Transformaciones en el plano

Si nos desplazamos desde donde estamos a otra posición decimos que hay una transformación en el espacio. Sucede lo mismo si trasladamos un punto o una figura en el plano. Estos movimientos en el plano conservan la forma y tamaño de la figura, algunos ejemplos son la traslación, la rotación y la simetría.

Traslación

Es un movimiento directo sin cambios de orientación. La traslación depende de un sentido, una dirección y una magnitud, tres conceptos que se reducen un elemento geométrico: el vector. Así que podemos hallar la imagen de cualquier punto a través de un vector dado.

– Ejemplo:

Para determinar la imagen del punto A a través de una traslación por el vector $\vec{u}$ seguimos estos pasos:

Trazamos un vector equipolente a $\vec{u}$ cuyo origen coincida con el punto A.
Marcamos el punto A’, el cual es la imagen del punto A.

¿Sabías qué?

Un vector es equipolente a otro cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Traslación en el plano cartesiano

Como la traslación depende de un vector determinado, cuando desplazamos una figura en el plano cartesiano dado un vector $\vec{u}$ debemos sumar las coordenadas de sus vértices con las del vector para saber las coordenadas de los vértices de la figura trasladada.

– Ejemplo:

Para trasladar un triángulo ABC según el vector $\vec{u}$ = (3, 2), debemos ubicar la imagen de cada punto en el plano de la manera antes explicada.

Las coordenadas de los vértices de la figura trasladada son iguales a la suma de las coordenadas iniciales con las coordenadas del vector:

$A(1, 1) + \vec{u}(3, 2)=A'(1+3,1+2)=\boldsymbol{A'(4,3)}$

$B(3, 1) + \vec{u}(3, 2)=B'(3+3,1+2)=\boldsymbol{B'(6,3)}$

$C(1, 6) + \vec{u}(3, 2)=C'(1+3,6+2)=\boldsymbol{C'(4,8)}$

¿Sabías qué?

Toda figura trasladada debe conservar la orientación y ser idéntica a la figura inicial.

Rotación

Es un movimiento que consiste en girar todos los puntos de una figura en un ángulo determinado en torno a un centro de rotación.

Ángulos dirigidos

En una rotación siempre se genera un ángulo con una lado inicial y un lado final. El ángulo dirigido será positivo si el giro es en sentido contrario al de las manecillas del reloj, en cambio, el ángulo será negativo si el giro es en sentido de las manecillas del reloj.

Ángulo positivo

Ángulo negativo

El centro de rotación es un punto en torno al cual se rota o gira la figura; en los cubos de Rubik este centro de rotación permite girar las caras del cubo en cualquier dirección.

Rotación en el plano

Para hallar la imagen de un punto R en el plano bajo un ángulo de rotación es necesario conocer el ángulo dirigido y el centro de rotación. Así que, si hay un punto fijo O en el plano y un ángulo dirigido α, la rotación de centro O y ángulo α de un punto R es una transformación en el plano que asigna a R un punto único R’.

– Ejemplo 1:

Cuando se rota un polígono en el plano cartesiano, debemos determinar la imagen de cada vértice y hallar las coordenadas de los vértices de la imagen del polígono original.

– Ejemplo 2:

El triángulo A’B’C es la imagen del triángulo ABC según el centro de rotación C y un ángulo dirigido de −90°.

Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son A(3, 0), B(0, 2) y C(0, 0).

Las coordenadas de los vértices del triángulos A’B’C son A’(0, −3, ), B’(2, 0) y C(0, 0).

Simetría axial

La simetría axial es una transformación en el plano en el que cada punto C se asocia a otro punto C’ llamado “imagen”. Los puntos C y C’ están a igual distancia de un recta que se llama “eje de simetría” y el segmento $\overline{CC'}$ es perpendicular a dicho eje.

– Ejemplo:

El triángulo A’B’C’ es la imagen simétrica del triángulo ABC respecto al eje de simetría m.

Simetría axial en el plano cartesiano

Dos puntos P y P’ son simétricos respecto al eje y (eje de las ordenadas) si sus abscisas son opuestas y sus ordenadas son iguales. Así que:

P(x, y) → P'(−x, y)

Por lo tanto:

x = −x’

y = y’

Por otro lado, dos puntos P y P’ son simétricos al eje x (eje de las abscisas) si sus abscisas son iguales y sus ordenadas son opuestas. Así que:

P(x, y) → P'(x, −y)

Por lo tanto:

x = x’

y = −y’

– Ejemplo 1:

El triángulo A’B’C’ con A’(2, 1), B’(4, 1) y C’(3, 3) es la imagen simétrica del triángulo ABC con A(−2, 1), B(−4, 1) y C(−3, 3).

– Ejemplo 2:

El triángulo A’B’C’ con A’(1, −1), B’(3, −1) y C’(2, −3) es la imagen simétrica del triángulo ABC con A(1, 1), B(3, 1) y C(2, 3).

CAPÍTULO 5 / TEMA 1

Características del movimiento

Todo movimiento presenta características particulares que pueden ser definidas por las leyes que postuló Sir Isaac Newton. La cinemática es la rama de la ciencia que estudia este fenómeno físico observable en todo el universo.

Todo ser vivo está en constante movimiento.

Las leyes de Newton

En 1687, el físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés Isaac Newton, publicó su famosa obra Philosophiæ naturalis principia mathematica (Principios matemáticos de la filosofía natural), donde dio a conocer al mundo sus descubrimientos sobre mecánica y cálculo matemático. En este libro, que es considerado el más importante de la historia científica, Newton estableció las tres leyes que rigen los movimientos. Estas son: la ley de inercia, el principio fundamental de la dinámica y el principio de acción–reacción.

