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Números mixtos

Las fracciones representan una parte de un todo, así que son útiles para expresar, por ejemplo, la cantidad de trozos de pizza que nos comimos. Cuando el numerador es mayor que el denominador se dicen que son impropias y se pueden expresar como un número mixto: una combinación de un número natural con una fracción propia.

recordemos las fracciones

Una fracción es una división de un entero en partes iguales. Está formada por un numerador y un denominador.

  • El numerador es el número de partes que se ha tomado del total.
  • El denominador es el número de partes en las que se dividió la unidad.
Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador, mientras que las fracciones impropias tienen su numerador mayor al denominador.

¿qué son los números mixtos?

Los números mixtos, también conocidos como fracciones mixtas, están formados por un número natural (parte entera) y una fracción propia (parte fraccionaria).

Los números mixtos son otra forma de representar fracciones impropias, las cuales siempre son mayores que la unidad.

Gráficas de fracciones impropias

Son una manera visual de ver las fracciones. Para realizar estas representaciones gráficas basta con dividir una figura en tantas partes como indique el denominador. Luego repetimos esta figura hasta poder colorear la cantidad de partes que señala el numerador.

– Ejemplos:

  • \boldsymbol{\frac{5}{3}}==\boldsymbol{1\frac{2}{3}}
  • \boldsymbol{\frac{11}{5}}==\boldsymbol{2\frac{1}{5}}
  • \boldsymbol{\frac{10}{4}}==\boldsymbol{2\frac{2}{4}}

Observa que la cantidad de partes enteras de las gráficas es igual al valor de la parte entera del número mixto, mientras que la última gráfica determina la parte fraccionaria. Así que el número mixto resulta de sumar un entero y una fracción propia.

¿Cómo transformar una fracción impropia a un número mixto?

Lo primero que debemos hacer es dividir el numerador entre el denominador de la fracción, el cociente será igual a la parte entera, mientras que el resto será igual al numerador de la parte fraccionaria y el denominador será igual al de la fracción impropia inicial.

– Ejemplo:

– Otros ejemplos:

Fracción impropia División Número mixto
\frac{8}{5} → 8 : {\color{Red} 5}={\color{Blue} 1}\: \: \: resto ={\color{DarkOrange} 3} → \boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 3}}{{\color{Red} 5}}}
\frac{11}{4} → 11 : {\color{Red} 4} = {\color{Blue} 2}\: \: resto={\color{DarkOrange} 3} → \boldsymbol{{\color{Blue} 2}\frac{{\color{DarkOrange} 3}}{{\color{Red} 4}}}
\frac{5}{3} → 5:{\color{Red} 3}={\color{Blue} 1}\: \: resto={\color{DarkOrange} 2} → \boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 2}}{{\color{Red} 3}}}

 

¿cómo transformar un número mixto a una fracción impropia?

En esta conversión tenemos que multiplicar la parte entera por el denominador de la parte fraccionaria y sumar a ese resultado el numerador. Luego, colocamos como denominador de la fracción impropia el mismo denominador de la parte fraccionaria del número mixto.

– Ejemplo:

\boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 4}}{{\color{Red} 5}}} → {\color{Blue} 1}\times {\color{Red} 5}=5+{\color{DarkOrange} 4}=\boldsymbol{9} → \boldsymbol{\frac{9}{{\color{Red} 5}}}

 

– Otros ejemplos:

Número mixto Operación Fracción impropia
\boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 3}}{{\color{Red} 5}}} → {\color{Blue} 1}\times {\color{Red} 5}=5+{\color{DarkOrange} 3}=\boldsymbol{8} → \boldsymbol{\frac{8}{{\color{Red} 5}}}
\boldsymbol{{\color{Blue} 2}\frac{{\color{DarkOrange} 3}}{{\color{Red} 4}}} → {\color{Blue} 2}\times {\color{Red} 4}=8+{\color{DarkOrange} 3}=\boldsymbol{11} → \boldsymbol{\frac{11}{{\color{Red} 4}}}
\boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 2}}{{\color{Red} 3}}} → {\color{Blue} 1}\times {\color{Red} 3}=3+{\color{DarkOrange} 2}=\boldsymbol{5} → \boldsymbol{\frac{5}{{\color{Red} 3}}}

Números mixtos en la vida cotidiana

Muchas veces usamos números mixtos para expresar cantidad de ingredientes o tiempo, por ejemplo:

  • Un partido de fútbol dura 1½ hora o un partido de fútbol dura una hora y media.
  • Faltan 2¼ horas para la película o faltan dos horas y cuarto para la película.
  • El postre necesita 3½ cucharadas de azúcar o el postre necesita tres cucharadas y media de azúcar.

¿Sabías qué?
Para sumar y restar números mixtos de forma sencilla primero debemos convertirlos en fracciones impropias.

números mixtos en la recta numérica

Para ubicar números mixtos en la recta numérica consideramos inicialmente la parte entera, esta nos indicará entre cuáles números está la parte fraccionaria. Como la parte fraccionaria consta de una fracción propia, solo tenemos que dividir el segmento entre los dos números enteros en la cantidad de partes que señale el denominador, luego contamos tantos espacios como muestre el numerador y marcamos el número mixto o su equivalente fracción impropia.

