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Lenguaje matemático

Día a día utilizamos el lenguaje coloquial para describir situaciones a través de las palabras; sin embargo, muchas de estas palabras expresan problemas que pueden ser traducidas al lenguaje matemático: un lenguaje universal formado por números, letras y símbolos especiales que nos permite entender conceptos complejos en términos precisos.

¿QUÉ ES?

Es el conjunto de símbolos, operaciones y reglas que se utilizan para expresar y resolver problemas matemáticos. Este tipo de lenguaje se basa en la lógica y la precisión. Además, puede ser utilizado por cualquier persona, independientemente de su idioma o cultura.

El lenguaje matemático también es conocido como lenguaje simbólico, ya que sirve para expresar ideas, conceptos y operaciones matemáticas mediante uno o más símbolos.

CARACTERÍSTICAS

Se basa en un sistema de símbolos y fórmulas en lugar de palabras para comunicar ideas y conceptos de manera más clara y precisa.
Todos los símbolos se utilizan de forma rigurosa para representar una idea o concepto específico.
Se utiliza en todo el mundo.
Elimina detalles irrelevantes y se enfoca en los conceptos y las relaciones más significativas.
Se basa en la lógica y la deducción para establecer y demostrar una afirmación matemática.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

Son un componente clave en este tipo de lenguaje. Los símbolos matemáticos nos ayudan a representar conceptos abstractos como números, operaciones, funciones, relaciones, probabilidad, etc. Los símbolos más comunes son los siguientes:

Lenguaje matemático	Lenguaje coloquial
+	Suma/Adición/Aumentar
−	Resta/Sustracción/Diferencia
×	Multiplicación/Producto
÷	División/Cociente
=	Igual
±	Más menos
%	Porcentaje
>	Mayor que
<	Menor que
≥	Mayor o igual qué
≤	Menor o igual qué
∑	Sumatoria
√	Raíz cuadrada
≡	Equivalencia
≠	Desigualdad
π	Pi
∞	Infinito
ƒ	Función
∫	Integral

NOTACIÓN

Es una parte importante del lenguaje matemático, se utiliza para simplificar la representación de conceptos complejos; por ejemplo, la fórmula del teorema de Pitágoras (a² + b² = c²) es más fácil de recordar y aplicar que una explicación verbal del mismo.

IMPORTANCIA

Es esencial en áreas como la física, la ingeniería, la economía, la informática, la química y muchas otras disciplinas científicas debido a que las fórmulas y los símbolos matemáticos se utilizan para modelar y resolver problemas complejos en estas áreas.

También es importante en la educación. Los niños aprenden a leer, escribir y hablar en este lenguaje desde una edad temprana, inicialmente manejan los números y la aritmética básica y, a medida que avanzan, usan ecuaciones y fórmulas para resolver problemas más complejos. De igual forma, durante su progreso estudiantil, también aprenden otras áreas de las matemáticas, como la geometría, la trigonometría y el álgebra, las cuales necesitan del lenguaje matemático para ser comprendidas.

El lenguaje matemático es una valiosa herramienta para resolver problemas. Así, por ejemplo, en lugar de escribir “el doble de siete es catorce”, podemos escribir “7 × 2 = 14”.

EVOLUCIÓN

• Edad Antigua: las matemáticas se expresaban en lenguaje verbal y pictórico. Los egipcios utilizaban jeroglíficos para representar números y problemas matemáticos, mientras que los babilonios empleaban tablas para realizar cálculos.

• Grecia Clásica: los matemáticos empezaron a utilizar la notación simbólica para representar las matemáticas de forma más rigurosa; por ejemplo, Euclides utilizó símbolos para los conceptos básicos de geometría, como las líneas, ángulos y triángulos.

• Edad Media: la incorporación de la numeración árabe y la invención del álgebra marcaron un paso importante en la forma en que se representaban las matemáticas.

• Renacimiento: en este período se volvió más formal y preciso. Los matemáticos comenzaron a utilizar símbolos especiales para operaciones matemáticas y a representar las relaciones entre las variables.

• Siglo XVIII: el cálculo y la geometría analítica se desarrollaron como disciplinas principales de las matemáticas. La notación simbólica se hizo más compleja y sofisticada para representar conceptos abstractos y complicados.

• Siglo XIX: la teoría de conjuntos y la lógica matemática se convirtieron en disciplinas importantes. El lenguaje matemático se hizo aún más exacto y formal gracias a la introducción de la notación moderna de conjunto y de la teoría de funciones.

• Siglo XX: la informática y la estadística se expandieron, lo que llevó a la creación de nuevas disciplinas que utilizan un lenguaje simbólico, como la lógica matemática, la teoría de la computación y la estadística matemática. En la actualidad, sigue evolucionando para adaptarse a las nuevas tecnologías y a los avances de la investigación.

Ejemplo

Representemos en lenguaje matemático las siguientes expresiones:

Un número	$x$
Un número más cien	$x+100$
El siguiente de un número	$x+1$
El anterior de un número	$x-1$
Siete veces un número	$7x$
El producto de dos números	$x\times y$
La diferencia de dos números	$x-y$
Un número disminuido en cinco unidades	$x-5$
El cubo de un número	$x^{3}$
La cuarta parte de un número	$\frac{x}{4}$
El cociente entre un número y seis es igual a dos	$\frac{x}{6}=2$
Un número menos cincuenta es igual treinta	$x-50=30$
La raíz cuadrada de un número es ocho	$\sqrt{x}=8$

¿Sabías qué?

