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Líneas

Desde tiempos remotos, el hombre ha utilizado las representaciones gráficas para comunicarse, y una de las bases de dichas representaciones son las líneas. Sus aplicaciones en la actualidad abarcan casi todos los espacios en la vida cotidiana, la escritura, el arte y las ciencias.

En su uso formal, las líneas constituyen la base de cualquier diseño mecánico o arquitectónico, ya que a partir de ellas podemos plasmar en un plano un boceto a escala de lo que puede llegar a convertirse en una pieza, maquinaria, estructura o edificación.

Las líneas se definen como una sucesión infinita de puntos que a su vez forman un trazo continuo.

Podemos representar un segmento de una línea cuando limitamos su trazado entre dos puntos, por ejemplo, una línea recta que conecta los puntos A y B.

Líneas abiertas y cerradas

Los contornos son trazos que se emplean para representar algunas figuras. Dichos contornos pueden ser abiertos o cerrados:

  • Línea abierta: esta es una línea que se emplea para representar un contorno abierto, es decir, sus dos extremos nunca se cortan.
Las líneas abiertas pueden emplearse para formar figuras geométricas parciales, es decir, contornos abiertos.
  • Línea cerrada: esta línea define un contorno cerrado, lo que implica que los dos extremos de la línea deben coincidir en algún punto.
Un círculo está formado por una línea cerrada, ya que se trata de una sucesión infinita de puntos que generan un contorno cerrado donde los extremos de la línea se interceptan en algún punto.

¿Sabías qué?
La dimensión asociada al tamaño de una línea es la longitud, por ello, sus unidades serán metros, centímetros, pulgadas, milímetros, yardas, pies y kilómetros, entre otras.

Tipos de líneas

Existen muchos tipos de líneas, y su clasificación varía según el criterio que se considere, por ejemplo: forma, posición o su relación con otras líneas.

Según su forma:

  • Línea recta: es una línea en la que todos sus puntos están orientados en la misma dirección.
En la ampliación del segmento de recta se observa el trazo formado por una sucesión de puntos que llevan una misma dirección.
  • Línea curva: es una sucesión de puntos cuya orientación camba continuamente de dirección.
En la ampliación del segmento de la curva se observa el trazo formado por una sucesión de puntos que llevan diferentes direcciones.
  • Línea quebrada: es una línea compuesta por segmentos de línea recta que se conectan con diferentes direcciones.
En la ampliación del segmento de la línea se observa un punto donde el trazo de la línea cambia abruptamente de dirección.
  • Líneas mixtas: son líneas compuestas cuyo trazado es la combinación de líneas curvas y rectas.
En la ampliación del segmento de la línea se observa la combinación de líneas rectas con líneas curvas.

Según su posición

  • Línea vertical: es una línea recta perpendicular al horizonte. Su trayectoria va de abajo hacia arriba o de arriba hacia abajo.
La altura es una característica que representa la longitud de una línea vertical.
  • Línea horizontal: es una línea que lleva la misma dirección del horizonte, es decir, que su trayectoria va de izquierda a derecha o a la inversa.
La palanca mostrada en la figura representa una línea horizontal que se mantiene en equilibrio cuando los dos pesos ubicados en sus extremos son iguales.
  • Línea inclinada: es una línea que no es ni horizontal, ni vertical, es decir, que forma un ángulo diferente a 0º o 90º con el horizonte. También se la conoce como línea oblicua.
La palanca mostrada en la figura representa una línea inclinada.

Según la relación entre ellas:

  • Líneas paralelas: dos o más líneas son paralelas cuando la distancia a la que se encuentran separadas es siempre la misma, es decir, que estas líneas nunca se interceptan. Pueden ser curvas o rectas.
Las barras metálicas por donde se deslizan las esferas del ábaco son líneas paralelas entre sí.
  • Líneas secantes: son líneas rectas que se interceptan en algún punto para formar cuatro ángulos diferentes de 90º.
Las rectas secantes se forman al cruzar dos líneas de manera no perpendicular.