– Ejemplo:

Ubiquemos en la recta numérica el número mixto 1\frac{4}{5}.

  • La parte entera es 1, así que solo dibujamos la recta entre 1 y 2.

  • Como el denominador de la parte fraccionaria es 5, dividimos el segmento entre 1 y 2 en 5 partes iguales.

  • Contamos 4 espacios desde el número 1 porque el numerador de la parte fraccionaria es 4.

  • Escribimos el número mixto o su fracción impropia equivalente \frac{9}{5} en ese punto.

¡A practicar!

1. ¿Qué número mixto representan estos gráficos?

a. 

b. 

c. 

2. Convierte los siguientes números mixtos a fracciones impropias.

a.   3\frac{2}{5} b.   1\frac{6}{7} c.   2\frac{3}{5}

3. Convierte las siguientes fracciones impropias a números mixtos.

a.   \frac{4}{3} b.   \frac{10}{7} c.   \frac{15}{4}

4. Ubica los siguientes número mixtos en la recta numérica.

a.   3\frac{3}{4} b.   1\frac{1}{3} c.   2\frac{3}{5}

Respuestas

1a.  3\frac{3}{4}

 

1b.  1\frac{1}{5}

 

1c.  2\frac{4}{7}

 2a.   \frac{17}{5}

 

2b.   \frac{13}{7}

 

2c.   \frac{13}{5}

 3a.   1\frac{1}{3}

 

3b.   1\frac{3}{7}

 

3c.   3\frac{3}{4}

4a. 

4b. 

4c. 

Líneas

Desde tiempos remotos, el hombre ha utilizado las representaciones gráficas para comunicarse, y una de las bases de dichas representaciones son las líneas. Sus aplicaciones en la actualidad abarcan casi todos los espacios en la vida cotidiana, la escritura, el arte y las ciencias.

En su uso formal, las líneas constituyen la base de cualquier diseño mecánico o arquitectónico, ya que a partir de ellas podemos plasmar en un plano un boceto a escala de lo que puede llegar a convertirse en una pieza, maquinaria, estructura o edificación.

Las líneas se definen como una sucesión infinita de puntos que a su vez forman un trazo continuo.

Podemos representar un segmento de una línea cuando limitamos su trazado entre dos puntos, por ejemplo, una línea recta que conecta los puntos A y B.

Líneas abiertas y cerradas

Los contornos son trazos que se emplean para representar algunas figuras. Dichos contornos pueden ser abiertos o cerrados:

  • Línea abierta: esta es una línea que se emplea para representar un contorno abierto, es decir, sus dos extremos nunca se cortan.
Las líneas abiertas pueden emplearse para formar figuras geométricas parciales, es decir, contornos abiertos.
  • Línea cerrada: esta línea define un contorno cerrado, lo que implica que los dos extremos de la línea deben coincidir en algún punto.
Un círculo está formado por una línea cerrada, ya que se trata de una sucesión infinita de puntos que generan un contorno cerrado donde los extremos de la línea se interceptan en algún punto.

¿Sabías qué?
La dimensión asociada al tamaño de una línea es la longitud, por ello, sus unidades serán metros, centímetros, pulgadas, milímetros, yardas, pies y kilómetros, entre otras.

Tipos de líneas

Existen muchos tipos de líneas, y su clasificación varía según el criterio que se considere, por ejemplo: forma, posición o su relación con otras líneas.

Según su forma:

  • Línea recta: es una línea en la que todos sus puntos están orientados en la misma dirección.
En la ampliación del segmento de recta se observa el trazo formado por una sucesión de puntos que llevan una misma dirección.
  • Línea curva: es una sucesión de puntos cuya orientación camba continuamente de dirección.
En la ampliación del segmento de la curva se observa el trazo formado por una sucesión de puntos que llevan diferentes direcciones.
  • Línea quebrada: es una línea compuesta por segmentos de línea recta que se conectan con diferentes direcciones.
En la ampliación del segmento de la línea se observa un punto donde el trazo de la línea cambia abruptamente de dirección.
  • Líneas mixtas: son líneas compuestas cuyo trazado es la combinación de líneas curvas y rectas.
En la ampliación del segmento de la línea se observa la combinación de líneas rectas con líneas curvas.

Según su posición

  • Línea vertical: es una línea recta perpendicular al horizonte. Su trayectoria va de abajo hacia arriba o de arriba hacia abajo.
La altura es una característica que representa la longitud de una línea vertical.
  • Línea horizontal: es una línea que lleva la misma dirección del horizonte, es decir, que su trayectoria va de izquierda a derecha o a la inversa.
La palanca mostrada en la figura representa una línea horizontal que se mantiene en equilibrio cuando los dos pesos ubicados en sus extremos son iguales.
  • Línea inclinada: es una línea que no es ni horizontal, ni vertical, es decir, que forma un ángulo diferente a 0º o 90º con el horizonte. También se la conoce como línea oblicua.
La palanca mostrada en la figura representa una línea inclinada.

