CAPÍTULO 3 / TEMA 6 (REVISIÓN)

Fracciones | ¿qué aprendimos?

noción de fracción

Las fracciones son una forma de representar las partes de un todo. Tienen dos elementos: un numerador y un denominador, ambos separados por una raya fraccionaria. El denominador indica en cuántas partes dividimos el todo y el numerador es igual a las partes que se toman del mismo. Las fracciones las podemos clasificar, de acuerdo a la relación entre el numerador y el denominador, en propias, impropias o aparentes.

Cada vez que cortamos frutas y nos comemos una parte de ellas podemos utilizar una fracción, por ejemplo, “me comí media naranja”.

adición y sustracción de fracciones

Para sumar o restar fracciones homogéneas (aquellas con igual denominador) lo único que debemos hacer es sumar o restar los numeradores y mantener el denominador. En cambio, las fracciones heterogéneas (aquellas con denominadores diferentes) se suman o restan por distintos métodos. Uno consiste en calcular el mcm, otro en hallar una fracción equivalente y otro en multiplicar de forma cruzada.

Las fracciones, como parte de un todo, pueden ordenarse de mayor a menor, compararse, sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse.

Multiplicación y división de fracciones

Las multiplicaciones de fracciones son relativamente sencillas. Solo tenemos que multiplicar todos los numeradores de forma lineal y luego multiplicar de la misma manera todos los denominadores, y si es posible simplificamos. La división, en cambio, puede ser resuelta por dos métodos. El primero se trata de invertir la segunda fracción y multiplicarla por la primera, y el segundo es el de la doble c.

Las multiplicaciones y las divisiones son muy utilizadas en los problemas de reparto y porcentaje.

Fracciones y otros números

Muchas situaciones de nuestra vida cotidiana involucran no solo a los números naturales ( $\mathbb{N}$ ), sino también a los enteros ( $\mathbb{Z}$ ), los racionales ( $\mathbb{Q}$ ) y los decimales. Todos ellos, con excepción de algunos decimales, pueden ser representados como una fracción, por ejemplo, el número 25 puede ser representado como 25/1 y el número decimal 0,25 puede representarse como 2/8.

Cuando vamos a comprar podemos pedir medio kilo de pan. Eso lo podemos expresar como fracción 1/2 kg o como número decimal 0,5 kg.

Fracciones y porcentajes

Otra forma de representar fracciones son los porcentajes. Estos son iguales a una fracción con denominador igual a 100. Por ejemplo, 20 % es igual a 20/100. Asimismo, estas expresiones se pueden mostrar como un número decimal, por lo tanto, 20/100 = 0,2. Los porcentajes son muy usados en economía, estadística y tecnología, pues ayudan a simplificar relaciones de una parte de un todo de manera clara.

Los porcentajes suelen estar presentes en los comercios para promocionar un descuento.

CAPÍTULO 3 / TEMA 5

fracciones y porcentajes

¿Sabías qué el 70 % de la superficie de nuestro planeta está cubierto por agua? ¡Sí! Pero ¿qué significa 70 %? Los porcentajes son expresiones que, al igual que las fracciones, representan una parte de un todo. También los vemos a menudo en las rebajas en las tiendas del centro comercial o en los impuestos de los productos que compramos.

relación de las fracciones y el porcentaje

El porcentaje es una parte de un todo igual a 100, es decir, es una razón con denominador 100. Su símbolo es “%” y se puede expresar como una fracción o como un decimal. Por ejemplo, 70 % es igual a escribir 70/100 que a su vez es igual a 0,7.

Puedes ver la relación entre el porcentaje, las fracciones y los número decimales en esta tabla:

Porcentaje	Fracción	Decimal
Cantidad en relación a 100	Porcentaje/100	0,…

– Ejemplo:

Porcentaje	Fracción	Decimal
$70\: %$	$\frac{70}{100}$	$0,7$
$45\: %$	$\frac{45}{100}$	$0,45$

La relación no siempre es lineal, también podemos partir de una fracción y convertirla en porcentaje. Para esto, solo dividimos el numerador entre el denominador, y luego multiplicamos el cociente obtenido por 100.

Fracción	Decimal	Porcentaje
$\frac{1}{2}$	$1\div 2=0,5$	$0,5\times 100=50\: %$
$\frac{5}{6}$	$5\div 6=0,833$	$0,833\times 100=83,3\: %$

¿Sabías qué?

En los porcentajes se lee “por ciento”. Por ejemplo, el “15 % de los alumnos juegan al fútbol” se lee “el quince por ciento de los alumnos juegan al fútbol”.

Los porcentajes ya eran usados en la Antigüedad y hay registros sobre su aplicación en el Imperio romano. Aunque el símbolo original no era el que conocemos en la actualidad, este hacía alusión a los ceros del 100. De hecho, el símbolo “%” es una representación estética de los ceros de las centenas, pues un porcentaje se lee “por ciento”.

¡Es tu turno!

Convierte estas fracciones a porcentajes:

$\frac{1}{4}$

Solución

$\frac{1}{4}=1\div 4=0,25$

$0,25\times 100=\boldsymbol{25\: %}$

$\frac{2}{25}$

Solución

$\frac{2}{25}=2\div 25=0,08$

$0,08\times 100=\boldsymbol{8\: %}$

Cálculo de porcentajes

Para calcular el porcentaje de una cantidad, por ejemplo, el 15 % de 80, podemos optar por tres métodos diferentes:

1. Convierte el porcentaje a fracción. Luego multiplica.

$15\: % = \frac{15}{100}$

$\frac{15}{100}\times 80 = \boldsymbol{12}$

2. Convierte el porcentaje a decimal. Luego multiplica.

$15\: %=\frac{15}{100}=0,15$

$0,15\times 80=\boldsymbol{12}$

3. Usa la regla de tres.

$100\: %\rightarrow 80$

$\: \: 15\: %\rightarrow x$

$x=\frac{15\: %\times 80}{100\: %}=\boldsymbol{12}$

Nota que con cualquiera de los tres métodos el resultado será el mismo: 12.

¿Qué es el IVA?

El IVA o impuesto al valor agregado es un impuesto directo que pagan los consumidores al Estado por utilizar algún bien o servicio. Cada país tiene un porcentaje de IVA diferente, por ejemplo, en Argentina es de 21 %, en Colombia es de 19 %, en Costa Rica es de 13 % y en Venezuela es de 16 %.

¡Resolvamos algunos problemas!

1. En un curso hay 30 chicos y el 10 % de ellos juega al rugby, el 30 % juega al fútbol y el resto no hace ningún deporte. Responde:

a) ¿Cuántos de ellos juegan al rugby?

b) ¿Cuántos juegan al fútbol?

c) ¿Cuántos no hacen ningún deporte?

Datos

Cantidad de chicos: 30

Chicos que juegan al rugby: 10 %

Chicos que juegan al fútbol: 30 %

Chicos que no hacen ningún deporte: ?

Reflexión

a. Para saber la cantidad de chicos que juegan al rugby tenemos que multiplicar la cantidad total de chicos (30) por la fracción equivalente al porcentaje, en este caso, 10 % = 10/100.

b. La cantidad de jugadores de fútbol la sabremos si multiplicamos la cantidad total de chicos por la fracción equivalente al porcentaje, en este caso, 30 % = 30/100.

c. Cuando sepamos la cantidad de chicos que juegan al rugby y al fútbol, solo tendremos que restarle esa cantidad al total, es decir, los chicos que no hacen deporte = 30 − (a + b)

Cálculo

a. $30\times \frac{10}{100}=\boldsymbol{3}$

b. $30\times \frac{30}{100}= \boldsymbol{9}$

c. $30-(3+9)=30-12=\boldsymbol{18}$

Respuestas

a. 3 chicos juegan al rugby.

b. 9 chicos juegan al fútbol.

c. 18 chicos no hacen deporte.

2. A José le hicieron un descuento del 5 % en su compra. Si gastó en ese lugar $ 3.200, ¿qué monto debe pagar?

Datos

Cuenta total: $ 3.200

Descuento: 5 %

Reflexión

a. Lo primero que tenemos que hacer es calcular el 5 % de 3.200. Para esto solo multiplicamos la cantidad de dinero por la fracción equivalente al porcentaje, que sería 5 % = 5/100.

b. Como se trata de un descuento, tenemos que “quitar” la cantidad que represente ese porcentaje al monto total, por lo tanto, tenemos que restarlo.

