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Conceptos fundamentales de cinemática: aceleración 

Cuando un automóvil aumenta su velocidad decimos que está acelerando, y si ese aumento de velocidad se produce en un espacio de tiempo muy corto decimos que el automóvil ha acelerado muy deprisa. La aceleración es, pues, una variación de la velocidad por unidad de tiempo.

Puede ser positiva o negativa, produciendo un aumento o una disminución de la velocidad. En el caso de un movimiento curvilíneo, la aceleración produce una variación del módulo y de la dirección del vector velocidad. Podemos definir de forma rigurosa la aceleración diciendo que es la velocidad de la velocidad. Es decir, que la aceleración representa para el vector velocidad lo mismo que la velocidad para el vector de posición.

Partiendo de esta idea, definiremos la aceleración media de un móvil entre dos puntos de su trayectoria P0 y P (o, lo que es lo mismo, entre dos instantes t0 y t) de forma análoga a como definimos la velocidad media, es decir, como:

Ejemplo

A partir de esta definición de aceleración media, podemos definir la aceleración instantánea mediante un paso al límite similar al que aplicamos para definir la velocidad instantánea. Si el punto P está próximo al punto P0, podemos escribir:

Cuando ∆t→0 tiende a cero, am tiende hacia un vector aplicado en el punto P0. Ese vector es la aceleración instantánea en P0.

Hodógrafa

Cuando un móvil M recorre una determinada trayectoria, en cada punto de ésta tendremos un vector velocidad. Por ejemplo, en el punto P0 será v(t0).

Ejemplo

Tomamos un punto O ‘ y colocamos en él los vectores velocidad correspondientes a todos los puntos de la trayectoria de M. Los extremos de esos vectores dibujan una curva que es la hodógrafa del movimiento.

Ejemplo

La hodógrafa sería la trayectoria de un móvil M ‘ cuyo vector de posición fuese v(t). El vector velocidad del móvil M ‘ en el punto P ‘ de la hodógrafa coincide con el vector aceleración en el punto P correspondiente de la trayectoria del móvil M, lo que justifica pensar la aceleración como la velocidad de la velocidad.

Polo de la hodógrafa

Punto fijo O’ en el que se sitúan vectores equipolentes a los vectores velocidad del movimiento de un punto material para dibujar la curva hodógrafa.

Dimensiones y unidades de la aceleración

La aceleración es una velocidad dividida por un tiempo, por lo que, como [v] = [L]·[T]-1, las dimensiones de la aceleración serán las de una longitud dividida por un tiempo al cuadrado[a] = [L]·[T]-2. En el Sistema Internacional y en el técnico se expresa en m/s2, mientras que en el sistema CGS se mide en cm/s2.

Conceptos fundamentales de cinemática: componentes de la aceleración 

En un movimiento curvilíneo, el vector velocidad está situado sobre la recta tangente a la trayectoria en el punto considerado. En general, es imposible hacer una afirmación de la misma sencillez sobre la dirección del vector aceleración, pero si éste se descompone según dos ejes, uno tangente a la trayectoria y otro normal a éste (componentes intrínsecas de la aceleración) es fácil comprender la variación que la aceleración impone a la velocidad.

Ejemplo

La utilidad de esta descomposición estriba en que, en el caso general, en un movimiento curvilíneo, la aceleración tiene dos efectos:

  1. Cambia el módulo del vector velocidad
  2. Curva la trayectoria o, lo que es lo mismo, cambia la dirección del vector velocidad.

La primera de estas dos acciones se debe a la aceleración tangencial at, que es la componente de la aceleración sobre la recta tangente a la trayectoria en el punto considerado. Esta aceleración, por tener la misma línea de acción que la velocidad, no afecta a la dirección de ésta, sino sólo a su módulo. La segunda acción de la aceleración se debe a la aceleración normal an , que, por ser perpendicular a la dirección del vector velocidad, no afecta a su módulo, pero sí a su dirección.

