CAPÍTULO 6 / TEMA 3

PROBABILIDAD

Si lanzas un dado, ¿cuáles son los posibles resultados? ¡6! Esto es así porque los dados tienen 6 caras; no obstante, no sabemos con certeza cuál de esos números saldrá. Esto es lo que se conoce como experimento aleatorio, y gracias a la probabilidad podemos medir la posibilidad de que este ocurra o no ocurra.

Los juegos de azar son aquellos cuyo resultado es aleatorio y dependen principalmente de la casualidad, sin que la habilidad del jugador sea un factor importante. La mayoría de estos involucra apuestas y mientras menor sea la probabilidad de ganar, mayor será el premio obtenido. El bingo, la ruleta y las quinielas son algunos ejemplos de juegos de azar.

VER INFOGRAFÍA

experimento determinista y aleatorio

Todos los fenómenos que ocurren en nuestra vida pueden ser catalogados como deterministas o aleatorios.

Los experimentos o fenómenos deterministas son los que suceden con seguridad, es decir, al repetirlos en las mismas condiciones se obtiene el mismo resultado; por ejemplo:

El agua se congela a 0 °C.
Al multiplicar 2 × 2 el resultado es 4.

Los experimentos o fenómenos aleatorios suceden al azar, no es posible predecir su resultado; por ejemplo:

Sacar una carta de un mazo de naipes.
Lanzar una moneda.

Lanzar un dado es un experimento aleatorio que podrías analizar por medio de cálculos de probabilidad. Aquí las variables aleatorias pueden tomar dos o más valores que no se pueden anticipar con certeza. Por ejemplo, al arrojar un dado los posibles resultados son 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Sabemos qué valores pueden salir, pero no podemos asegurar cuál de ellos será.

TIPOS DE EVENTOS aleatorios

Los eventos aleatorios pueden ser seguros, posibles o imposibles.

Los eventos imposibles no pueden ocurrir nunca; por ejemplo, lanzar un dado y que salga el número mayor a 7.
Los eventos posibles ocurren algunas veces; por ejemplo, lanzar un dado y que salga el número 3.
Los eventos seguros ocurren siempre y coinciden con el espacio muestral; por ejemplo, lanzar un dado y que salga un número menor a 7.

¿Qué es el espacio muestral?

Es el conjunto que contiene a todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Lo representamos con E. Se denomina “suceso elemental” a cada uno de los posibles resultados. Por ejemplo:

Experimento	Espacio muestral
Lanzar un dado	E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lanzar una moneda	E = {cara, cruz}

PROBABILIDAD DE UN EVENTO

La probabilidad de un resultado o acontecimiento es la proporción de las veces en que ocurrirán. En otras palabras, la probabilidad es el mecanismo matemático a través del cual pueden estudiarse sucesos aleatorios, es decir, operaciones cuyos resultados no pueden ser anticipados con seguridad, como el lanzamiento de un dado, la tirada de ruleta o un juego de cartas.

En los casos donde las posibilidades de obtener uno u otro resultado no son iguales, se analizan las probabilidades por medio de la definición del matemático francés Pierre de Laplace: “La probabilidad de un acontecimiento es igual al cociente entre el número de casos favorables y el número de casos igualmente posibles”.

$P=\frac{casos \: favorables}{casos\: posibles}$

– Ejemplo 1:

En un bolillero hay 24 bolas, 20 rojas y 4 azules, ¿cuál es la probabilidad de extraer una bola roja?,

Casos favorables	Casos posibles	Casos favorables/Casos posibles
20	24	20/24 = 5/6

La probabilidad de que salga una bola roja es de 5/6.

Podemos expresar la probabilidad como una fracción, un número decimal o porcentaje. Por lo tanto, para este caso podemos decir que:

P = 5/6

P = 0,83

P = 83,33 %

¿Sabías qué?

Para transformar la probabilidad en fracción a porcentaje basta con multiplicar el cociente entre el numerador y el denominador por 100.

– Ejemplo 2:

Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 4?

Casos favorables

Casos posibles

Casos favorables/Casos posibles

{5, 6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

2/6 = 1/3

La probabilidad de obtener un número mayor que 4 es de 1/3. También podemos expresarlo de la siguiente manera:

P = 1/3

P = 0,33

P = 33,33 %

Baraja francesa

Es un conjunto de cartas divididas en cuatro palos: corazones, picas, tréboles y rombos. De cada palo hay 13 cartas, por lo tanto, el mazo está formado por 52 cartas totales. Los corazones y los rombos son de color rojo, y los tréboles y las picas son de color negro. Estos naipes son ampliamente utilizados en juegos de mesa y azar. Si tuviésemos que sacar una carta del mazo sin ver tendríamos las siguientes probabilidades:

Evento	Probabilidad (fracción)	Probabilidad (número decimal)	Probabilidad (porcentaje)
Sacar una carta de corazones	13/52 = 1/4	0,25	25 %
Sacar el 4 de tréboles	1/52	0,02	2 %
Sacar una carta con dos palos	0	0	0 %
Sacar una carta roja	26/52 = 1/2	0,5	50 %

árbol de probabilidades

Los diagramas de árbol se utilizan en matemática principalmente para identificar formas de agrupar elementos o para indicar los factores que conforman un determinado número. Sin embargo, también pueden aplicarse a experimentos probabilísticos de distinto tipo en la que las formas de ordenar se llamarán “casos posibles”.

– Ejemplo:

Si lanzamos una moneda tres veces, ¿cuántos resultados posibles tendríamos?

En este diagrama de árbol observamos que hay 8 casos posibles u 8 posibles combinaciones de resultados si lanzamos una moneda tres veces.

– Ejemplo 2:

Observa de nuevo el diagrama, ¿cuál es la probabilidad de obtener tres veces cara al lanzar una moneda tres veces seguidas?

Para responder esta pregunta debemos ver todas las posibles opciones. Como solo una cumple este requerimiento y los posibles casos son 8, decimos que la probabilidad de obtener tres veces cara al lanzar una moneda tres veces seguidas es:

P = 1/8

P = 0,125

P = 12,5 %

¡A practicar!

Expresa en fracción, número decimal y porcentaje la probabilidad de que ocurran los siguientes eventos:

Lanzar un dado y que salga un número impar.

Solución

P = 3/6 = 1/2

P = 0,5

P = 50 %

Sacar una carta con número par de un grupo de 10 cartas numeradas del 1 al 10.

Solución

P = 5/10 = 1/2

P = 0,5

P = 50 %

Sacar una bola verde de una urna que tiene 3 bolas rojas, 5 bolas verdes y 3 bolas amarillas.

Solución

P= 5/11

P = 0,45

P = 45,5 %

Sacar una carta de tréboles de un mazo de baraja francesa.

Solución

P = 13/52 = 1/4

P = 0,25

P = 25 %

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Probabilidad”

Con este artículo se podrá profundizar sobre el concepto de probabilidad. Además hay algunos ejercicios para poner en práctica lo aprendido.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 5 (REVISIÓN)

FRACCIONES Y PORCENTAJES |¿QUÉ APRENDIMOS?

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES

La adición y la sustracción de fracciones se realiza con diferentes métodos. El método elegido va a depender del tipo de fracción que se vaya a sumar o a restar. Si las fracciones son homogéneas, se coloca el mismo denominador y se suman o restan sus numeradores. Cuando las fracciones son heterogéneas se pueden emplear diferentes procedimientos como la multiplicación cruzada, la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) a los denominadores de las fracciones o el uso de fracciones equivalentes.

Las fracciones también se pueden sumar o restar con los números enteros, para lo cual se convierte el número entero en fracción.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES

La multiplicación de fracciones se realiza mediante la multiplicación lineal de sus factores, numerador por numerador y denominador por denominador. Por otra parte, la división de fracciones tiene tres formas de resolverse. Una de ellas es de forma cruzada, a través de la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se coloca como numerador de la fracción resultante. Luego se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y el resultado se coloca en el denominador resultante. Otra manera es intercambiar el numerador y el denominador de la segunda fracción para resolverlo de manera lineal como la multiplicación. Y por último, otra opción consiste en el método de la doble c, en el cual la segunda fracción se coloca por debajo de la primera y se multiplican los términos exteriores para obtener el numerador resultante y los interiores para obtener el denominador resultante.

