CAPÍTULO 3 / TEMA 4

fracciones y otros números

Todos los días utilizamos distintos números. Los que usamos para contar, se llaman números naturales. Los que utilizamos en los precios, se llaman números decimales. Todos ellos pueden combinarse con las fracciones en las distintas operaciones. A continuación, verás cómo solucionar problemas de este tipo.

Las fracciones están presentes en la mayoría de las situaciones de nuestra vida cotidiana. Por ejemplo, cuando vamos al mercado y pedimos un cuarto de kilo de una fruta. También usamos fracciones cuando decimos la hora: “Son las tres y cuarto”. O cuando picamos o partimos alimentos, como en la imagen, en la que vemos medio aguacate.

operaciones de fracciones con otros números

Supongamos que compramos 3 barras de chocolate. Si nos comemos 1 chocolate y 2/3 de otro, y nuestro amigo se come 1 chocolate y 1/4 de otro, ¿nos sobró algo de chocolate?

Para resolver esta situación tenemos que sumar primero lo que nos comimos y restarlo a los chocolates que compramos. En este caso, convertimos los números mixtos a sus fracciones impropias equivalentes y luego sumamos.

$1\frac{2}{3}+1\frac{1}{4}= \frac{5}{3}+\frac{5}{4}$

$\frac{5}{3}+\frac{5}{4}=\frac{(5\times 4)+(3\times 5)}{3\times4 }=\frac{20+15}{12}=\boldsymbol{\frac{35}{12}}$

Luego de tener la fracción equivalente a lo que comimos, podemos restarla a la cantidad total de chocolate comprado (3). Recuerda que todo número entero puede ser representado como una fracción con denominador igual a 1.

$\frac{3}{1}-\frac{35}{12}=\frac{(3\times 12)-(1\times 35)}{1\times 12}=\frac{36-35}{12}=\boldsymbol{\frac{1}{12}}$

Ahora sabemos que nos sobró $\frac{1}{12}$ de chocolate.

A diario nos encontramos con situaciones en las que podemos combinar distintos tipos de números. En estos casos, aplicamos las propiedades de cada operación para cada tipo de número.

¡Es tu turno!

$\left ( 1-\frac{3}{5} \right )\times \frac{3}{2}$

Solución

$\left ( \frac{1}{1}-\frac{3}{5} \right ) \times \frac{3}{2}=\left ( \frac{5}{5}-\frac{3}{5} \right ) \times \frac{3}{2}=\frac{2}{5} \times \frac{3}{2}=\frac{6}{10}=\boldsymbol{\frac{3}{5}}$

$\frac{9}{5} \div 3+\frac{9}{2}$

Solución

$\frac{9}{5} \div \frac{3}{1}+\frac{9}{2}=\frac{9}{5} \times \frac{1}{3}+\frac{9}{2}=\frac{9}{15}+\frac{9}{2}=\frac{3}{5}+\frac{9}{2}=\boldsymbol{\frac{51}{10}}$

$4\frac{1}{3}-\frac{2}{5}+1=$

Solución

$\frac{13}{3}-\frac{2}{5}+\frac{1}{1}=\frac{65}{15}-\frac{6}{15}+\frac{15}{15}=\boldsymbol{\frac{74}{15}}$

¿cómo transformar una fracción a un número decimal?

Para poder transformar una fracción en un número decimal debemos recordar que una fracción es una división en partes. Por lo tanto, lo que debemos hacer es dividir el numerador por el denominador y así convertimos una fracción en un número decimal. Veamos algunos ejemplos:

$\frac{3}{4}=0,75$

$\frac{9}{4}=2,25$

Existe otra manera de pasar las fracciones a números decimales pero esta forma no siempre es posible. Para poder utilizarla debemos buscar una fracción equivalente a la dada con denominador igual a 10, 100, 1.000, etc. Si amplificamos la fracción × 25, es decir, si multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 25, tenemos que:

$\frac{3}{4}=\frac{75}{100}$

75/100 es la fracción decimal equivalente de 3/4. Ahora, si recordamos cómo se divide por potencias de 10, vemos que debemos correr la coma de derecha a izquierda tantos lugares como ceros haya en el denominador. Por lo tanto,

$\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0,75$

Hacemos lo mismo con el segundo ejemplo:

$\frac{9}{4}=\frac{225}{100}=2,25$

La conversión de una fracción a un decimal consiste en escribir dicha fracción como su número decimal equivalente mediante distintos métodos. Podemos dividir el numerador y el denominador para tener el cociente decimal. También podemos amplificar, es decir, multiplicar tanto el numerador como el denominador hasta tener un denominador igual a 10, 100, 1.000…

¡Es tu turno!