¿Sabías qué?

El primero en estudiar el movimiento fue Aristóteles, quien formuló la teoría de la caída de los cuerpos en la que postulaba que un cuerpo pesado cae más rápido que uno ligero.

Primera ley de Newton o ley de inercia

La primera ley de Newton o ley de inercia establece que: “todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él”. Es decir, todo cuerpo permanece en reposo a menos de que se aplique una fuerza neta sobre él.

Cuando se habla de reposo se tiene en cuenta un sistema de referencia.

Segunda ley de Newton o principio fundamental de la dinámica

La segunda ley de Newton o principio fundamental de la dinámica señala que: “el cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime”. Esto quiere decir que la aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza neta aplicada sobre él e inversamente proporcional a su masa.

La energía generada a través de los molinos de viento depende del movimiento del aire.

Tercera ley de Newton o principio de acción-reacción

La tercera ley de Newton o principio de acción–reacción establece que: “con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: o sea, las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto”. Esto quiere decir que cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre un segundo cuerpo, este último ejercerá una fuerza de igual magnitud pero en sentido contrario a la primera.

Ver infografía

Sistema de referencia

Para describir un movimiento es preciso tener un sistema de referencia, es decir, unos ejes coordenados respecto a los cuales se pueda fijar la posición del móvil en cada instante.

Un sistema de referencia puede ser fijo o móvil. Si queremos describir el movimiento de un pasajero que camina por el pasillo de un vagón de tren mientras éste avanza en línea recta a 100 km/h, puede ser útil tomar un eje de abscisas ligado al vagón y, respecto a ese eje, diríamos que el pasajero se mueve, por ejemplo, a 5 km/h; pero podría interesarnos más tomar un eje de abscisas ligado a la vía del tren, y respecto a ese sistema de referencia la velocidad del pasajero sería de 105 km/h.

De hecho, los ejes ligados a la vía tampoco son fijos, ya que la propia Tierra también se mueve. Así pues, en realidad todos los movimientos son relativos. Pero en los problemas de cinemática corrientes, cuando no se especifica otra cosa, se sobreentiende que el movimiento se ha referido un sistema O(xyz) ligado a la Tierra y, por lo tanto, en reposo con respecto a ésta.

¿Sabías qué?

La trayectoria descrita por un objeto depende del sistema de referencia usado, que se elige de forma arbitraria por el observador y casi siempre el ojo del observador es el origen del sistema de coordenadas usado en el sistema de referencia.

Si describimos un movimiento respecto a dos sistemas de referencia distintos, la ecuación de la curva de la trayectoria será distinta y, si además se trata de dos sistemas de referencia que están en movimiento relativo uno respecto a otro, también la propia curva será en general distinta.

Respecto a un sistema de referencia, la posición del móvil en cada instante está fijada por su vector de posición, que es variable en función del tiempo.

Si expresamos ese vector mediante sus componentes, éstas también serán funciones del tiempo:

Para cada valor de t tendremos la posición del móvil en ese instante y la trayectoria es la curva que describe el extremo del vector:

Ejemplo: el vector desplazamiento desde el punto P 0 al punto P se puede expresar como la diferencia de dos vectores: el vector de posición de P y el vector de posición de P 0, esto es:

Existen dos tipos de sistemas de referencia: sistema de referencia inercial y sistema de referencia no inercial.

Sistema de referencia inercial

El sistema de referencia es inercial cuando se cumplen las leyes de movimiento establecidas por Newton. Es decir, cuando la variación del momento lineal del cuerpo o del objeto es igual a la sumatoria de las fuerzas aplicadas sobre él.

Sistema de referencia no inercial

El sistema de referencia es no inercial cuando no se cumplen las leyes de Newton. Esto quiere decir que la variación del momento lineal del cuerpo o del objeto no es proporcional a la sumatoria de las fuerzas aplicadas sobre él.

Trayectoria y desplazamiento de un móvil

Se denomina trayectoria al camino recorrido por un móvil a lo largo del tiempo. Es decir, la trayectoria es el conjunto de las sucesivas posiciones ocupadas por el móvil. La medida de la longitud de esa trayectoria es lo que se denomina espacio. Así pues, el espacio es una magnitud escalar.

Es importante no confundir estos dos conceptos con el de desplazamiento. El desplazamiento de un móvil desde un punto P0 a un punto P1 es un vector que tiene su origen en el punto P0 y su extremo en el punto P1. El desplazamiento es independiente de la trayectoria: sólo depende de los puntos inicial y final.

Clasificación del movimiento

El movimiento se clasifica según trayectoria, rapidez y orientación.

Según la trayectoria, los movimientos son:

Movimiento rectilíneo: en el movimiento rectilíneo, la trayectoria del móvil es recta y la velocidad siempre lleva la misma dirección. Este se clasifica en:

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU): trayectoria recta, velocidad constante y aceleración nula porque no hay cambio de velocidad. Por ejemplo: ciclistas que avanzan en línea recta a velocidad constante. La aceleración es nula porque la velocidad no varía, siempre van a 20 km/h.

En el MRU el móvil se desplaza en un solo sentido, con trayectoria constante.

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV): trayectoria recta, velocidad variada y aceleración constante.