Mediante métodos propios de la geometría diferencial es posible hallar fórmulas que dan los módulos de at, y an para un movimiento según una trayectoria cualquiera. Dichas fórmulas son:

Cuando 

Donde ρ es el radio de curvatura de la trayectoria en el punto considerado.

Conceptos fundamentales de la cinemática: velocidad

En cinemática se definen diversos conceptos de velocidad.

Velocidad media e instantánea

La velocidad media de un móvil es la razón de su vector desplazamiento entre el intervalo de tiempo durante el cual se produce ese desplazamiento. Siendo el cociente de un vector por un escalar, la velocidad media es un vector cuya dirección y sentido son los mismos que los del vector desplazamiento. Si en el instante t0 el móvil está en el punto P0 y su vector de posición es r(t0), y en el instante t el móvil está en el punto P y su vector de posición es r(t), la velocidad media del móvil entre P0 y P será:

Un concepto distinto es el de celeridad o velocidad media sobre la trayectoria, que es una magnitud escalar que se define como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla.

La velocidad instantánea es una magnitud vectorial que representa la velocidad que tiene el móvil en cierto instante o, lo que es lo mismo, en un punto determinado de su trayectoria. La velocidad instantánea debe representarse por un vector porque se trata de una magnitud que, además de ser cuantificable, tiene una orientación determinada. Veamos cómo se define.

Si en un instante t0 un móvil está en el punto P0 cuyo vector de posición es r(t0), una fracción de segundo más tarde, es decir, en el instante t0 + ∆t, estará en otro punto P cuyo vector de posición será r(t0 +  ∆t). La velocidad media del móvil durante el intervalo de tiempo ∆t sería entonces:

Si consideramos cada vez fracciones de segundo más pequeñas, es decir, ∆t más pequeños, el punto P se va acercando al punto P0, y la dirección del vector desplazamiento r(t0 + ∆t) – r(t0) se va acercando a la recta tangente a la trayectoria en el punto P0.

Ejemplo

Como el vector velocidad media,, tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, también la dirección dese irá acercando a la recta tangente a la trayectoria en P0.

Además de acercarse en dirección a la tangente, el vector desplazamiento, r(t 0 +  ∆t) – r(t 0), a medida que vamos considerando ∆t más reducidos, es cada vez más corto, es decir, que su módulo es cada vez más pequeño.

En el límite, esto es, cuando ∆t sea cero y el punto P se confunda con el punto P0, el vector desplazamiento se anulará.

Con el vector no ocurre lo mismo, ya que este vector es el cociente entre el vector desplazamiento y el incremento de tiempo considerado, o sea, el cociente entre r(t0 + ∆t) – r(t0) y ∆t. Al irse acercando P a P0, es decir, al irse haciendo cada vez más pequeño ∆t, el numerador y el denominador de ese cociente se van haciendo los dos cada vez más pequeños, pero el valor del propio cociente puede aumentar o disminuir, dependiendo de si el numerador decrece de forma más rápida o más lenta que el denominador.

Tenemos por lo tanto que al ir disminuyendo ∆t, la línea de acción del vectorse va acercando a la recta tangente a la trayectoria en P 0, mientras que el módulo dese va acercando a un determinado valor. Así el vector tiende a convertirse en un vector V(t0) aplicado en P0 y situado sobre la tangente a la trayectoria en ese punto. Ese vector V(t0) es la velocidad instantánea del móvil en el punto P0 o, lo que es lo mismo, en el instante t 0.

No particularizando un valor de t, notaremos este vector como V(t) o simplemente V.

Ejemplo

El proceso que hemos seguido para definir la velocidad instantánea se denomina paso al límite. Diríamos así que la velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando el incremento de tiempo tiende a cero (∆t → 0).

Cuando ∆t → 0, la celeridad o velocidad media sobre la trayectoria se va aproximando al módulo del vector velocidad media (la cuerda se aproxima al arco), con lo que la velocidad instantánea también puede definirse como un vector tangente a la trayectoria en el punto considerado cuyo módulo es el límite a que tiende la celeridad cuando  ∆t→ 0

Dimensiones y unidades de la velocidad

La velocidad tiene las dimensiones de una longitud dividida por un tiempo [L]·[T]-1. En el Sistema Internacional y en el técnico se expresa en metros por segundo (m/s), y en el CGS en centímetros por segundo (cm/s). En la práctica también se utilizan unidades basadas en múltiplos del metro y del segundo (km/h). Los marinos emplean una unidad propia: el nudo, que equivale a una milla marina por hora (1,85 km/hora).