Pasar las siguientes fracciones a número decimal:

$\frac{1}{25}$

Solución

$\frac{1}{25}=\frac{4}{100}=0,04$

Amplificación: × 4

$\frac{3}{5}$

Solución

$\frac{3}{5}=\frac{60}{100}=0,6$

Amplificación: × 20

$\frac{5}{4}$

Solución

$\frac{5}{4}=\frac{125}{100}=1,25$

Amplificación: × 25

¿Sabías qué?

Los números decimales fueron utilizados por primera vez por Stevin que, para escribirlos, lo hacía de una forma particular. Por ejemplo, si quería escribir el número 43,527, la notación era 43⓪5①2②7③. El ⓪ representaba a los enteros, el ① a las décimas, el ② a las centésimas y así sucesivamente.

transformación de un número decimal a fracción

En el caso anterior, para pasar de fracción a número decimal, intentamos hacer fracciones decimales, que son las que poseen denominador igual a una potencia de 10. A partir de ahí, corrimos la coma en el numerador a la izquierda según la cantidad de ceros que había en el denominador.

Ahora vamos a seguir los mismos pasos pero al revés, así que, si tenemos un número decimal, vamos a contar los lugares decimales, que son los que se encuentran a la derecha de la coma. Estos lugares nos indicarán cuántos ceros deberá tener el denominador y el numerador de la fracción será el número decimal, pero sin escribir la coma. Observa este ejemplo:

Sea el número $2,378$ , da su fracción decimal:

Contamos los lugares que hay a la derecha de la coma $\rightarrow$ hay 3 lugares, por lo tanto, el denominador será un 1 seguido de tres ceros: 1.000.
Para el numerador escribimos el número, pero sin coma $\rightarrow$ 2.378.
Ahora escribimos la fracción correspondiente $\rightarrow$ $\frac{2.378}{1.000}$ .
Si es posible, simplificamos la fracción $\rightarrow$ $\frac{1.189}{500}$ .

Cuando convertimos un número decimal a una fracción reescribimos dicho decimal como su fracción equivalente por medio de la amplificación por unidades seguidas de cero. Para esto escribimos primero el decimal sobre 1 y luego amplificamos y simplificamos. Por ejemplo, 0,5 = 5/10. Luego simplificamos y 5/10 = 1/2.

Clasificación de los números decimales

Los números decimales se pueden clasificar en:

Exactos: su parte decimal es finita. Por ejemplo: 0,345, 1,0235, etc.
Periódicos puros: su parte decimal es infinita y se repiten uno o varios números. Se suele representar el período con un arco. Por ejemplo: 2,3333…, 0,121212…, etc.
Periódico mixto: su parte decimal tiene una parte pura y una periódica. Por ejemplo: 2,1655555…, 0,01222222…, etc.

¡A practicar!

1. Convierte los siguientes números decimales a fracciones y luego, si es posible, simplifica:

$5,75$

Solución

$\frac{575}{100}=\frac{23}{4}$

$2,03$

Solución

$\frac{203}{100}$

$7,5$

Solución

$\frac{75}{10}$

2. Resuelve los siguientes cálculos. Convierte los números decimales a fracciones.

$0,2+0,6\: \times \, \frac{5}{2}$

Solución

$\frac{2}{10}+\frac{6}{10}\: \times \, \frac{5}{2}=\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\: \times \, \frac{5}{2}=\frac{1}{5}+\frac{15}{10}=\frac{2}{10}+\frac{15}{10}=\frac{17}{10}$

$0,25\: \times \, \left ( 1,5-\frac{2}{3} \right )$

Solución

$\frac{25}{100}\: .\, \left ( \frac{15}{10}-\frac{2}{3} \right )=\frac{1}{4}\: .\, \left ( \frac{3}{2}-\frac{2}{3} \right )=\frac{1}{4}\: .\, \left ( \frac{9}{6}-\frac{4}{6} \right )=\frac{1}{4}\: .\, \frac{5}{6}=\frac{5}{24}$