Según la relación entre ellas:

  • Líneas paralelas: dos o más líneas son paralelas cuando la distancia a la que se encuentran separadas es siempre la misma, es decir, que estas líneas nunca se interceptan. Pueden ser curvas o rectas.
Las barras metálicas por donde se deslizan las esferas del ábaco son líneas paralelas entre sí.
  • Líneas secantes: son líneas rectas que se interceptan en algún punto para formar cuatro ángulos diferentes de 90º.
Las rectas secantes se forman al cruzar dos líneas de manera no perpendicular.

Líneas perpendiculares: son dos líneas rectas que se cortan en algún punto para formar cuatro ángulos rectos.

Las líneas que definen el rayado de la cancha de fútbol forman en varios puntos ángulos rectos y generan líneas perpendiculares.

Líneas de trazos

En dibujo técnico y otras disciplinas suelen utilizar líneas discontinuas o segmentadas para proporcionar información implícita mediante ese trazo. Algunas de esas líneas son:

  • Línea de trazos cortos: esta línea se emplea para denotar algunas aristas, trayectorias o trazos ocultos.
  • Línea punteada: es una línea auxiliar que suele utilizarse para indicar por dónde se debe repasar.
  • Línea de trazos y puntos: son líneas empleadas para denotar ejes de simetría y líneas centrales. Siempre deben comenzar y finalizar en trazos.

CAPÍTULO 1 / TEMA 4

LUZ Y SONIDO

LA LUZ Y EL SONIDO SE TRANSMITEN A TRAVÉS DE ONDAS. LAS ONDAS SON COMO LAS OLAS DEL MAR, QUE EN EL CASO DE LA LUZ SE LLAMAN ONDAS LUMINOSAS Y EN LAS DEL SONIDO SE LLAMAN ONDAS SONORAS. ESTAS ONDAS QUE LLEGAN HASTA NOSOTROS NOS PERMITEN VER Y ESCUCHAR A TRAVÉS DE LA VISTA Y LA AUDICIÓN.

¿QUÉ ES LA LUZ?

GRACIAS A LA LUZ PODEMOS VER LO QUE NOS RODEA, COMO LOS COLORES, LAS FORMAS Y EL TAMAÑO DE LAS COSAS.

ENTONCES, LA LUZ…

  • ES UNA FORMA DE ENERGÍA.
  • SE TRANSMITE EN FORMA DE ONDA LUMINOSA.
  • LA EMITEN LOS CUERPOS LUMINOSOS COMO EL SOL Y LAS BOMBILLAS.
  • HACE SU RECORRIDO A UNA GRAN VELOCIDAD.
  • LA PERCIBIMOS GRACIAS AL SENTIDO DE LA VISTA.
LA MAYOR FUENTE DE LUZ DE NUESTRO PLANETA ES EL SOL.
¿QUÉ NECESITAMOS PARA VER LOS OBJETOS?

TENER LA CAPACIDAD DE MIRAR Y QUE LA LUZ LLEGUE A NUESTROS OJOS DESDE EL OBJETO QUE OBSERVAMOS.

¿QUÉ DIFERENCIA HAY ENTRE LA LUZ Y OTRAS FORMAS DE ENERGÍA?

  • VIAJA EN LÍNEA RECTA: DESDE LA FUENTE LUMINOSA HASTA LOS OBJETOS. POR EJEMPLO, CUANDO VEMOS LA LUZ DE UNA LINTERNA EN LA OSCURIDAD.
  • SE REFLEJA: LA LUZ REBOTA EN LOS OBJETOS PARA QUE PODAMOS VERLOS.
EL REFLEJO DE LA LUZ NOS PERMITE VER EL COLOR DEL INSECTO Y DE LA HOJA.
  • CAMBIA DE DIRECCIÓN: ESTO OCURRE CUANDO PASA DE UN MEDIO A OTRO. POR EJEMPLO, CUANDO ESTAMOS BAJO EL AGUA Y LOS OBJETOS SE VEN MÁS GRANDES.
¿Sabías qué?
LAS LUCIÉRNAGAS SON PEQUEÑOS INSECTOS VOLADORES QUE EMITEN LUZ.
LOS OJOS SON LA PARTE DE NUESTRO CUERPO QUE USAMOS PARA VER LOS OBJETOS.

EL COLOR

GRACIAS A LA LUZ PODEMOS VER LOS COLORES DE LOS OBJETOS. EL COLOR NO ES UNA CARACTERÍSTICA PROPIA DE LOS OBJETOS, SINO DE LA LUZ QUE REFLEJAN ¿CÓMO SUCEDE?

1. LA LUZ SOLAR, AUNQUE LA VEMOS CLARA, ESTÁ FORMADA POR MUCHOS COLORES QUE VAN DESDE EL ROJO HASTA EL VIOLETA.

LOS COLORES QUE FORMAN LA LUZ SOLAR SON LOS QUE VEMOS EN EL ARCOIRIS.

2. LOS OBJETOS SÓLO PUEDEN REFLEJAR EL COLOR CUANDO LA LUZ LOS ILUMINA, ES POR ESO QUE VEMOS LOS OBJETOS DE DIFERENTES COLORES.