Debido a que la velocidad varía, por ejemplo de 20 km/h a 28 km/h, aparece otro concepto que se llama aceleración, que nos indica cuán rápido cambia la velocidad un móvil. Está relacionada con el cambio de velocidad y el tiempo empleado en realizar ese cambio.

Por ejemplo, la caída libre o el lanzamiento vertical. En el caso de la caída libre, el movimiento es provocado por la atracción gravitatoria de la Tierra (9,8 m/s²). Por lo tanto, la velocidad del cuerpo en caída libre aumentará 9,8 m/s por cada segundo transcurrido.

El lanzamiento de paracaídas es un MRUV.

Movimiento curvilíneo: el movimiento curvilíneo se llama de esta manera ya que su trayectoria es una línea curva que puede ser circular, parabólica, elíptica y ondulatoria.

Movimiento circular: en el movimiento circular la trayectoria siempre es una circunferencia, varía el desplazamiento y el sentido del móvil, repite su trayectoria al pasar por los mismos puntos. Un ejemplo de este movimiento lo observamos en las ruedas de una bicicleta en movimiento y en una piedra unida a una cuerda que gira, entre otros.

Aunque parezca simple, en el movimiento de un ciclista se pueden medir una gran cantidad de magnitudes.

Movimiento parabólico: en este tipo de movimiento la trayectoria siempre es una parábola, un arco con sentido variable, es decir, un arco en el que el móvil realiza su recorrido sin pasar por los mismos puntos. Un ejemplo del movimiento curvilíneo parabólico se observa en una chorro de agua que sale de un conducto.

El chorro de agua describe un movimiento curvilíneo parabólico.

Movimiento elíptico: este movimiento debe su nombre a que la trayectoria es una elipse, es decir, una curva cerrada y simétrica como la que se forma por la órbita de la Tierra alrededor el Sol. El desplazamiento y el sentido se mantienen constantes, el móvil pasa por los mismos puntos del recorrido.

El movimiento de la Tierra alrededor del Sol es elíptico y produce las estaciones del año.

Movimiento oscilatorio: este movimiento se da cuando la trayectoria, en este caso una curva, se repite pero varía el sentido sucesivamente, y es constante en la dirección o desplazamiento del móvil. Un ejemplo de este movimiento se ve en el vaivén de un columpio, en donde el movimiento está impulsado por el peso del móvil.

Este movimiento de un columpio se produce en torno a un punto de equilibrio estable.

Movimiento ondulatorio: es aquel en donde una oscilación se propaga de un punto a otro, por lo que se transporta energía con trayectoria rectilínea, mientras que el desplazamiento y sentido permanecen hasta que la onda disminuye o presenta un obstáculo. El movimiento ondulatorio puede definirse también como un movimiento vibratorio por lo que puede darse en los diferentes estados de la materia: sólido, líquido y gaseoso. Un ejemplo de este movimiento se da al caer una gota de agua en un espacio acuático en reposo.

En movimiento ondulatorio la energía se propaga sin transferencia de materia.

Según su rapidez, un movimiento puede ser:

Uniforme: sucede cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales.

Variado: sucede cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos distintos.

Esto puede demostrarse al comparar el recorrido constante de las manecillas de un reloj al dar la vuelta completa siempre a los 60 minutos, y el recorrido irregular de los atletas de 100 metros planos en las Olimpíadas, en donde todos tienen récords de tiempo diferente a una misma distancia.

En el movimiento uniforme la velocidad es constante.

La rapidez o velocidad en el movimiento es una magnitud escalar que permite determinar mediante una comparación si un movimiento es rápido o lento con respecto a otro, por lo que dependerá de la distancia y el tiempo que el móvil tarda en realizar el recorrido. En el movimiento variado la velocidad no es constante mientras que en el uniforme sí lo es, por ello la trayectoria en éste último siempre será rectilínea mientras que en el variado será rectilínea y curvilínea.

La característica principal del movimiento variado es el cambio de la velocidad y dirección.

Según su orientación, un movimiento puede ser:

De traslación pura: la traslación es el movimiento en el cual se modifica la posición de un objeto en contraposición a la rotación.

De rotación pura: es el cambio de orientación de un cuerpo sobre un eje de referencia, de manera que el eje permanece fijo y el objeto gira sobre sí mismo cuando pasa por su centro de gravedad.

¿Sabías qué?

La Tierra tarda 23 horas y 56 minutos en dar una vuelta completa sobre su propio eje.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Leyes y teorías astronómicas”

El siguiente artículo proporciona más información sobre los científicos y sus tratados sobre el movimiento.

VER

Artículo “Dinámica”

Este artículo profundiza la información sobre la dinámica y las leyes postuladas por Isaac Newton.

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CAPÍTULO 5 / REVISIÓN

MOVIMIENTOS| ¿qué aprendimos?

Características del movimiento

Para describir un movimiento, es preciso tener un sistema de referencia, es decir, unos ejes coordenados respecto a los cuales se pueda fijar la posición del móvil en cada instante. Este sistema puede ser fijo o móvil, y mide posición y otras magnitudes físicas de un sistema físico y de mecánica. Se denomina trayectoria al camino recorrido por un móvil a lo largo del tiempo, mientras que el desplazamiento de un móvil desde un punto P0 a un punto P1 es un vector que tiene su origen en el punto P0 y su extremo en el punto P1. Los movimientos se clasifican según su trayectoria, rapidez y orientación.

