VOLVER A LOS ARTÍCULOSSi nos desplazamos desde donde estamos a otra posición decimos que hay una transformación en el espacio. Sucede lo mismo si trasladamos un punto o una figura en el plano. Estos movimientos en el plano conservan la forma y tamaño de la figura, algunos ejemplos son la traslación, la rotación y la simetría.
Traslación
Es un movimiento directo sin cambios de orientación. La traslación depende de un sentido, una dirección y una magnitud, tres conceptos que se reducen un elemento geométrico: el vector. Así que podemos hallar la imagen de cualquier punto a través de un vector dado.
– Ejemplo:
Para determinar la imagen del punto A a través de una traslación por el vector seguimos estos pasos:
- Trazamos un vector equipolente a
cuyo origen coincida con el punto A.
- Marcamos el punto A’, el cual es la imagen del punto A.
Traslación en el plano cartesiano
Como la traslación depende de un vector determinado, cuando desplazamos una figura en el plano cartesiano dado un vector debemos sumar las coordenadas de sus vértices con las del vector para saber las coordenadas de los vértices de la figura trasladada.
– Ejemplo:
Para trasladar un triángulo ABC según el vector = (3, 2), debemos ubicar la imagen de cada punto en el plano de la manera antes explicada.
Las coordenadas de los vértices de la figura trasladada son iguales a la suma de las coordenadas iniciales con las coordenadas del vector:
Rotación
Es un movimiento que consiste en girar todos los puntos de una figura en un ángulo determinado en torno a un centro de rotación.
Ángulos dirigidos
En una rotación siempre se genera un ángulo con una lado inicial y un lado final. El ángulo dirigido será positivo si el giro es en sentido contrario al de las manecillas del reloj, en cambio, el ángulo será negativo si el giro es en sentido de las manecillas del reloj.
| Ángulo positivo
|
Ángulo negativo
|
Rotación en el plano
Para hallar la imagen de un punto R en el plano bajo un ángulo de rotación es necesario conocer el ángulo dirigido y el centro de rotación. Así que, si hay un punto fijo O en el plano y un ángulo dirigido α, la rotación de centro O y ángulo α de un punto R es una transformación en el plano que asigna a R un punto único R’.
– Ejemplo 1:
Cuando se rota un polígono en el plano cartesiano, debemos determinar la imagen de cada vértice y hallar las coordenadas de los vértices de la imagen del polígono original.
– Ejemplo 2:
El triángulo A’B’C es la imagen del triángulo ABC según el centro de rotación C y un ángulo dirigido de −90°.
 |
 |
Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son A(3, 0), B(0, 2) y C(0, 0).
Las coordenadas de los vértices del triángulos A’B’C son A’(0, −3, ), B’(2, 0) y C(0, 0).
Simetría axial
La simetría axial es una transformación en el plano en el que cada punto C se asocia a otro punto C’ llamado “imagen”. Los puntos C y C’ están a igual distancia de un recta que se llama “eje de simetría” y el segmento es perpendicular a dicho eje.
– Ejemplo:
El triángulo A’B’C’ es la imagen simétrica del triángulo ABC respecto al eje de simetría m.
Simetría axial en el plano cartesiano
Dos puntos P y P’ son simétricos respecto al eje y (eje de las ordenadas) si sus abscisas son opuestas y sus ordenadas son iguales. Así que:
P(x, y) → P'(−x, y)
Por lo tanto:
x = −x’
y = y’
Por otro lado, dos puntos P y P’ son simétricos al eje x (eje de las abscisas) si sus abscisas son iguales y sus ordenadas son opuestas. Así que:
P(x, y) → P'(x, −y)
Por lo tanto:
x = x’
y = −y’
– Ejemplo 1:
El triángulo A’B’C’ con A’(2, 1), B’(4, 1) y C’(3, 3) es la imagen simétrica del triángulo ABC con A(−2, 1), B(−4, 1) y C(−3, 3).
– Ejemplo 2:
El triángulo A’B’C’ con A’(1, −1), B’(3, −1) y C’(2, −3) es la imagen simétrica del triángulo ABC con A(1, 1), B(3, 1) y C(2, 3).