La palabra “cálculo” proviene del latín calcŭlus, que significa “piedra pequeña”. Antes de que los árabes introdujeran los números indo-arábigos, los antiguos romanos usaban piedras pequeñas para contar y hacer cálculos matemáticos. Estos procedimientos se realizaban en un ábaco, que es un instrumento de operaciones aritméticas sencillas que utiliza cuentas para representar números.

El origen de los símbolos

Muchos de los símbolos matemáticos tienen su origen en la palabra o concepto que representan. Por ejemplo, el símbolo “+” proviene del latín plus, que significa “más”; el símbolo “-” proviene del latín minus, que significa “menos”, y el símbolo “=” proviene del latín aequalitas, que significa “igualdad”.

¡A practicar!

1. Escribe en lenguaje matemático las siguientes expresiones.

El doble de un número.
El quíntuple de un número.
Un tercio de un número.
La raíz cuadrada de un número.
La raíz cúbica del producto de dos números.
La suma de los cuadrados de dos números.
La mitad de un número más diez.
El doble de un número menos su mitad.

Suma algebraica

En Aritmética la suma o adición significa aumento, pero en Álgebra la suma algebraica es un concepto más general y puede ser una combinación de sumas y restas. Es importante tener esto en cuenta ya que puede prestar a confusión. Existen reglas para resolver los tres casos de suma algebraica con números enteros, conocer estas reglas facilita la resolución de ejercicios y problemas.

Los ábacos no sirven únicamente para sumar y restar, con ellos también se puede multiplicar, dividir y hasta resolver raíces.

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Caso 1

Los números pueden ser todos positivos o todos negativos. Pero en ambos casos, la suma de varios números enteros de igual signo da como resultado otro número entero del mismo signo, cuyo valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.

Expresado en símbolos:

EJEMPLO 1: un panadero ganó $ 2.000 el lunes, $ 5.000 el martes y $ 4.000 el miércoles, ¿cuánto obtuvo de ganancia los primeros tres días de la semana?

(+2.000) + (+5.000) + (+4.000) = +11.000

El resultado es positivo, por lo tanto, el panadero obtuvo una ganancia de 11.000.

EJEMPLO 2: una persona gasta en un día $ 600 y al siguiente gasta $ 400, ¿cuánto gastó en esos dos días?

(−600) + (−400) =−600 −400= −1.000

La persona gastó 1.000 pesos.

Caso 2

Cuando los dos números a sumar son enteros y de distinto signo, el resultado es un número entero cuyo valor absoluto es la diferencia entre sus valores absolutos. El signo resultante es el del número de mayor valor absoluto.

Expresado en símbolos:

EJEMPLO 1: un comerciante realizó un negocio en el cual ganó $ 10.000, a la semana siguiente realizó otro negocio en el cual perdió 2.000. ¿Cuál fue el resultado al finalizar ambos negocios?

(+10.000) + (−2.000) = +8.000

El comerciante ganó 8.000 pesos.

EJEMPLO 2: un agricultor perdió $ 300.000 debido a la sequía, al año siguiente ganó $ 70.000. ¿Cuál fue el saldo luego de esos dos años?

(−300.000) + (+70.000) = −230.000

El agricultor perdió $ 230.000.

Caso 3

Cuando se suman varios números enteros de distintos signos el resultado es otro número entero, éste es la suma de los números positivos más la suma de los números negativos.

EJEMPLO: Ramiro salió de su casa por la mañana con $ 90, en el camino a la escuela compró unas galletas que costaron $40. Al llegar a clases un amigo le devolvió $ 220 que él le había prestado, en el recreo compró un bolígrafo por $ 12 y una goma de borrar por $ 4. ¿Cuánto dinero le quedó al volver a su casa?

Al regresar a su casa Ramino tenía $ 254.

ELEMENTO NEUTRO Y ELEMENTO OPUESTO

El elemento neutro en las sumas algebraicas es el cero, esto significa que al sumar o restar cualquier numero entero a este número su resultado no cambia.

El elemento opuesto de un número entero “a” es el número “−a”. Al sumar ambos el resultado es 0.

Notación de la suma de números enteros

Una manera de facilitar la resolución de sumas algebraicas es no incluir los paréntesis y los signos de la operación de sumar. Observar el siguiente ejemplo en donde todos los términos son positivos.

Nótese que los sumandos se escriben uno a continuación del otro, con su correspondiente signo. Se debe tener en cuenta que cuando el primer sumando es positivo, se elimina el signo.

Cuando los términos son negativos se expresa de la siguiente manera:

A continuación, tres ejemplos en donde los términos tienen distinto signo:

Con más de dos términos de distintos signos, el procedimiento es el mismo que cuando intervienen sólo dos, como ocurre en el siguiente ejemplo:

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Dados dos números enteros a y b, siendo a el minuendo y b el sustraendo, la diferencia es un número que sumado al sustraendo da como resultado el minuendo.