3. CADA COLOR TIENE UNA ONDA DIFERENTE, EL COLOR QUE SE REFLEJA EN EL OBJETO ES LA ONDA DEL COLOR QUE NO ABSORBE.

COLOR QUE SE VE → COLOR REFLEJADO

COLOR QUE NO SE VE → COLOR ABSORBIDO

EL FLOTADOR DE LA NIÑA REFLEJA EL COLOR ROSA.

¿CONOCES LOS COLORES PRIMARIOS?

SE LLAMAN PRIMARIOS PORQUE A PARTIR DE ELLOS SE FORMAN OTROS COLORES. LOS COLORES PRIMARIOS SON:

  • EL AMARILLO
  • EL AZUL
  • EL ROJO

A PARTIR DE LA MEZCLA DE DOS COLORES PRIMARIOS SE OBTIENEN LOS COLORES SECUNDARIOS:

  • AMARILLO + AZUL → VERDE
  • ROJO + AMARILLO → NARANJA
  • AZUL + ROJO → VIOLETA
¿POR QUÉ EN LA OSCURIDAD NO VEMOS LOS COLORES?

LA OSCURIDAD ES LA AUSENCIA DE LUZ. SIN LUZ QUE SE REFLEJE EN LOS CUERPOS, NO PODEMOS VER LOS COLORES. CUANDO UN OBJETO SE VE DE COLOR NEGRO SIGNIFICA QUE ABSORBE TODOS LOS COLORES, ES DECIR, LA LUZ QUE LE LLEGA NO SE REFLEJA.

EL SONIDO

TODO LO QUE ESCUCHAMOS A NUESTRO ALREDEDOR SE CONOCE COMO SONIDO. EL SONIDO ES EL MOVIMIENTO DE ONDAS POR LA VIBRACIÓN DE LOS OBJETOS QUE NOS RODEAN.

¿CÓMO ESCUCHAMOS LOS SONIDOS?

LA VIBRACIÓN ES UN MOVIMIENTO MUY RÁPIDO QUE VA Y VIENE. PRODUCE EL SONIDO QUE LLEGA A TRAVÉS DEL AIRE Y QUE ESCUCHAMOS POR MEDIO DE NUESTROS OÍDOS.

¿CÓMO DIFERENCIAMOS UN SONIDO DE OTROS?

LOS SONIDOS POSEEN CUALIDADES O CARACTERÍSTICAS QUE NOS PERMITEN DIFERENCIARLOS DE LOS OTROS.

  • ALTURA O TONO: PUEDE SER GRAVE O AGUDO, POR EJEMPLO CUANDO UN NIÑO GRITA.
  • INTENSIDAD: PUEDE SER FUERTE O DÉBIL. EJEMPLO DE SONIDO FUERTE, LA BOCINA DE UN TREN Y EJEMPLO DE SONIDO DÉBIL, EL TIC-TAC DE UN RELOJ.
  • DURACIÓN: TIEMPO QUE VIBRA EL OBJETO. POR EJEMPLO, EL TIEMPO QUE DURA EL MAULLIDO DE UN GATO.
  • TIMBRE: PROPIO DE CADA FUENTE SONORA. CADA OBJETO VIBRA DIFERENTE SEGÚN SU COMPOSICIÓN O SU FORMA.
EL TIMBRE NOS PERMITE IDENTIFICAR EL SONIDO DE CADA INSTRUMENTO.

¿QUÉ PASA CUANDO LA ONDA SE ENCUENTRA UN OBSTÁCULO?

EL SONIDO VIAJA POR DIFERENTES MEDIOS COMO EL AGUA O EL AIRE. CUANDO LA ONDA SE ENCUENTRA CON ALGÚN OBSTÁCULO EN SU DESPLAZAMIENTO, OCURRE LO QUE LLAMAMOS FENÓMENO SONORO.

¿Sabías qué?
LA VOZ ES EL SONIDO QUE PRODUCIMOS LOS SERES HUMANOS GRACIAS A LA VIBRACIÓN DE LAS CUERDAS VOCALES QUE TENEMOS EN NUESTRA GARGANTA.
  • REFLEXIÓN: CUANDO LA ONDA SONORA CHOCA CON UNA SUPERFICIE Y SE DEVUELVE.
    UN EJEMPLO DE REFLEXIÓN ES EL ECO, QUE OCURRE CUANDO GRITAMOS EN UNA CUEVA O EN UN LUGAR AMPLIO Y VACÍO Y TENEMOS LA SENSACIÓN DE ESCUCHAR LA REPETICIÓN DE NUESTRAS PALABRAS.
  • DIFRACCIÓN: CUANDO LA ONDA SONORA PASA POR UN PEQUEÑO AGUJERO Y EL SONIDO SE AMPLIFICA EN TODAS LAS DIRECCIONES.
  • ABSORCIÓN: DEPENDE DE LA SUPERFICIE QUE SE ENCUENTRE LA ONDA. EXISTEN MATERIALES QUE IMPIDEN QUE EL SONIDO SE REFLEJE, COMO AQUELLOS QUE SON DUROS, PESADOS Y NO SE ESTIRAN.
¿A QUÉ LLAMAMOS RUIDO?

