello hubiera impedido la construcción del piano de nuestro ejemplo, de no mediar las dos leyes del matemático francés Mersenne. La primera dice que: “Para cuerdas distintas de la misma longitud e igual tensión, el período de vibración es proporcional a la raíz cuadrada del peso de la cuerda”. El mayor peso se consigue, generalmente, arrollándole en espiral un alambre más delgado. Así se evita la excesiva longitud de las cuerdas asignadas a los graves.
La segunda ley expresa: “Cuando una cuerda y su longitud permanecen inalteradas pero se varía la tensión, la frecuencia de la vibración es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión”. Siguiendo esta ley se evita que las cuerdas resulten demasiado cortas en los agudos, aumentando su tensión. La incorporación de marcos de acero a los modernos pianos, ha posibilitado tensar los alambres hasta valores insospechados antiguamente y que rondan las 30 toneladas.
¿Hay proporciones geométricas en un piano?
Desde fines del siglo XVIII existe la escala temperada que divide la octava en 12 semitonos iguales de distancia. Los intervalos entre notas en dicha escala siguen una progresión geométrica de razón 12 2. Así están afinados, por ejemplo, todos los pianos modernos.
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