Rapidez, velocidad y aceleración

La rapidez, la velocidad y la aceleración son magnitudes cinemáticas con propiedades diferentes. La rapidez indica la cantidad de distancia que logra recorrer un móvil en un intervalo de tiempo. La velocidad proporciona la rapidez y agrega también la dirección y el sentido en el cual se desplaza el móvil. El análisis de la velocidad se divide en dos partes importantes: la velocidad media y velocidad instantánea. La velocidad constante es aquella donde el modulo y la dirección no cambian a través del tiempo y sólo aplica para el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). La aceleración se define como el aumento de velocidad durante un intervalo de tiempo.

La rapidez es una magnitud escalar, la velocidad es una magnitud vectorial.

Tipos de movimientos

Se dice que un cuerpo está en movimiento cuando cambia de posición, pero depende de su trayectoria el tipo de movimiento que realice. El movimiento rectilíneo debe su nombre a que su trayectoria es una línea recta, y son constantes la trayectoria y la dirección. El movimiento rectilíneo uniforme (o simplemente movimiento uniforme) es el que tiene un móvil que se mueve en línea recta con velocidad constante. En el movimiento variado la velocidad no es constante, mientras que en el uniforme sí lo es, por ello la trayectoria en éste último siempre será rectilínea mientras que en el variado será rectilínea y curvilínea. En la caída libre el móvil cae de forma vertical desde cierta altura sin ningún obstáculo. El movimiento curvilíneo se llama de esta manera ya que su trayectoria es una línea curva, que puede ser circular, parabólica, elíptica y ondulatoria.

Los movimientos se diferencian de acuerdo a la trayectoria que el cuerpo haya tomado.

CAPÍTULO 5 / TEMA 3

Tipos de movimiento

Se dice que un cuerpo está en movimiento cuando cambia de posición, pero depende de su trayectoria el tipo de movimiento que realice. En la física hay varios tipos de movimientos que a continuación estudiaremos.

Ver infografía

Descripción del movimiento

A diario somos parte de un entorno que se encuentra en movimiento, lo que se evidencia en nuestras horas de luz y oscuridad por los movimientos del planeta Tierra en su eje de rotación, así como los movimientos de traslación en torno al Sol durante el año y las diferentes estaciones; por lo que todo lo que está en el planeta se mueve y de allí la formación de diferentes fenómenos, como las mareas, las corrientes marinas, el viento, los terremotos y la deriva continental.

¿Sabías qué?

El movimiento de una bala es parabólico, es el ojo del observador quien le da el nombre de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV).

Este proceso físico también se demuestra a niveles microscópicos, en el movimiento de los cromosomas durante la división celular y en el movimiento de los electrones que orbitan los núcleos de los átomos. Sin embargo, a pesar de saber que ningún objeto, factor abiótico o ser vivo está inmóvil, se debe partir de un punto o posición para poder facilitar el estudio del movimiento, este punto se conoce como sistema de referencia, por lo que se dice que el movimiento de un cuerpo se da al cambiar su posición con respecto a un sistema de referencia.

El punto medio del sistema de coordenadas es cero.

Imaginemos que se deja caer un balón desde una altura de 1 metro y que se necesita estudiar el recorrido del movimiento. Para ello se hace una representación gráfica del movimiento a través del sistema de ejes de coordenadas, el cual consta de dos rectas perpendiculares que convergen en un punto denominado origen. La recta vertical corresponde al eje de las ordenadas descrito con la letra Y; y la recta horizontal corresponde al eje de las abscisas descrito con la letra X. Al representar gráficamente el ejemplo anterior podemos conocer la naturaleza del movimiento, es decir, que la dirección del movimiento es vertical, de arriba hacia abajo, por lo que el movimiento es rectilíneo.

MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS

El movimiento rectilíneo debe su nombre a que su trayectoria es una línea recta, es decir, cuando el móvil se desplaza en un solo sentido, con constante trayectoria y dirección, y no pasa por los mismos puntos del recorrido. Todos los cuerpos en caída libre tienen un movimiento rectilíneo.

Una carrera de 100 metros planos es un movimiento rectilíneo.

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

Existe un movimiento en el que el vector velocidad es invariable en módulo, dirección y sentido: el movimiento rectilíneo uniforme (o simplemente movimiento uniforme), que es el que tiene un móvil que se mueve en línea recta con velocidad constante.

Si tenemos los puntos P₀ y P de la trayectoria que recorre un móvil con movimiento uniforme y tomamos esa recta como eje x, esos puntos quedarán fijados con una única coordenada: su abscisa. Los vectores:

Serán:

Y la velocidad media entre P₀ y P será:

Como la velocidad instantánea es constante, podemos escribir:

De donde X= X₀+ v. (t – t ₀)

Si empezáramos a medir los tiempos cuando el móvil se halla en el punto P₀, sería t₀ = 0, y por lo tanto, x = x₀ + v·t. Y si además tomásemos el origen de abscisas en el punto P₀, se reduciría a x = v·t.

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)

Según la naturaleza de los movimientos pueden ser regulares o irregulares. El movimiento uniforme se refiere a cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales, mientras que el movimiento variado es el caso contrario. Esto puede demostrarse al comparar el recorrido constante de las manecillas de un reloj al dar la vuelta completa siempre a los 60 minutos, y el recorrido irregular de los atletas de 100 metros planos en las Olimpíadas, en donde todos tienen récords de tiempo diferente a una misma distancia.