$1-0,4\: \times \, \frac{3}{4}$

Solución

$\frac{1}{1}-\frac{4}{10}\: \times \, \frac{3}{4}=\frac{1}{1}-\frac{2}{5}\: \times \, \frac{3}{4}=\frac{1}{1}-\frac{6}{20}=\frac{1}{1}-\frac{3}{10}=\frac{10}{10}-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Fracciones y números decimales. Ejercicio 3”

En este video podrá ver qué pasa si la fracción es impropia

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 1

OPERACIONES CON DECIMALES

En la vida cotidiana muchas cantidades están expresadas con números decimales, tales como los precios de los artículos en un supermercado o la estatura de las personas. Estos números se componen de dos partes: una entera y una decimal o inferior a la unidad. A continuación verás cómo resolver operaciones con decimales.

Por lo general, los precios de los artículos en los supermercados son expresados con números decimales sin importar la moneda utilizada. También podemos ver números decimales en algunas frecuencias de las emisoras de radio, en la capacidad de algunos envases, y en una de las constantes más famosas de las matemáticas: la constante π (pi).

VER INFOGRAFÍA

OPERACIONES BÁSICAS CON DECIMALES

Suma

Para realizar la adición de números decimales debemos ubicar las cifras una debajo de la otra, de tal manera que las comas queden alineadas en una misma columna. Además, todos los números a sumar deben tener igual cantidad de dígitos en la parte decimal, de lo contrario, agregamos los ceros que sean necesarios para igualar las cifras. Por ejemplo:

– Resuelve esta operación:

7,2139 + 1.042 + 0,065 + 38,50 =

Lo primero que hacemos es ubicar todas las cifras una debajo de la otra y nos aseguramos de que las comas queden alineadas verticalmente. Añadimos ceros a las números que sean necesarios para que todos tengan la misma cantidad de decimales:

Luego sumamos cada dígito de derecha a izquierda. Los números en círculo azul indican el orden en que sumamos las columnas. Observa que la coma está en la misma línea vertical.

Por lo tanto, el resultado es el siguiente:

7,2139 + 1.042 + 0,065 + 38,50 = 1.087,7789

Las operaciones con números decimales se realizan de manera muy similar a como trabajamos con los números enteros. La única diferencia es que debemos mantener la coma en la misma línea vertical. Si vamos a sumar decimales, sumamos las columnas de derecha a izquierda con la coma alineada. Con este procedimiento podemos resolver la adición de cualquier cantidad de números.

Resta

El procedimiento para la resta o sustracción de números decimales es similar a la sustracción con números enteros. Recordemos, además, que la regla para la suma algebraica establece que cuando dos números tienen signos iguales se suman y se coloca el mismo signo, mientras que cuando los números tienen signos diferentes se restan y se coloca el signo del número mayor. Por ejemplo:

– Resuelve esta operación:

(+9.821,13) + (−20.130) =

Como observamos, se trata de una suma algebraica de dos números que tienen signos diferentes, por lo tanto, tratamos la operación como una resta y al resultado le colocamos el signo del número mayor.

Primero ubicamos las dos cifras a restar: en la parte superior el número mayor y en la parte inferior el número menor. Verificamos que las comas están alineadas de forma vertical y, de ser necesario, completamos con ceros los decimales de alguna de las cifras hasta que ambas tengan la misma cantidad de dígitos en su parte decimal.

Procedemos a realizar la resta del mismo modo que hacemos con los números enteros, pero agregamos la coma en el lugar que corresponde, es decir, alineada con la columna de las comas.

Finalmente, colocamos el signo que corresponda. En este caso, el valor absoluto de −20.130 es mayor que el valor absoluto de +9.821. Por esta razón, el signo que se mantiene en el resultado es el signo negativo.

(+9.821,13) + (−20.130) = −10.308,87

Valor absoluto

El valor absoluto de un número es igual a la distancia que existe entre ese número y cero.