EL RUIDO ES EL SONIDO NO DESEADO, COMO EL TRÁNSITO, LAS MÁQUINAS DE CONSTRUCCIÓN O LA MÚSICA FUERTE. LA EXPOSICIÓN FRECUENTE AL RUIDO AFECTA NUESTRA SALUD.

EL SILENCIO ES LA AUSENCIA TANTO DE SONIDOS COMO DE RUIDOS, PERO NO EXISTE PORQUE SIEMPRE HAY ALGO QUE PRODUCE SONIDOS, INCLUSO TAN LEVES COMO LOS LATIDOS DE NUESTRO CORAZÓN.

¡a PRACTICAR!

1. TOMA UNA CARTULINA Y ESCRIBE 5 CUERPOS LUMINOSOS QUE CONOZCAS.

2. SEÑALA EN LA IMAGEN LOS COLORES SECUNDARIOS.

3. ¿CUÁNTOS COLORES SE REFLEJAN EN LA IMAGEN?

4. ¡ELIJAMOS LA OPCIÓN CORRECTA!

– UN OBJETO ES DE COLOR NEGRO CUANDO…

  1. ABSORBE EL COLOR NEGRO.
  2. ABSORBE TODOS LOS COLORES.
  3. REFLEJA LA LUZ BLANCA.

– EL COLOR NARANJA SE FORMA POR LA MEZCLA DE…

  1. AZUL Y ROJO.
  2. BLANCO Y NEGRO.
  3. AMARILLO Y ROJO.

5. ESCRIBE EN LA SIGUIENTE TABLA 5 SONIDOS FUERTES Y 5 SONIDOS DÉBILES.

SONIDOS FUERTES SONIDOS DÉBILES

 

RECURSOS PARA DOCENTES

Infografía “La luz”

La siguiente infografía le ayudará a detallar los efectos y características de la luz.

VER

Artículo “Ondas”

El siguiente artículo brinda una breve explicación sobre qué son las ondas y cómo se clasifican.

VER

 

MRU y MRUV

Los movimientos rectilíneos se caracterizan por tener una trayectoria en forma de línea recta respecto al observador y son el tipo de movimiento más sencillo en mecánica. Pueden ser uniformes, designados bajo el acrónimo MRU; o uniformemente variados, conocidos por el acrónimo MRUV.

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)
Trayectoria Línea recta. Línea recta.
Velocidad Constante. Variada. Puede ser acelerada y retardada.
Ecuación de velocidad \overrightarrow{V} = \frac{\Delta\overrightarrow{X}}{\Delta t}

 

Donde:

ΔX: desplazamiento.

Δt: intervalo de tiempo.

 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)

\overrightarrow{V} = \overrightarrow{V_{0}} + \vec{a}.t

 

Movimiento rectilíneo uniformemente retardado (MRUR)

\overrightarrow{V} = \overrightarrow{V_{0}} - \vec{a}.t
Aceleración Nula. Constante. Puede ser positiva o negativa.
Ecuación de aceleración a = 0 a = \frac{V_{f} - V_{0}}{t}
Desplazamiento Puede ser positivo o negativo. Puede ser positivo o negativo.
Ecuación de desplazamiento X = \overrightarrow{V}.t

 

Donde:

V: velocidad

t: tiempo

 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)

X = V_{0}.t + (0,5)at^{2}

 

Movimiento rectilíneo uniformemente retardado (MRUR)

X = V_{0}.t - (0,5)at^{2}

 

El número infinito

De modo incorrecto mucho piensan que infinito es un número, pero en realidad no lo es porque no se puede medir. Por lo tanto es un concepto, una idea de algo que no tiene terminación.

En el transcurso de la historia muchos filósofos y matemáticos han tratado de definir el significado de este término. Fue en la Grecia Clásica donde aparecieron las primeras concepciones de infinito: lo denominaron como “lo ilimitado”, “lo indefinido”, entre otras acepciones. Aristóteles concibió dos clases de infinito, ya que no imaginaba que pudiese describirse por una sola noción.
En el año 1655 el matemático John Wallis representó el infinito con un símbolo, en sus obras. Se estima que la forma de dicho símbolo, proviene de la curva lemniscata (que significa cinta).

Evolución del símbolo infinito

Los romanos usaban la M para representar al número 1000, que consideraban un número muy grande. El matemático Bernhard Nieuwentijt, utilizó una m minúscula para representar al infinito y John Wallis le dio la forma actual a dicho símbolo.

M → m → ∞

Es muy importante no confundir al infinito con un número grande; porque actualmente podemos indicar la posición de un número real pero no del infinito.

Usos del concepto

En matemática, el concepto de infinito se utiliza en geometría, análisis matemático y teoría de conjuntos. Desde la primaria se introduce su concepto, se comienza por comprender qué son los conjuntos finitos e infinitos, dando las bases para el estudio de sucesiones infinitas. Para comprender qué son las sucesiones infinitas, primero es necesario saber qué es una sucesión.