La rapidez en el movimiento es una magnitud escalar que permite determinar mediante una comparación si un movimiento es rápido o lento con respecto a otro, por lo que dependerá de la distancia y del tiempo que tarda en realizar el recorrido. Si se repitiese el ejemplo del balón de básquet, el móvil, es decir el balón, realiza desplazamientos iguales en diferentes tiempos con cambios constantes en la rapidez, por lo que el movimiento es variado. En el movimiento variado la velocidad no es constante, mientras que el uniforme sí lo es, por ello la trayectoria en éste último siempre será rectilínea mientras que en el variado será rectilínea y curvilínea.

Un vehículo realiza un MRUV ya que su velocidad no es constante.

La caída libre

En este movimiento, el móvil cae de forma vertical desde cierta altura sin ningún obstáculo. Es un tipo de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) porque su aceleración es constante y coincide con el valor de la gravedad.

El lanzamiento de paracaídas es una caída libre y además un MRUV.

La gravedad

Al encontrarse cerca de la superficie terrestre, los cuerpos experimentan una fuerza de atracción que les confiere una aceleración. Cuando una manzana cae de un árbol, lo hace por acción de dicha fuerza. En el caso de la Tierra, la gravedad puede considerarse constante y su dirección es hacia abajo. Generalmente se designa con la letra g y sus valores aproximados para algunos sistemas de medición son:

Sistema M.K.S → g = 9,8 m/s²

Sistema c.g.s → g = 980 cm/s²

Sistema inglés → g = 32 ft/s² (pies por segundo)

¿Sabías qué?

En 1687, el físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés Isaac Newton propuso la ley de gravitación universal o teoría de la gravedad.

MOVIMIENTO CURVILÍNEO

El movimiento curvilíneo se llama de esta manera ya que su trayectoria es una línea curva, que puede ser circular, parabólica, elíptica y ondulatoria.

Movimiento circular: en el movimiento circular la trayectoria siempre es una circunferencia, y son variables el desplazamiento y el sentido del móvil, que repite su trayectoria al pasar por los mismos puntos. Un ejemplo de este movimiento lo observamos en las ruedas de una bicicleta en movimiento o una piedra unida a una cuerda girando.

En un movimiento circular, si la rapidez es constante, la velocidad a cada momento cambia de dirección.

Movimiento parabólico: en este tipo de movimiento la trayectoria siempre es una parábola, un arco con sentido variable; un ejemplo del movimiento curvilíneo parabólico se observa en un chorro de agua que sale de un conducto.

Este movimiento es realizado por un objeto en dos dimensiones o sobre un plano.

Movimiento elíptico: debe su nombre a que la trayectoria es una elipse, es decir, una curva cerrada y simétrica como la que se forma por la órbita que se observa de la Tierra alrededor el Sol. El desplazamiento y sentido se mantienen constantes, pasa por los mismos puntos del recorrido.

Movimiento oscilatorio: este movimiento se da cuando la trayectoria, en este caso una curva, se repite mientras varía el sentido sucesivamente. Un ejemplo se ve en el vaivén de un columpio, en donde el movimiento está impulsado por el peso del móvil.

Este movimiento se produce en torno a un punto de equilibrio estable.

Movimiento ondulatorio: es aquel en donde una oscilación se propaga de un punto a otro, por lo que se transporta energía, siendo su trayectoria rectilínea, mientras que el desplazamiento y sentido permanecen hasta que la onda disminuye o presenta un obstáculo. El movimiento ondulatorio puede definirse también como un movimiento vibratorio, por lo que puede darse en los diferentes estados de la materia: sólido, líquido y gaseoso. Un ejemplo de este movimiento se da al caer una gota de agua en un espacio acuático en reposo.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Dinámica”

Artículo destacado donde se diferencia la cinemática de la dinámica.

VER

Artículo “Lanzamiento vertical”

Artículo destacado con más información sobre este movimiento inverso a la caída libre.

VER

Rapidez y velocidad

Tanto la rapidez como la velocidad son dos magnitudes cinemáticas que a menudo se confunden. Ambas están relacionadas con la distancia recorrida o el desplazamiento efectuado, magnitudes que frecuentemente se usan como sinónimo, pero son diferentes.

	Rapidez	Velocidad
Tipo de magnitud	Magnitud escalar.	Magnitud vectorial.
¿Qué relaciona?	Distancia recorrida con el tiempo.	Desplazamiento (cambio de posición) con el tiempo.
Considera la dirección del movimiento	No tiene en cuenta la dirección del movimiento.	Tiene en cuenta la dirección del movimiento.
Unidades	En el Sistema Internacional la unidad de medida es m/s.	En el Sistema Internacional la unidad de medida es m/s.
¿Depende de la dirección?	No.	Sí.
Fórmula	$v = \frac{d}{t}$ Donde: d = distancia t = tiempo	$\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{d}}{t}$ Donde: d = desplazamiento t = tiempo

MRU y MRUV

Los movimientos rectilíneos se caracterizan por tener una trayectoria en forma de línea recta respecto al observador y son el tipo de movimiento más sencillo en mecánica. Pueden ser uniformes, designados bajo el acrónimo MRU; o uniformemente variados, conocidos por el acrónimo MRUV.

	Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)	Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)
Trayectoria	Línea recta.	Línea recta.
Velocidad	Constante.	Variada. Puede ser acelerada y retardada.
Ecuación de velocidad	$\overrightarrow{V} = \frac{\Delta\overrightarrow{X}}{\Delta t}$ Donde: ΔX: desplazamiento. Δt: intervalo de tiempo.	Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) $\overrightarrow{V} = \overrightarrow{V_{0}} + \vec{a}.t$ Movimiento rectilíneo uniformemente retardado (MRUR) $\overrightarrow{V} = \overrightarrow{V_{0}} - \vec{a}.t$
Aceleración	Nula.	Constante. Puede ser positiva o negativa.
Ecuación de aceleración	$a = 0$	$a = \frac{V_{f} - V_{0}}{t}$
Desplazamiento	Puede ser positivo o negativo.	Puede ser positivo o negativo.
Ecuación de desplazamiento	$X = \overrightarrow{V}.t$ Donde: V: velocidad t: tiempo	Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) $X = V_{0}.t + (0,5)at^{2}$ Movimiento rectilíneo uniformemente retardado (MRUR) $X = V_{0}.t - (0,5)at^{2}$

Reacciones de combinación, descomposición y desplazamiento

La materia se transforma continuamente. Cuando la transformación es interna, es decir, cuando la sustancia cambia tanto en apariencia física como composición, se habla de un cambio químico o reacción química. Éstas se pueden clasificar según el proceso químico ocurrido en reacciones de combinación, descomposición o desplazamiento.

	Reacción de combinación	Reacción de descomposición	Reacción de desplazamiento
Proceso químico	Combinación o síntesis.	Descomposición.	Desplazamiento o sustitución.
¿Qué ocurre?	Dos o más sustancias puras se combinan para crear una nueva sustancia compuesta.	Una sustancia compuesta se descompone para formar dos o más productos.	Un elemento que conforma un compuesto es sustituido o desplazado por otro.
Representación	$A + B \rightarrow C$	$AB \rightarrow A + B$	$AB + X \rightarrow AX + B$
Ejemplos	$Fe + S \rightarrow FeS$ $2 Zn + O_{2} \rightarrow 2 ZnO$	$2 H_{2}O \rightarrow 2 H_{2} + O_{2}$ $H_{2}CO_{3} \rightarrow CO_{2} + H_{2}O$	$H_{2}SO_{4} + Fe \rightarrow FeSO_{4} + H_{2}$ $2 HCl + Zn \rightarrow ZnCl_{2} + H_{2}$

Conceptos de la dinámica del punto material: energía

La energía se define como la capacidad para realizar trabajo. La gasolina, por ejemplo, puede quemarse en un motor para realizar el trabajo de impulsar un pistón: la gasolina almacena energía química. En el lenguaje corriente se habla de energía eólica, nuclear, geotérmica, mareomotriz, etc., y aunque atendiendo a su origen estas distinciones son adecuadas, desde un punto de vista estrictamente físico esas energías no siempre constituyen formas particulares. Así, la energía eólica es energía cinética y la energía mareomotriz es energía potencial.

Tipos de energía mecánica

En mecánica, sólo existen dos formas de energía: la cinética y la potencial. La primera es una energía actual asociada con el movimiento, y la segunda es una energía en potencia asociada con la posición o con la forma. Un cuerpo en movimiento posee una energía cinética que depende de su masa y su velocidad. Si, por ejemplo, usamos un martillo para clavar un clavo, lo que hacemos es comunicar una energía cinética al martillo, con lo cual, cuando éste golpea el clavo, puede realizar el trabajo de hundirlo en la madera. Ese trabajo es igual al producto de la fuerza que opone la madera a ser penetrada por el hundimiento del clavo que se ha logrado.

Cuando definimos la energía como capacidad para realizar trabajo, usamos el término trabajo en sentido físico: si hubiéramos fallado y en lugar de golpear la cabeza del clavo golpeábamos la madera (o, peor aún, nos hubiésemos golpeado un dedo), no habríamos realizado ningún trabajo útil para nosotros, pero la energía cinética del martillo hubiera sido la misma.

La energía potencial es la que adquiere un cuerpo cuando lo llevamos a una determinada posición en contra de una fuerza. Normalmente, cuando se habla de energía potencial esa fuerza es la atracción gravitatoria. Para elevar un cuerpo tenemos que realizar un trabajo; ese trabajo se almacena en el cuerpo en forma de energía potencial. Si después de elevarlo lo dejamos caer, el cuerpo adquirirá energía cinética y llegará al suelo con capacidad para realizar un trabajo.

Existen otras fuerzas que permiten almacenar energía potencial; así, si estiramos un muelle realizamos un trabajo contra la fuerza que opone el muelle a dejarse estirar: “cargamos” el muelle de energía elástica, que es una forma de energía potencial. Pero cuando hablamos de energía potencial nos referiremos a la que tiene un cuerpo por hallarse a cierta altura sobre el suelo.

De acuerdo con la definición, la energía tiene las mismas dimensiones que el trabajo y se medirá en las mismas unidades que éste.

Energía cinética

Para deducir la expresión de la energía cinética, suponemos que a un cuerpo de masa m que está en reposo le aplicamos una fuerza F hasta que adquiera una velocidad v: la energía cinética del cuerpo será el trabajo realizado por la fuerza F.

Se tratará de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, por lo tanto:

Podemos expresar e en función de v y de a:

Si en la ecuación del trabajo sustituimos e por esta expresión:

y como por la ecuación fundamental de la dinámica es F = m·a, tendremos que:

Podemos llegar a esta misma expresión planteando el problema al revés, esto es, suponiendo que tenemos un cuerpo de masa m que se está moviendo a una velocidad v y tiene una energía cinética E _c, igualamos E _c al trabajo que tiene que hacer una fuerza F para frenar al cuerpo hasta que se pare. En este caso el movimiento es uniformemente retardado:

A partir de estas dos igualdades podemos expresar e en función de v y de a:

Si en la ecuación del trabajo sustituimos e por esta expresión:

y, por ser F = m·a, será:

Energía potencial

La energía potencial es el trabajo realizado por una fuerza mediante la cual elevamos un cuerpo de masa m desde el suelo a una altura h mediante una fuerza F.

