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Función lineal. Ejercicios y problemas

Cuando se tienen dos puntos distintos, por ellos pasa una recta, la misma está comprendida por un número infinito de puntos colineales y tiene una dirección determinada. Se suele trabajar sobre el plano cartesiano x,y para realizar las representaciones de las funciones lineales. 

 

función lineal

La fórmula de una función lineal es:

f(x)=mx+b

m y b son números reales, “x” es la variable independiente e “y” la variable dependiente.

m: Es la pendiente de la recta, la misma indica su inclinación. La pendiente da información sobre si la función es creciente o decreciente, en el primer caso m es positiva, en el segundo m es negativa.

b: es la ordenada al origen. Esto quiere decir que b representa el punto de corte en el eje y.

Ordenada al origen

Para hallar la ordenada al origen se reemplaza a la x por 0 y se obtiene:
f(0)=m.0 +b
f(0)=b

Raíz

La raíz de una función lineal se calcula igualando a 0 y despejando x:

mx+b=0

x=-b/m

Ejemplo:

Dada la función f(x)=(1/2)x+3 hallar su ordenada al origen y su raíz. Indicar el valor de la pendiente.

Se tiene que la pendiente es ½ y la ordenada al origen es 3.

m=1/2
b=3

Para calcular la raíz se iguala la función a cero:

0=(1/2)x+3
-3=(1/2)x
x=-6

Con estos dos datos se puede graficar la función lineal:

Obsérvese que los punto de corte son:

  • El valor 3 en el eje y, dato que corresponde a la ordenada al origen.
  • El valor -6 en el eje x, que corresponde a la raíz de la función.

A partir de esos dos puntos se puede trazar la recta.

La pendiente se puede expresar como:

m=Δy/Δx

Gráficamente esto significa lo siguiente:

m=Δy/Δx=3/-6

La recta se encuentra a tres unidades desde el origen, por lo tanto Δy=3.

Δx= -6 porque esa es la posición de la recta sobre el eje x.

Simplificando se obtiene:

m=-1/2

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La tarifa de un taxi es de $33,50 por bajada de bandera y $1,80 por cada cuadra recorrida.

a) Hallar la función lineal que representa la situación.
b) ¿Cuánto se debe pagar si se han recorrido 200 cuadras?
c) Si la tarifa final es $5.433,50 ¿Cuántos kilómetros se recorrieron?

Resolución

a) Para hallar la función lineal que se ajusta a esta situación se debe establacer cuáles son las variables.

x : cantidad de cuadras recorridas (variable independiente)
y : tarifa a pagar (variable dependiente)

El valor fijo es “b”, en este caso corresponde a la bajada de bandera:

b = 33,50

Con ésta información se puede escribir la fórmula:

f(x)=1,80x+33,50

b) Se sustituye en la fórmula anteriormente hallada, el dato dado:
f(200)=1,80⋅200+33,50
f(200)=393,50

Respuesta: el valor a pagar por 200 cuadras es $393,50.

c) La tarifa final está representada por la variable “y”, al reemplazar queda:

5.433,50 = 1,80x +33,50

Luego se despeja x:

5.433,50-33,50 = 1,80x
5.400 = 1,80x
5.400:1,80=x
x=3.000

Se han recorrido 3.000 cuadras. Para obtener la equivalencia entre cuadras y kilómetros se realizan algunas operaciones matemáticas.

Si se considera que la medida de una cuadra es de 100 metros, entonces:

3.000 cuadras ⋅ 100 metros /cuadra =30.0000 metros
Dado que cada 1.000 m se tiene 1 km, la respuesta en kilómetros sería:

1000 m ———1 km
30.0000 m ——300 km

Respuesta: se recorrieron 300 km.

A PRACTICAR lO APRENDIDO

  1. Hallar analíticamente la ordenada al origen y la raíz de las siguientes funciones:
    a) f(x) =-2x+5
    b) f(x) = (3/4)x -1
  2. Graficar las funciones del ejercicio anterior.

Resolver las siguientes situaciones problemáticas:

3. Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra $250 por la visita, más $500 por cada hora de trabajo.
a) Escribir la ecuación de la recta que permite calcular el valor total a pagar en función del tiempo trabajado.
b) ¿Cuánto se debería pagar si el técnico trabaja tres horas?

4. Un taller de sillas tiene un alquiler de $5.000 mensuales (costo fijo). Sabiendo que el costo por fabricar cada silla    es de $100, determinar:
a) El costo mensual cuando se fabrican x sillas.
b) El costo de 200 sillas.