Sucesión: es un conjunto de elementos que se ordenan de cierta manera.

Términos de una sucesión

Los términos de una sucesión son denominados a1, a2, a3,…,an.
En la sucesión de los números naturales al cuadrado tenemos: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,…n2
Los términos son:

El subíndice, indica el lugar que ocupa el término. Es decir, el término a1 ocupa el primer lugar, el a2 el segundo lugar y así sucesivamente.

a1 = 1
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16
…

an = n2 Término general o término enésimo.

La sucesión {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,…} se obtuvo de la siguiente manera:

12 = 1
22 = 4
32= 9
42= 16
52= 25
62= 36
72= 49
82= 64
92= 81

Son muchos los usos del concepto matemático de infinito, pero en todos ellos se destaca la complejidad y abstracción de su significado.

Podemos utilizar una expresión que nos permita representar esta sucesión. En este caso es n2, siendo éste el término general de la sucesión. Al ir reemplazando a “n” por los números naturales, consecutivamente, obtenemos la sucesión.

“No todas las sucesiones tienen término general o enésimo.”

Sucesiones finitas e infinitas

Las sucesiones finitas son las que tienen un número limitado de términos y las infinitas son las que no tienen un término final.

Sucesión finita: 2, 4, 6, 8, 10.

Sucesión infinita: 1, 2, 3, 4, 5…

Los puntos suspensivos (…), indican que la sucesión es infinita, que continúa. En el ejemplo anterior se podría decir que es la sucesión de los números naturales.

Los números naturales son los que usamos para contar,
el primer número natural es el 1.

En las sucesiones no se usa el símbolo ∞, sino el concepto de lo que significa que un conjunto no tenga final.
Otro uso del concepto de infinito, y en este caso, también de su símbolo, se da en los intervalos reales.

¿Sabías qué...?
El matemático François Viète (1540 – 1603) fue el primero en utilizar letras para designar las incógnitas y constantes.

Intervalos reales

Los intervalos reales son subconjuntos de los números reales. Estos pueden ser: cerrados, semicerrados o semiabiertos y abiertos.

Semicerrados o semiabiertos son expresiones semejantes.

Dentro de los intervalos semicerrados, semiabiertos o abiertos, se puede encontrar el uso del símbolo ∞.

Ejemplos:
Intervalo semicerrado o semiabierto: [1,9) , [1,+∞) , (-∞,4]

En esos tres intervalos observamos como [1,+∞) y (-∞ ,5] tienen escrito al infinito con un signo positivo y también con negativo. Eso ocurre porque los intervalos se pueden representar sobre la recta real, la misma tiene un punto medio (0) y a partir de allí se ubican los números positivos y negativos. Nunca se puede colocar el último número de cada extremo, por eso a la izquierda se halla el símbolo del infinito negativo y a la derecha el del infinito positivo.

Toda recta, tiene longitud infinita.

Recta real.

También se puede encontrar un intervalo que representa a todos los números reales, el (-∞,+∞).

Representación de intervalos que incluyen ∞ en la recta numérica

Conceptos fundamentales de cinemática: componentes de la aceleración 

En un movimiento curvilíneo, el vector velocidad está situado sobre la recta tangente a la trayectoria en el punto considerado. En general, es imposible hacer una afirmación de la misma sencillez sobre la dirección del vector aceleración, pero si éste se descompone según dos ejes, uno tangente a la trayectoria y otro normal a éste (componentes intrínsecas de la aceleración) es fácil comprender la variación que la aceleración impone a la velocidad.

Ejemplo

La utilidad de esta descomposición estriba en que, en el caso general, en un movimiento curvilíneo, la aceleración tiene dos efectos:

  1. Cambia el módulo del vector velocidad
  2. Curva la trayectoria o, lo que es lo mismo, cambia la dirección del vector velocidad.

La primera de estas dos acciones se debe a la aceleración tangencial at, que es la componente de la aceleración sobre la recta tangente a la trayectoria en el punto considerado. Esta aceleración, por tener la misma línea de acción que la velocidad, no afecta a la dirección de ésta, sino sólo a su módulo. La segunda acción de la aceleración se debe a la aceleración normal an , que, por ser perpendicular a la dirección del vector velocidad, no afecta a su módulo, pero sí a su dirección.

Mediante métodos propios de la geometría diferencial es posible hallar fórmulas que dan los módulos de at, y an para un movimiento según una trayectoria cualquiera. Dichas fórmulas son:

Cuando 

Donde ρ es el radio de curvatura de la trayectoria en el punto considerado.

Conceptos fundamentales de la cinemática: velocidad

En cinemática se definen diversos conceptos de velocidad.

Velocidad media e instantánea

La velocidad media de un móvil es la razón de su vector desplazamiento entre el intervalo de tiempo durante el cual se produce ese desplazamiento. Siendo el cociente de un vector por un escalar, la velocidad media es un vector cuya dirección y sentido son los mismos que los del vector desplazamiento. Si en el instante t0 el móvil está en el punto P0 y su vector de posición es r(t0), y en el instante t el móvil está en el punto P y su vector de posición es r(t), la velocidad media del móvil entre P0 y P será:

Un concepto distinto es el de celeridad o velocidad media sobre la trayectoria, que es una magnitud escalar que se define como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla.