$a - b si c + b = a$

Ejemplo:

$(+ 9) - (+ 3) = + 6 porque (+ 6) + (+ 3) = + 9$

Además de la suma algebraica existen dos operaciones primordiales que se deben conocer, la multiplicación de números enteros y la división.

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de dos números enteros es el número entero cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los números dados. Su signo es positivo o negativo, dependiendo de los números que intervengan en la operación.

El producto de dos números de igual signo es positivo, siendo negativo el producto de dos números de distinto signo, dicha concepto se conoce como la regla de los signos.

Se puede omitir el símbolo de multiplicación, aquí se lo ha colocado para mayor claridad en la explicación.

Multiplicación o producto de varios números enteros

El producto de varios factores se puede efectuar de dos maneras distintas, por ejemplo si se tiene:

(−6) · (+4) · (−1) · (+2) · (−5)

PRIMER MÉTODO

Se multiplican los dos primeros factores, el resultado a su vez por el tercer factor, el nuevo resultado por el cuarto y de ese modo hasta llegar al último.

SEGUNDO MÉTODO

Dado que el producto de dos números negativos es positivo, agrupando de dos en dos los negativos se obtendrían resultados parciales con signos positivos; por lo tanto:

Si el número de factores negativos es par, todos los resultados serán positivos y por lo tanto el producto será positivo. Ejemplo:

$(- 6) \cdot (+ 5) \cdot (- 7) \cdot (+ 9) = (- 6) \cdot (- 7) \cdot (+ 5) \cdot (+ 9) = (+ 42) \cdot (+ 5) \cdot (+ 9) = (+ 210) \cdot (+ 9) = + 1.890$

Si el número de factores negativos es impar, al asociar los factores negativos por pares siempre quedará uno solo, esto generará que hará que todo el producto sea negativo.
$(- 1) \cdot (+ 6) \cdot (- 5) \cdot (- 2) \cdot (+ 8) = (- 1) \cdot (- 5) \cdot (- 2) \cdot (+ 6) \cdot (+ 8) = (+ 5) \cdot (- 2) \cdot (+ 6) \cdot (+ 8) = (- 10) \cdot (+ 6) \cdot (+ 8) = (- 60) \cdot (+ 8) = - 480$

División exacta de números enteros

El cociente exacto de un número entero D (dividendo) por otro d (divisor), es otro número entero c (cociente) que multiplicado por el segundo da como resultado el primero.

dividendo: divisor = cociente si cociente ⋅divisor = dividendo

D ÷ d = c si c · d = D

En el caso de ser una división exacta, el cociente entre dos números enteros es otro número entero cuyo signo está dado por la regla de los signos y cuyo valor absoluto es el cociente exacto de los valores absolutos de los números dados.

EJEMPLOS:

$(+ 8) \div (+ 4) = + 2 (- 9) \div (+ 3) = - 3$

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

Para todos los casos, división exacta(resto 0) o aquella con resto distinto de cero, el algoritmo de la división es el siguiente:

$D = d \cdot c + r$

TÉRMINOS CON PARTE NUMÉRICA Y PARTE LITERAL

Estos conceptos también se aplican cuando los términos incluyen parte literal, por ejemplo:

(+9a) + (−2a) + (+3a) = 10a

(−10b) · (−7b) = −3b

En caso de la multiplicación y división, se tiene que tener en cuenta que:

Cuando se multiplican dos términos con parte literal, el resultado es la parte literal elevada a la suma de las potencias de ambas. El coeficiente numérico corresponde al producto de los números que intervienen. Si hay dos letras o más, se realiza el mismo procedimiento para cada una de ellas. Ejemplos:

3a⁷ · 3a⁵ = (3 · 3)a⁷⁺⁵ = 9a¹²

2x⁴y² · 3xy⁶ = (2 · 3)(x⁴⁺¹) (y²⁺⁶) = 6x⁵y⁸

Cuando se dividen dos términos con parte literal, el resultado es la parte literal elevada a la resta de las potencias de ambas y el coeficiente numérico se obtiene dividiendo los números que intervengan. En caso de haber más de una letra, se realiza el procedimiento de las potencias por cada una de las letras. Ejemplos:

4b⁶ ÷ 2b³ = (4 ÷ 2) (b⁶⁻³) = 2b³

12x⁴y⁸ ÷ 3xy⁶ = (12 ÷ 3) (x⁴⁻¹) (y⁸⁺⁶) = 4x³y²

A PRACTICAR LO APRENDIDO

PROBLEMAS

Martina tenía ahorrados $ 650, su abuela le obsequió $ 200. De todo el dinero que tenía usó $ 320 para comprarse unos cuadernos. ¿Cuánto dinero le queda?
Lucas ha trabajado durante tres semanas para comprarse una bicicleta. La primera semana ganó $ 5.000, la segunda semana cobró $ 3.500 y la última semana $ 5.300. Si la bicicleta cuesta $ 7.200. ¿Le sobra o le falta dinero? ¿Cuánto?

