fórmulas algebraicas – Elbibliote.com

Día a día utilizamos el lenguaje coloquial para describir situaciones a través de las palabras; sin embargo, muchas de estas palabras expresan problemas que pueden ser traducidas al lenguaje matemático: un lenguaje universal formado por números, letras y símbolos especiales que nos permite entender conceptos complejos en términos precisos.

¿QUÉ ES?

Es el conjunto de símbolos, operaciones y reglas que se utilizan para expresar y resolver problemas matemáticos. Este tipo de lenguaje se basa en la lógica y la precisión. Además, puede ser utilizado por cualquier persona, independientemente de su idioma o cultura.

El lenguaje matemático también es conocido como lenguaje simbólico, ya que sirve para expresar ideas, conceptos y operaciones matemáticas mediante uno o más símbolos.

CARACTERÍSTICAS

Se basa en un sistema de símbolos y fórmulas en lugar de palabras para comunicar ideas y conceptos de manera más clara y precisa.
Todos los símbolos se utilizan de forma rigurosa para representar una idea o concepto específico.
Se utiliza en todo el mundo.
Elimina detalles irrelevantes y se enfoca en los conceptos y las relaciones más significativas.
Se basa en la lógica y la deducción para establecer y demostrar una afirmación matemática.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

Son un componente clave en este tipo de lenguaje. Los símbolos matemáticos nos ayudan a representar conceptos abstractos como números, operaciones, funciones, relaciones, probabilidad, etc. Los símbolos más comunes son los siguientes:

Lenguaje matemático	Lenguaje coloquial
+	Suma/Adición/Aumentar
−	Resta/Sustracción/Diferencia
×	Multiplicación/Producto
÷	División/Cociente
=	Igual
±	Más menos
%	Porcentaje
>	Mayor que
<	Menor que
≥	Mayor o igual qué
≤	Menor o igual qué
∑	Sumatoria
√	Raíz cuadrada
≡	Equivalencia
≠	Desigualdad
π	Pi
∞	Infinito
ƒ	Función
∫	Integral

NOTACIÓN

Es una parte importante del lenguaje matemático, se utiliza para simplificar la representación de conceptos complejos; por ejemplo, la fórmula del teorema de Pitágoras (a² + b² = c²) es más fácil de recordar y aplicar que una explicación verbal del mismo.

IMPORTANCIA

Es esencial en áreas como la física, la ingeniería, la economía, la informática, la química y muchas otras disciplinas científicas debido a que las fórmulas y los símbolos matemáticos se utilizan para modelar y resolver problemas complejos en estas áreas.

También es importante en la educación. Los niños aprenden a leer, escribir y hablar en este lenguaje desde una edad temprana, inicialmente manejan los números y la aritmética básica y, a medida que avanzan, usan ecuaciones y fórmulas para resolver problemas más complejos. De igual forma, durante su progreso estudiantil, también aprenden otras áreas de las matemáticas, como la geometría, la trigonometría y el álgebra, las cuales necesitan del lenguaje matemático para ser comprendidas.

El lenguaje matemático es una valiosa herramienta para resolver problemas. Así, por ejemplo, en lugar de escribir “el doble de siete es catorce”, podemos escribir “7 × 2 = 14”.

EVOLUCIÓN

• Edad Antigua: las matemáticas se expresaban en lenguaje verbal y pictórico. Los egipcios utilizaban jeroglíficos para representar números y problemas matemáticos, mientras que los babilonios empleaban tablas para realizar cálculos.

• Grecia Clásica: los matemáticos empezaron a utilizar la notación simbólica para representar las matemáticas de forma más rigurosa; por ejemplo, Euclides utilizó símbolos para los conceptos básicos de geometría, como las líneas, ángulos y triángulos.

• Edad Media: la incorporación de la numeración árabe y la invención del álgebra marcaron un paso importante en la forma en que se representaban las matemáticas.

• Renacimiento: en este período se volvió más formal y preciso. Los matemáticos comenzaron a utilizar símbolos especiales para operaciones matemáticas y a representar las relaciones entre las variables.

• Siglo XVIII: el cálculo y la geometría analítica se desarrollaron como disciplinas principales de las matemáticas. La notación simbólica se hizo más compleja y sofisticada para representar conceptos abstractos y complicados.