Conocer cómo simplificar fracciones es muy importante para facilitar los cálculos.

FRACCIONES Y DECIMALES

Las fracciones y los números decimales se encuentran muy relacionados, ya que las fracciones se pueden representar de forma decimal y algunos decimales se pueden expresar de forma fraccionaria. Las fracciones se encuentran formadas por el numerador y el denominador separados por una línea horizontal. Los decimales tienen una parte entera y una parte decimal divididas por una coma. Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción se obtiene un número decimal (o entero cuando se trata de una fracción aparente). Por otra parte, los decimales se pueden convertir en fracciones por diferentes procedimientos, según el número decimal sea exacto, periódico puro o periódico mixto. Existen números decimales que no pueden ser convertidos en fracciones como el número pi y son denominados números irracionales.

Los números periódicos son números decimales infinitos con una o más cifras decimales denominadas período que se repiten indefinidamente.

EL PORCENTAJE

El porcentaje se representa con el símbolo “%”. Es una forma de expresar una fracción dividida entre 100. Por esta razón, los números fraccionarios, los decimales y los porcentajes se encuentran muy relacionados. Los porcentajes se pueden transforman en números decimales al dividirlos entre el 100 %. Para calcular el porcentaje de una cifra se puede realizar mediante dos procedimientos. El primero es convertir el porcentaje en una fracción decimal y multiplicarlo por la cantidad total. Y el segundo método consiste en la regla de tres simple, en la cual el valor total es equivalente al 100 % y el porcentaje buscado corresponde al valor de la incógnita que queremos conocer.

CAPÍTULO 3 / TEMA 4

EL PORCENTAJE

En nuestra vida diaria es frecuente escuchar expresiones relacionadas con porcentajes como “la población creció un 20 %” o “hay un 50 % de descuento en ropa”. El porcentaje se utiliza para representar una porción de algo y se encuentra muy relacionado con los números decimales y los fraccionarios.

RELACIÓN DEL PORCENTAJE CON LAS FRACCIONES Y LOS DECIMALES

Para poder realizar el cálculo del porcentaje primero hay que saber que este representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100, equivalente al 100 % del número entero, y el numerador es una porción de este. Analicemos el siguiente ejemplo: según la Organización Mundial de la Salud (OMS), el 80 % de las personas que se contagian con el SARS-CoV-2 y desarrollan COVID‑19 se recuperan de la enfermedad sin necesidad de tratamiento hospitalario.

El porcentaje quiere decir que de cada 100 personas que contraen coronavirus, 80 personas se recuperan sin tener que ser hospitalizadas. Por lo tanto, el numerador de la fracción representa la porción de la población que se recupera y el denominador será la población total del estudio. En esta relación de porcentajes y fracciones también es posible aplicar el método de simplificación.

Con el resultado anterior concluimos que 8 de cada 10 personas contagiadas se recuperan sin necesidad de ser hospitalizadas.

Veamos otro ejemplo. La OMS dice que aproximadamente 1 de cada 5 personas que contraen la COVID‑19 presentan un cuadro grave y experimenta dificultades para respirar. Esto quiere decir:

Entonces, quiere decir que aproximadamente el 20 % de la población que se contagia con la enfermedad presenta un cuadro grave.

Asimismo, los porcentajes pueden ser convertidos en forma de números decimales al dividirse entre el 100 %, que representa al total. Y por el contrario, para convertir un número decimal a porcentaje basta con multiplicarlo por 100 %. En este sentido, los dos ejemplos anteriores se pueden expresar en forma decimal de la siguiente manera:

Porcentaje	Fracción	Número decimal
$80\: %$	$\frac{80}{100}$	$0,8$

Fracción	Número decimal	Porcentaje
$\frac{1}{5}$	$0,2$	$0,2\times 100 = 20 \: %$

Los porcentajes son muy utilizados en diferentes campos, debido a que estos equivalen a una porción de un todo. Pueden ser representados en gráficos, lo que ayuda a una mejor comprensión y a un análisis más rápido de los datos. Por otra parte, los porcentajes se pueden representar en números decimales o en números fraccionarios.

CÁLCULO DE PORCENTAJE

Existen ocasiones en nuestro día a día en los que se requiere calcular el porcentaje de un total o viceversa. También hay veces que queremos conocer qué cantidad del total representa el porcentaje. En ese caso, se emplea el siguiente método:

Covertir un porcentaje a la porción que representa

Tomemos el siguiente ejemplo: un jugador de baloncesto durante toda la temporada realizó 120 lanzamientos y falló el 25 % de sus tiros. Se quiere saber cuántos lanzamientos falló durante la temporada.

Para conocer la cantidad que representa un porcentaje respecto a un total, lo primero que debemos hacer es convertir el porcentaje a una fracción decimal y luego se multiplica por el total que, en este caso, son los 120 lanzamientos que realizó el jugador.

Al transformar el porcentaje en una fracción decimal se obtiene el siguiente resultado:

$25\, % =\frac{25}{100} = \frac{5}{20}= \frac{1}{4}$

Luego multiplicamos esa fracción por la cantidad de lanzamientos que realizó el jugador.

$\frac{1}{4}\times 120=\frac{1}{4}\times \frac{120}{1}= \frac{120}{4}=30$

Esto quiere decir que, de los 120 lanzamientos que realizó el jugador, falló en 30 de sus lanzamientos, es decir, el 25 %.

Los porcentajes son muy empleados por los empresarios o dueños de tiendas como estrategia para generar mayores ventas y mejorar sus ingresos. Al ofrecer porcentajes de descuentos en sus productos, el índice de ventas aumenta y conlleva a un crecimiento de sus ingresos. Por otro lado, también pueden aplicar porcentajes de recargo como sucede en las compras con tarjetas de crédito.

Uso de la regla de tres

Cuando se trabaja con porcentajes, las cantidades son directamente proporcionales, por lo tanto, estos pueden ser calculados mediante el uso de la regla de tres simple. En estos casos, si una cantidad aumenta, la otra también, y en el caso de que una disminuya, la otra también lo hace. Por lo tanto, es una regla de tres directa.

Para emplear este método veamos el siguiente ejemplo: en un salón de clases hay 40 alumnos. El 30 % de ellos aprobó el examen con A, el 50 % aprobó con B y el resto obtuvo una C. ¿Cuántos alumnos obtuvieron A, B y C?

Si en el salón hay 40 alumnos, entonces ellos representan el 100 %. Entonces planteamos las reglas de la siguiente manera:

El 30 % de lo alumno obtuvieron A:

$100\: %\rightarrow 40$

$30\: % \rightarrow x$

$x=\frac{30\: % \times 40}{100\: %}$

$\boldsymbol{x=12}$

El 50 % de los alumnos obtuvieron B:

$100\: %\rightarrow 40$

$50\: %\rightarrow x$

$x=\frac{50\: %\times 40}{100\: %}$

$\boldsymbol{x=20}$

El 20 % de los alumnos obtuvieron C:

$100\: %\rightarrow 40$

$20\: %\rightarrow x$

$x=\frac{20\: %\times 40}{100\: %}$

$\boldsymbol{x=8}$

Entonces, se concluye que los 12 alumnos con A representan el 30 %, los 20 alumnos con B equivalen al 50 % y 8 de ellos obtuvieron C, el equivalente al 20 %.

¿Sabías qué?

Se tienen registros que señalan que el porcentaje se ha usado desde el siglo XV.

APLICACIÓN DEL PORCENTAJE EN EL COMERCIO

El porcentaje es muy utilizado de diferentes formas en el comercio, por ejemplo, para realizar descuentos o recargos a las compras.

Descuentos

Cuando se habla de descuento, quiere decir que a la cantidad total que se va a pagar hay que restarle el porcentaje. Por lo tanto, la cantidad que se obtiene como resultado es menor que la cantidad dada. Por ejemplo:

Una tienda de bicicletas eléctricas vende uno de sus modelos en 2.500 $ con un descuento de 30 % si se paga con tarjeta de crédito. ¿Cuánto será el costo de la bicicleta si se paga con tarjeta de crédito?