OPERACIONES

Efectuar las siguientes sumas:
a) +(−8b) + (−7b) =
b) (−4a) + (−8a) + (−7a) + (−6a) + (+9a) =
c) (+15xy) + (−12xy)=
Efectuar las siguientes restas:
a)(−4a) − (+6a) =
b)(−3b) − (−7b) =
c)(−a) − (−a) =
Hallar los productos (multiplicación):
a) (−1) · (−3) · (−5) · (+10) =
b) (+4) · (−1) · (+5) · (+6) =
c) (−3) · (+4) · (−3) =
Hallar el resultado de las siguientes multiplicaciones:
a) 3a · 4a =b) 10b⁵ · 5b⁹ =
c) 6x · 3x³ =
Efectuar las siguientes divisiones:
a) (−30a⁵) ÷ (+5a) =
b) (+96b²) ÷ (−2b) =
c) (+40xy²) ÷ (−20y) =

RESPUESTAS

PROBLEMAS

1.
a) Le quedan $ 530.
b) Le sobran $ 6.600.

OPERACIONES

1.
a) −15b
b) −16a
c) +3xy (al ser número positivo puede omitirse el signo +3 = 3)

2.
a) −10a
b) +4b
c) 0

3.
a) −150
b) −120
c) +36

4.
a) 12a²b) 50b¹⁴
c) 18x⁴

5.
a) −6a⁴
b) −48b
c) −2xy

¿Sabías qué...?

Los números que se utilizan en forma cotidiana, los arábigos, proceden de la India ya que allí fueron inventados. Sin embargo, los comerciantes árabes los divulgaron en Europa durante la Edad Media.

Operaciones en el sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal es un sistema de base 60 que tiene su origen en la antigua Babilonia. En la actualidad se aplica a las medidas del tiempo y a la amplitud de los ángulos.

En la antigüedad, los habitantes de Levante mediterráneo, Mesopotamia y Persia contaban utilizando las tres falanges de los dedos: meñique, anular, medio e índice. Con el dedo pulgar realizaban dicha cuenta, comenzando por el dedo meñique podían llegar a contar hasta 12.

Si se deseaba contar más que 12, se levantaba un dedo de la mano libre cada vez que se completaba el conteo de la docena, de este modo se podía llegar hasta el número 60 (12 x 5).

¿Sabías qué...?

Para simbolizar los minutos se utiliza la abreviatura “min”, ya que la “m” corresponde a metros, unidad de longitud.

Dos dedos levantados: 2 × 12 = 24. La mano abierta indica que se contó hasta la falange que representa al 5.Por lo tanto 24 + 5 = 29.

Esta forma de contar fue fácilmente adoptada en la antigüedad y se mantuvo en el tiempo. Los babilonios dividían a la circunferencia (360) en seis partes iguales, es decir, en 60 (360 ÷ 6 = 60), que además es el mínimo común múltiplo de los seis primeros números naturales.

USOS DEL SISTEMA

El sistema sexagesimal se utiliza para medir tiempos y ángulos. Con respecto al tiempo, sus unidades son horas, minutos y segundos; y a la medición de ángulos le corresponden grados, minutos y segundos.

TIEMPO			ÁNGULOS
horas	minutos	segundos	grados	minutos	segundos
h	min	s	º	′	″

Este sistema es posicional y 60 unidades de un orden forman una unidad. Por tanto, se desprende que al medir tiempos:
60 segundos corresponde a 1 minuto.
60 minutos corresponde a 1 hora.

Del mismo modo cuando se miden ángulos:
60″ equivalen a 1′
60′ equivalen a 1º

Se pueden realizar las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división en sistema sexagesimal tanto para medidas de tiempo como para cálculos con ángulos.

SUMA DE ÁNGULOS

35°40′25′′ + 27°23′10′′ =

Para sumar dos ángulos debemos realizar los cálculos en forma vertical:

35° 40′ 25′′
+ 27° 23′ 10′′

Luego realizamos la suma comenzando de derecha a izquierda: primero los segundos, luego sumamos los minutos y finalmente los grados.

35° 40′ 25′′
+ 27° 23′ 10′′
62° 63′ 35′′

Cuando en los segundos o en los minutos los valores sobrepasan al número 59, debemos restar el número 60 tantas veces como sea necesario.

35° 40′ 25′′
+ 27° 23′ 10′′
62° 63′ 35′′
+ 1°− 60′
63° 3′ 35′′

Siempre que se restan 60′, se debe sumar 10; esto es
debido a la equivalencia correspondiente.

Con este procedimiento obtuvimos el resultado:

35° 40′ 25′′ + 27° 23′ 10′′ = 63° 3′ 35′′

RESTA DE ÁNGULOS

125° 48′ 20′′ − 80° 15′ 30′′ =

Del mismo modo que en la suma, colocamos los ángulos encolumnando grados, minutos y segundos.

47′ 80′′
125° 48’ 20′′
− 80° 15′ 30′′
45° 32′ 50′′

Respondemos:
125° 47′ 80′′ − 80°15′30′′ = 45° 32′ 50′′

Cuándo el minuendo es menor al sustraendo, se pide “prestado” a los minutos.

En este ejercicio, 1′ se convierte en 60′′.
Se suman 20′′ + 60′′ y el minuendo se convierte en 80′′, así que 80′′ − 30′′ = 50′′.
No se debe olvidar restarle ese minuto “prestado” a los 48′, que quedan en 47′.