Elevamos el cuerpo con movimiento uniforme, por lo que ejercemos una fuerza de la misma intensidad al peso del cuerpo:

F = m·g

El trabajo realizado será:

E_p = W = F·h = m·g·h

Supongamos que tenemos un cuerpo de masa m situado a una altura del suelo h y lo soltamos: el cuerpo caerá bajo la acción de su peso y, evaluando el trabajo de la fuerza peso hasta el momento en que el cuerpo llega al suelo, hallamos la misma expresión, E _p = W = m·g·h.

Hemos hablado del “suelo” pero sin especificar si se trataba del suelo de la habitación o de otro nivel: es indiferente, la expresión hallada es en cualquier caso válida. Para elevar un cuerpo desde el suelo hasta una altura h podemos elevarlo primero hasta una altura h ₁ y después desde ahí a una altura h ₂, siendo h ₁ + h ₂= h. La energía potencial que adquiere el cuerpo es la misma que si lo elevamos directamente desde el suelo hasta la altura h, ya que:

E_p = m·g·h = m·g·(h₁ + h₂) = m·g·h₁ + m·g·h₂

Ejemplo

Cuando se mueve un cuerpo paralelamente al suelo no se realiza trabajo contra la fuerza gravitatoria ya que, como dijimos, el trabajo es nulo si la fuerza es normal al desplazamiento. Por esta razón, la energía potencial que adquiere un cuerpo cuando lo elevamos a una altura h no depende de la trayectoria que sigamos, ya que es posible considerar ésta dividida en la suma de un número muy grande de elementos muy pequeños tangentes a la misma y cada uno de estos elementos se puede descomponer en la suma de un elemento vertical y uno horizontal, siendo nulo el trabajo en los desplazamientos horizontales.

Conservación de la energía mecánica

Este principio constituye una aplicación restringida a la energía mecánica del primer principio de la termodinámica. Entendiendo por energía mecánica de un punto material la suma de sus energías cinética y potencial, este principio dice que la energía mecánica de un punto material permanece constante cuando sobre él actúan únicamente fuerzas conservativas:

E_c + E_p = cte

El principio puede tomarse como demostrado por la experiencia, aunque es fácil ver que es matemáticamente cierto.

En el estudio de la cinemática llegamos a la expresión:

Para la velocidad con que llega al suelo un cuerpo que cae desde una altura h, podemos llegar a esta fórmula a partir del principio de la conservación de la energía.

En efecto, igualando la energía potencial que el cuerpo ha perdido al caer con la energía cinética que ha ganado:

de donde, al simplificar y despejar:

Si sobre el punto material actúa una fuerza que hace variar la energía mecánica del móvil al realizar un trabajo W, será:

W = (E_c + E_p) = E_c + E_p

Esta expresión, muy útil en la resolución de problemas, nos dice que el trabajo realizado por un punto material (o por un sistema de puntos materiales), o bien el trabajo realizado sobre el punto material, se traduce en una variación de su energía cinética y/o su energía potencial.

Ejemplo:

Un automóvil viaja a 30 km/h subiendo por una pendiente recta de 30°. El conductor acelera y en 5 segundos dobla su velocidad. Calcular el trabajo realizado si la masa total del vehículo es de 900 kg.

Solución:

Aplicaremos la fórmula:

W = E_c + E_p

La variación de E _c habrá sido:

Sustituyendo valores, con la velocidad expresada en m/s, será:

Para calcular la altura h que ha subido el coche en 5 s, calcularemos primero el espacio que ha recorrido. El movimiento del coche es uniformemente acelerado, por tanto:

siendo, a·t = v – v₀.

Sustituyendo valores en esas fórmulas, tendremos:

Por trigonometría, la altura será:

h = e·sen 30

Sustituyendo valores:

h = 254,16·0,5 = 127,08 m

El incremento de E _p será:

E_p = m^.g^. h

E_p = 900^.9,8^.127,08 = 1120845,6J

Por tanto, el trabajo realizado en esos 5 s por el motor del automóvil será la suma de los incrementos de la energía cinética y de la energía potencial del vehículo (más la energía disipada en forma de calor a causa de los rozamientos, que aquí no se tiene en cuenta):

W = 93750 + 1120845,6 = 1214595,6 julios

Noria

Este antiguo ingenio debe su nombre a los árabes, quienes la inventaron, y significa rueda hidráulica. La noria es una máquina que cuenta con dos grandes ruedas giratorias, una horizontal movida por una palanca que es tirada habitualmente por una caballería, y otra vertical, cuyos engranajes se unen a los de la primera para así ser puesta en movimiento y para posibilitar que los arcaduces destinados a recoger agua cumplan esta función.

Conceptos fundamentales de cinemática: trayectoria, espacio y desplazamiento

Trayectoria y desplazamiento

Se denomina trayectoria al camino recorrido por un móvil a lo largo del tiempo. Es decir, la trayectoria es el conjunto de las sucesivas posiciones ocupadas por el móvil. La medida de la longitud de esa trayectoria es lo que se denomina espacio. Así pues, el espacio es una magnitud escalar.