Para realizar este ejercicio utilizaremos el primer método visto anteriormente.

Se convierte el porcentaje en fracción.

$30\, %=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$

Se multiplica por el costo de la bicicleta.

$\frac{3}{10}\times 2.500 = \frac{7.500}{10}= 750$

Se resta el porcentaje de descuento (750 $) al total del costo de la bicicleta.

$2.500 -750= 1.750$

El costo de la bicicleta con descuento, por el pago con tarjeta de crédito, será de 1.750 $. Observa que, como era de esperarse, la cantidad con el descuento es menor que el precio inicial.

La estadística es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de individuos o acontecimientos a través de la recolección y organización de datos. Esta emplea procedimientos que permiten obtener resultados de manera gráfica para la elaboración de conclusiones. En este sentido, la estadística se vuelve una herramienta muy útil para muchas ciencias y actividades humanas, como la sociología, la psicología, la geografía, y la economía.

Recargos

Otro de los usos que se le puede dar al porcentaje es para realizar recargos. Esto se ve mucho cuando se quiere realizar compras de artículos y no se tiene el monto total del mismo. El monto es divido en varias cuotas mas pequeñas, pero al final el costo total aumenta.

Imaginemos que se desea comprar un auto de 350.000 $ y el concesionario permite pagarlo en 12 cuotas con un recargo del 8 % sobre su costo. ¿Cuánto será el costo real del auto?

Para este ejercicio aplicaremos el segundo método visto: la regla de tres simple. Así que el 8 % de aumento por las 12 cuotas se plantea de la siguiente forma:

$100\: %\rightarrow \$ \: 350.000$

$8\: %\rightarrow x$

$x=\frac{8\: %\times \$ \: 350.000}{100\: %}$

$\boldsymbol{x= \$ \: 28.000}$

Luego, al tener el 8 % de aumento, se le suma al costo del auto 28.000 $ de aumento. Eso da un total de 378.000 $. Este es el costo del auto si se paga en 12 cuotas. Como era de esperarse, el costo del auto con recargo es mayor que el costo inicial.

¡A practicar!

1. ¿Cuánto es el 38 % de 12.583?

RESPUESTAS

El 38 % de 12.583 es 4.781,54.

2. El costo de unos zapatos para jugar al fútbol tienen un valor de 130 $. Si se pagan en efectivo se realiza un descuento del 23 %. ¿Cuánto se ahorra si se pagan en efectivo?

RESPUESTAS

Se ahorrarían 29,90 $.

3. Si se realiza un viaje en auto con un motor usado se consumen 56 litros de gasolina. Si con un motor nuevo se ahorra 26 % de gasolina, ¿cuántos litros de gasolina ahorra el motor nuevo?

RESPUESTAS

El motor nuevo ahorra 14,56 litros de gasolina.

4. Desde el 2010 hasta el 2018, 7.954 personas han intentado subir al Monte Everest. Durante esa travesía, 72 personas no pudieron completar el viaje. ¿Cuánto fue el porcentaje de personas que no pudieron completar el viaje?

RESPUESTAS

El porcentaje de personas que no pudieron completar el viaje fue del 0,9 %.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Porcentajes”

Este artículo permite analizar diferentes ejercicios en los que se aplican los porcentajes.

VER

Tarjeta Educativa “Porcentaje”

Esta tarjeta educativa sirve para resumir los aspectos básicos del porcentaje como sus aplicaciones, características y ejemplos.

VER

Artículo “Regla de tres”

Este artículo permite entender qué es una regla de tres, sus tipos y cómo resolverla.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 3

FRACCIONES Y DECIMALES

Algunos números decimales pueden ser representados a través de fracciones, por esta razón se dice que los números decimales y las fracciones se encuentran relacionados. Los números decimales que se pueden representar a través de fracciones se denominan racionales y de acuerdo a su tipo se realiza la conversión.

Los números fraccionarios están formados por el numerador y el denominador que se encuentran divididos por una raya horizontal. Por otro lado, los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal separadas por una coma. En el caso de números racionales es posible representar la misma cantidad en fracción o decimal.

LOS NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales son aquellos que están formados por una parte entera y una parte decimal. Estos están separados por una coma o un punto. Estos números son otra forma de escribir el resultado de las fracciones. Ambas expresiones representan cualquier número no entero (aunque las fracciones pueden representar cantidades enteras en el caso de las fracciones aparentes).

En este sentido, las fracciones se pueden expresar en forma de números decimales, para lo cual se debe realizar la división de la fracción, es decir, numerador entre denominador. Por ejemplo, al dividir el numerador entre el denominador de la fracción 5/4 se obtiene 1,25, que corresponde a la misma cantidad.

Convertir una fracción a número decimal

Solo existe un método para convertir una fracción a número decimal y se realiza a través de la división. Si divides el numerador entre el denominador por lo general obtienes un número decimal. Siempre y cuando no sea una fracción aparente, en la que el resultado es un número entero (como en el caso de 4/2 = 2).

Algunos ejemplos de conversión de fracciones a decimales son los siguientes:

$\frac{9}{8}=1,125$

$\frac{3}{14}=0,214$

$\frac{26}{63}= 0,4127$

Convertir un número decimal a fracción

Existen diferentes procedimientos para convertir números decimales a fracciones. Estos pasos dependen del tipo de número que se va a transformar.

Tipos de números decimales

Los números decimales pueden ser racionales o irracionales. Los racionales pueden representarse en forma de fracción y los irracionales no. Los números racionales se clasifican en decimales exactos y decimales periódicos.

Decimales exactos: son aquellos números que tiene una parte limitada o finita de cifras decimales. Los decimales finitos representan a las fracciones decimales. Por ejemplo: 2,38; 4,681; 68,98135; 9647,3543.

Decimales periódicos: son aquellos en los que toda la parte decimal o una porción de esta sigue un patrón infinito de números denominado período y se denota en forma de arco en la parte superior del mismo.

Se pueden distinguir dos tipos de decimales periódicos:

Números decimales periódicos puros

Estos números decimales tienen la parte decimal periódica inmediatamente después de la coma. La parte periódica se suele señalar usualmente con una línea horizontal o arco en la parte superior del mismo. Por ejemplo: 2,3333… = $\inline 2,\widehat{33}$ .

Números decimales periódicos mixtos

Estos números decimales poseen dos partes decimales: una parte no periódica, denominada anteperíodo, y la otra parte es la periódica, que se denota con el arco superior. Por ejemplo: 2,147151515… = $\inline 2,147\widehat{15}$ .

¿Sabías qué?

Al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro se obtiene un número irracional denominado número pi.

Convertir un número decimal exacto a fracción

Para transformar un número decimal exacto a una fracción decimal se debe escribir el decimal dividido por 1. Luego hay que multiplicar tanto el numerador como el denominador por una potencia de base diez (10, 100, 1.000, etc.) que tenga tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Si la fracción que se obtiene no es irreducible, entonces se debe simplificar para obtener el resultado

Por ejemplo:

Otro ejemplo sería:

Al igual que las demás clases de números, los decimales y los fraccionarios pueden ubicarse en la recta numérica. Estos se encuentran entre dos números enteros, por lo tanto, permiten realizar e indicar mediciones mucho más precisas. Un ejemplo de esto son las llaves mecánicas, las cuales tienen medidas fraccionarias en pulgadas y decimales en milímetros.

Convertir un decimal periódico puro a fracción

Para convertir un decimal periódico puro a fracción es necesario aplicar los siguientes pasos:

1. Se coloca en el numerador una resta entre el número formado por la parte entera y la parte periódica sin la coma, y la parte entera. Observemos el siguiente ejemplo en el que se desea convertir en fracción el número $\inline 7,\widehat{66}$ .

2. Se coloca en el denominador un número formado por tantos 9 según la cantidad de cifras en el período, es decir, si hay un número bajo la línea periódica se coloca un solo 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99 y así sucesivamente.

3. Se realizan las operaciones matemáticas necesarias para conseguir la fracción. Se simplifica si es necesario.

$7,\widehat{66}=\frac{766-7}{99}=\boldsymbol{\frac{759}{99}}$

Veamos otro ejemplo en el cual se aplicaron los mismos pasos:

$92,\widehat{35}=\frac{9235-92}{99}=\boldsymbol{\frac{9.143}{99}}$

Convertir un decimal periódico mixto a fracción.