Líneas perpendiculares: son dos líneas rectas que se cortan en algún punto para formar cuatro ángulos rectos.

Las líneas que definen el rayado de la cancha de fútbol forman en varios puntos ángulos rectos y generan líneas perpendiculares.

Líneas de trazos

En dibujo técnico y otras disciplinas suelen utilizar líneas discontinuas o segmentadas para proporcionar información implícita mediante ese trazo. Algunas de esas líneas son:

  • Línea de trazos cortos: esta línea se emplea para denotar algunas aristas, trayectorias o trazos ocultos.
  • Línea punteada: es una línea auxiliar que suele utilizarse para indicar por dónde se debe repasar.
  • Línea de trazos y puntos: son líneas empleadas para denotar ejes de simetría y líneas centrales. Siempre deben comenzar y finalizar en trazos.

CAPÍTULO 1 / TEMA 3

MOVIMIENTO

SI MIRAMOS A NUESTRO ALREDEDOR NOS DAMOS CUENTA DE QUE MUCHAS COSAS SE MUEVEN: LOS AUTOS EN LAS CALLES, LOS NIÑOS QUE CORREN EN EL PARQUE, LAS HOJAS DE LOS ÁRBOLES Y LAS AVES QUE VUELAN DE UN ÁRBOL A OTRO. CUANDO ALGO CAMBIA DE POSICIÓN SE DICE QUE ESTÁ EN MOVIMIENTO, Y ESE MOVIMIENTO LO VEMOS DESDE DONDE NOS ENCONTRAMOS, ESE PUNTO DESDE EL QUE VEMOS SE LLAMA “SISTEMA DE REFERENCIA”. 

¿CÓMO PERCIBIMOS EL MOVIMIENTO?

PARA PODER DECIR SI ALGO SE MUEVE O ESTÁ QUIETO NECESITAMOS TENER UN PUNTO O UN SISTEMA DE REFERENCIA. PARA EXPLICARLO MEJOR, VEAMOS EL SIGUIENTE EJEMPLO:

¡VIAJE EN TREN!

CUANDO UN TREN VA EN MOVIMIENTO, PODEMOS VER COMO SE MUEVE PORQUE LAS VÍAS, EL PAISAJE Y LO QUE LO RODEA ESTÁ QUIETO A SU LADO.

LOS PASAJEROS QUE ESTÁN DENTRO SE MUEVEN JUNTO CON ÉL.

PERO SI EN VEZ DE ESTAR ABAJO ESTAMOS DENTRO DEL TREN, NOTAREMOS QUE LOS PASAJEROS ESTÁN QUIETOS, ENTONCES NOS HACEMOS LA PREGUNTA ¿SE MUEVEN O NO SE MUEVEN LOS PASAJEROS? LA RESPUESTA ES SÍ O NO, DEPENDE DE DÓNDE ESTEMOS PARADOS.

AL LUGAR DESDE DONDE OBSERVAMOS LOS CUERPOS MOVERSE LO LLAMAMOS SISTEMA DE REFERENCIA.

EL MOVIMIENTO ES TODO CAMBIO DE POSICIÓN AL TENER EN CUENTA UN SISTEMA DE REFERENCIA.
REPOSO

CUANDO UN OBJETO ESTÁ QUIETO, ES DECIR, QUE NO TIENE UN MOVIMIENTO APARENTE SE DICE QUE ESTÁ EN REPOSO.

TIPOS DE MOVIMIENTO

NINGÚN MOVIMIENTO ES IGUAL A OTRO, Y PARA PODER ESTUDIAR CADA UNO DE ELLOS ES NECESARIO CONOCER SU TRAYECTORIA.

PERO ¿QUÉ ES LA TRAYECTORIA? LA TRAYECTORIA NO ES MÁS QUE EL RECORRIDO QUE HACE UN CUERPO DE UN PUNTO A OTRO.