Tiro vertical

Los objetos lanzados verticalmente hacia arriba o hacia abajo, describen un movimiento denominado “tiro vertical” que se estudia en la cinemática y, al igual que los demás, se encuentra muy influenciado por la fuerza de gravedad. En este artículo abordaremos sus principales características.

Tiro vertical

Todos los cuerpos lanzados en el vacío sobre la Tierra en puntos próximos a su superficie caen con la misma aceleración, es la aceleración de la gravedad.

El valor aproximado de la gravedad es de 9,81 m/s².

Se denomina tiro vertical al movimiento hacia arriba o hacia abajo que describe una trayectoria vertical influenciada por la fuerza de gravedad. Los hay de dos tipos, de acuerdo a la orientación del móvil respecto a la gravedad.

Tiro vertical hacia abajo

Es aquel que se origina al lanzar un cuerpo hacia abajo con una velocidad inicial v0 diferente de 0 y describe un movimiento uniformemente acelerado. Dicho movimiento se describe a continuación:

En la imagen se considera positiva a la dirección OA del eje del sistema de referencia usado y a partir de este las ecuaciones a utilizar en el tiro vertical hacia abajo son:

Dónde:

v= velocidad en cualquier punto de la trayectoria.

v0= velocidad inicial

g= gravedad

t= tiempo

y= altura

Las ecuaciones 1 y 2 permiten calcular la velocidad en cualquier punto, sin embargo, la primera depende del tiempo y la segunda de la altura.

Tiro vertical hacia arriba

Describe un movimiento uniformemente retardado porque la aceleración va en el sentido opuesto al movimiento. Por lo tanto, es un movimiento vertical donde la velocidad inicial del cuerpo tiene un valor mayor que cero y la única aceleración que interviene durante la trayectoria del cuerpo es la gravedad; es decir, se trata de un caso particular de caída libre donde v0 > 0. Siempre tiene una velocidad inicial y a continuación se describen sus elementos principales:

Si se considera la dirección OA como positiva en nuestro sistema de referencia, la gravedad será negativa por ir en sentido contrario. De manera que las ecuaciones en función a este sistema de referencia quedarán expresadas para el tiro vertical de la siguiente manera:

El doble signo de la quinta ecuación (5) se refiere a que el valor de la velocidad que tiene el cuerpo al subir (v>0) es el mismo que cuando el cuerpo baja (v>0) en el mismo punto su trayecto. Lo mismo se cumple para el tiempo, es decir, el tiempo que el móvil tarda en alcanzar un punto del trayecto, es igual al tiempo que emplea en bajar desde dicho punto.

En la parte del tiro vertical hacia arriba en donde se describe el movimiento de caída libre se cumplen las ecuaciones:

Dónde:

h = altura de caída por efecto de la gravedad

 

En el movimiento de caída libre se cumple que  V0 = 0.

Altura máxima

En el caso del tiro vertical hacia arriba, desde el momento en el que el cuerpo es lanzado con una velocidad inicial, su velocidad descenderá gradualmente hasta llegar a 0, como resultado de la fuerza de gravedad. En el punto donde el móvil alcanzará su altura máxima.

En sentido si se sustituye el valor de en la cuarta ecuación (4) se tiene que:

Si se despeja tiempo de la ecuación que se acaba de despejar se tiene:

Al sustituir la ecuación de tiempo despejada en la sexta ecuación (6) se obtiene:

Al resolver los términos semejantes se llega a la siguiente ecuación:

La ecuación obtenida corresponde a la ecuación de la altura máxima, para diferenciarla de otras alturas se expresa como hmax

De la ecuación anterior se obtiene la ecuación para calcular la velocidad inicial en función de la altura máxima del móvil:

Mientras mayor sea la velocidad inicial de un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba, mayor será su altura máxima.