Para llevar un número decimal mixto a fracción, seguimos los siguientes pasos:

1. Se coloca en el numerador una resta formada por el número completo sin la coma menos la parte entera y el anteperíodo. Observemos el siguiente ejemplo: $\inline 58,3\widehat{7}$ .

2. Se coloca el denominador de la fracción que será un número formado por tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo.

Por último, se realizan los cálculos necesarios para conseguir la fracción y se simplifica si la misma lo requiere.

$58,3\widehat{7}=\frac{5837-583}{90}=\frac{5.254}{90}=\boldsymbol{\frac{2.627}{45}}$

Veamos otro ejemplo con el mismo procedimiento:

$64,12\widehat{91}=\frac{641291-6412}{9900}=\boldsymbol{\frac{634.879}{9.900}}$

Los números irracionales

Este tipo de números decimales no pueden ser convertidos en fracciones, debido a que tienen cifras decimales infinitas que no pueden ser definidas como un patrón. Por lo tanto, crear una fracción de estos números sería infinita. Podemos mencionar como ejemplos de estos números al número pi = 3,1416… o al resultado de $\sqrt{7}=2,6457512110...$

VER INFOGRAFÍA

La estadística es una de las ramas de la matemática que emplea el uso de los números fraccionarios y decimales para realizar el estudio de muestras y poblaciones. Por tal motivo, tener conocimientos sobre cómo convertir un número fraccionario a decimal, y viceversa, puede ser muy útil en diversos campos.

Operaciones entre fracciones y decimales

Los números decimales y las fracciones se pueden sumar, restar, dividir, y multiplicar, entre otras operaciones, siempre y cuando se apliquen los métodos anteriormente vistos, como convertir un número decimal a fracción o una fracción a número decimal. Es importante tener presente que para resolver estos ejercicios debemos convertir todos los números a decimales o todos los números a fracciones.

– Primer método: convertir la fracción en un número decimal. Esto se realiza al dividir el numerador entre el denominador.

Ejemplo:

$45,18 + \frac{38}{17}= 45,18 + 2,2353 = 47,4153$

– Segundo método: convertir el número decimal en una fracción. En este caso, se utiliza la conversión del número decimal a fracción. En el ejemplo anterior, se puede notar que el número decimal es exacto, por lo tanto, se utiliza la conversión de número decimal exacto a fracción.

$45,18+\frac{38}{17}=\frac{4.518}{100}+\frac{38}{17}=\frac{2.259}{50}+ \frac{38}{17}=\frac{2.259\times 17+50\times38}{50\times 17}= \frac{38.403+1.900}{850}=$

$\boldsymbol{=\frac{40.303}{850}}$

En ambos casos se obtuvo el mismo resultado expresado de una forma diferente $\frac{40.303}{850}=47,4153$

Estos pasos previos se utilizan para realizar los otros cálculos matemáticos como la división, la multiplicación, las potencias, las raíces y las operaciones combinadas.

¡A practicar!

1. Convierte los siguientes números a decimales:

a) $\frac{15}{12}$

RESPUESTAS

$\frac{15}{12}=1,25$

b) $\frac{28}{15}$

RESPUESTAS

$\frac{28}{15}= 1,8\widehat{6}$

2. Convierte los siguientes números a fracciones:

a) $42,56\widehat{3}$

RESPUESTAS

$42,56\widehat{3}=\frac{42.563-4.256}{900}=\frac{38.307}{900}$

b) $938,\widehat{7}$

RESPUESTAS

$938,\widehat{7}=\frac{9.387-938}{9}=\frac{8.449}{9}$

c) $456,328$

RESPUESTAS

$456,328=\frac{456.328}{1.000}=\frac{228.164}{500}=\frac{114.082}{250}=\frac{57.041}{125}$

3. Resuelve las siguientes operaciones:

a) $726,328+\frac{15}{6}$

RESPUESTAS

$726,328+\frac{15}{6}=\frac{726.328}{1.000}+\frac{15}{6}=\frac{90.791}{125}+\frac{15}{6}= 728,828$

b) $415,14-\frac{425}{3}$

RESPUESTAS

$415,14-\frac{425}{3}=415,14-141,66=273,48$

c) $26,31\times\frac{18}{23}$

RESPUESTAS

$26,31\times\frac{18}{23}=\frac{2.631}{100}\times\frac{18}{23}= \frac{47.358}{2.300}=\frac{23.679}{1.150}$

d) $92,78 :\frac{87}{17}$

RESPUESTAS

$92,78 :\frac{87}{17}=\frac{9.278}{100}:\frac{87}{17}=\frac{4.639}{50}:\frac{87}{17}=\frac{\frac{4.639}{50}}{\frac{87}{17}}=\frac{78.863}{4.350}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Resolución de cálculos combinados con paréntesis, corchetes y llaves”

Este artículo explica cómo resolver operaciones matemáticas con fracciones y decimales que incluyen paréntesis, corchetes y llaves.

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Artículo “Cómo realizar ejercicios combinados con fracciones”

El siguiente artículo destacado se enfoca en los pasos a seguir para resolver cálculos de operaciones combinadas con fracciones.

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CAPÍTULO 3 / TEMA 5

fracciones y porcentajes

¿Sabías qué el 70 % de la superficie de nuestro planeta está cubierto por agua? ¡Sí! Pero ¿qué significa 70 %? Los porcentajes son expresiones que, al igual que las fracciones, representan una parte de un todo. También los vemos a menudo en las rebajas en las tiendas del centro comercial o en los impuestos de los productos que compramos.

relación de las fracciones y el porcentaje

El porcentaje es una parte de un todo igual a 100, es decir, es una razón con denominador 100. Su símbolo es “%” y se puede expresar como una fracción o como un decimal. Por ejemplo, 70 % es igual a escribir 70/100 que a su vez es igual a 0,7.

Puedes ver la relación entre el porcentaje, las fracciones y los número decimales en esta tabla:

Porcentaje	Fracción	Decimal
Cantidad en relación a 100	Porcentaje/100	0,…

– Ejemplo:

Porcentaje	Fracción	Decimal
$70\: %$	$\frac{70}{100}$	$0,7$
$45\: %$	$\frac{45}{100}$	$0,45$

La relación no siempre es lineal, también podemos partir de una fracción y convertirla en porcentaje. Para esto, solo dividimos el numerador entre el denominador, y luego multiplicamos el cociente obtenido por 100.

Fracción	Decimal	Porcentaje
$\frac{1}{2}$	$1\div 2=0,5$	$0,5\times 100=50\: %$
$\frac{5}{6}$	$5\div 6=0,833$	$0,833\times 100=83,3\: %$

¿Sabías qué?

En los porcentajes se lee “por ciento”. Por ejemplo, el “15 % de los alumnos juegan al fútbol” se lee “el quince por ciento de los alumnos juegan al fútbol”.

Los porcentajes ya eran usados en la Antigüedad y hay registros sobre su aplicación en el Imperio romano. Aunque el símbolo original no era el que conocemos en la actualidad, este hacía alusión a los ceros del 100. De hecho, el símbolo “%” es una representación estética de los ceros de las centenas, pues un porcentaje se lee “por ciento”.

¡Es tu turno!

Convierte estas fracciones a porcentajes:

$\frac{1}{4}$

Solución

$\frac{1}{4}=1\div 4=0,25$

$0,25\times 100=\boldsymbol{25\: %}$

$\frac{2}{25}$

Solución

$\frac{2}{25}=2\div 25=0,08$

$0,08\times 100=\boldsymbol{8\: %}$

Cálculo de porcentajes

Para calcular el porcentaje de una cantidad, por ejemplo, el 15 % de 80, podemos optar por tres métodos diferentes:

1. Convierte el porcentaje a fracción. Luego multiplica.

$15\: % = \frac{15}{100}$

$\frac{15}{100}\times 80 = \boldsymbol{12}$

2. Convierte el porcentaje a decimal. Luego multiplica.

$15\: %=\frac{15}{100}=0,15$

$0,15\times 80=\boldsymbol{12}$

3. Usa la regla de tres.

$100\: %\rightarrow 80$

$\: \: 15\: %\rightarrow x$

$x=\frac{15\: %\times 80}{100\: %}=\boldsymbol{12}$

Nota que con cualquiera de los tres métodos el resultado será el mismo: 12.