Cálculo

a. $3.200\times \frac{5}{100}=\boldsymbol{160}$

b. $3.200-160=\boldsymbol{3.040}$

Respuesta

José debe pagar $ 3.040.

3. Un equipo de baloncesto participó en 50 partidos este año y ganó el 30 % de ellos. ¿Cuántos partidos ganó este año?

Datos

Partidos jugados: 50

Partidos ganados: 30 %

Reflexión

Al tratarse del porcentaje de una cantidad total, basta con multiplicar la cantidad de partidos (50) por la fracción equivalente al porcentaje, es decir, 30 % = 30/100.

Cálculo

$50\times \frac{30}{100}=\boldsymbol{15}$

Respuesta

El equipo de baloncesto ganó 15 partidos de 50 jugados este año.

importancia del porcentaje

En la vida cotidiana, el porcentaje tiene distintos usos. Por ejemplo, a la hora de calcular la tasa de interés, al solicitar un crédito, al realizar una encuesta, en los descuentos y recargos en el pago de una cuenta, o cuando esperamos que una aplicación móvil se cargue y vemos una barra que muestra el porcentaje de descarga.

Los porcentajes son útiles cuando comparamos grandes partes de un todo. Por ejemplo, si de un instituto de 800 estudiantes, 360 estudiantes van a la feria de ciencias, y de otro van 360 de 600 estudiantes, es más práctico y claro decir que el 45 % de los estudiantes del primer instituto va a la feria de ciencias y que el 60 % del segundo va a la feria de ciencias.

Los gráficos circulares, también conocidos como gráficos de torta o pastel, se usan para comparar porcentajes con respecto a un total de datos. Para hallar los porcentajes parciales se dividen los 360° del círculo de acuerdo a los valores dados. Para dibujarlas en papel necesitarás un compás y un transportador para saber los grados a marcar por cada porcentaje.

¡A practicar!

1. Calcular los siguientes porcentajes:

12 % de 1.700

Solución

204

3 % de 4.400

Solución

132

15 % de 2.500

Solución

375

50 % de 45.000

Solución

22.500

78 % de 50.000

Solución

39.000

2. Resuelve:

a. Marta tiene 120 figuritas repetidas y le regaló el 20 % a su amiga. ¿Cuántas figuritas le quedan a Marta?

Solución

$120\times \frac{20}{100}=\boldsymbol{24}$

$120-24=\boldsymbol{96}$

A Marta le quedan 96 figuritas.

b. Gabriela viajó dos quintas partes de lo que debía viajar. ¿Qué porcentaje del viaje realizó?

Solución

$\frac{2}{5}=2\div 5=0,4$

$0,4\times 100 = \boldsymbol{40 \: %}$

Gabriela realizó el 40 % del viaje.

c. Se realizó una encuesta a 200 personas sobre los géneros de películas que más les gustan y representaron los resultados en este gráfico circular como porcentajes. Indica a cuántas personas les gusta cada género.

Solución

Comedia: 110 personas

Suspenso: 40 personas

Familiares: 24 personas

Terror: 10 personas

Drama: 16 personas

3. Escribe las siguientes fracciones como porcentajes:

$\frac{3}{5}$

Solución

60 %

$\frac{12}{20}$

Solución

60 %

$\frac{7}{8}$

Solución

87,5 %

RECURSOS PARA DOCENTES

Tarjeta Educativa “Porcentaje”

En esta tarjeta encontrará reglas prácticas para el cálculo de porcentajes, sus características y aplicaciones.

VER

Artículo “Porcentajes”

El artículo habla sobre la presencia de los porcentajes en la vida cotidiana y su uso.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 4

fracciones y otros números

Todos los días utilizamos distintos números. Los que usamos para contar, se llaman números naturales. Los que utilizamos en los precios, se llaman números decimales. Todos ellos pueden combinarse con las fracciones en las distintas operaciones. A continuación, verás cómo solucionar problemas de este tipo.

Las fracciones están presentes en la mayoría de las situaciones de nuestra vida cotidiana. Por ejemplo, cuando vamos al mercado y pedimos un cuarto de kilo de una fruta. También usamos fracciones cuando decimos la hora: “Son las tres y cuarto”. O cuando picamos o partimos alimentos, como en la imagen, en la que vemos medio aguacate.

operaciones de fracciones con otros números

Supongamos que compramos 3 barras de chocolate. Si nos comemos 1 chocolate y 2/3 de otro, y nuestro amigo se come 1 chocolate y 1/4 de otro, ¿nos sobró algo de chocolate?

Para resolver esta situación tenemos que sumar primero lo que nos comimos y restarlo a los chocolates que compramos. En este caso, convertimos los números mixtos a sus fracciones impropias equivalentes y luego sumamos.

$1\frac{2}{3}+1\frac{1}{4}= \frac{5}{3}+\frac{5}{4}$

$\frac{5}{3}+\frac{5}{4}=\frac{(5\times 4)+(3\times 5)}{3\times4 }=\frac{20+15}{12}=\boldsymbol{\frac{35}{12}}$

Luego de tener la fracción equivalente a lo que comimos, podemos restarla a la cantidad total de chocolate comprado (3). Recuerda que todo número entero puede ser representado como una fracción con denominador igual a 1.

$\frac{3}{1}-\frac{35}{12}=\frac{(3\times 12)-(1\times 35)}{1\times 12}=\frac{36-35}{12}=\boldsymbol{\frac{1}{12}}$

Ahora sabemos que nos sobró $\frac{1}{12}$ de chocolate.

A diario nos encontramos con situaciones en las que podemos combinar distintos tipos de números. En estos casos, aplicamos las propiedades de cada operación para cada tipo de número.

¡Es tu turno!

$\left ( 1-\frac{3}{5} \right )\times \frac{3}{2}$

Solución

$\left ( \frac{1}{1}-\frac{3}{5} \right ) \times \frac{3}{2}=\left ( \frac{5}{5}-\frac{3}{5} \right ) \times \frac{3}{2}=\frac{2}{5} \times \frac{3}{2}=\frac{6}{10}=\boldsymbol{\frac{3}{5}}$

$\frac{9}{5} \div 3+\frac{9}{2}$

Solución

$\frac{9}{5} \div \frac{3}{1}+\frac{9}{2}=\frac{9}{5} \times \frac{1}{3}+\frac{9}{2}=\frac{9}{15}+\frac{9}{2}=\frac{3}{5}+\frac{9}{2}=\boldsymbol{\frac{51}{10}}$

$4\frac{1}{3}-\frac{2}{5}+1=$

Solución

$\frac{13}{3}-\frac{2}{5}+\frac{1}{1}=\frac{65}{15}-\frac{6}{15}+\frac{15}{15}=\boldsymbol{\frac{74}{15}}$

¿cómo transformar una fracción a un número decimal?

Para poder transformar una fracción en un número decimal debemos recordar que una fracción es una división en partes. Por lo tanto, lo que debemos hacer es dividir el numerador por el denominador y así convertimos una fracción en un número decimal. Veamos algunos ejemplos:

$\frac{3}{4}=0,75$

$\frac{9}{4}=2,25$

Existe otra manera de pasar las fracciones a números decimales pero esta forma no siempre es posible. Para poder utilizarla debemos buscar una fracción equivalente a la dada con denominador igual a 10, 100, 1.000, etc. Si amplificamos la fracción × 25, es decir, si multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 25, tenemos que:

$\frac{3}{4}=\frac{75}{100}$

75/100 es la fracción decimal equivalente de 3/4. Ahora, si recordamos cómo se divide por potencias de 10, vemos que debemos correr la coma de derecha a izquierda tantos lugares como ceros haya en el denominador. Por lo tanto,

$\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0,75$

Hacemos lo mismo con el segundo ejemplo:

$\frac{9}{4}=\frac{225}{100}=2,25$

La conversión de una fracción a un decimal consiste en escribir dicha fracción como su número decimal equivalente mediante distintos métodos. Podemos dividir el numerador y el denominador para tener el cociente decimal. También podemos amplificar, es decir, multiplicar tanto el numerador como el denominador hasta tener un denominador igual a 10, 100, 1.000…

¡Es tu turno!

Pasar las siguientes fracciones a número decimal:

$\frac{1}{25}$

Solución

$\frac{1}{25}=\frac{4}{100}=0,04$

Amplificación: × 4

$\frac{3}{5}$

Solución

$\frac{3}{5}=\frac{60}{100}=0,6$

Amplificación: × 20

$\frac{5}{4}$

Solución

$\frac{5}{4}=\frac{125}{100}=1,25$

Amplificación: × 25

¿Sabías qué?