MULTIPLICACIÓN DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO

41° 20′ 33′′ × 2 =

Colocamos la multiplicación del siguiente modo:

41° 20′ 33′′
x 2
82° 40′ 66′′

Ya que 66′′ es mayor a 59′′, debemos proceder a restarle 60′′.

41° 20′ 33′′
x 2
82° 40′ 66′′
+1′ − 60′′
82° 41′ 6′′

Escribimos la respuesta solicitada:

41° 20′ 33′′ × 2 = 82° 41′ 6′′

DIVISIÓN DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO

75° 1′ 36′′ : 3 =

Ubicamos el dividendo y el divisor de la siguiente manera:

75° 4′ 36′′ | 3
0° 25°

Primero dividimos los grados. Continuamos con la división de los minutos:

75° 4′ 36′′ | 3
0 1′ 60′′ 25° 1′

Cuando el resto es distinto de cero, se debe realizar la equivalencia correspondiente.

En este caso convertimos 1′ en 60′′. Al realizarlo, ya no tenemos más minutos para dividir y los segundos se modifican. En el ejercicio que estamos realizando nos queda 36′′ + 60′′ = 96′′.

75° 4′ 36′′ | 3
0° 0′ 60′′ 25°1′32′′
96′′
0

En forma análoga se trabaja con unidades de tiempo. Veamos un ejemplo de suma:

5 h 45 min 12 s + 3 h 17 min 9 s=

5 h 45 min 12 s
3 h 17 min 9 s
8 h 62 min 21s
+ 1 h − 60 min
9 h 2 min 21s

60 minutos es equivalente a 1 h, por lo tanto se restan 60 minutos en la
columna de los minutos, pero no se debe olvidar sumar 1 en la columna de las horas.

Trucos para aprender las tablas de multiplicar

La multiplicación es una de las operaciones básicas de matemática y su conocimiento es esencial durante la resolución de problemas. Para realizar multiplicaciones sencillas y complejas es necesario conocer las tablas de multiplicar, las cuales también se emplean en otras operaciones como la división.

Una gran herramienta

La multiplicación es la operación matemática que consiste en determinar el resultado de un número que se haya sumado tantas veces como indique otro. La palabra multiplicación proviene del latín de la palabra multus que significa “mucho” y plico que quiere decir “doblar”. En este sentido, multiplicar es doblar o repetir un número muchas veces.

En símbolo “x” fue utilizado por primera vez como signo de multiplicación en 1631 por el matemático inglés William Oughtred.

La expresión 4 x 2 indica que el 4 se debe sumar a sí mismo 2 veces, es decir, que el resultado de esa operación sería 8 porque 4 + 4 = 8. Ese es el principio de esta operación matemática, sin embargo; existen multiplicaciones un poco más complejas como 9 x 8, 7 x 9, o 6 x 8, que para poder resolverlas hay que realizar sumas muy largas, lo que resultaría tedioso y poco práctico durante los cálculos.

Para hacer cálculos de multiplicaciones se idearon las tablas de multiplicar, que no son más que un atajo para realizar sumas largas de forma rápida. La forma más común de representar las tablas de multiplicación es, como su nombre lo indica, a través de tablas. Normalmente se muestran las tablas del 1 al 10 y cada una de ellas indica las multiplicaciones del número que representan del 1 al 10 o del 0 al 10.

Muchas veces los estudiantes se esmeran en memorizar las tablas y no en aprenderlas, por lo cual al poco tiempo las olvidan. Esto se debe a que no entiende el significado de la multiplicación, de sus propiedades y de sus elementos principales, memorizar las tablas sin ningún aprendizaje significativo es similar a leer una receta de cocina que al poco tiempo se olvida. Los maestros y padres deben trabajar por indagar más sobre la multiplicación, de esta forma sin necesidad de memorizaciones tediosas sin sentido, el estudiante las recordará porque sabe para qué sirven y cómo funcionan.

La matemática no tiene que ser una tortura. Padres y maestros deben trabajar porque el aprendizaje de los niños sea siempre significativo.

Elementos de la multiplicación

En una multiplicación se pueden observar los siguientes elementos:

Factores: son todos aquellos números que se multiplican. Dentro de los factores se encuentra un multiplicando que, como su nombre lo indica, es el número que se multiplica y el multiplicador que es el número que indica el número de veces que se suma el multiplicando por sí mismo.

Producto: es el resultado de la multiplicación de los factores.

Signo: es el símbolo que representa a la operación de la multiplicación, comúnmente se representa con la letra equis (x) pero en algunos casos puede ser expresado con un punto.

En el ejemplo anterior 4 x 2 = 8, los factores son 4 y 2 de los cuales el multiplicando es el 4 y el multiplicador es el 2. Por su parte, el producto en dicha multiplicación es 8.

Los factores también son denominados coeficientes.

Propiedades de la multiplicación

La multiplicación, al igual que las demás operaciones matemáticas básicas, tiene algunas propiedades que cumple. Estas propiedades permiten simplificar la resolución de problemas y también ayudan a entender cómo funciona esta operación.