¿Qué es el IVA?

El IVA o impuesto al valor agregado es un impuesto directo que pagan los consumidores al Estado por utilizar algún bien o servicio. Cada país tiene un porcentaje de IVA diferente, por ejemplo, en Argentina es de 21 %, en Colombia es de 19 %, en Costa Rica es de 13 % y en Venezuela es de 16 %.

¡Resolvamos algunos problemas!

1. En un curso hay 30 chicos y el 10 % de ellos juega al rugby, el 30 % juega al fútbol y el resto no hace ningún deporte. Responde:

a) ¿Cuántos de ellos juegan al rugby?

b) ¿Cuántos juegan al fútbol?

c) ¿Cuántos no hacen ningún deporte?

Datos

Cantidad de chicos: 30

Chicos que juegan al rugby: 10 %

Chicos que juegan al fútbol: 30 %

Chicos que no hacen ningún deporte: ?

Reflexión

a. Para saber la cantidad de chicos que juegan al rugby tenemos que multiplicar la cantidad total de chicos (30) por la fracción equivalente al porcentaje, en este caso, 10 % = 10/100.

b. La cantidad de jugadores de fútbol la sabremos si multiplicamos la cantidad total de chicos por la fracción equivalente al porcentaje, en este caso, 30 % = 30/100.

c. Cuando sepamos la cantidad de chicos que juegan al rugby y al fútbol, solo tendremos que restarle esa cantidad al total, es decir, los chicos que no hacen deporte = 30 − (a + b)

Cálculo

a. $30\times \frac{10}{100}=\boldsymbol{3}$

b. $30\times \frac{30}{100}= \boldsymbol{9}$

c. $30-(3+9)=30-12=\boldsymbol{18}$

Respuestas

a. 3 chicos juegan al rugby.

b. 9 chicos juegan al fútbol.

c. 18 chicos no hacen deporte.

2. A José le hicieron un descuento del 5 % en su compra. Si gastó en ese lugar $ 3.200, ¿qué monto debe pagar?

Datos

Cuenta total: $ 3.200

Descuento: 5 %

Reflexión

a. Lo primero que tenemos que hacer es calcular el 5 % de 3.200. Para esto solo multiplicamos la cantidad de dinero por la fracción equivalente al porcentaje, que sería 5 % = 5/100.

b. Como se trata de un descuento, tenemos que “quitar” la cantidad que represente ese porcentaje al monto total, por lo tanto, tenemos que restarlo.

Cálculo

a. $3.200\times \frac{5}{100}=\boldsymbol{160}$

b. $3.200-160=\boldsymbol{3.040}$

Respuesta

José debe pagar $ 3.040.

3. Un equipo de baloncesto participó en 50 partidos este año y ganó el 30 % de ellos. ¿Cuántos partidos ganó este año?

Datos

Partidos jugados: 50

Partidos ganados: 30 %

Reflexión

Al tratarse del porcentaje de una cantidad total, basta con multiplicar la cantidad de partidos (50) por la fracción equivalente al porcentaje, es decir, 30 % = 30/100.

Cálculo

$50\times \frac{30}{100}=\boldsymbol{15}$

Respuesta

El equipo de baloncesto ganó 15 partidos de 50 jugados este año.

importancia del porcentaje

En la vida cotidiana, el porcentaje tiene distintos usos. Por ejemplo, a la hora de calcular la tasa de interés, al solicitar un crédito, al realizar una encuesta, en los descuentos y recargos en el pago de una cuenta, o cuando esperamos que una aplicación móvil se cargue y vemos una barra que muestra el porcentaje de descarga.

Los porcentajes son útiles cuando comparamos grandes partes de un todo. Por ejemplo, si de un instituto de 800 estudiantes, 360 estudiantes van a la feria de ciencias, y de otro van 360 de 600 estudiantes, es más práctico y claro decir que el 45 % de los estudiantes del primer instituto va a la feria de ciencias y que el 60 % del segundo va a la feria de ciencias.

Los gráficos circulares, también conocidos como gráficos de torta o pastel, se usan para comparar porcentajes con respecto a un total de datos. Para hallar los porcentajes parciales se dividen los 360° del círculo de acuerdo a los valores dados. Para dibujarlas en papel necesitarás un compás y un transportador para saber los grados a marcar por cada porcentaje.

¡A practicar!

1. Calcular los siguientes porcentajes:

12 % de 1.700

Solución

204

3 % de 4.400

Solución

132

15 % de 2.500

Solución

375

50 % de 45.000

Solución

22.500

78 % de 50.000

Solución

39.000

2. Resuelve:

a. Marta tiene 120 figuritas repetidas y le regaló el 20 % a su amiga. ¿Cuántas figuritas le quedan a Marta?

Solución

$120\times \frac{20}{100}=\boldsymbol{24}$

$120-24=\boldsymbol{96}$

A Marta le quedan 96 figuritas.

b. Gabriela viajó dos quintas partes de lo que debía viajar. ¿Qué porcentaje del viaje realizó?

Solución

$\frac{2}{5}=2\div 5=0,4$

$0,4\times 100 = \boldsymbol{40 \: %}$

Gabriela realizó el 40 % del viaje.

c. Se realizó una encuesta a 200 personas sobre los géneros de películas que más les gustan y representaron los resultados en este gráfico circular como porcentajes. Indica a cuántas personas les gusta cada género.

Solución

Comedia: 110 personas

Suspenso: 40 personas

Familiares: 24 personas

Terror: 10 personas

Drama: 16 personas

3. Escribe las siguientes fracciones como porcentajes:

$\frac{3}{5}$

Solución

60 %

$\frac{12}{20}$

Solución

60 %

$\frac{7}{8}$

Solución

87,5 %

RECURSOS PARA DOCENTES

Tarjeta Educativa “Porcentaje”

En esta tarjeta encontrará reglas prácticas para el cálculo de porcentajes, sus características y aplicaciones.

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Artículo “Porcentajes”

El artículo habla sobre la presencia de los porcentajes en la vida cotidiana y su uso.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 5 (REVISIÓN)

SISTEMA DE NUMERACIÓN | ¿QUÉ APRENDIMOS?

ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Desde la Antigüedad, el hombre ha usado diversos sistemas con símbolos que le permiten contar. Algunos son no posicionales, como los números romanos; y otros son posicionales, como el sistema decimal, binario o sexagesimal. Los números romanos cuentan con solo siete símbolos, iguales a algunas letras de nuestro alfabeto. El sistema binario tiene base 2 y solo utiliza 2 cifras: el 1 y el 0. El sistema de numeración sexagesimal tiene como base el número 60. Y el sistema decimal, el que usamos normalmente, tiene como base el 10 y emplea diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

El sistema binario se considera fundamental en la computación. La base de este sistema son los números 0 y 1 y su combinación en cadena para generar algoritmos.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Este conjunto está conformado por los números naturales ( $\mathbb{N}$ ), los enteros negativo ( $\mathbb{Z}^{-}$ ) y el cero que es neutro. Este conjunto de números lo utilizamos, por ejemplo, para expresar alturas que se encuentran por encima y por debajo de un sistema de referencia, o bien para indicar temperaturas por encima y debajo del cero.

Las temperaturas por encima de cero se leen como números positivos, mientras que las que están por debajo de cero se leen como números negativos. Ejemplo, 20 ºC y −10 ºC.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

El conjunto de los números racionales se denota con la letra $\mathbb{Q}$ e incluye todas las fracciones, es decir, las divisiones de dos números enteros. Tienen gran utilidad cuando deseamos expresar partes de una totalidad, por ejemplo, cantidades de ingredientes en una receta (1/2 taza de harina) o porciones de pizza (3/4 de pizza).

Los gráficos circulares son visualmente muy útiles cuando deseamos expresar un número racional.