Los números decimales fueron utilizados por primera vez por Stevin que, para escribirlos, lo hacía de una forma particular. Por ejemplo, si quería escribir el número 43,527, la notación era 43⓪5①2②7③. El ⓪ representaba a los enteros, el ① a las décimas, el ② a las centésimas y así sucesivamente.

transformación de un número decimal a fracción

En el caso anterior, para pasar de fracción a número decimal, intentamos hacer fracciones decimales, que son las que poseen denominador igual a una potencia de 10. A partir de ahí, corrimos la coma en el numerador a la izquierda según la cantidad de ceros que había en el denominador.

Ahora vamos a seguir los mismos pasos pero al revés, así que, si tenemos un número decimal, vamos a contar los lugares decimales, que son los que se encuentran a la derecha de la coma. Estos lugares nos indicarán cuántos ceros deberá tener el denominador y el numerador de la fracción será el número decimal, pero sin escribir la coma. Observa este ejemplo:

Sea el número $2,378$ , da su fracción decimal:

Contamos los lugares que hay a la derecha de la coma $\rightarrow$ hay 3 lugares, por lo tanto, el denominador será un 1 seguido de tres ceros: 1.000.
Para el numerador escribimos el número, pero sin coma $\rightarrow$ 2.378.
Ahora escribimos la fracción correspondiente $\rightarrow$ $\frac{2.378}{1.000}$ .
Si es posible, simplificamos la fracción $\rightarrow$ $\frac{1.189}{500}$ .

Cuando convertimos un número decimal a una fracción reescribimos dicho decimal como su fracción equivalente por medio de la amplificación por unidades seguidas de cero. Para esto escribimos primero el decimal sobre 1 y luego amplificamos y simplificamos. Por ejemplo, 0,5 = 5/10. Luego simplificamos y 5/10 = 1/2.

Clasificación de los números decimales

Los números decimales se pueden clasificar en:

Exactos: su parte decimal es finita. Por ejemplo: 0,345, 1,0235, etc.
Periódicos puros: su parte decimal es infinita y se repiten uno o varios números. Se suele representar el período con un arco. Por ejemplo: 2,3333…, 0,121212…, etc.
Periódico mixto: su parte decimal tiene una parte pura y una periódica. Por ejemplo: 2,1655555…, 0,01222222…, etc.

¡A practicar!

1. Convierte los siguientes números decimales a fracciones y luego, si es posible, simplifica:

$5,75$

Solución

$\frac{575}{100}=\frac{23}{4}$

$2,03$

Solución

$\frac{203}{100}$

$7,5$

Solución

$\frac{75}{10}$

2. Resuelve los siguientes cálculos. Convierte los números decimales a fracciones.

$0,2+0,6\: \times \, \frac{5}{2}$

Solución

$\frac{2}{10}+\frac{6}{10}\: \times \, \frac{5}{2}=\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\: \times \, \frac{5}{2}=\frac{1}{5}+\frac{15}{10}=\frac{2}{10}+\frac{15}{10}=\frac{17}{10}$

$0,25\: \times \, \left ( 1,5-\frac{2}{3} \right )$

Solución

$\frac{25}{100}\: .\, \left ( \frac{15}{10}-\frac{2}{3} \right )=\frac{1}{4}\: .\, \left ( \frac{3}{2}-\frac{2}{3} \right )=\frac{1}{4}\: .\, \left ( \frac{9}{6}-\frac{4}{6} \right )=\frac{1}{4}\: .\, \frac{5}{6}=\frac{5}{24}$

$1-0,4\: \times \, \frac{3}{4}$

Solución

$\frac{1}{1}-\frac{4}{10}\: \times \, \frac{3}{4}=\frac{1}{1}-\frac{2}{5}\: \times \, \frac{3}{4}=\frac{1}{1}-\frac{6}{20}=\frac{1}{1}-\frac{3}{10}=\frac{10}{10}-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Fracciones y números decimales. Ejercicio 3”

En este video podrá ver qué pasa si la fracción es impropia

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 3

multiplicación y división de fracciones

Luego de la suma y la resta, la multiplicación y la división son las operaciones básicas más importantes. Estas se aplican a una amplia gama de números y las fracciones no son la excepción. Las reglas para resolver problemas de este tipo son muy sencillas. ¡Aprende cómo hacerlo!

¿Cómo se multiplican las fracciones?

Para multiplicar fracciones lo único que debemos hacer es multiplicar todos los numeradores y denominadores de forma lineal. Luego, si es necesario, simplificamos hasta su fracción irreducible.

$\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ ∈ $\mathbb{Q}$ , se tiene que

$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$

– Ejemplo:

$\frac{2}{3}\times \frac{9}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{2\times 9\times 1}{3\times 4\times 3}=\frac{18}{36}=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$

$-\frac{6}{5}\times \frac{3}{2}=\frac{-6\times 3}{5\times 2}=\frac{-18}{10}=\boldsymbol{-\frac{9}{5}}$

¿Cómo simplificar una fracción?

Simplificar una fracción significa que tenemos que transformarla en otra equivalente e irreducible. Para esto, tenemos que dividir sucesivamente tanto el numerador como el denominador entre sus divisores comunes. Por ejemplo:

VER INFOGRAFÍA

Una manera simple de resolver problemas es por medio de la simplificación de sus factores. Observa que si multiplicamos dos fracciones y el numerador de la primera es igual al denominador de la segunda, cancelamos ambos factores. Esto sucede porque todo número sobre él mismo resultará en 1, y el producto de todo número con el 1 será igual al mismo número.

Fracción de un entero

Todo número entero puede ser representado como una fracción con denominador igual a 1.

$5=\frac{5}{1}$

$123=\frac{123}{1}$

Problemas de multiplicación

1. Carmen vende rosquillas en cajas de una docena. Si Laura le pide $\frac{5}{6}$ de una caja, ¿cuántas rosquillas debe venderle Carmen?

Datos

Cantidad de rosquillas en una caja: 1 docena = 12 rosquillas

Pedido de Laura: $\frac{5}{6}$ de una caja

Reflexión

Para saber la cantidad de rosquillas que Carmen debe vender solo tenemos que multiplicar la cantidad de rosquillas en una caja (12) por la fracciones que se desea (5/6).

Cálculo

$12\times \frac{5}{6}=\frac{12}{1}\times \frac{5}{6}=\frac{12\times 5}{1\times 6}=\frac{60}{6}=\boldsymbol{10}$

Respuesta

Carmen debe venderle a Laura 10 rosquillas.

2. En un club hay 72 chicos que practican algún deporte. Tres cuartas partes practican baloncesto, la tercera parte del resto practica natación y los demás practican fútbol. Responde:

¿Cuántos chicos practican baloncesto?
¿Cuántos practican natación?
¿Cuántos practican fútbol?
¿Qué fracción del total representan los chicos que juegan baloncesto, natación y fútbol?

Datos

Total de chicos: 72

Chicos que practican baloncesto: $\frac{3}{4}$ del total de chicos

Chicos que practican natación: $\frac{1}{3}$ del resto de los que practican baloncesto

Chicos que practican fútbol: ?

Reflexión

Para saber la cantidad de chicos que practican baloncesto tenemos que multiplicar la cantidad de chicos (72) por la fracción (3/4) que representan los que practican ese deporte.
La diferencia o resta entre el total de chicos y los que practican baloncesto (72 − a) tenemos que multiplicarla por la fracción que representa a los que juegan natación (1/3).
La cantidad de chicos que practican fútbol será igual a la resta entre el total de chicos y los que practican natación y baloncesto (c = 72 − (a + b)).
Con la cantidad de chicos que juega cada deporte, basta con considerarlos como numeradores con denominador igual a 72. Si la suma de todas las fracciones es igual a 1, entonces todas las fracciones serán correctas.