RESPUESTAS

1.
a) ordenada al origen = 5, raíz=5/2 ó 2,5
b) ordenada al origen = -1, raíz= 4/3

2.
a) 

b) 

3.
a) f(x) = 500x+250
b) $1750

4.
a) f(x)=100x+5.000
b) $ 25.000

¿Sabías qué...?
Las medidas de serpientes hembras de la especie lampropeltis polizona se pueden calcular mediante una función lineal: longitud total = 7,4 . longitud de la cola + 11. 

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Aplicaciones de la función lineal

Las funciones matemáticas pueden tener variadas aplicaciones: en economía, ciencias, problemas cotidianos, entre otros. La función lineal en particular se utiliza cuando intervienen dos magnitudes cuya proporcionalidad es directa.

Las funciones lineales se representan mediante una recta.

Las funciones lineales también son denominadas funciones de proporcionalidad directa, se representan gráficamente mediante rectas que permiten observar la relación entre una variable y la otra.

Proporcionalidad directa

Para identificar si dos magnitudes son directamente proporcionales se deben tener en cuenta dos condiciones:

  • Si una magnitud aumenta, la otra también lo hace. Asimismo si una magnitud disminuye de igual modo la otra.
  • El cociente entre las dos magnitudes es siempre el mismo y se denomina constante de proporcionalidad (m).

Ejemplo:

En una fotocopiadora el precio por cada fotocopia es de 0,50 centavos. ¿Cuál es el precio de 16 fotocopias?

Veamos que se cumplan las dos condiciones antedichas:

  • A más fotocopias, más dinero se deberá abonar.

Para calcular el dinero a abonar por 16 fotocopias, se puede utilizar la siguiente proporción:

De donde se obtiene:

Por lo tanto, 16 fotocopias costarán $8.

Cumpliéndose que a más fotocopias, más dinero a pagar.

  • El cociente de ambas razones es el mismo.

La constante de proporcionalidad es igual a 2, m=2.[NG1]

Función lineal

Una función lineal, es una expresión matemática definida por una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes x e y. Se puede expresar mediante la expresión:

El valor de y dependerá del que le demos a x, m es la constante. Ejemplo:

Por ello a x se la denomina variable independiente y a y variable dependiente.

Con los resultados se obtienen puntos que pueden ser representados en un eje cartesiano:

Gráfica:

Con dos puntos pertenecientes a la función lineal puede obtenerse la gráfica de la recta.

Ecuación explícita de la recta

En el ejemplo anterior, la recta pasa por el punto (0; 0) que es la intersección de los dos ejes: el eje horizontal x (eje de las abscisas) y el eje vertical y (eje de las ordenadas).

Para expresar cualquier tipo de recta, que pase o no por el origen, se utiliza la ecuación explícita de la recta:

y: variable dependiente.

x: variable independiente.

m: pendiente.

b: ordenada al origen.

En dicha ecuación, b, indica por donde corta al eje y la función:

La recta corta al eje y en 1, porque b=1.

EJERCICIO DE APLICACIÓN

Si la bajada de bandera de un taxi es de $10 y cada kilómetro (km) recorrido cuesta $3. ¿Cuánto se abonará por viajar una distancia de 5 km en taxi?

Datos:

b= 10 b es el valor fijo.

m=3 el valor que acompaña a la variable independiente x es la pendiente.

El taxímetro es un dispositivo que calcula automáticamente el resultado de una función lineal que permite conocer el costo de un viaje en taxi.

Por lo tanto, y =3x + 10 es la función lineal que se aplica al problema planteado. x: kilómetros recorridos.

x = kilómetros recorridos.

y = precio a pagar.

Como se desea viajar 5 km:

x = 5 km

Reemplazando en la fórmula obtenemos:

Rta.: Se abonarán $25 por un viaje de 5 km de distancia.

Del mismo modo se podrán realizar cálculos para distintas distancias, abonando más dinero a mayor distancia recorrida y menos si el viaje ser realiza en menor cantidad de kilómetros.

¿Sabías qué...?
La función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, el mayor exponente de las x es 1.

La función puede graficarse, teniendo en cuenta en este caso que no podemos tener valores negativos de x, porque desde que nos subimos al taxi se debe abonar un mínimo, denominado comúnmente bajada de bandera.

Esta es una de las tantas aplicaciones posibles para una función lineal. Es importante aprender esta función para comprender todas las demás.