Propiedad conmutativa

Esta propiedad establece que al multiplicar varios números, no importa el orden de los factores, el resultado siempre será el mismo.

4 x 2 = 8
2 x 4 = 8

Propiedad asociativa

Cuando se multiplican tres o más factores, pueden multiplicarse los dos primeros y el resultado multiplicarlo por el tercero, o multiplicar los dos últimos y el resultado multiplicarlo por el primero, en todo caso, sin importar cómo se agrupen los factores el resultado siempre será el mismo.

2 x 3 x 1 = (2 x 3) x 1 = 6 x 1 = 6
2 x 3 x 1 = 2 x (3 x 1) = 2 x 3 = 6

Propiedad del elemento neutro

El producto de cualquier número multiplicado por 1 siempre será igual al mismo número.

Ejemplo:

7 x 1 = 7
9 x 1 = 9
2 x 1 = 2

Propiedad distributiva

Al multiplicar un número por una suma o resta se puede resolver primero la suma o resta y el resultado multiplicarlo por el número o se puede multiplicar el número por cada uno de los elementos de la suma o resta y luego sumar o restar según sea el caso. En ambos casos, el resultado siempre es el mismo.

3 x (2 + 4) = 3 x 6 = 18
3 x (2 + 4) = (3 x 2) + (3 x 4) = 6 + 12 = 18

2 x (7 -2) = 2 x 5 = 10

2 x (7 -2) = (2 x 7) – (2 x 2) = 14 – 4 = 10

Las propiedades de la multiplicación son muy útiles para resolver problemas.

Algunos trucos

Después de reconocer los elementos esenciales de la multiplicación y sus propiedades, existen algunos trucos que permiten aprender las tablas con mayor facilidad y se presentan a continuación:

Tabla del 0: aunque no es común ver esta tabla, es importante saber que todos los números multiplicados por 0 dan como resultado el número 0.

Tabla del 1: como se mencionó con anterioridad en la propiedad del elemento neutro, todo número multiplicado por 1 da como resultado al mismo número.

Tabla del 2: en esta tabla el resultado de un número multiplicado por 2 es igual al doble del número.

Tabla del 5: los números de esta tabla terminan en 0 o en 5.

Tabla del 9: esta tabla presenta cierta regularidad en los productos mostrados. La siguiente imagen permite observar cómo las primeras cifras de los productos siguen una secuencia ascendente mientras que las demás cifras siguen una secuencia descendente.

Tabla del 10: en este caso solamente es necesario agregar un 0 al lado del multiplicando.

¿Sabías qué...?

Mientras aprendes las tablas es normal que no recuerdes el resultado de alguna multiplicación, en estos casos puedes recurrir mentalmente a la propiedad conmutativa, es decir, invertir la posición de los factores para saber el resultado.

Cálculo de los valores de una proporción matemática

Hallar el valor de un extremo.

1) a/b = c/x

Según la primera propiedad

a · x = b · c

por lo que se tiene que:

O sea, en toda proporción un extremo es igual al producto de los medios divididos por el otro extremo.

Ejemplo

Hallar el valor de un extremo en una proporción continua.

1) ^a / _b = ^b / _x

Según la primera propiedad

a · x = b · b

se pasa a al otro miembro

; o bien:

2) En toda proporción continua un extremo es igual al cuadrado del medio proporcional dividido por el otro extremo.

Ejemplo

Hallar el valor del medio de una proporción.

1) ^a / _x = ^c / _d

De acuerdo con la primera propiedad

a · d = c · x

y el factor c pasa al otro miembro

3) En toda proporción un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio.

Ejemplo

Hallar el valor del medio de una proporción continua.

^a / _x = ^x / _d

De acuerdo con la primera propiedad

En toda proporción continua el medio es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Las matemáticas en la música

Los sonidos emitidos por los instrumentos de cuerda tales como violín, guitarra, piano, etc., resultan de la vibración de las cuerdas que dicho instrumento posee.

Ahora bien, la altura de la nota musical dada depende tanto de la longitud de la cuerda con que se emite, como de la tensión que esta última soporta.

El monocordio de Pitágoras

Ya Pitágoras había descubierto a través de la utilización de un monocordio, que: “Si una cuerda y su tensión permanecen inalteradas, pero se varía su longitud, el período de vibración es proporcional a su longitud”. Supongamos que un fabricante de pianos utilizara, siguiendo a Pitágoras, cuerdas de idéntica estructura pero de diferentes longitudes para lograr la gama de frecuencias de que goza dicho instrumento. En un piano, con notas de frecuencia comprendida entre 27 y 4.096, la cuerda de mayor longitud resultaría 150 veces más larga que la de menor longitud.

Las leyes de Mersenne

Obviamente, ello hubiera impedido la construcción del piano de nuestro ejemplo, de no mediar las dos leyes del matemático francés Mersenne. La primera dice que: “Para cuerdas distintas de la misma longitud e igual tensión, el período de vibración es proporcional a la raíz cuadrada del peso de la cuerda”. El mayor peso se consigue, generalmente, arrollándole en espiral un alambre más delgado. Así se evita la excesiva longitud de las cuerdas asignadas a los graves.