Cálculo

a. Chicos que practican baloncesto:

$72 \times \frac{3}{4}=\frac{72}{1}\times \frac{3}{4}=\frac{72\times 3}{4}=\frac{216}{4}=\boldsymbol{54}$

b. Chicos que practican natación:

– Restamos la cantidad de chicos que practican natación al total de chicos:

$72-54=\boldsymbol{18}$

– Luego calculamos la cantidad:

$18\times \frac{1}{3}=\frac{18}{1}\times \frac{1}{3}=\frac{18\times 1}{1\times 3}=\frac{18}{3}=\boldsymbol{6}$

c. Chicos que practican fútbol:

$72-(54+6)=72-60=\boldsymbol{12}$

d. Fracciones por deporte:

– Baloncesto:

$\frac{54}{72}=\frac{3}{4}$

– Natación:

$\frac{6}{72}=\frac{1}{12}$

– Fútbol:

$\frac{12}{72}=\frac{1}{6}$

* Todas las fracciones fueron simplificadas.

Podemos comprobar por medio de una suma:

$\frac{54}{72}+\frac{6}{72}+\frac{12}{72}=\frac{72}{72}=\boldsymbol{1}$

Como la suma de las fracciones es igual a 1, entonces son correctas.

Respuestas

a. ¿Cuántos chicos practican baloncesto?

54 chicos practican baloncesto.

b. ¿Cuántos practican natación?

6 chicos practican natación.

c. ¿Cuántos practican fútbol?

12 chicos practican fútbol.

d. ¿Qué fracción del total representan los chicos que juegan baloncesto, natación y fútbol?

$\frac{3}{4}$ del total practica baloncesto.

$\frac{1}{12}$ del total practica natación.

$\frac{1}{6}$ del total practica fútbol.

¿Sabías qué?

El tratado de matemática chino más antiguo es el Chou Pei Suan Ching. En él hay varios problemas de divisiones de fracciones que debían ser llevadas a fracciones de igual denominador para ser resueltas.

¿cómo se dividen las fracciones?

La división de dos fracciones es igual a la multiplicación de la primera por la inversa de la segunda.

$\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ ∈ $\mathbb{Q}$ , se tiene que

$\frac{a}{b}\div \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}$

– Ejemplo:

$\frac{36}{5}\div \frac{9}{8}=\frac{36}{5}\times \frac{8}{9}=\boldsymbol{\frac{32}{5}}$

$\frac{4}{10}\div \frac{8}{15}=\frac{4}{10}\times \frac{15}{8}=\frac{60}{80}=\boldsymbol{\frac{3}{4}}$

La sandía o patilla es una fruta de gran tamaño y muy rica en agua, ¿cuántas partes de ella ves en la imagen? ¡Hay media sandía de un lado y un cuarto de sandía del otro lado! Cuando nos referimos a la mitad de algo usamos la fracción 1/2 y la mitad de esa mitad se representa con la fracción 1/4. Estas divisiones de fracciones las vemos a diario en los mercados y las verdulerías.

Método de la doble c

Este es un método alternativo para resolver divisiones de fracciones. Consiste en dibujar una línea curva grande, similar a la letra “c”, que una el numerador de la fracción de arriba con el denominador de la fracción de abajo. Después hacemos una “c” más pequeña que una el denominador de la fracción de arriba y el numerador de la fracción de abajo.

Por ejemplo, al hacer por medio de este método la división $\frac{2}{3}\div\frac{5}{6}$ podemos representarlo así:

Problemas de división

1. Luis es jardinero. Él utiliza dos quintos de litro de agua para regar una planta. Si tiene una tanque con 45 litros de agua, ¿cuántas plantas puede regar?

Datos

Agua gastada en una planta: $\frac{3}{5}$ litros

Agua en el tanque: 45 litros

Reflexión

Si dividimos los litros de agua que tiene el tanque entre los litros de agua que gasta Luis por planta sabremos cuántas plantas podrá regar. Para esto, multiplicamos la primera fracción (45 = 45/1) por la inversa de la segunda fracción (5/3).

Cálculo

$45\div \frac{3}{5}=\frac{45}{1}\times \frac{5}{3}=\frac{45\times 5}{1\times 3}=\frac{225}{3}=\boldsymbol{75}$

Respuesta

Luis podrá regar 75 plantas.

2. Carla organiza una fiesta para 12 personas. Si tiene 3 pizzas y media para ese día y cada una está cortada en 6 porciones, ¿le alcanzará para que cada persona coma 2 porciones?

Datos

Cantidad de invitados: 12

Cantidad de pizzas: $3\frac{1}{2}$

Cantidad de porciones por cada pizza: 6

Reflexión

Primero tenemos que saber la cantidad de porciones totales que tenemos. Si cada pizza tiene 6 porciones debemos hacer una división entre la cantidad de pizzas (3 y 1/2) y las porciones de esta (1/6). Primero dividimos 3 entre 1/6 y luego 1/2 entre 1/6.
Luego de saber el total de porciones debemos comparar con lo deseado. Para que 12 invitados coman 2 porciones, deberían haber 24 porciones totales de pizza. Si el resultado obtenido en a) es menor que 24, las 3 pizzas y media no alcanzarán, pero si el resultado obtenido es igual o mayor a 24, las pizzas sí serán suficientes para que todos coman 2 porciones.

Cálculo

a. Porciones totales:

– Dividimos las pizzas entre 1/6:

$3\div \frac{1}{6}=\frac{3}{1}\times \frac{6}{1}=\boldsymbol{18}$

$\frac{1}{2}\div \frac{1}{6}=\frac{1}{2}\times \frac{6}{1}=\frac{6}{2}=\boldsymbol{3}$

– Sumamos las porciones:

$18+3=\boldsymbol{21}$

b. Comparamos:

21 < 24

Respuesta

Las 3 pizzas y media no serán suficientes para que los 12 invitados coman 2 porciones.

3. Pablo compró tres cuartos de kilogramo de helado, pero pidió que se lo separaran en envases de un octavo de kilogramos para repartirlo entre sus sobrinos. ¿Para cuántos sobrinos le alcanzará el helado?

Datos

Helado comprado: $\frac{3}{4}$ kg

Peso de helado en los envases repartidos: $\frac{1}{8}$ kg

Reflexión

Si dividimos la cantidad de helado comprado entre lo que cabe en cada envase en el que se repartió, sabremos la cantidad de envases que usó y, por lo tanto, la cantidad de sobrinos a los que podrá darle un envase de helado.

Cálculo

$\frac{3}{4}\div \frac{1}{8}=\frac{3}{4}\times \frac{8}{1}=\frac{24}{4}=\boldsymbol{6}$

Respuesta

A Pablo le alcanzará para darle helado a 6 de sus sobrinos.

En la tienda, venden cartones con una docena de huevos. Si Marcos solo necesita 1/4 de docena para preparar una receta de un postre, ¿cuántos huevos debe comprar? ¡Muy sencillo! Tenemos que multiplicar la docena de huevos por la fracción deseada, entonces: 12 × 1/4 = 3. Así que Marcos solo tiene que comprar 3 huevos para hacer su postre.

¡A practicar!

Resuelve los siguientes ejercicios:

$\frac{\frac{12}{35}}{\frac{4}{21}}$

Solución

$\frac{\frac{12}{35}}{\frac{4}{21}}=\boldsymbol{\frac{9}{5}}$

$\frac{5}{6}\times \frac{10}{8}$

Solución

$\frac{5}{6}\times \frac{10}{8}=\boldsymbol{\frac{25}{24}}$

$\frac{6}{4}\div \frac{1}{2}$

Solución

$\frac{6}{4}\div \frac{1}{2}$ $\frac{6}{4}\div \frac{1}{2}=\boldsymbol{3}$

$\frac{\frac{6}{5}}{\frac{7}{15}}$

Solución

$\frac{\frac{6}{5}}{\frac{7}{15}}=\boldsymbol{\frac{18}{7}}$

$\frac{8}{3}\times \frac{3}{8}$

Solución

$\frac{8}{3}\times \frac{3}{8}=\boldsymbol{1}$

$\frac{30}{6}\div \frac{2}{5}$

Solución

$\frac{30}{6}\div \frac{2}{5}=\boldsymbol{\frac{25}{2}}$

$\frac{\frac{8}{18}}{\frac{4}{9}}$

Solución

$\frac{\frac{8}{18}}{\frac{4}{9}}=\boldsymbol{1}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Tarjeta Educativa “Multiplicación de Fracciones”

La tarjeta tiene material adicional sobre multiplicación de fracciones y sus propiedades.

VER

Tarjeta Educativa “División de Fracciones”

La tarjeta tiene material adicional sobre división de fracciones y sus propiedades.