• Siglo XIX: la teoría de conjuntos y la lógica matemática se convirtieron en disciplinas importantes. El lenguaje matemático se hizo aún más exacto y formal gracias a la introducción de la notación moderna de conjunto y de la teoría de funciones.

• Siglo XX: la informática y la estadística se expandieron, lo que llevó a la creación de nuevas disciplinas que utilizan un lenguaje simbólico, como la lógica matemática, la teoría de la computación y la estadística matemática. En la actualidad, sigue evolucionando para adaptarse a las nuevas tecnologías y a los avances de la investigación.

Ejemplo

Representemos en lenguaje matemático las siguientes expresiones:

Un número	$x$
Un número más cien	$x+100$
El siguiente de un número	$x+1$
El anterior de un número	$x-1$
Siete veces un número	$7x$
El producto de dos números	$x\times y$
La diferencia de dos números	$x-y$
Un número disminuido en cinco unidades	$x-5$
El cubo de un número	$x^{3}$
La cuarta parte de un número	$\frac{x}{4}$
El cociente entre un número y seis es igual a dos	$\frac{x}{6}=2$
Un número menos cincuenta es igual treinta	$x-50=30$
La raíz cuadrada de un número es ocho	$\sqrt{x}=8$

¿Sabías qué?

La palabra “cálculo” proviene del latín calcŭlus, que significa “piedra pequeña”. Antes de que los árabes introdujeran los números indo-arábigos, los antiguos romanos usaban piedras pequeñas para contar y hacer cálculos matemáticos. Estos procedimientos se realizaban en un ábaco, que es un instrumento de operaciones aritméticas sencillas que utiliza cuentas para representar números.

El origen de los símbolos

Muchos de los símbolos matemáticos tienen su origen en la palabra o concepto que representan. Por ejemplo, el símbolo “+” proviene del latín plus, que significa “más”; el símbolo “-” proviene del latín minus, que significa “menos”, y el símbolo “=” proviene del latín aequalitas, que significa “igualdad”.

¡A practicar!

1. Escribe en lenguaje matemático las siguientes expresiones.

El doble de un número.
El quíntuple de un número.
Un tercio de un número.
La raíz cuadrada de un número.
La raíz cúbica del producto de dos números.
La suma de los cuadrados de dos números.
La mitad de un número más diez.
El doble de un número menos su mitad.

El álgebra es una rama de la Matemática que estudia a las operaciones matemáticas en un sentido general, abstracto y genérico. Se divide en varias clases: lineal, vectorial, tensorial, conmutativa, diferencial, booleana y elemental, entre otras. La que se suele aprender en la escuela es la elemental, el resto es parte de los contenidos de educación superior.

Estatua del matemático Al-Khwarizmi frente a Itchan Kala en la ciudad de Jiva, Uzbekistán.

Al-Kwaritzmi es un erudito persa que se destacó en varias áreas: astronomía, geografía, filosofía, astrología y matemáticas, entre otras. Se lo considera el padre del álgebra, dado que en su obra principal desarrolló contenidos de este tema, aplicándolos a la vida cotidiana de aquel entonces. En su obra, Hisāb al-ŷabr wa’l muqābala, realizó explicaciones sumamente didácticas e incorporó el sistema de numeración que actualmente se utiliza: el sistema arábigo.

Gracias a este extraordinario matemático actualmente se utilizan los términos guarismo, algoritmo y álgebra.

El tradado matemático de Al-Khwaritzmi se tradujo al latín y se utilizó en universidades europeas durante siglos.

ÁLGEBRA ELEMENTAL

El álgebra elemental incluye gran cantidad de temas que se abarcan durante varias etapas de la escolaridad. Si se estudian ecuaciones, se está aprendiendo álgebra, del mismo modo con los polinomios, los radicales, las funciones, etc. Gran parte de lo que se aprende en la escuela corresponde a esta rama de la Matemática.

introducción al álgebra: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Notación algebraica

La notación es un sistema de signos que se utilizan para representar conceptos, éstos dependen principalmente de la disciplina a la cual correspondan. En el caso del álgebra, estos signos convencionales son: números y letras.

Números: corresponden a cantidades determinadas y conocidas.

Letras: pueden representar cantidades desconocidas o conocidas. Por lo general se suelen utilizar las últimas letras del alfabeto para las cantidades desconocidas: x, y, z.