LOS NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales constituyen un amplio grupo de números que incluyen al conjunto de números racionales ( $\mathbb{Q}$ ) e irracionales ( $\mathbb{I}$ ). Están conformados por una parte entera y una parte decimal separados por una coma o un punto. Los empleamos para expresar valores que se encuentran entre dos números consecutivos.

CAPÍTULO 1 / TEMA 3

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

El conjunto de los números racionales está conformado por todos aquellos números que pueden ser expresados como una división. Entran en este grupo algunos números decimales y las fracciones. Tienen gran aplicación cotidiana para representar partes de un entero o porciones de una totalidad.

No podemos usar los números enteros para resolver todas las operaciones entre ellos. Por ejemplo, si cortamos una tabla de 1 metro en 2 partes iguales, ¿cuánto mide cada pedazo? La división 1 ÷ 2 no tiene solución dentro de los números enteros, por tal motivo, usamos el conjunto de los números racionales, en el que esta división se representa como 1/2.

¿Sabías qué?

La primera civilización en utilizar los números racionales fueron los egipcios.

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS RACIONALES?

Son todos aquellos números que pueden representarse a través de una fracción. De ahí su nombre “racionales”, pues a las fracciones también se las conocen como “razones”.

El conjunto de los números racionales se denota con la letra $\mathbb{Q}$ , que alude al término quotient que significa “cociente”, ya que todo número racional puede ser representado como una fracción con cociente igual a un número decimal.

VER INFOGRAFÍA

Los números racionales como subconjunto de los números reales

Los números racionales ( $\mathbb{Q}$ ), en conjunto con los números enteros ( $\mathbb{Z}$ ) y los irracionales ( $\mathbb{I}$ ), conforman el conjunto de los números reales ( $\mathbb{R}$ ), donde se encuentran todos los números naturales y decimales.

ELEMENTOS DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales se forman al dividir dos números enteros que dan como resultado un número decimal. Los números racionales son todos los números del tipo $\frac{a}{b}$ donde a es el numerador y b es el denominador. Ambos elementos, a y b, son número enteros y b es distinto de cero.

Número irracionales

Toda fracción es un número racional. Sin embargo, no todo número decimal pertenece al conjunto de los números racionales, porque no todos tienen una fracción equivalente. Tal es el caso de los decimales no periódicos, los cuales pertenecen al conjunto de los números irracionales, denotados con la letra $\mathbb{I}$ . En esta categoría se encuentran, por ejemplo, $\sqrt{7}$ , $\pi$ o cualquier número con decimales infinitos.

orden de los números racionales

Comparar racionales permite establecer una relación de orden en $\mathbb{Q}$ . Cuando los racionales tienen igual denominador, será mayor aquel con mayor numerador. Por ejemplo, entre $\frac{8}{3}$ y $\frac{2}{3}$ , $\frac{8}{3}$ es mayor porque 8 > 2.

Cuando los racionales tienen denominadores diferentes tenemos que convertirlos en fracciones equivalentes de igual denominador y luego comparar. También podemos usar la siguiente regla:

Si $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ ∈ $\mathbb{Q}$ , con b y d positivos

Se cumple que:

Si $a\times d> b\times c$ , entonces $\frac{a}{b}> \frac{c}{d}$

Si $a\times d< b\times c$ , entonces $\frac{a}{b}< \frac{c}{d}$

– Ejemplo:

$\frac{8}{5}> \frac{6}{7}$ porque $8\times 7> 5\times 6$

$\frac{4}{7}< \frac{3}{5}$ porque $4\times 5< 7\times 3$

Fracciones negativas

Si el numerador o el denominador de una fracción es un número negativo podemos escribir el signo “−” antes de la fracción.

$\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}$

$\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$

Las fracciones negativas, al estar más a la izquierda en la recta numérica, son menores que las fracciones positivas.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Los números racionales se suelen utilizar para expresar partes de una totalidad. Por ejemplo, “un 1/4 de la población mundial utiliza Internet” o “un 1/3 de la población vive en situación de pobreza”, o bien “un 1/2 de los habitantes del planeta son mujeres”. En general, resulta más representativo hablar de fracciones de un total que solo indicar la cantidad de personas.

Para graficar números racionales tenemos que identificar primero qué tipo de fracción es. Si la fracción es propia, es decir, si tiene el numerador menor al denominador, basta con dividir una figura geométrica en tantas partes como indique el denominador y colorear las partes que indique el denominador. Por ejemplo:

$\boldsymbol{1=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{2}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{3}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{4}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{5}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{6}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{7}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{8}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{9}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{10}=}$

Si la fracción es impropia tenemos que dividir la figura en tantas partes como muestre el denominador y repetirla hasta que se coloreen todas las partes que señale el numerador. Estas fracciones siempre tendrán más de un entero, así que también podemos convertir la fracción impropia en número mixto y seguir los pasos anteriores. Por ejemplo:

$\frac{20}{9}=2\frac{2}{9}=$

$\frac{10}{8}=1\frac{2}{8}=$

Fracciones y porcentajes

Los gráficos circulares o de sectores son ampliamente utilizados en estadística y otras áreas en las que son una herramienta de gran utilidad para expresar partes de un todo, por lo que las fracciones son necesarias para determinar las porciones de colores. No obstante, es mucho más práctico hacer estos gráficos con datos mostrados en porcentajes: una forma de representar a una fracción decimal, cuyo denominador es 100.

Convertir fracciones en porcentajes es muy sencillo, solo tenemos que dividir el numerador entre el denominador y después multiplicar por 100 %. Por ejemplo, 1/4 es igual a 25 % porque 1 ÷ 4 = 0,25 y 0,25 × 100 % = 25 %.

¡A practicar!

1. Señala cuáles números son racionales y cuáles son irracionales.

$\frac{4}{5}$

Solución

Es un número racional.

$\sqrt{2}$

Solución

Es un número irracional.

$\frac{\pi }{3}$

Solución

Es un número irracional.

$\frac{1}{4}$

Solución

Es un número racional.

2. Ordena de menor a mayor los siguientes número racionales.

$\frac{8}{5}$ , $\frac{6}{7}$ , $\frac{2}{9}$ , $\frac{1}{2}$

Solución

$\frac{2}{9}$ < $\frac{1}{2}$ < $\frac{6}{7}$ < $\frac{8}{5}$

$\frac{10}{3}$ , $\frac{6}{8}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{5}{2}$

Solución

$\frac{2}{3}$ < $\frac{6}{8}$ < $\frac{5}{2}$ < $\frac{10}{3}$

$-\frac{8}{4}$ , $\frac{3}{7}$ , $1$ , $\frac{2}{5}$

Solución

$-\frac{8}{4}$ < $\frac{2}{5}$ < $\frac{3}{7}$ < $1$

3. ¿Qué fracción representan estos gráficos?

Solución

$\frac{7}{3}$

Solución

$\frac{2}{9}$

Solución

$\frac{8}{5}$

Solución

$\frac{4}{10}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “¿Cómo transformar un número decimal a fracción?”

En este artículo hallará el método y la explicación para obtener la fracción generatriz de un número decimal.

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Artículo “La recta numérica”

En este recurso encontrará un método para representar números racionales en la recta real.

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Artículo “La clasificación de los números”

En este artículo encontrará la clasificación de los diferentes conjuntos numéricos, a fin de identificar en qué categoría o a qué subconjunto pertenecen los números racionales.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 7 (REVISIÓN)

SENTIDO NUMÉRICO | REVISIÓN

UNIVERSO DE LOS NÚMEROS

Los números desde su invención han servido para contar cosas y por eso existen diferentes sistemas y tipos de números que permiten un mejor conocimiento de las cantidades. Para comprender el sentido numérico, dentro del universo de los números se utilizan diversas clasificaciones. Un tipo de números son los ordinales que sirven para establecer un orden. Por otro lado, existen los cardinales que indican cantidades numéricas de elementos que pertenecen a un grupo o conjunto. Actualmente, el sistema más usado es el sistema numérico decimal pero no es el único que existe. Otras culturas crearon sistemas de numeración distintos al decimal, como por ejemplo, los mayas y los romanos.

El sistema de numeración binario se utiliza principalmente en la informática. Está conformado solo por dos cifras: el 0 y el 1.