VER

Artículo “Multiplicación y división de fracciones”

Este recurso cuenta con una serie de ejemplos prácticos y ejercicios útiles sobre multiplicación y división de fracciones.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 5 (REVISIÓN)

Orden y Relaciones | ¿qué aprendimos?

Los números en la recta numérica

La recta numérica o recta real está compuesta por distintos conjuntos numéricos ordenados de menor a mayor. Entre ellos, encontramos el conjunto de los números naturales, los números enteros, los números racionales y los números irracionales. Todos juntos completan la recta.

Los números naturales son llamados así porque fueron los primeros que usó el hombre para contar.

Comparación de cantidades

Si trabajamos con números enteros, comparar es una tarea sencilla. En una recta numérica, los mayores números naturales y decimales son aquellos que están más a la derecha. Por ejemplo, entre el 25 y el 60, el 60 es mayor porque está más a la derecha en la recta numérica. En cambio, si deseamos comparar fracciones, tenemos que considerar los denominadores y los numeradores. Si en dos fracciones los denominadores son iguales, la fracción mayor será aquella que tenga mayor numerador, pero si los numeradores son iguales, la fracción mayor será aquella que tenga menor denominador.

Si comparamos porciones sabremos que la que veamos con mayor superficie será la más grande. Lo mismo pasa con los números racionales.

Proporciones

Las proporciones son relaciones entre cantidades. Estas relaciones nos permiten calcular una magnitud desconocida por medio de una relación conocida. Un método de gran utilidad para resolver estos problemas es la regla de tres, la cual puede ser directa (si la proporcionalidad es directa) o inversa (si la proporcionalidad es inversa).

La torta y otras comidas son elaboradas a partir de recetas pensadas para una cantidad determinada de personas. ¿Y si vienen más invitados? En estos casos, tenemos que recurrir a la regla de tres y ver cuánto de cada ingrediente necesitaremos.

Relaciones Espaciales

Todo el tiempo usamos relaciones espaciales. Estas nos ayudan a no perdernos al ir de compras o a ubicar una ciudad a cierta distancia de la nuestra. Podemos representar posiciones en un croquis, el cual no es tan preciso porque no tiene marcas de distancia, y también podemos hacerlo en un mapa, representación gráfica de un territorio con escalas métricas.

Cuando nos vamos de vacaciones nos llevamos un mapa de rutas para ver qué camino nos conviene tomar o programamos el GPS del vehículo.

CAPÍTULO 4 / TEMA 4

Relaciones Espaciales

Las relaciones espaciales nos orientan sobre las distancias a las que nos encontramos de algún objeto o lugar. Asimismo, sirven para especificar la posición de un territorio en el espacio. Los mapas y los croquis son ejemplos de herramientas usadas para encontrar distancias y ubicaciones específicas.

¿qué es un croquis?

Es un dibujo que indica nuestra ubicación o la de algún objeto o lugar. En él no hay medidas o distancias. Por ejemplo, cuando decimos que hacemos una representación mental de nuestra habitación, si la dibujamos tenemos un croquis.

Este podría ser el croquis de nuestra habitación. Observa que, después de pasar la puerta, a la izquierda tenemos una mesa, al frente está la cama y a la derecha de esta, justo al lado de la ventana, está ubicado el escritorio.

¡Es tu turno!

Observa este croquis de un zoológico, luego responde.

a) ¿Qué camino debe tomar Daniel para encontrarse con Laura?

Solución

Puede ir por la derecha del parque hasta donde están los caballos y allí se encontrará con Laura.

b) ¿Existe un solo camino?

Solución

No, hay varias maneras de llegar hasta donde está Laura.

c) ¿El canguro está al lado de la jirafa?

Solución

No. El canguro está entre el elefante y el oso.

d) ¿El caballo está frente al hipopótamo?

Solución

Sí, el caballo está frente al hipopótamo.

¿Qué son los mapas?

Son representaciones gráficas de un territorio. Por lo general, se representan de forma bidimensional pero también pueden encontrarse de forma esférica en los globos terráqueos y en modelos 3D.

Una de las características esenciales de todo mapa es su exactitud, por lo cual, debe poseer propiedades métricas a escala para permitir relacionar lo que representan con el mundo real. Toda distancia, ángulo o superficie denotada en un mapa debe cumplir con este principio.

Un planisferio, también conocido como mapamundi, es una representación gráfica a escala del mapa del mundo. Esta ilustración muestra todos los elementos del mapa de la Tierra de manera bidimensional. Muestra datos como relieve y altura sobre el nivel del mar, también señala ríos, regiones y otros elementos.

Los mapas se utilizan para distintos fines. Los más comunes indican:

Las calles de un barrio.
Las rutas.
Los climas.
Los continentes.
Las provincias.
Los relieves.
Los subterráneos y/o trenes.

VER INFOGRAFÍA

Historia de los mapas

Desde la organización de las primeras civilizaciones se utilizan los mapas como instrumento de ubicación. En la Edad Media se representaba a la Tierra de forma plana, y la ciudad de Jerusalén era el centro del mundo. Los mapas más antiguos que se tiene registro fueron realizados por los babilonios que vivieron en la Mesopotamia. Tallaban en tablillas de arcilla mediciones de sus tierras y luego las empleaban como herramienta de referencia para cobrar impuestos.

Característica de los mapas

Los mapas pertenecen a una forma de comunicación que emplea una serie de símbolos y nomenclaturas que permiten comprender amplias regiones de la Tierra en una pequeña porción de papel u otro material. Es por ello que es importante comprender los elementos más importantes de cualquier mapa:

Título del mapa: indica el objeto de estudio que se trata en el mapa.
Leyenda: presenta la codificación expresada en el mapa, es decir, explica los símbolos usados.
Escala: señala la proporción que existe entre la medida del mapa y la del terreno real.
Referencia de orientación: permite conocer la dirección de los elementos del mapa. Por convencionalismo, se suele usar una rosa de los vientos para señalar la ubicación de los puntos cardinales.

¿Sabías qué?

A comienzos de la Edad Moderna, cuando los exploradores como Cristóbal Colón comenzaron a recorrer los mares, la cartografía y los mapas empezaron a ser muy importantes para la sociedad.

La escala

¿Qué pasa si queremos dibujar un mapa de América? El continente no va a estar dibujado con su tamaño real porque no nos alcanzaría una hoja. Entonces, para poder dibujarlo, el creador del mapa coloca debajo del mismo una escala que indica los kilómetros que están representados por cada centímetro dibujados.

Una escala señala la proporción que existe entre la medida del mapa y la del terreno real. Las escalas pueden representarse de forma explícita cuando se indica, por ejemplo, que 1 cm = 100 km; de forma numérica cuando se muestra la fracción matemática, como por ejemplo 1/10.000; y de forma de regla graduada.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Lenguajes de mapas”

Con este artículo podrá ampliar la información sobre los mapas y sus partes.

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Artículo “Mapas y recursos”

Este artículo muestra de qué manera ubicarse en un mapa

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CAPÍTULO 4 / TEMA 3

Proporciones

Cuando hablamos de proporción nos referimos a una relación que existe entre cantidades o magnitudes medibles como el tiempo, la longitud o el peso. Son muy usadas día a día, sobre todo en los recargos y descuentos de un precio. Estas relaciones pueden ser directas o inversas y pueden resolverse por medio de una regla de tres.

Proporcionalidad directa

Cuando hablamos de proporcionalidad directa nos referimos a que dos cantidades se encuentran relacionadas de tal manera que, cuando una de ellas aumenta o disminuye, la otra lo hace en la misma forma. Es decir, si dividimos ambas cantidades, vamos a obtener como resultado un número constante llamado razón de proporción.

– Ejemplo:

Si un kilogramo de fresas cuesta $ 2,5 ¿cuál es el precio de venta según el peso?

Peso (kg)	Precio ($)	Razón de proporción ($/kg)
1	2,5	2,5/1 = 2,5
2	5	5/2 = 2,5
3	7,5	7,5/3 = 2,5
4	10	10/4 = 2,5
5	12,5	12,5/5= 2,5

Nota que al dividir una magnitud entre otra el resultado es el mismo.

Regla de tres directa

Una regla de tres es un método para calcular una magnitud desconocida y que es proporcional a otra. Las operaciones que se utilizan para resolver la regla de tres son una multiplicación y una división, pero lo más importante es saber cómo plantear la regla de tres.

– Ejemplo:

Si 1 kg de manzanas cuesta $ 3, ¿cuántos costarán 5 kg de manzanas?