TODOS LOS CUERPOS QUE SE MUEVEN SE LLAMAN MÓVILES.

LA TRAYECTORIA PUEDE SER:

  • CERRADA: CUANDO EL MÓVIL PASA SIEMPRE POR LOS MISMOS PUNTOS. POR EJEMPLO EN UNA CARRERA TODOS CORREN EN LA MISMA PISTA, Y DAN VUELTAS UNA Y OTRA VEZ.
UN BUEN EJEMPLO DE TRAYECTORIA CERRADA ES EL RECORRIDO QUE HACEN LOS ATLETAS EN LA PISTA DE CARRERAS.
  • ABIERTA: CUANDO EL MÓVIL RECORRE VARIAS PUNTOS Y NUNCA VUELVE AL MISMO SITIO. POR EJEMPLO, UN AVIÓN VUELA Y HACE UNA VEZ UN RECORRIDO, NO PASA POR EL MISMO LUGAR NI DA LA VUELTA.
EL RECORRIDO QUE HACEN LOS AVIONES PARA DESPEGAR O ATERRIZAR ES UN EJEMPLO DE TRAYECTORIA ABIERTA.
  • ALEATORIA:CUANDO LOS MOVIMIENTOS SE REALIZAN DE FORMA DESORDENADA. EN ESTE CASO NO SE PUEDE SABER HACIA DÓNDE VA EL CUERPO QUE SE MUEVE. ESTO PODEMOS VERLO CUANDO SE NOS ESCAPA UN GLOBO, POR MUCHO QUE QUERAMOS PERSEGUIRLO, EL VIENTO LO LLEVA DE MANERA DESORDENADA.
LA TRAYECTORIA DE LOS GLOBOS CUANDO LOS SOLTAMOS AL AIRE ES ALEATORIA.
¿Sabías qué?
AUNQUE NO LO VEAMOS, NUESTRO PLANETA SE ENCUENTRA EN CONSTANTE MOVIMIENTO.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

ES EL RECORRIDO DE UN MÓVIL EN LÍNEA RECTA. ESTE TIPO DE MOVIMIENTO PUEDE SER HORIZONTAL, COMO SUCEDE EN LAS VÍAS DE UN TREN, O VERTICAL COMO CUANDO CAE LA FRUTA DE UN ÁRBOL.

MOVIMIENTO CURVILÍNEO

ES EL RECORRIDO DE UN MÓVIL EN UNA LÍNEA CURVA. POR EJEMPLO CUANDO UN NIÑO VA EN SU BICICLETA Y DOBLA EN LA ESQUINA DEL PARQUE.

¡a PRACTICAR!

1. EL MOVIMIENTO QUE ESTÁ REALIZANDO ESTE COHETE ¿ES RECTO O CURVO?

2. ¡RELACIONA LOS ELEMENTOS! TRAZA UNA LÍNEA DESDE LA COLUMNA A HASTA LA RESPUESTA CORRECTA EN LA COLUMNA B.

 

A B
MOVIMIENTO RECTILÍNEO AUTOS EN UNA PISTA DE CARRERAS
TRAYECTORIA ALEATORIA UNA HORMIGA QUE CAMINA ALREDEDOR DE UNA BOTELLA
MOVIMIENTO CURVILÍNEO UN VASO QUE SE CAE DESDE ARRIBA DE LA MESA
TRAYECTORIA CERRADA HOJAS QUE CAEN DE LOS ÁRBOLES

 

 

3. ESCRIBE EN CADA CARTEL 1 PALABRA RELACIONADA CON ESTE TEMA.

RECURSOS PARA DOCENTES

Infografía “Movimientos y tipos de movimientos”

Explicación ilustrada sobre el movimiento y los diferentes tipos de movimientos que se realizan en la vida cotidiana.

VER

Video “Los movimientos de la Tierra”

Recurso audiovisual que explica que nuestro planeta se encuentra en constante movimiento, así como también los diferentes movimientos que realiza.