Es importante no confundir estos dos conceptos con el de desplazamiento. El desplazamiento de un móvil desde un punto P₀ a un punto P₁ es un vector que tiene su origen en el punto P₀ y su extremo en el punto P₁. El desplazamiento es independiente de la trayectoria: sólo depende del punto inicial y final.

Ejemplo

En relación a la trayectoria, un movimiento puede ser rectilíneo, si su trayectoria es una línea recta, o curvilíneo, si es una curva. Entre los movimientos curvilíneos, tiene especial interés el movimiento circular, en el que el móvil se mueve describiendo una circunferencia.

Sistemas de referencia

Para describir un movimiento es preciso tener un sistema de referencia, es decir, unos ejes coordenados respecto a los cuales se pueda fijar la posición del móvil en cada instante.

Siempre se puede elegir el sistema de referencia a voluntad, de manera que lo escogeremos en función de las características del problema. Por ejemplo, para describir un movimiento rectilíneo lo más cómodo es hacerlo respecto a un eje que coincida con la dirección de ese movimiento, y para describir un movimiento circular lo más cómodo es tomar unos ejes que se corten en el centro de la circunferencia que recorre el móvil.

Un sistema de referencia puede ser fijo o móvil. Si queremos describir el movimiento de un pasajero que camina por el pasillo de un vagón de tren mientras éste avanza en línea recta a 100 km/h, puede ser útil tomar un eje de abscisas ligado al vagón y, respecto a ese eje, diríamos que el pasajero se mueve, por ejemplo, a 5 km/h; pero podría interesarnos más tomar un eje de abscisas ligado a la vía del tren, y respecto a ese sistema de referencia la velocidad del pasajero sería de 105 km/h. De hecho, los ejes ligados a la vía tampoco son fijos, ya que la propia Tierra también se mueve. Así pues, en realidad todos los movimientos son relativos. Pero en los problemas de cinemática corrientes, cuando no se especifica otra cosa, se sobreentiende que el movimiento se ha referido a un sistema O(xyz) ligado a la Tierra y, por lo tanto, en reposo con respecto a ésta.

Si describimos un movimiento respecto a dos sistemas de referencia distintos, la ecuación de la curva de la trayectoria será distinta y, si además se trata de dos sistemas de referencia que están en movimiento relativo uno respecto a otro, también la propia curva será en general distinta.

Respecto a un sistema de referencia, la posición del móvil en cada instante está fijada por su vector de posición, que es variable en función del tiempo.

Si expresamos ese vector mediante sus componentes, éstas también serán funciones del tiempo:

Para cada valor de t tendremos la posición del móvil en ese instante y la trayectoria es la curva que describe el extremo del vector

Ejemplo

El vector desplazamiento desde el punto P ₀ al punto P se puede expresar como la diferencia de dos vectores: el vector de posición de P y el vector de posición de P ₀, esto es, como

Conceptos fundamentales de cinemática: aceleración

Cuando un automóvil aumenta su velocidad decimos que está acelerando, y si ese aumento de velocidad se produce en un espacio de tiempo muy corto decimos que el automóvil ha acelerado muy deprisa. La aceleración es, pues, una variación de la velocidad por unidad de tiempo.

Puede ser positiva o negativa, produciendo un aumento o una disminución de la velocidad. En el caso de un movimiento curvilíneo, la aceleración produce una variación del módulo y de la dirección del vector velocidad. Podemos definir de forma rigurosa la aceleración diciendo que es la velocidad de la velocidad. Es decir, que la aceleración representa para el vector velocidad lo mismo que la velocidad para el vector de posición.

Partiendo de esta idea, definiremos la aceleración media de un móvil entre dos puntos de su trayectoria P₀ y P (o, lo que es lo mismo, entre dos instantes t₀ y t) de forma análoga a como definimos la velocidad media, es decir, como:

Ejemplo

A partir de esta definición de aceleración media, podemos definir la aceleración instantánea mediante un paso al límite similar al que aplicamos para definir la velocidad instantánea. Si el punto P está próximo al punto P₀, podemos escribir:

Cuando ∆t→0 tiende a cero, a_mtiende hacia un vector aplicado en el punto P₀. Ese vector es la aceleración instantánea en P₀.

Hodógrafa

Cuando un móvil M recorre una determinada trayectoria, en cada punto de ésta tendremos un vector velocidad. Por ejemplo, en el punto P₀ será v(t₀).

Ejemplo

Tomamos un punto O ‘ y colocamos en él los vectores velocidad correspondientes a todos los puntos de la trayectoria de M. Los extremos de esos vectores dibujan una curva que es la hodógrafa del movimiento.

Ejemplo

La hodógrafa sería la trayectoria de un móvil M ‘ cuyo vector de posición fuese v(t). El vector velocidad del móvil M ‘ en el punto P ‘ de la hodógrafa coincide con el vector aceleración en el punto P correspondiente de la trayectoria del móvil M, lo que justifica pensar la aceleración como la velocidad de la velocidad.

Polo de la hodógrafa

Punto fijo O’ en el que se sitúan vectores equipolentes a los vectores velocidad del movimiento de un punto material para dibujar la curva hodógrafa.

Dimensiones y unidades de la aceleración

La aceleración es una velocidad dividida por un tiempo, por lo que, como [v] = [L]·[T]^-1, las dimensiones de la aceleración serán las de una longitud dividida por un tiempo al cuadrado[a] = [L]·[T]^-2. En el Sistema Internacional y en el técnico se expresa en m/s², mientras que en el sistema CGS se mide en cm/s².