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Matrices

Las matrices son arreglos de números que entre otras cosas se emplean para resolver sistemas de ecuaciones lineales y programas informáticos. Son fundamentales en matemática y en otras disciplinas como el álgebra.

¿Qué es una matriz?

Una matriz es una tabla bidimensional en la que se disponen valores numéricos o variables. Los datos que conforman a una matriz se denominan elementos y están dispuestos de acuerdo a un patrón de filas y columnas que le confieren una forma cuadrada o rectangular a la matriz según sea el caso.

Las filas o renglones de una matriz son todos los elementos que se encuentran dispuestos linealmente de forma horizontal, las columnas se encuentran compuestas por los elementos localizados linealmente de forma vertical. Si una matriz tiene m filas y n columnas, su dimensión será de m x n, esto se debe a que primero se coloca el número de filas y luego el de columnas.

Forma general de una matriz A de dimensiones m x n:

Generalmente se emplean letras mayúsculas del alfabeto para expresar el nombre de las matrices.

Elementos de la matriz

Para ubicar un elemento de una matriz se usa el sistema de doble subíndice en el que se indica primero el número de la fila donde encuentra seguido de su respectiva columna. De manera que el elemento a12 es aquel ubicado en la primera fila y en la segunda columna. Como notación general se emplea una fórmula denominada entrada aij , donde i es el número de fila del elemento y j es el número de columna.

Matrices cuadradas y rectangulares

De acuerdo a la dimensión de una matriz, se puede clasificar en matriz cuadrada y en matriz rectangular. Una matriz m x n es cuadra si m = n, es decir, si el número de filas es igual al número de columnas. Por otra parte, las matrices en donde se cumple que m ≠ n, su forma es rectangular, debido a que el número de filas es diferente al número de columnas.

Para ilustrar mejor se muestran los siguientes ejemplos:

La matriz A es una matriz cuadrada porque posee tres filas y tres columnas, es decir, su dimensión es de 3 x 3. Por otra parte, la matriz B tiene tres filas y dos columnas, es decir, su dimensión es de 3 x 2, por lo tanto, B es una matriz rectangular.

James Joseph Sylvester fue el primero en emplear el término “matriz” en el ámbito matemático a mediados del siglo XIX.

La diagonal principal

En las matrices cuadradas se observa una diagonal principal formada por todos los elementos cuyas entradas cumplen la condición . Por ejemplo:

Los elementos 2, 9 y 5 constituyen la diagonal principal de la matriz M, debido a que en sus entradas cumplen con la condición de :

a11 = 2

a22 = 9

a33 = 5

De manera directa se puede observar que la diagonal principal de una matriz cuadrada está formada por los elementos que describen una diagonal desde el elemento hasta el último elemento de la última fila.

Otros tipos de matrices

  • Matriz fila

Es aquella conformada por una fila.

  • Matriz columna

Es aquella que posee una sola columna.

  • Matriz nula

Es aquella en la que todos los elementos que la componen son ceros.

  • Matriz triangular superior

Es la matriz en la que todos los elementos ubicados por debajo de la diagonal principal son iguales a cero.

  • Matriz triangular inferior

Es la matriz cuyos elementos situados por encima de su diagonal principal son iguales a cero.

  • Matriz diagonal

Es aquella matriz en la que todos los elementos situados por encima y por debajo de su diagonal principal son iguales a cero.

  • Matriz escalar

Es una matriz diagonal en la que los elementos que forman su diagonal principal son iguales.

  • Matriz identidad o matriz unidad

Es aquella matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a uno.

  • Matriz transpuesta

Matriz que se obtiene al cambiar de forma ordenada las filas por las columnas. Se denota con la letra t como subíndice del nombre de la matriz original.

 

Las matrices pueden incluir números, fracciones, radicales y otros números del conjunto de los reales.
Propiedades de la matriz transpuesta

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α.A)t = α.At

(A.B)t = Bt.At

Las matrices transpuestas se emplean para realizar otros cálculos con matrices como por ejemplo, los determinantes.

Matrices en la computación

Sorprendentemente las operaciones matriciales no se limitan al álgebra lineal, sino que es usado en muchas otras áreas como la computación. Esto se debe a que las matrices proporcionan una forma sencilla de representar datos y realizar cálculos numéricos que de otra forma sería complicado resolverlos.

Existen programas informáticos como Matlab que permiten crear sistemas de matrices complejos para ser usados en el campos tan diversos como el de la robótica o el de la computación gráfica.

 

La teoría de matrices se dedica a estudiar las matrices y a los sistemas matriciales.

Microsoft Excel

El cálculo matemático ha sido una de las disciplinas ante las cuales el hombre ha sentido la necesidad de abastecerse de tecnologías que facilitasen su resolución y, ya desde la antigüedad, instrumentos como el ábaco han ido restando complejidad al acto de “hacer cuentas”, elemento crucial en la conformación de las sociedades modernas. A partir del siglo XXI, un software que ha ayudado mucho al hombre y sus cálculos matemáticos es Microsoft Excel, del cual hablaremos en este artículo.