VER

 

Aplicaciones de la función lineal

Las funciones matemáticas pueden tener variadas aplicaciones: en economía, ciencias, problemas cotidianos, entre otros. La función lineal en particular se utiliza cuando intervienen dos magnitudes cuya proporcionalidad es directa.

Las funciones lineales se representan mediante una recta.

Las funciones lineales también son denominadas funciones de proporcionalidad directa, se representan gráficamente mediante rectas que permiten observar la relación entre una variable y la otra.

Proporcionalidad directa

Para identificar si dos magnitudes son directamente proporcionales se deben tener en cuenta dos condiciones:

  • Si una magnitud aumenta, la otra también lo hace. Asimismo si una magnitud disminuye de igual modo la otra.
  • El cociente entre las dos magnitudes es siempre el mismo y se denomina constante de proporcionalidad (m).

Ejemplo:

En una fotocopiadora el precio por cada fotocopia es de 0,50 centavos. ¿Cuál es el precio de 16 fotocopias?

Veamos que se cumplan las dos condiciones antedichas:

  • A más fotocopias, más dinero se deberá abonar.

Para calcular el dinero a abonar por 16 fotocopias, se puede utilizar la siguiente proporción:

De donde se obtiene:

Por lo tanto, 16 fotocopias costarán $8.

Cumpliéndose que a más fotocopias, más dinero a pagar.

  • El cociente de ambas razones es el mismo.

La constante de proporcionalidad es igual a 2, m=2.[NG1]

Función lineal

Una función lineal, es una expresión matemática definida por una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes x e y. Se puede expresar mediante la expresión:

El valor de y dependerá del que le demos a x, m es la constante. Ejemplo:

Por ello a x se la denomina variable independiente y a y variable dependiente.

Con los resultados se obtienen puntos que pueden ser representados en un eje cartesiano:

Gráfica:

Con dos puntos pertenecientes a la función lineal puede obtenerse la gráfica de la recta.

Ecuación explícita de la recta

En el ejemplo anterior, la recta pasa por el punto (0; 0) que es la intersección de los dos ejes: el eje horizontal x (eje de las abscisas) y el eje vertical y (eje de las ordenadas).

Para expresar cualquier tipo de recta, que pase o no por el origen, se utiliza la ecuación explícita de la recta:

y: variable dependiente.

x: variable independiente.

m: pendiente.

b: ordenada al origen.

En dicha ecuación, b, indica por donde corta al eje y la función:

La recta corta al eje y en 1, porque b=1.

EJERCICIO DE APLICACIÓN

Si la bajada de bandera de un taxi es de $10 y cada kilómetro (km) recorrido cuesta $3. ¿Cuánto se abonará por viajar una distancia de 5 km en taxi?

Datos:

b= 10 b es el valor fijo.

m=3 el valor que acompaña a la variable independiente x es la pendiente.

El taxímetro es un dispositivo que calcula automáticamente el resultado de una función lineal que permite conocer el costo de un viaje en taxi.

Por lo tanto, y =3x + 10 es la función lineal que se aplica al problema planteado. x: kilómetros recorridos.

x = kilómetros recorridos.

y = precio a pagar.

Como se desea viajar 5 km:

x = 5 km

Reemplazando en la fórmula obtenemos:

Rta.: Se abonarán $25 por un viaje de 5 km de distancia.

Del mismo modo se podrán realizar cálculos para distintas distancias, abonando más dinero a mayor distancia recorrida y menos si el viaje ser realiza en menor cantidad de kilómetros.

¿Sabías qué...?
La función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, el mayor exponente de las x es 1.

La función puede graficarse, teniendo en cuenta en este caso que no podemos tener valores negativos de x, porque desde que nos subimos al taxi se debe abonar un mínimo, denominado comúnmente bajada de bandera.

Esta es una de las tantas aplicaciones posibles para una función lineal. Es importante aprender esta función para comprender todas las demás.