La segunda ley expresa: “Cuando una cuerda y su longitud permanecen inalteradas pero se varía la tensión, la frecuencia de la vibración es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión”. Siguiendo esta ley se evita que las cuerdas resulten demasiado cortas en los agudos, aumentando su tensión. La incorporación de marcos de acero a los modernos pianos, ha posibilitado tensar los alambres hasta valores insospechados antiguamente y que rondan las 30 toneladas.

¿Hay proporciones geométricas en un piano?

Desde fines del siglo XVIII existe la escala temperada que divide la octava en 12 semitonos iguales de distancia. Los intervalos entre notas en dicha escala siguen una progresión geométrica de razón 12 2. Así están afinados, por ejemplo, todos los pianos modernos.

Operaciones básicas de los números naturales y sus propiedades

La matemática está constituida por numerosos tipos de operaciones, sin embargo, existen 4 operaciones básicas que todo individuo debe conocer. Estas operaciones son: la suma, la resta, la multiplicación y la división. A continuación estudiaremos las propiedades de dichas operaciones.

Propiedades de la suma

Propiedad asociativa: en esta propiedad, al sumar tres o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden en el que se agrupan los sumandos.

${\color{Red} \left ( 2+7 \right )}+3={\color{Red} 9}+3=\mathbf{12}$

$2+{\color{Red} \left ( 7+3 \right )}=2+{\color{Red} 10}=\mathbf{12}$

Así que:

$\left ( 2+7 \right )+3=2+\left ( 7+3 \right )=\mathbf{12}$

Propiedad conmutativa: en esta propiedad, al sumar dos o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden de los sumandos, es decir, el orden de los sumandos no altera el resultado.

$5+8=\mathbf{13}$

$8+5=\mathbf{13}$

Así que:

$5+8=8+5=\mathbf{13}$

Elemento neutro: el elemento neutro de la suma es el cero. La suma de cualquier número y cero da como resultado el mismo número.

$9+0=\mathbf{9}$

Propiedades de la resta

Elemento neutro: el elemento neutro de la resta es el cero. La resta de cualquier número y cero da como resultado el mismo número.

$15-0=\mathbf{15}$

Elemento simétrico: restar un número con su opuesto, es decir, un número con el mismo valor, produce como resultado el elemento neutro de la resta 0.

$15-15=\mathbf{0}$

Propiedades de la multiplicación

Propiedad asociativa: al multiplicar tres o más números, el resultado es el mismo sin importar como se agrupen o efectúen los factores.

${\color{Red} (3\times4 )}\times 5={\color{Red} 12}\times 5=\mathbf{60}$

$3\times {\color{Red} (4\times 5)}=3\times {\color{Red} 20}=\mathbf{60}$

Entones:

$(3\times4 )\times5=3\times(4\times5)=\mathbf{60}$

Propiedad conmutativa: al multiplicar dos números, el resultado es el mismo sin importar el orden de los multiplicandos, es decir, el orden de los factores no altera el producto.

$9\times7=\mathbf{63}$

$7\times9=\mathbf{63}$

Entonces:

$9\times7=7\times9=\mathbf{63}$

Elemento neutro: el elemento neutro de la multiplicación es el uno. La multiplicación de cualquier número y uno da como resultado el mismo número.

$18\times1=\mathbf{18}$

Propiedad distributiva: al multiplicar un número por una suma o una resta, se multiplica el número por cada uno de los elementos contenidos en el paréntesis y luego se suma o resta según sea el caso.

$5\times (3{\color{Red} +}4)=(5\times3){\color{Red} +}(5\times4)=15+20=\mathbf{35}$

$6\times(5{\color{Red} -}2)=(6\times5){\color{Red} -}(6\times2)=30-12=\mathbf{18}$

Propiedades de la división

Cuando se dividen dos números naturales o enteros, el resultado no siempre es otro número natural o entero, es decir, la división no es una operación interna de este tipo de números.

$10\div 4=\boldsymbol{\mathbf{}2,5}$

Cuando se intercambian de lugar el divisor con el dividendo no se obtiene el mismo resultado, es decir, la división no es una operación conmutativa.

$10\div 4\neq 4\div 10$

Porque:

$10\div 4=\boldsymbol{\mathbf{}2,5}$

$4\div 10=\mathbf{0,4}$

Como consecuencia de que no existe ningún cociente que multiplicado por cero sea igual al dividendo, no se puede dividir por dicho número.
Una división es exacta si el dividendo es igual al divisor por el cociente, y es entera si el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

→ División exacta

Donde:

20 = dividendo

4 = divisor

5 = cociente

0 = resto

→ División entera

Donde:

19 = dividendo

5 = divisor

3 = cociente

4 = resto

¡A practicar!

Resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades necesarias:

a) $3\times(6+5)$

b) $7+0$

c) $6\times(3\times2)$

d) $12\div 4$

e) $24\times1$

f) $35-35$

g) $10+15$

h) $(1+2)+3$

i) $8\times(4-2)$

j) $15\div 3$

k) $18\times1$

l) $24-0$

m) $9+(8+5)$

n) $25\div 4$

o) $(8\times1)\times4$

Soluciones

a) 33 | b) 7 | c) 36 | d) 3 | e) 24 | f) 0 | g) 25 | h) 6 | i) 16 | j) 5 | k) 18 | l) 24 | m) 22 | n) 6, resto = 1 | o) 32

Microsoft Excel

El cálculo matemático ha sido una de las disciplinas ante las cuales el hombre ha sentido la necesidad de abastecerse de tecnologías que facilitasen su resolución y, ya desde la antigüedad, instrumentos como el ábaco han ido restando complejidad al acto de “hacer cuentas”, elemento crucial en la conformación de las sociedades modernas. A partir del siglo XXI, un software que ha ayudado mucho al hombre y sus cálculos matemáticos es Microsoft Excel, del cual hablaremos en este artículo.

Hojas de cálculo

Las hojas de cálculo, al permitir una serie de relaciones lógicas entre cifras según las cuales la disminución o aumento de un valor provoca la variación automática de otros valores a él subordinados, es el paso decisivo en favor de la simplificación de la matemática contable. A través de un lenguaje simple que permite la fácil introducción de fórmulas y funciones, programas como Microsoft Excel convierten la tarea de llevar al día la contabilidad de un negocio o bien el recuento de un stock en un verdadero juego de niños.

La interfaz de Excel

Una hoja de cálculo de Microsoft Excel está formada por una o más cuadrículas de extensión agrupadas en un libro, de modo que puedan englobarse distintas tablas referentes a un mismo asunto en un solo archivo.

Cada hoja de nuestro libro es accesible a través de las pestañas situadas en la parte inferior izquierda de la pantalla, justo encima de la barra de estado. Podemos nombrar las distintas hojas o bien añadir hojas nuevas mediante la pulsación del botón derecho del ratón sobre una de las pestañas existentes, que despliega un sencillo menú contextual.

Determinada la estructura de hojas de nuestro libro, podemos proceder al rellenado de la cuadrícula de cada una de las mismas. Pulsando sobre una casilla cualquiera podemos teclear un valor numérico o bien una cadena de texto. A continuación, y al igual que ocurría con Word, con la barra de formato podemos moldear esta información.

Introducción de funciones en una hoja de cálculo

La verdadera utilidad de una hoja de cálculo no radica en la posibilidad de plasmar en formato tabla una serie de datos y cifras, sino en la capacidad del programa de hacer cálculos que relacionen estas cifras y de que estas fórmulas se muestren sensibles a la modificación de los valores de los que parten. Esto se consigue gracias a la introducción de funciones, accesible a través de la opción “Función…” del menú Insertar o bien por medio del icono de función de la barra estándar. Estos parámetros dan paso a un cuadro de diálogo en el que se pide al usuario que escoja qué tipo de cálculo desea realizar entre un extenso inventario de operaciones matemáticas. Una vez decidido, un segundo cuadro nos permite introducir que tipo de intervalo de celdas van a estar envueltas en la operación matemática, dándonos también la posibilidad de marcar por medio del ratón de qué celdas de la cuadrícula se trata.

Las fórmulas pueden introducirse asimismo de forma manual en los campos en los que deben figurar sus resultados, tecleando en los mismos la fórmula a realizar precedida por el símbolo igual (por ejemplo, para sumar los valores de las celdas A4 y A5 y que el resultado figure en la celda A6, deberíamos teclear en esta última celda = A4 + A5).

Las bases de datos

A lo largo de nuestra vida, por motivos diferentes y casi sin darnos cuenta trabajamos con montones de bases de datos, desde colecciones de discos o listines telefónicos a inventarios de calificaciones académicas o listas de elementos relacionadas con casi cualquier ámbito laboral; es común la necesidad de tener ordenados, según distintos criterios, e interconectados entre sí una serie de datos. Los programas de gestión de bases de datos, con Microsoft Access como claro estándar, permiten precisamente la correcta gestión de los datos de esta naturaleza.

Estructura de una base de datos

La fuente principal a partir de la cual se vertebra una base de datos, como se extrae de lo que acabamos de decir, es una o varias relaciones entre elementos, o lo que es lo mismo, uno o varios listados que vinculen dos o más datos.

Una tabla en la que se encuentren los nombres de nuestros amigos, la dirección y el teléfono de cada uno de ellos constituye el esqueleto de una base de datos, por ejemplo.

Por todo ello, el requisito principal para la constitución de una base de datos, y por tanto su elemento indispensable, es la tabla.

Una vez introducidas en el programa una o más tablas (de forma manual o bien importando una tabla desde otro programa de la suite de Office), podemos modificar los criterios de ordenación de sus campos y la cantidad de los mismos que deseamos que aparezcan en pantalla creando una consulta. Esta función es también útil para conectar entre sí dos o más tablas con algún dato en común.

Establecidas estas relaciones y determinados los órdenes por los que se regirá la información, podemos conseguir vistosas presentaciones para impresora, o bien crear páginas intuitivas para la introducción de nuevos registros o modificación de los registros existentes por medio de los denominados formularios.

Estas cuatro categorías, junto con las macros y los módulos (que sirven, respectivamente, para englobar una serie de procedimientos avanzados en una única acción y para la incorporación a la base de instrucciones en lenguaje Visual Basic) constituyen los medios que permitirán obtener el mayor rendimiento de una base de datos.