$\left | 15 \right | = 15$

$\left | -1.259 \right | = 1.259$

$\left | -20.130 \right |=20.130$

La resta también la podemos considerar como una suma algebraica de dos números que tienen signos diferentes. El resultado siempre tendrá el signo del número con mayor valor absoluto. A diferencia de la suma, en la resta conviene que restemos cantidades de dos en dos. Además, debemos ubicar al número mayor en la parte superior y al menor en la parte inferior.

Multiplicación

En el caso del producto entre dos cifras decimales, el procedimiento es el mismo que aplicamos para los números enteros, y al resultado final le agregamos la coma con la cantidad de espacios (de derecha a izquierda) equivalentes al número de cifras decimales totales que haya en los factores. Por ejemplo:

– Resuelve esta operación:

3.807,93 × 186,2 =

Primero multiplicamos el último término del multiplicador (será el pivote) por cada uno de los términos del multiplicando.

Después multiplicamos el siguiente término del multiplicador (será ahora el pivote) por cada uno de los términos del multiplicando. Anotamos los resultados en la segunda línea pero dejamos un espacio debajo del primer dígito.

Repetimos este procedimiento hasta que el primer término del multiplicador haya multiplicado todos los términos del multiplicando. Siempre dejamos un espacio debajo del primer dígito desde la derecha de cada número.

Luego sumamos todos los resultados de las multiplicaciones.

Por último, ubicamos la coma en el resultado. Para esto, contamos de derecha izquierda la cantidad de espacios equivalente al número total de decimales que tienen tanto el multiplicando como el multiplicador; en este caso, hay tres decimales en el resultado, pues el multiplicando 3.807,93 tiene dos decimales: 9 y 3, y el multiplicador 186,2 tiene un decimal: 2.

Entonces:

3.807,93 × 186,2 = 70.903,566

División

Al dividir el numerador por el denominador de una fracción, el resultado puede ser un número decimal, por lo tanto, las fracciones y los números decimales son expresiones equivalentes. Además, la notación empleada para denotar los números decimales puede ser a través de coma o de punto como se observa en la imagen.

La división que involucre números decimales implica a su vez tres posibles casos:

1. El dividendo es un número entero y el divisor es un número decimal.

En este caso, convertimos al divisor en un número entero. Para ello, agregamos al dividendo tantos ceros a la derecha como cantidad de espacios se movió la coma del divisor para convertirlo en entero. De este modo, tendremos una división de números enteros. Por ejemplo, si deseamos dividir 12 ÷ 1,5 seguimos estos pasos:

Entonces, el resultado de la división es el siguiente:

12 ÷ 1,5 = 8

2. El dividendo es un número decimal y el divisor es un número entero.

Aquí el procedimiento es similar a la división entre números enteros, con la única salvedad de que cuando bajamos el dígito del dividendo que se encuentra a la derecha de la coma, agregamos una coma en el cociente. Por ejemplo, la división: 78,6 ÷ 24.

Entonces, el resultado de la división es el siguiente:

78,6 ÷ 24 = 3,275

3. El dividendo y el divisor son números decimales.

En este caso, convertimos primero el divisor en un número entero y desplazamos la coma a la derecha tanto en el dividendo como en el divisor hasta que el divisor sea entero. De ser necesario, agregamos en el dividendo ceros a la derecha. Por ejemplo, la división: 93,48 ÷ 51,2.

Entonces, el resultado de la división es el siguiente:

93,48 ÷ 51,2 = 1,82578125

OPERACIONES ENTRE NÚMEROS DECIMALES Y OTROS NÚMEROS

Es posible que en ocasiones necesitemos realizar operaciones combinadas con números decimales y otros números, por ejemplo, con fracciones. En ese caso, podemos transformar los números decimales a fracciones o convertir las fracciones a números decimales si dividimos el numerador por el denominador como veremos en este tema.

Veamos el siguiente ejemplo y determinemos el resultado de:

$\frac{3}{4} + 0,9277 \times \frac{7}{4} =$

Existen diversas formas de resolver este problema, sin embargo, el orden siempre será el mismo: primero la multiplicación y al final la suma. Los pasos son los siguientes:

1. Resolvemos la multiplicación del número decimal con la fracción 7/4. Para esto debemos multiplicar 0,9277 por 7 y luego dividimos el resultado obtenido por cuatro (4).