Lo primero que debemos identificar es la clase de proporcionalidad que representa el problema. En este caso, se trata de dos magnitudes directamente proporcionales porque a medida que compramos más manzanas, el costo será mayor. Luego planteamos la regla de tres:

Observa que multiplicamos en diagonal dos magnitudes: 5 kg y $ 3. Luego dividimos entre 1 kg.

Por lo tanto, si 1 kg de manzanas cuesta $ 3, 5 kg de manzanas costarán $ 15.

– Ejemplo 2:

Si Marta compró 1 lápiz y pagó $ 25, ¿cuánto pagará por 10 lápices?

Si 1 lápiz cuesta $ 25, 10 lápices costarán $ 250.

Proporciones corporales

Los egipcios fueron los primeros en tratar de establecer un sistema de proporciones para el cuerpo humano. Para ellos, el cuerpo perfecto debía tener las siguientes proporciones con respecto al tamaño del puño de la persona: 2 veces para la cabeza, 6 veces para las piernas, 10 veces desde los hombros a las rodillas y 18 veces para la longitud de pies a cabeza.

proporcionalidad inversa

Cuando dos magnitudes o cantidades son inversamente proporcionales, quiere decir que a medida que una de estas aumenta la otra disminuye en la misma forma. El producto entre dos cantidades inversamente proporcionales da como resultado un número llamado constante de proporcionalidad.

– Ejemplo:

Carlos compró un pastel en $ 75. Si luego varios amigos deciden colaborar, ¿cuánto tendrán que pagar según el número de amigos que colaboren?

Personas	Precio ($)	Constante de proporcionalidad (personas × $)
1	75	75 × 1 = 75
2	37,5	37,5 × 2 = 75
3	25	25 × 3 = 75
4	18,75	18,75 × 4 = 75
5	15	15 × 5 = 75

Nota que el producto entre ambas magnitudes es el mismo.

Regla de tres inversa

Al igual que en el caso anterior, la regla de tres es un método para calcular una magnitud desconocida y que es proporcional a otra. También empleamos multiplicaciones y divisiones, pero el orden es diferente.

– Ejemplo 1:

Si 3 pintores terminan de pintar una pared en 75 minutos, ¿cuánto tardarán 5 pintores en pintar la misma pared?

Como ya sabemos, lo primero que debemos hacer es asegurarnos del tipo de proporcionalidad. En este caso, las magnitudes son inversamente proporcionales porque a medida que aumenta la cantidad de pintores, el tiempo que se tardará en pintar la pared disminuye. Luego planteamos la regla de tres:

Observa que multiplicamos de forma lineal las primeras dos magnitudes: 3 pintores × 75 min. Luego dividimos entre 5 pintores.

Por lo tanto, si 3 pintores terminan de pintar una pared en 75 minutos, 5 pintores lo harán en 45 minutos.

– Ejemplo 2:

Un coche que viaja a 100 km/h tarda en llegar 2 horas, si viajase a 40 km/h ¿cuánto tardaría en llegar?

Si el coche viaja a 40 km/h llegará en 5 horas.

¿Sabías qué?

Cuando tres magnitudes o cantidades se relacionan entre sí se usa otro tipo de método llamado regla de tres compuesta.

Aplicaciones

Dentro de las aplicaciones más conocidas de las reglas de tres encontramos problemas que se relacionan con el cálculo de porcentajes. Por ejemplo:

Saber el valor de un descuento o un recargo.
Calcular qué porcentaje representa un valor del total.
Calcular un porcentaje a partir de otro.

Ley de la gravitación

Isaac Newton es uno de los científicos más grandes de todos los tiempos. En 1684 estableció una serie de leyes que llevan su nombre y describió la ley de la gravitación universal. Esta ley establece que:

la fuerza que ejerce un objeto con masa sobre otro cuerpo con masa es directamente proporcional al producto de las masas.
la fuerza que ejerce un objeto con masa sobre otro cuerpo con masa es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros de gravedad.

¡A practicar!

1. Resuelve estos problemas con regla de tres:

a) Si con 12 metros de tela María puede hacer 18 remeras, ¿cuántas remeras puede hacer con 14 metros de tela?

Solución

21 remeras.

b) Una máquina llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en una hora y media?

Solución

Llenará 1.080 botellas.

c) Si cierta cantidad de paja alcanza para alimentar a 12 vacas durante 80 días, calcular cuánto duraría la misma cantidad de paja para alimentar a 30 vacas.

Solución

Duraría 32 días.

d) Al abrir 3 de sus desagües, la pileta se vacía en dos horas. ¿Cuánto tardará en vaciarse si abro los 12 desagües?

Solución

Tardará media hora en vaciarse.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Regla de tres”

Con este recurso podrá ampliar la información relacionada con la regla de tres como método para solucionar problemas de proporcionalidad.

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Tarjeta Educativa “Regla de Tres Simple”

En la tarjeta encontrará la regla práctica y las características necesarias para emplear correctamente una regla de tres.

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CAPÍTULO 3 / TEMA 2

adición y sustracción de fracciones

Las fracciones son divisiones no resueltas que representan las partes de un todo. Pertenecen a los números racionales y, como cualquier otro tipo de número, pueden ser sumadas o restadas. Las características de cada fracción hacen que las operaciones tengan reglas distintas. A continuación, aprenderás los métodos posibles para realizar estos cálculos.

Una fracción simboliza una división entre un número y otro, y a su vez indica las partes tomadas de un todo. Una fracción tiene dos partes: un numerador y un denominador separados por una línea horizontal. El denominador señala en cuántas partes se divide la unidad, y el numerador señala cuántas de esas partes se han tomado.

VER INFOGRAFÍA

adición y sustracción de fracciones homogéneas

Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador se las llama homogéneas. Para sumar y restar este tipo de fracciones solo se suman o restan lo numeradores y se mantiene el mismo denominador.

Adición

$\frac{{\color{Red} 12}}{{\color{Blue} 7}}+\frac{{\color{Red} 4}}{{\color{Blue} 7}} = \frac{{\color{Red} 12+4}}{{\color{Blue} 7}}=\boldsymbol{\frac{16}{7}}$

– Otros ejemplos:

$\frac{{\color{Red} 31}}{{\color{Blue} 17}}+\frac{{\color{Red} 41}}{{\color{Blue} 17}}=\frac{{\color{Red} 31+41}}{{\color{Blue} 17}}=\boldsymbol{\frac{72}{17}}$

$\frac{{\color{Red} 15}}{{\color{Blue} 11}}+\frac{{\color{Red} 10}}{{\color{Blue} 11}}+\frac{{\color{Red} 21}}{{\color{Blue} 11}}= \frac{{\color{Red} 15+10+21}}{{\color{Blue} 11}}=\boldsymbol{\frac{46}{11}}$

Sustracción

$\frac{{\color{Red} 23}}{{\color{Blue} 7}}-\frac{{\color{Red} 14}}{{\color{Blue} 7}}=\frac{{\color{Red} 23-14}}{{\color{Blue} 7}}=\boldsymbol{\frac{9}{7}}$

– Otros ejemplos:

$\frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Blue} 5}}-\frac{{\color{Red} 1}}{{\color{Blue} 5}}=\frac{{\color{Red} 3-1}}{{\color{Blue} 5}}=\boldsymbol{\frac{2}{5}}$

$\frac{{\color{Red} 24}}{{\color{Blue} 13}}-\frac{{\color{Red} 8}}{{\color{Blue} 13}}-\frac{{\color{Red} 10}}{{\color{Blue} 13}}=\frac{{\color{Red} 24-8-10}}{{\color{Blue} 13}}=\boldsymbol{\frac{6}{13}}$

fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son aquellas que, a pesar de tener distintos numeradores y denominadores, representan la misma cantidad. Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar sus términos en forma de cruz el resultado es el mismo.

– Ejemplo:

$\frac{3}{6}$ y $\frac{6}{12}$ son fracciones equivalentes porque:

$3\times 12=\boldsymbol{36}$

$6\times 6=\boldsymbol{36}$

Podemos escribir las fracciones equivalentes de la siguiente manera:

$\frac{3}{6}=\frac{6}{12}$ porque $3\times 12 = 6\times 6$

– Otro ejemplo:

$\frac{8}{3}$ y $\frac{2}{4}$ no son fracciones equivalentes porque:

$8\times 4=\boldsymbol{32}$

$3\times 2=\boldsymbol{6}$

Podemos escribir las fracciones no equivalentes de la siguiente manera:

$\frac{8}{3}\neq \frac{2}{4}$ porque $8\times 4\neq 3\times 2$

¡Practiquemos!