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

De acuerdo a la cantidad de divisores que poseen los número, los podemos clasificar en primos y compuestos. Los números primos son aquellos que solo son divisibles por el número uno y por sí mismos. En cambio, los números compuestos son aquellos que además de ser divisibles por el uno y por sí mismos, también son divisibles por otro u otros números, es decir, tienen más de dos divisores. Todos los números compuestos pueden expresarse como un producto de factores primos.

Para determinar los factores primos de un número compuesto se emplean los criterios de divisibilidad.

VALOR POSICIONAL

Una de las principales características de nuestro sistema de numeración decimal es que el valor de los dígitos varía de acuerdo a su ubicación dentro del número. Esta característica se denomina valor posicional y aplica tanto en los números enteros como en los fraccionarios. Una herramienta que nos permite observar directamente el valor de cada dígito de acuerdo al lugar que ocupa es la tabla posicional.

Según la posición de cada dígito, los números pueden descomponerse en forma de suma (descomposición aditiva) o de multiplicación (descomposición multiplicativa).

NÚMEROS DECIMALES

Hay números que se ubican entre dos números enteros consecutivos, estos números se denominan números decimales y se caracterizan porque presentan una parte entera y una decimal, que se encuentran separadas por una coma o punto de acuerdo a la convención del país. Los números decimales se clasifican en racionales y en irracionales. Los racionales se pueden representar en forma de fracción, y los irracionales son números infinitos cuya parte decimal no sigue ningún patrón, como sucede en el caso del número pi.

A menudo se pueden aplicar redondeos en las cifras decimales de un número para simplificar los cálculos.

POTENCIAS

La potenciación es una operación compuesta de tres partes fundamentales: el exponente, la base y la potencia. El exponente indica cuántas veces se debe multiplicar la base por si misma. La base es el número que se multiplica por sí mismo las veces que indique el exponente. La potencia es el resultado de la operación de potenciación. Como toda operación matemática, las potencias cumplen con algunas propiedades. Por ejemplo, todo número elevado a 0 es igual a 1. Para resolver potencias se aplican sus propiedades y se realizan multiplicaciones sucesivas de la base.

Cuando el exponente es 1, la potencia es siempre igual a la base.

RAÍZ DE UN NÚMERO

La radicación es la operación inversa a la potenciación y por ello se encuentran estrechamente relacionadas. Esta operación emplea el símbolo (√) denominado radical. Sus elementos principales son el radicando, el índice y la raíz. El radicando es el número al cual se le va a calcular la raíz y se encuentra en la parte inferior del radical. El índice es el número que índica la cantidad de veces en las que debe multiplicarse un número por sí mismo para que el resultado sea igual al radicando, y se ubica en la parte izquierda del radical. La raíz es el resultado de la operación. Para calcular una raíz se debe buscar un número que multiplicado por sí mismo las veces que indique el índice dé como resultado el mismo valor del radicando.

En las raíces cuadradas, el índice 2 no se coloca en el radical: simplemente se denotan como (√).

CAPÍTULO 1 / TEMA 4

Números decimales

Dentro del universo de los números nos encontramos con un tipo muy especial: el de los decimales. Estos números sirven para representar cantidades menores a la unidad. Sus aplicaciones son muchas y son muy importantes, sobre todo en el ámbito de las mediciones porque permiten establecer valores más exactos.

Características de los números decimales

Los números decimales son los que se encuentran entre dos números enteros. Por ejemplo, entre el 1 y el 2 se ubican: 1,1; 1,2; 1,3…

Este tipo de números no llega a conformar un nuevo entero, por lo tanto su composición es de dos partes: la entera y la decimal. Para dividir ambas partes del número se utiliza la coma.

En algunos países se emplea el punto en vez de la coma para separar a los números decimales de los enteros.

Distintos tipos de decimales

Los números decimales se dividen en racionales e irracionales. Los irracionales son números en los que sus cifras decimales son infinitas y no siguen un patrón. Un ejemplo de estos números es el número pi (π). Los racionales, por su parte, pueden ser expresados en forma de fracción y se dividen en exactos, periódicos puros y periódicos mixtos.

Los números decimales exactos son los que tienen un final, es decir; que la parte decimal del número no es infinita. Por ejemplo: 24,657.
Los números decimales periódicos tienen una parte decimal que contiene una o más cifras que se repiten infinitamente, a esta parte decimal se conoce como período. Cuando dicho período está compuesto por una cifra que se repite infinitamente se lo denomina periódico puro. Por ejemplo: 6,8888… Por otro lado, cuando la parte decimal está compuesta por un número que no se repite y otro que sí se repite se lo denomina periódico mixto. Por ejemplo: 4,287878787…

VER INFOGRAFÍA

¿Cómo escribir un número periódico?

Para escribir un número decimal periódico (sea puro o mixto), se debe escribir un arco encima de la parte periódica del número para indicar que se repite infinitamente.

– Por ejemplo:

Decimal puro: $5,222...=\boldsymbol{5,\widehat{2}}$

Decimal mixto: $8,1646464...=\boldsymbol{8,1\widehat{64}}$

¿Sabías qué?

Hay infinitos números decimales entre dos números enteros.

Lectura de números decimales

Para poder leer números decimales debemos tener presente la clasificación de cada cifra según su valor posicional; es decir, tenemos que recordar que las cifras decimales de los números decimales, de izquierda a derecha después de la coma, se denominan: décima, centésima y milésima. Estos serían valores posicionales de la parte decimal del número.

A la hora de leerlo podemos expresar la parte entera seguida de la preposición “con” y luego la parte decimal. Para esta última se lee el número que se forma con las cifras decimales y se asigna el valor posicional de la última cifra decimal. Por ejemplo, para leer el número 6,718 debemos hacerlo de la siguiente manera:

6,718 → “Seis con setecientas dieciocho milésimas”.

Otra manera posible es: leer la parte entera seguida de la palabra “coma” y luego el número que conforma la parte decimal, sin expresar el valor de la posición. Por ejemplo:

6,718 → “Seis coma setecientos dieciocho”.

Cero a la izquierda de la coma

Cuando un decimal tiene un cero a la izquierda de la coma quiere decir que es menor a la unidad y se suele leer solo la parte decimal de acuerdo a su última cifra. Por ejemplo:

0,45 → “Cuarenta y cinco centésimas”.

Otra forma es decir la palabra “cero” seguida de la palabra “coma” y luego el número que conforma la parte decimal, sin expresar el valor de la posición.

0,45 → “Cero coma cuarenta y cinco”.

Para tener en cuenta

Los ceros que están en la última cifra de la parte decimal del número pueden o no leerse.

5,20 = 5,2

Esto se debe a que veinte centésimas es equivalente (es decir que vale lo mismo) a dos décimas, ya que veinte centésimas son veinte partes de cien (20/100) y dos décimas son dos partes de diez (2/10).

Por lo tanto, el número del ejemplo puede leerse de estas dos maneras:

5,20 → “Cinco con veinte centésimas”.

5,2 → “Cinco con dos décimas”.

Redondeo de decimales

En primer lugar, debemos saber que el término “redondear” aplicado a los números decimales quiere decir: aproximar un número a otro (menor o mayor) que tenga menos cifras decimales para lograr reducir la cantidad y poder determinar de forma más fácil la ubicación del número.

– Por ejemplo:

5,649 se puede redondear a 5,65.
8,78 se puede redondear a 8,8.
15,86 se puede redondear a 15,9.
42,39 se puede redondear a 42,4.

Reglas para el redondeo de decimales

Cuando la última cifra decimal es 0, 1, 2, 3 o 4: el número se debe redondear hacia abajo (uno menor). Por lo tanto, se quita la última cifra del número. Por ejemplo: 7,6281 se puede redondear a 7,628.

Cuando la última cifra decimal es 5, 6, 7, 8 o 9: el número se debe redondear hacia arriba (uno mayor). Por lo tanto, se le quita la última cifra al número y se aumenta +1 la penúltima. Por ejemplo: 4,58 se puede redondear a 4,6.

¡A practicar!