Problemas resueltos

Una persona lanza una moneda verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 8 m/s. Determinar:

  1. Su velocidad a los 3 segundos.
  2. La distancia que habrá descendido a esos 3 segundos.
  3. La velocidad después de haber descendido 13 metros.
  4. El tiempo en el que alcanzará el suelo, si la altura desde donde fue lanzada la moneda fue de 200 m.
  5. La velocidad con la que tocará el suelo.

Datos:

  1. Su velocidad a los 3 segundos.

Debido a que en el enunciado dicen que la moneda fue lanzada hacia abajo con una velocidad inicial mayor a cero, se trata de un problema de tiro vertical hacia abajo, por lo tanto se empleará la primera ecuación (1)v= v0+g.t para cuando t=3 s.

2. La distancia que habrá descendido a esos 3 segundos.

Se emplea la tercera ecuación (3) y=v0.t+ 1/2.g.t² donde se relaciona la distancia o altura del móvil respecto al punto desde donde es lanzado el móvil. En este caso v0 se calculó en el paso anterior y t es igual a 3 s.

3. La velocidad después de haber descendido 13 metros.

Se emplea la segunda ecuación de velocidad (2) v= v0²+ 2.g.y  porque es la que relaciona la altura con la velocidad.

4. El tiempo en el que alcanzará el suelo, si la altura desde donde fue lanzada la moneda fue de 200 m.

Se aplica la tercera ecuación (3), en este caso, el valor de y será de 200 m debido a que será la distancia total que recorrerá la moneda hasta caer al suelo, el tiempo que tarde en recorrer dicha distancia será el tiempo que empleará en alcanzar el suelo.

Para efectos de cálculos se omitirán las unidades, de manera que se obtiene la siguiente ecuación de segundo grado:

Al resolver la ecuación de segundo grado se obtienen dos raíces. Como el tiempo nunca es negativo, se toma la raíz positiva.

Por lo tanto el tiempo en el que la moneda alcanzará el suelo será a los 5,621 s.

Para saber más sobre cómo resolver una ecuación de segundo grado puedes visitar el siguiente enlace: http://elbibliote.com/resources/Temas/html/468.php

5. La velocidad con la que tocará el suelo.

Se aplica la primera ecuación (1) v = v0+g.t pero se debe considerar el tiempo igual al tiempo que tarda la moneda en alcanzar el suelo y que se calculó en el paso anterior.

Un beisbolista lanza la pelota verticalmente hacia arriba, si tardó 2,40 s en alcanzar su máxima altura. Determinar:

  1. La rapidez inicial.
  2. La altura máxima que alcanza en ese tiempo.
  3. La velocidad en el primer segundo.
  4. La velocidad en t=3 s

Datos:

  1. La rapidez inicial.

Para calcular la rapidez inicial o velocidad inicial se emplea las ecuaciones de tiro vertical hacia arriba, específicamente la cuarta ecuación (4). En este pudo se debe considerar que al encontrarse la pelota en su máxima altura su velocidad es 0, por lo tanto v = 0 m/s.

Al sustituir la ecuación se obtiene:

Se despeja de la ecuación:

2. La altura máxima que alcanza en ese tiempo.

Se aplica la ecuación de altura máxima (11)  Y se obtiene:

3. La velocidad en el primer segundo.

Como piden la velocidad al primer segundo, se debe aplicar la cuarta ecuación (4) v= v0-g.t para t=1 s

4. La velocidad en t=3 s

Como la pelota alcanza su altura máxima a los 2,40 s, para tiempo posterior a este la pelota describirá un movimiento de caída libre como se explicó anteriormente. Por lo tanto, para calcular la velocidad a los 3 s se emplea la novena ecuación v = g.t. Se debe considerar que el tiempo será medido a partir del punto en donde alcanza la altura máxima. Por tal motivo, el tiempo a usar será igual a los 3 s menos 2,40 s, es decir, 0,6 s