Laura, Tomás y Daniela tienen cada uno un chocolate. Laura comió 1/2, Tomás comió 3/6 y Daniela comió 6/12. ¿Quién comió más chocolate?

Si representamos en gráficos cada fracción tenemos que:

$\boldsymbol{\frac{1}{2}=}$

$\boldsymbol{\frac{3}{6}=}$

$\boldsymbol{\frac{6}{12}=}$

Laura partió el chocolate en 2 pedazos y comió uno de esos; Tomás lo cortó en 6 pedazos y comió 3; y Daniela lo cortó en 12 pedazos y comió 6.

Sin importar la cantidad de trozos en las que se dividió el chocolate, cada uno comió lo mismo: la mitad.

Además de comprobarlo con los gráficos y por el método cruzado, podemos corroborar que una fracción es equivalente a otra si resolvemos la división. De este modo, tenemos que:

$\frac{1}{2}=\boldsymbol{0,5}$

$\frac{3}{6}=\boldsymbol{0,5}$

$\frac{6}{12}=\boldsymbol{0,5}$

Como todas las fracciones representan la misma cantidad, se pueden escribir de la siguiente forma:

$\frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{6}{12}$

¿Cómo podemos obtener fracciones equivalentes?

Por medio de dos métodos: amplificación y simplificación.

Amplificación

Consiste en multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero.

– Ejemplo:

Ambas fracciones, 2/5 y 6/15 son equivalentes. Observa que tanto el numerador como el denominador se multiplicaron por 3.

– Otro ejemplo:

Simplificación

Consiste en dividir al numerador y al denominador por un mismo número distinto de cero. Este número debe ser un divisor común entre el numerador y el denominador.

– Ejemplo:

Como el número 2 es un divisor común entre el numerador y denominador, podemos hacer una simplificación de la fracción.

– Otro ejemplos:

¿Sabías qué?

Cuando una fracción no puede simplificarse más se la llama fracción irreducible.

Juan y Carlos compraron una pizza cada uno. Si Juan comió 2/3 de pizza y Carlos 3/4 de pizza, ¿quién comió más? Hallar la fracción equivalente con igual denominador de estas fracciones puede ayudarnos a comparar las cantidades y responder la pregunta. 2/3 = 8/12 y 3/4 = 9/12, entonces comparamos los numeradores y, como 9 > 8, decimos que Carlos comió más que Juan.

adición y sustracción de fracciones heterogéneas

Las fracciones heterogéneas son las que tienen distinto denominador. Para sumar o restar fracciones heterogéneas podemos emplear tres métodos distintos.

Método 1: con fracciones equivalentes

En este método hallamos la fracción equivalente de las fracciones para que todas tengan el mismo denominador, es decir, para que sean homogéneas. Luego las sumamos como se explicó al inicio: sumamos los numeradores y mantenemos el mismo denominador.

– Ejemplo:

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

1. Hallamos la fracción equivalente a 1/2 con denominador igual a 4.

Ya sabemos que el producto cruzado de los términos debe ser el mismo. Así que multiplicamos el primer numerador por el segundo denominador, el cual necesitamos que sea 4.

$\frac{{\color{Red} 1}}{2}=\frac{a}{{\color{Red} 4}}\; \; \; \; \;\; \; 1\times 4=\boldsymbol{4}$

Luego planteamos la segunda multiplicación como una ecuación. Esta corresponde a la del primer denominador con el primer numerador.

$\frac{1}{{\color{Blue} 2}}=\frac{{\color{Blue} a}}{4}\; \; \; \; \;\; \; 2\times a=\boldsymbol{4}$

Despejamos la incógnita a y obtenemos el numerador de la fracción equivalente.

$2\times a=4\: \Rightarrow a=4\div 2=\boldsymbol{2}$

Por lo tanto,

$\frac{1}{2}=\frac{\boldsymbol{2}}{4}$

2. Reescribimos la suma con la nueva fracción equivalente. En lugar de la fracción 1/2 escribimos su fracción equivalente 2/4.

$\frac{2}{4}+\frac{3}{4}$

3. Resolvemos la suma de fracciones homogéneas.

$\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{2+3}{4}=\boldsymbol{\frac{5}{4}}$

El procedimiento es igual con la sustracción, solo cambiamos el signo más (+) por el signo menos (−).

Método 2: con mínimo común múltiplo

Consiste en hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones, el cual será el nuevo denominador. El cociente entre este valor y los denominadores se multiplica con los numeradores.

– Ejemplo:

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

1. Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ese será el denominador de la fracción resultante.

mcm (2, 4) = 2 × 2 = 4

2. Dividimos al mcm con el denominador de la primera fracción (4 ÷ 2 = 2) y multiplicamos ese resultado por su numerador.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4} = \frac{{\color{Red} 2} \times 1\:}{4}+$

3. Realizamos el mismo procedimiento con la segunda fracción. Esta vez dividimos el mcm entre el segundo denominador (4 ÷ 4 = 1) y multiplicamos ese resultado por el segundo numerador. Sumamos este resultado con el obtenido anteriormente.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4} = \frac{{\color{Red} 2}\times 1}{4}+\frac{{\color{Blue} 1}\times 3}{4}$

4. Resolvemos las operaciones y obtenemos el resultado final.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4} = \frac{{\color{Red} 2}\times 1}{4}+\frac{{\color{Blue} 1}\times 3}{4}=\frac{2+3}{4}=\boldsymbol{\frac{5}{4}}$

El procedimiento es igual con la sustracción, solo cambiamos el signo más (+) por el signo menos (−).

Método 3: con productos cruzados

En este método multiplicamos de manera cruzada los numeradores y denominadores de las fracciones. Sumamos los resultados y los colocamos en el numerador resultante. El denominador de la fracción final será igual al producto de la multiplicación de los denominadores.

– Ejemplo:

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

1. Multiplicamos el primer numerador por el segundo denominador.

$\frac{{\color{Red} 1}}{2}+\frac{3}{{\color{Red} 4}}=\frac{{\color{Red} 1\times 4}}{}$

2. Multiplicamos el primer denominador por el segundo numerador. Sumamos esta operación con la primera.

$\frac{{\color{Red} 1}}{{\color{Blue} 2}}+\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 4}}=\frac{{\color{Red} 1\times 4}+{\color{Blue} 2\times 3}}{}$

3. Multiplicamos los denominadores. El resultado lo colocamos en el lugar del denominador.

$\frac{{\color{Red} 1}}{{\color{Blue} 2}}+\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 4}}=\frac{{\color{Red} 1\times 4}+{\color{Blue} 2\times 3}}{{\color{Blue} 2}\times {\color{Red} 4}}$

4. Resolvemos las operaciones y obtenemos el resultado final.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{1\times 4+2\times 3}{2\times 4}=\frac{4+6}{8}=\frac{10}{8}=\boldsymbol{\frac{5}{4}}$

Observa que al resolver las operaciones el resultado es 10/8, pero esta fracción se puede simplificar al dividir ambos términos entre 2, el cual es un divisor común.

El procedimiento es igual con la sustracción, solo cambiamos el signo más (+) por el signo menos (−).

Las fracciones heterogéneas son las que tienen distinto denominador. Para sumar o restar este tipo de fracciones podemos emplear tres métodos diferentes: por medio de fracciones equivalentes, mínimo común múltiplo o productos cruzados. Sin importar el método que escojas el resultado será el mismo.

¡A practicar!

1. ¿Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes a $\frac{2}{5}$ ?

$\frac{6}{15}\ ,\ \frac{6}{9}\ ,\ \frac{10}{25}\ ,\ \frac{14}{30}\ ,\ \frac{8}{20}$

Solución

$\frac{6}{15}\ ,\ \frac{10}{25}\ ,\ \frac{8}{20}$

2. ¿Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes a $\frac{25}{40}$ ?

$\frac{50}{80}\ ,\ \frac{5}{8}\ ,\ \frac{75}{110}\ ,\ \frac{75}{120}\ ,\ \frac{5}{4}$

Solución

$\frac{50}{80}\ , \frac{5}{8}\ , \frac{75}{120}$

3. ¿Cuál es la fracción equivalente? Coloca el numerador que falta.