La velocidad instantánea es una magnitud vectorial que representa la velocidad que tiene el móvil en cierto instante o, lo que es lo mismo, en un punto determinado de su trayectoria. La velocidad instantánea debe representarse por un vector porque se trata de una magnitud que, además de ser cuantificable, tiene una orientación determinada. Veamos cómo se define.

Si en un instante t0 un móvil está en el punto P0 cuyo vector de posición es r(t0), una fracción de segundo más tarde, es decir, en el instante t0 + ∆t, estará en otro punto P cuyo vector de posición será r(t0 +  ∆t). La velocidad media del móvil durante el intervalo de tiempo ∆t sería entonces:

Si consideramos cada vez fracciones de segundo más pequeñas, es decir, ∆t más pequeños, el punto P se va acercando al punto P0, y la dirección del vector desplazamiento r(t0 + ∆t) – r(t0) se va acercando a la recta tangente a la trayectoria en el punto P0.

Ejemplo

Como el vector velocidad media,, tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, también la dirección dese irá acercando a la recta tangente a la trayectoria en P0.

Además de acercarse en dirección a la tangente, el vector desplazamiento, r(t 0 +  ∆t) – r(t 0), a medida que vamos considerando ∆t más reducidos, es cada vez más corto, es decir, que su módulo es cada vez más pequeño.

En el límite, esto es, cuando ∆t sea cero y el punto P se confunda con el punto P0, el vector desplazamiento se anulará.

Con el vector no ocurre lo mismo, ya que este vector es el cociente entre el vector desplazamiento y el incremento de tiempo considerado, o sea, el cociente entre r(t0 + ∆t) – r(t0) y ∆t. Al irse acercando P a P0, es decir, al irse haciendo cada vez más pequeño ∆t, el numerador y el denominador de ese cociente se van haciendo los dos cada vez más pequeños, pero el valor del propio cociente puede aumentar o disminuir, dependiendo de si el numerador decrece de forma más rápida o más lenta que el denominador.

Tenemos por lo tanto que al ir disminuyendo ∆t, la línea de acción del vectorse va acercando a la recta tangente a la trayectoria en P 0, mientras que el módulo dese va acercando a un determinado valor. Así el vector tiende a convertirse en un vector V(t0) aplicado en P0 y situado sobre la tangente a la trayectoria en ese punto. Ese vector V(t0) es la velocidad instantánea del móvil en el punto P0 o, lo que es lo mismo, en el instante t 0.

No particularizando un valor de t, notaremos este vector como V(t) o simplemente V.

Ejemplo

El proceso que hemos seguido para definir la velocidad instantánea se denomina paso al límite. Diríamos así que la velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando el incremento de tiempo tiende a cero (∆t → 0).

Cuando ∆t → 0, la celeridad o velocidad media sobre la trayectoria se va aproximando al módulo del vector velocidad media (la cuerda se aproxima al arco), con lo que la velocidad instantánea también puede definirse como un vector tangente a la trayectoria en el punto considerado cuyo módulo es el límite a que tiende la celeridad cuando  ∆t→ 0

Dimensiones y unidades de la velocidad

La velocidad tiene las dimensiones de una longitud dividida por un tiempo [L]·[T]-1. En el Sistema Internacional y en el técnico se expresa en metros por segundo (m/s), y en el CGS en centímetros por segundo (cm/s). En la práctica también se utilizan unidades basadas en múltiplos del metro y del segundo (km/h). Los marinos emplean una unidad propia: el nudo, que equivale a una milla marina por hora (1,85 km/hora).

Ángulos inscrito y semiinscrito en un arco de circunferencia

La circunferencia es un elemento sumamente importante dentro del estudio de la trigonometría. En ella se forman ciertos ángulos, por ejemplo, el inscrito, semiinscrito y el central.

Ángulo inscrito

Se llama ángulo inscrito en un arco de circunferencia al que tiene su vértice en un punto cualquiera de la circunferencia que contiene el arco y sus lados pasan por los extremos del arco.

Ejemplo

ángulo inscrito; el centro O de la circunferencia pertenece al lado del ángulo

que está inscrito en

y abarca

Ejemplo

ángulo inscrito; O es interior al ángulo

que está inscrito en el arco

que contiene al punto B, o sea

, y abarca

A todo ángulo inscrito le corresponde un ángulo central, cuyos lados son radios que pasan por los extremos del arco.

Ejemplo

 ángulo central correspondiente al ángulo inscrito

Ejemplo

 ángulo central correspondiente al ángulo inscrito

Propiedades del ángulo inscrito

1) Todo ángulo inscrito en un arco de circunferencia vale la mitad del ángulo central que le corresponde.

Ejemplo

 es un ángulo inscrito

es un ángulo central correspondiente
2) Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan un mismo arco son iguales.
Ejemplo

 abarca el

abarca el

 abarca el
3) Los ángulos inscritos que abarcan una semicircunferencia son rectos.
Ejemplo

 es igual a 180° por ser llano

por ser ángulo inscrito que abarca el mismo arco.