Signos

Se dividen en tres tipos:

Signos de operación: el álgebra comparte con la aritmética los signos de operación +, -, ÷, ⋅, √ y ⁿ(potencia).
Signos de agrupación: estos signos determinan la jerarquía de operaciones, es decir cuál de ellas debe realizarse primero. Son los paréntesis, los corchetes y las llaves.
Signos de relación: sirven para comparar dos cantidades. Éstos son: >, <, ≤, ≥, =.

Fórmulas

Las fórmulas algebraicas permiten establecer generalizaciones. Por ejemplo, en geometría la longitud de una circunferencia puede resolverse mediante la fórmula L = 2πr.

Expresión algebraica

Cualquier expresión con números y letras es una expresión algebraica, puede ser que esté compuesta por varias operaciones o por un solo símbolo.

Expresión algebraica compuesta por un solo símbolo: x

Expresión algebraica compuesta por varias operaciones: 2ab+5c-ab²

En esta última, los signos + y – separan a la expresión algebraica en términos, en el ejemplo que precede se observan tres términos: 2ab, 5c y ab².

Tipos de términos

Los términos en una expresión algebraica pueden ser:

Enteros: aquellos que no tienen denominador literal. Por ejemplo: 3x.
Fraccionarios: son los que tienen al menos una letra en el denominador. Por ejemplo: $\frac{2}{b}$ .
Racionales: incluyen a los enteros y fraccionarios.
Irracionales: cuentan con un radical, ya sea en numerador o en denominador: $\frac{\sqrt{b}}{3}$ .
Homogéneos: son los que poseen un mismo grado absoluto. Por ejemplo: a²b⁴ y a³b³.
Heterogéneos: su grado absoluto es distinto. Por ejemplo: ab³ y a⁴b²

GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO

Es la suma de los exponentes de sus factores literales o de su factor literal. Ejemplos: a²b⁴ es un término de grado 6, a⁴ es un término de grado 4 y xy²z² es un término de grado 5.

TÉRMINOS SEMEJANTES

Dos términos son semejantes cuando su parte literal y el exponente de ésta son iguales. Por ejemplo:

2a y 3a son semejantes.
3ab y 7ab son semejantes.
x² y 4x² son semejantes.

2a y 2b no son semejantes.
2ab y 3ab² no son semejantes.
ab² y a²bc no son semejantes.

Cuando se tienen varios términos semejantes se puede realizar la operación de reducción de términos. Ésta consiste en convertir en un solo término dos o más términos semejantes.

Pueden ocurrir tres situaciones:

Si todos los términos semejantes tienen el mismo signo: se suma la parte numérica, se escribe la parte literal y el término resultante tendrá el mismo signo que tienen todos. Por ejemplo:
2ab +3ab +7ab = 12ab
-5y -2y = -7y
Si dos términos semejantes tienen distinto signo: se restan los coeficientes y se coloca en el resultado el signo del que mayor valor absoluto. Por ejemplo:
4x²y – 6x²y = -2x²y
En este ejemplo se restaron los coeficientes 4 y 6 y se colocó el signo de -6.-9a+5a= -4a
Si varios términos semejantes tienen distinto signo: se procede a agrupar todos los términos con el mismo signo y al reducir a dos términos se realiza el procedimiento anteriormente citado. Por ejemplo:
4x+6x-7x+3x-8x=

POSITIVOS NEGATIVOS

4x
6x
3x 7x
8x

13x 15x

No es indispensable en la resolución realizar la tabla precedente, la misma se ha confeccionado para la mejor visualización del procedimiento.
4x+6x+3x-7x-8x= 13x-15x = -2x

Ábaco, instrumento que sirve para realizar manualmente operaciones sencillas. Es el más antiguo instrumento de cálculo.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

Reducir los siguientes términos semejantes:

3ab + 5ab =
-8xy² -7xy²=
19xyz -7xyz=
-26a +12a=
4ab²+7ab²-18ab²+14ab²-12ab²=
10x-7x-15x+24x+8x=

RESPUESTAS

8ab
-15xy²
12xyz
-14a
-5ab²
20x

¿Sabías qué...?

La palabra álgebra tiene origen en la palabra árabe al-jabru, ésta significa “reducción”.

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