Hojas de cálculo

Las hojas de cálculo, al permitir una serie de relaciones lógicas entre cifras según las cuales la disminución o aumento de un valor provoca la variación automática de otros valores a él subordinados, es el paso decisivo en favor de la simplificación de la matemática contable. A través de un lenguaje simple que permite la fácil introducción de fórmulas y funciones, programas como Microsoft Excel convierten la tarea de llevar al día la contabilidad de un negocio o bien el recuento de un stock en un verdadero juego de niños.

La interfaz de Excel

Una hoja de cálculo de Microsoft Excel está formada por una o más cuadrículas de extensión agrupadas en un libro, de modo que puedan englobarse distintas tablas referentes a un mismo asunto en un solo archivo.

Cada hoja de nuestro libro es accesible a través de las pestañas situadas en la parte inferior izquierda de la pantalla, justo encima de la barra de estado. Podemos nombrar las distintas hojas o bien añadir hojas nuevas mediante la pulsación del botón derecho del ratón sobre una de las pestañas existentes, que despliega un sencillo menú contextual.

Determinada la estructura de hojas de nuestro libro, podemos proceder al rellenado de la cuadrícula de cada una de las mismas. Pulsando sobre una casilla cualquiera podemos teclear un valor numérico o bien una cadena de texto. A continuación, y al igual que ocurría con Word, con la barra de formato podemos moldear esta información.

Introducción de funciones en una hoja de cálculo

La verdadera utilidad de una hoja de cálculo no radica en la posibilidad de plasmar en formato tabla una serie de datos y cifras, sino en la capacidad del programa de hacer cálculos que relacionen estas cifras y de que estas fórmulas se muestren sensibles a la modificación de los valores de los que parten. Esto se consigue gracias a la introducción de funciones, accesible a través de la opción “Función…” del menú Insertar o bien por medio del icono de función de la barra estándar. Estos parámetros dan paso a un cuadro de diálogo en el que se pide al usuario que escoja qué tipo de cálculo desea realizar entre un extenso inventario de operaciones matemáticas. Una vez decidido, un segundo cuadro nos permite introducir que tipo de intervalo de celdas van a estar envueltas en la operación matemática, dándonos también la posibilidad de marcar por medio del ratón de qué celdas de la cuadrícula se trata.

Las fórmulas pueden introducirse asimismo de forma manual en los campos en los que deben figurar sus resultados, tecleando en los mismos la fórmula a realizar precedida por el símbolo igual (por ejemplo, para sumar los valores de las celdas A4 y A5 y que el resultado figure en la celda A6, deberíamos teclear en esta última celda = A4 + A5).

Las bases de datos

A lo largo de nuestra vida, por motivos diferentes y casi sin darnos cuenta trabajamos con montones de bases de datos, desde colecciones de discos o listines telefónicos a inventarios de calificaciones académicas o listas de elementos relacionadas con casi cualquier ámbito laboral; es común la necesidad de tener ordenados, según distintos criterios, e interconectados entre sí una serie de datos. Los programas de gestión de bases de datos, con Microsoft Access como claro estándar, permiten precisamente la correcta gestión de los datos de esta naturaleza.

 

Logo de Excel

Estructura de una base de datos

La fuente principal a partir de la cual se vertebra una base de datos, como se extrae de lo que acabamos de decir, es una o varias relaciones entre elementos, o lo que es lo mismo, uno o varios listados que vinculen dos o más datos.

Una tabla en la que se encuentren los nombres de nuestros amigos, la dirección y el teléfono de cada uno de ellos constituye el esqueleto de una base de datos, por ejemplo.

Por todo ello, el requisito principal para la constitución de una base de datos, y por tanto su elemento indispensable, es la tabla.

Una vez introducidas en el programa una o más tablas (de forma manual o bien importando una tabla desde otro programa de la suite de Office), podemos modificar los criterios de ordenación de sus campos y la cantidad de los mismos que deseamos que aparezcan en pantalla creando una consulta. Esta función es también útil para conectar entre sí dos o más tablas con algún dato en común.

Establecidas estas relaciones y determinados los órdenes por los que se regirá la información, podemos conseguir vistosas presentaciones para impresora, o bien crear páginas intuitivas para la introducción de nuevos registros o modificación de los registros existentes por medio de los denominados formularios.

Estas cuatro categorías, junto con las macros y los módulos (que sirven, respectivamente, para englobar una serie de procedimientos avanzados en una única acción y para la incorporación a la base de instrucciones en lenguaje Visual Basic) constituyen los medios que permitirán obtener el mayor rendimiento de una base de datos.