Ángulo semiinscrito

Un ángulo semiinscrito en un arco de circunferencia es el que tiene su vértice en uno de los extremos del arco, uno de sus lados pasa por el otro extremo y el otro lado es tangente a la circunferencia, por el vértice.
Ejemplo
 ángulo semiinscrito
A todo ángulo semiinscrito en una circunferencia le corresponde un ángulo central que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados pasan por los extremos del arco.
 es el ángulo central que corresponde a

Propiedades del ángulo semiinscrito
1) Todo ángulo semiinscrito en un arco de circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente.
Ejemplo
 ángulo semiinscrito
ángulo central correspondiente
2) El ángulo inscrito y el ángulo semiinscrito en un mismo arco de circunferencia son iguales.
Ejemplo
ángulo inscrito en
ángulo semiinscrito
y luego

3) Los ángulos semiinscritos en un mismo arco de circunferencia son iguales entre sí.Ejemploángulo semiinscrito en
ángulo semiinscrito en

Como ambos tienen el mismo ángulo central, son iguales, es decir:

Aplicaciones de la función lineal

Las funciones matemáticas pueden tener variadas aplicaciones: en economía, ciencias, problemas cotidianos, entre otros. La función lineal en particular se utiliza cuando intervienen dos magnitudes cuya proporcionalidad es directa.

Las funciones lineales se representan mediante una recta.

Las funciones lineales también son denominadas funciones de proporcionalidad directa, se representan gráficamente mediante rectas que permiten observar la relación entre una variable y la otra.

Proporcionalidad directa

Para identificar si dos magnitudes son directamente proporcionales se deben tener en cuenta dos condiciones:

  • Si una magnitud aumenta, la otra también lo hace. Asimismo si una magnitud disminuye de igual modo la otra.
  • El cociente entre las dos magnitudes es siempre el mismo y se denomina constante de proporcionalidad (m).

Ejemplo:

En una fotocopiadora el precio por cada fotocopia es de 0,50 centavos. ¿Cuál es el precio de 16 fotocopias?

Veamos que se cumplan las dos condiciones antedichas:

  • A más fotocopias, más dinero se deberá abonar.

Para calcular el dinero a abonar por 16 fotocopias, se puede utilizar la siguiente proporción:

De donde se obtiene:

Por lo tanto, 16 fotocopias costarán $8.

Cumpliéndose que a más fotocopias, más dinero a pagar.

  • El cociente de ambas razones es el mismo.

La constante de proporcionalidad es igual a 2, m=2.[NG1]

Función lineal

Una función lineal, es una expresión matemática definida por una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes x e y. Se puede expresar mediante la expresión:

El valor de y dependerá del que le demos a x, m es la constante. Ejemplo:

Por ello a x se la denomina variable independiente y a y variable dependiente.

Con los resultados se obtienen puntos que pueden ser representados en un eje cartesiano:

Gráfica:

Con dos puntos pertenecientes a la función lineal puede obtenerse la gráfica de la recta.

Ecuación explícita de la recta

En el ejemplo anterior, la recta pasa por el punto (0; 0) que es la intersección de los dos ejes: el eje horizontal x (eje de las abscisas) y el eje vertical y (eje de las ordenadas).

Para expresar cualquier tipo de recta, que pase o no por el origen, se utiliza la ecuación explícita de la recta:

y: variable dependiente.

x: variable independiente.

m: pendiente.

b: ordenada al origen.

En dicha ecuación, b, indica por donde corta al eje y la función:

La recta corta al eje y en 1, porque b=1.

EJERCICIO DE APLICACIÓN

Si la bajada de bandera de un taxi es de $10 y cada kilómetro (km) recorrido cuesta $3. ¿Cuánto se abonará por viajar una distancia de 5 km en taxi?

Datos:

b= 10 b es el valor fijo.

m=3 el valor que acompaña a la variable independiente x es la pendiente.

El taxímetro es un dispositivo que calcula automáticamente el resultado de una función lineal que permite conocer el costo de un viaje en taxi.

Por lo tanto, y =3x + 10 es la función lineal que se aplica al problema planteado. x: kilómetros recorridos.

x = kilómetros recorridos.

y = precio a pagar.

Como se desea viajar 5 km:

x = 5 km

Reemplazando en la fórmula obtenemos:

Rta.: Se abonarán $25 por un viaje de 5 km de distancia.

Del mismo modo se podrán realizar cálculos para distintas distancias, abonando más dinero a mayor distancia recorrida y menos si el viaje ser realiza en menor cantidad de kilómetros.

¿Sabías qué...?
La función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, el mayor exponente de las x es 1.

La función puede graficarse, teniendo en cuenta en este caso que no podemos tener valores negativos de x, porque desde que nos subimos al taxi se debe abonar un mínimo, denominado comúnmente bajada de bandera.

Esta es una de las tantas aplicaciones posibles para una función lineal. Es importante aprender esta función para comprender todas las demás.