1. Escribe en letras como se leerían los siguientes números.

64,15
21,4
9,285
7,406

Solución

64,15 → sesenta y cuatro con quince centésimas. / sesenta y cuatro coma quince.
21,4 → veintiuno con cuatro décimas. / veintiuno coma cuatro.
9,285 → nueve con doscientos ochenta y cinco milésimas. / nueve coma doscientos ochenta y cinco.
7,406 → siete con cuatrocientas seis milésimas. / siete coma cuatrocientos seis.

2. Ubica la coma donde corresponda.

Ocho con trescientas once milésimas → 8311

Solución

8,311

Cincuenta y cuatro centésimas → 054

Solución

,054

Veintisiete con setenta y siete centésimas → 2777

Solución

27,77

3. Escribe en letras los números decimales.

a. 15,02

b. 6,616

c. 71,25

d. 822,3

Solución

a. 15,02 → “quince con dos centésimas.”

b. 6,616 → “seis con seiscientas dieciséis milésimas.”

c. 71,25 → “setenta y uno con veinticinco centésimas.”

d. 822,3 → “ochocientos veintidós con tres décimas.”

4. Lee y escribe los números que correspondan.

a. Veintiuno con cinco décimas.

b. Doce con cuarenta y cinco centésimas.

c. Ciento veinte con trescientos veinte milésimas.

d. Setenta y cinco centésimas.

Solución

a. 21,5

b. 12,45

c. 120,320

d. 0,75

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “Números decimales”

El siguiente artículo te permitirá conocer más acerca de los números decimales:

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Video “Aproximación de decimales”

El video se enfoca en cómo calcular aproximaciones de números decimales a través de varios ejercicios que facilitan su comprensión.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 2

TIPOS DE NÚMEROS

EXISTEN DISTINTOS TIPOS DE NÚMEROS, COMO LOS CARDINALES, LOS ORDINALES Y LOS ROMANOS. NO TODOS SE ESCRIBEN IGUAL Y SUS FUNCIONES SON DIVERSAS. POR EJEMPLO, CON LOS NÚMEROS CARDINALES CONTAMOS LA CANTIDAD DE LÁPICES QUE TENEMOS Y CON LOS ORDINALES INDICAMOS LA POSICIÓN DE LLEGADA EN UNA CARRERA.

NÚMEROS CARDINALES

LOS NÚMEROS CARDINALES NOS PERMITEN CONTAR CANTIDADES: UNO, DOS, TRES, CUATRO, CINCO…

SIEMPRE QUE OBSERVEMOS UN CONJUNTO DE COSAS QUE PODAMOS CONTAR TAMBIÉN PODEMOS ASIGNARLE UN NÚMERO CARDINAL. POR EJEMPLO:

CONTAMOS TODOS ESTOS ELEMENTOS AGRUPADOS: LOS TOMATES, LOS CONOS DE HELADOS Y LAS PERAS. 6, 5 Y 4 SON LOS NÚMEROS CARDINALES QUE INDICAN LA CANTIDAD DE ELEMENTOS DE CADA CONJUNTO.

NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN

LOS NÚMEROS QUE USAMOS PARA CONTAR PERTENECEN AL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL. SE LO LLAMA ASÍ PORQUE SOLO TIENE DIEZ DÍGITOS QUE VAN DESDE EL CERO (0) HASTA EL NUEVE (9). CON ESTOS DÍGITOS PODEMOS FORMAR CUALQUIER NÚMERO, COMO EL 568 O EL 123.

NÚMEROS ORDINALES

LOS NÚMEROS ORDINALES NOS INDICAN EL ORDEN O LA POSICIÓN DE LOS ELEMENTOS DE UNA SERIE.

QUIZÁS NO TE HAYAS DADO CUENTA PERO LOS USAMOS MUCHAS VECES EN NUESTRA VIDA COTIDIANA. POR EJEMPLO AL MENCIONAR LOS PISOS DE UN EDIFICIO, AL ANUNCIAR EL ORDEN DE LOS GANADORES DE UNA CARRERA, LA POSICIÓN EN LA FILA DE LA ESCUELA O EL TURNO DE LLEGADA AL MÉDICO.

OBSERVA ESTA IMAGEN, ¿QUIÉN ENTRARÁ PRIMERO AL SALÓN DE CLASES?

MARIO ENTRARÁ PRIMERO AL SALÓN DE CLASES. ¿Y LOS DEMÁS?

PARA RESPONDER ESTA PREGUNTA TIENES QUE SABER QUE LOS NÚMEROS ORDINALES PUEDEN SER MASCULINOS O FEMENINOS Y SE ESCRIBEN CON UN PEQUEÑO SÍMBOLO A LA DERECHA DEL NÚMERO.

ESTA TABLA MUESTRA LOS PRIMEROS DIEZ NÚMEROS ORDINALES:

MASCULINO		FEMENINO
1.º	PRIMERO	1.ª	PRIMERA
2.º	SEGUNDO	2.ª	SEGUNDA
3.º	TERCERO	3.ª	TERCERA
4.º	CUARTO	4.ª	CUARTA
5.º	QUINTO	5.ª	QUINTA
6.º	SEXTO	6.ª	SEXTA
7.º	SÉPTIMO	7.ª	SÉPTIMA
8.º	OCTAVO	8.ª	OCTAVA
9.º	NOVENO	9.ª	NOVENA
10.º	DÉCIMO	10.ª	DÉCIMA

¡ES TU TURNO!

OBSERVA DE NUEVO LA IMAGEN DE ARRIBA. INDICA EL ORDEN EN EL QUE ENTRARÁN LOS ESTUDIANTES AL SALÓN DE CLASES.

SOLUCIÓN

PRIMERO: MARIO
SEGUNDA: LUISA
TERCERO: JUAN
CUARTO: PEDRO
QUINTA: CARLA
SEXTO: JOSÉ
SÉPTIMA: ÁNGELA

¿SABÍAS QUÉ?

CUANDO DAMOS UNA FECHA CON EL PRIMER DÍA DEL MES USAMOS NÚMEROS ORDINALES, POR EJEMPLO, EL DÍA DEL TRABAJADOR ES EL PRIMERO DE MAYO.

NÚMEROS ROMANOS

LOS NÚMEROS ROMANOS ERAN MUY UTILIZADOS EN LA ANTIGUA ROMA HASTA QUE SURGIERON LOS NÚMEROS ARÁBIGOS, QUE SON LOS QUE CONOCEMOS EN LA ACTUALIDAD.

LOS NÚMEROS ROMANOS SON SOLO SIETE Y ESTÁN REPRESENTANDO CON LAS LETRAS DE NUESTRO ABECEDARIO:

I	V	X	L	C	D	M
1	5	10	50	100	500	1.000

VER INFOGRAFÍA

¿DÓNDE VEMOS NÚMEROS ROMANOS?

HOY EN DÍA PODEMOS VER NÚMEROS ROMANOS EN:

NOMBRES DE PAPAS. POR EJEMPLO: PAPA JUAN PABLO II Y PAPA BENEDICTO XVI.
NOMBRE DE REYES. POR EJEMPLO: REINA ISABEL II.
TOMOS Y CAPÍTULO DE LIBROS. POR EJEMPLO: TOMO I DEL CAPÍTULO III.
HORA EN RELOJES ANTIGUOS.

¡A PRACTICAR!

1. CUENTA LAS FORMAS Y ESCRIBE LA CANTIDAD EN EL CUADRO CORRESPONDIENTE.

SOLUCIÓN

2. OBSERVA LA IMAGEN Y COMPLETA CON LOS NOMBRES DE LOS CHICOS.

¿QUIÉN LLEGÓ PRIMERO?

SOLUCIÓN

ANA

¿QUIÉN LLEGÓ SEGUNDO?

SOLUCIÓN

JOSÉ

¿QUIÉN LLEGÓ TERCERO?

SOLUCIÓN

FACU

¿QUIÉN LLEGÓ CUARTO?

SOLUCIÓN

LUNA

¿QUIÉN LLEGÓ QUINTO?

SOLUCIÓN

NICO

3. UNE CON UNA LÍNEA EL NÚMERO ROMANO CON SU RESPECTIVO NÚMERO ARÁBIGO.

SOLUCIÓN

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Situaciones problemáticas primer grado”

Este artículo incluye ejercicios para abordar los temas vistos en este capítulo.

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