$\frac{1}{2}=\frac{?}{8}$

Solución

$\frac{1}{2}=\frac{{\color{Red} 4}}{8}$

$\frac{3}{5}=\frac{?}{25}$

Solución

$\frac{3}{5}=\frac{{\color{Red} 15}}{25}$

$\frac{4}{5}=\frac{?}{12}$

Solución

No es posible conseguir una fracción equivalente de denominador 12 porque el 12 no es múltiplo del 5.

$\frac{2}{7}=\frac{?}{21}$

Solución

$\frac{2}{7}=\frac{{\color{Red} 6}}{21}$

4. Realizar los siguientes cálculos con fracciones:

$\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}=$

Solución

$\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}=\boldsymbol{\frac{2}{5}}$

$\frac{4}{5}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=$

Solución

$\frac{4}{5}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\boldsymbol{\frac{49}{30}}$

$\frac{3}{10}-\frac{1}{12}=$

Solución

$\frac{3}{10}-\frac{1}{12}=\boldsymbol{\frac{13}{60}}$

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{5} \right )=$

Solución

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{5} \right )=\boldsymbol{\frac{23}{60}}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Adición y sustracción de fracciones”

Puedes realizar la adición o la sustracción de fracciones por medio de varios métodos. Este recurso le permitirá ampliar información sobre estos.

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Artículo “Fracciones equivalentes”

Con este artículo podrá profundizar sobre las fracciones y cómo obtenerlas por amplificación y simplificación.

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CAPÍTULO 3 / TEMA 1

noción de fracción

En la vida diaria usamos números para decir nuestra edad, dar la hora o para contar. Todos estos números son los que conocemos como números naturales, pero no siempre son útiles. Por ejemplo, si nos comemos medio alfajor, un cuarto de torta, o compramos medio kilo de naranjas, necesitamos emplear otro tipo de números: los fraccionarios.

¿Qué es una fracción?

Una fracción es la forma de representar una parte de un todo. Así, si queremos decir que nos comimos medio alfajor, lo podemos pensar como que a nuestro todo, el alfajor, lo cortamos en dos y de esas dos partes nos comimos una. En forma de fracción lo escribimos como:

En el numerador escribimos la cantidad que nos comimos y en el denominador la cantidad en la que cortamos el alfajor.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?

Los egipcios trabajaban con fracciones para indicar la distribución del pan, para la construcción de las pirámides y para estudiar las medidas de la Tierra. Ellos usaban fracciones llamadas “unitarias” porque todas tenían numerador 1.

Para resolver el problema de repartir 6 panes entre 10 hombres ellos decían que a cada uno le tocaba panes. Esto significaba que cada pan lo dividían en mitades y el último lo hacían en décimos.

¡A practicar!

Escribe las fracciones que están representadas por los gráficos:

Solución

$\boldsymbol{\frac{3}{8}}$

Cantidad de divisiones: 8

Partes sombreadas: 3

Solución

$\boldsymbol{\frac{4}{8}}$

Cantidad de divisiones: 8

Partes sombreadas: 4

Solución

$\boldsymbol{\frac{5}{8}}$

Cantidad de divisiones: 8

Partes sombreadas: 5

Una fracción nos indica dos cosas: las partes en las que se ha dividido un todo y las partes que se han tomado de ese todo. Al primero lo llamamos denominador y al segundo lo llamamos numerador. Por ejemplo, en la imagen vemos un círculo que está dividido en 6 partes iguales, pero solo una, la parte azul, fue tomada. Esa pieza azul representa 1/6 del total.

Tipos de fracciones

Las fracciones se pueden clasificar en:

Propias: son las que tienen numerador menor al denominador. Esto quiere decir que representan un número menor a 1 entero. Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}=$

Impropias: son las que tienen el numerador mayor al denominador y representan números mayores a 1 entero. Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{9}{4}}=$

Aparentes: son aquellas en las que el numerador es múltiplo del denominador, por lo cual, al dividirlos resulta un número entero. Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{10}{5}}=$

También podemos clasificarlas en:

Puras: son las que se representan únicamente con una fracción.

Ejemplo: $\frac{2}{5}$ o $\frac{3}{8}$

Mixtas: son las que se representan con una parte entera y una parte fraccionaria. Para esto, es necesario que la fracción sea más grande que 1 entero.

Ejemplo: $2\frac{3}{8}$ o $4\frac{1}{7}$

¡A practicar!

Clasifica las siguientes fracciones en propias, impropias o aparentes

Solución

Propias

Impropias

Aparentes

¿Cómo convertimos una fracción impropia pura a una fracción impropia mixta y viceversa?

De impropia pura a mixta

Dividimos el numerador con el denominador y, según los valores obtenidos, los representamos de la siguiente manera:

De impropia mixta a pura

Multiplicamos el denominador por el entero y le sumamos el numerador. Este valor nos da el numerador de la fracción pura, mientras que el denominador de ambas es el mismo.

Una fracción mixta nos da una información más visible que una fracción impropia. Por ejemplo, si nosotros tenemos 7 galletitas para compartir entre tres amigos, sabemos que 7 dividido 3 nos da 2, o sea, 2 galletitas para cada uno. Pero la que nos sobra la partimos en tres partes y nos toca 1 parte a cada uno. Es decir, cada uno comerá 2 1/3 de galletitas.

Fracción irreducible

Una fracción es irreducible cuando su numerador y su denominador solo tienen como divisor común al 1.

Recordemos el mcd

Para calcularlo descomponemos los números en sus factores primos.

– Ejemplo: halla el mcd entre 15 y 18.

Ahora solo debemos elegir los factores que se repiten en ambos y la menor cantidad de veces que aparece. En este caso, el que se repite es el 3 y aparece una sola vez en el 15.

Entonces:

$mcd(15, 18) = \boldsymbol{3}$

Veamos algunas fracciones para ver si son irreducibles:

– Ejemplo 1:

$\frac{15}{4}$

Como ya vimos, podemos escribir los números como descomposición de sus factores primos y calcular su mcd:

$15 = 5\: \times 3$

$4 = 2^{2}$

Entonces, los números 15 y 4 no tienen factores en común por lo tanto la fracción es irreducible.

– Ejemplo 2:

$\frac{6}{8}$

Descomponemos cada número en sus factores primos y calculamos el mcd.

$6 = 2\: \times 3$

$8 = 2^{3}$

Los números 6 y 8 tienen un factor en común, el número 2, por lo tanto la fracción no es irreducible. Para convertirla en una fracción irreducible lo único que tenemos que hacer es dividir al numerador y denominador por el factor que tienen en común.

Y ahora la fracción que se obtuvo es irreducible.

¡A practicar!

Señala cuáles de las siguientes fracciones son irreducibles

Solución

simplificación de fracciones

Simplificar una fracción significa “achicarla” tanto como podamos, o sea, hacerla irreducible. Como lo vimos antes, para convertir una fracción en irreducible hay que dividir el numerador y el denominador por un número que sea divisor de ambos (mcd).

Este valor lo podemos buscar por medio de los factores primos, o si nos damos cuenta, podemos calcular por cuáles números se pueden dividir ambos. Podemos dividir tantas veces como consideremos necesarias hasta lograr la fracción irreducible.

También usamos las fracciones para decir la hora. Por ejemplo, si dividimos el reloj a la mitad como en la foto, podemos decir que son las nueve y media. Pero también lo podemos dividir en cuatro partes. Entonces, cuando la aguja de los minutos esté en el 3 diremos que son las nueve y cuarto, y cuando esté en el 9 diremos que falta un cuarto de hora para la diez.

Hagamos algunos ejemplos:

– Ejemplo 1:

$\frac{25}{35} = \frac{5}{7}$

Ambas fracciones fueron divididas por 5.

– Ejemplo 2:

$\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$

Ambas fracciones fueron divididas por 2.

– Ejemplo 3:

$\frac{45}{105}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}$

Ambas fracciones fueron divididas primero por 5 y después por 3.

¡A practicar!

1. Simplifica las siguientes fracciones hasta su fracción irreducible.

$\boldsymbol{\frac{24}{36}}$

Solución

$\frac{2}{3}$

$\boldsymbol{\frac{40}{24}}$

Solución

$\frac{5}{3}$

$\boldsymbol{\frac{18}{63}}$

Solución

$\frac{2}{7}$

2. Clasifica las siguientes fracciones, en caso de que sea impropia escríbela como fracción mixta. Luego, indica si la fracción es irreducible. Si no lo es, simplifica.