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Números mixtos

Las fracciones representan una parte de un todo, así que son útiles para expresar, por ejemplo, la cantidad de trozos de pizza que nos comimos. Cuando el numerador es mayor que el denominador se dicen que son impropias y se pueden expresar como un número mixto: una combinación de un número natural con una fracción propia.

recordemos las fracciones

Una fracción es una división de un entero en partes iguales. Está formada por un numerador y un denominador.

  • El numerador es el número de partes que se ha tomado del total.
  • El denominador es el número de partes en las que se dividió la unidad.
Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador, mientras que las fracciones impropias tienen su numerador mayor al denominador.

¿qué son los números mixtos?

Los números mixtos, también conocidos como fracciones mixtas, están formados por un número natural (parte entera) y una fracción propia (parte fraccionaria).

Los números mixtos son otra forma de representar fracciones impropias, las cuales siempre son mayores que la unidad.

Gráficas de fracciones impropias

Son una manera visual de ver las fracciones. Para realizar estas representaciones gráficas basta con dividir una figura en tantas partes como indique el denominador. Luego repetimos esta figura hasta poder colorear la cantidad de partes que señala el numerador.

– Ejemplos:

  • \boldsymbol{\frac{5}{3}}==\boldsymbol{1\frac{2}{3}}
  • \boldsymbol{\frac{11}{5}}==\boldsymbol{2\frac{1}{5}}
  • \boldsymbol{\frac{10}{4}}==\boldsymbol{2\frac{2}{4}}

Observa que la cantidad de partes enteras de las gráficas es igual al valor de la parte entera del número mixto, mientras que la última gráfica determina la parte fraccionaria. Así que el número mixto resulta de sumar un entero y una fracción propia.

¿Cómo transformar una fracción impropia a un número mixto?

Lo primero que debemos hacer es dividir el numerador entre el denominador de la fracción, el cociente será igual a la parte entera, mientras que el resto será igual al numerador de la parte fraccionaria y el denominador será igual al de la fracción impropia inicial.

– Ejemplo:

– Otros ejemplos:

Fracción impropia División Número mixto
\frac{8}{5} → 8 : {\color{Red} 5}={\color{Blue} 1}\: \: \: resto ={\color{DarkOrange} 3} → \boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 3}}{{\color{Red} 5}}}
\frac{11}{4} → 11 : {\color{Red} 4} = {\color{Blue} 2}\: \: resto={\color{DarkOrange} 3} → \boldsymbol{{\color{Blue} 2}\frac{{\color{DarkOrange} 3}}{{\color{Red} 4}}}
\frac{5}{3} → 5:{\color{Red} 3}={\color{Blue} 1}\: \: resto={\color{DarkOrange} 2} → \boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 2}}{{\color{Red} 3}}}

 

¿cómo transformar un número mixto a una fracción impropia?

En esta conversión tenemos que multiplicar la parte entera por el denominador de la parte fraccionaria y sumar a ese resultado el numerador. Luego, colocamos como denominador de la fracción impropia el mismo denominador de la parte fraccionaria del número mixto.

– Ejemplo:

\boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 4}}{{\color{Red} 5}}} → {\color{Blue} 1}\times {\color{Red} 5}=5+{\color{DarkOrange} 4}=\boldsymbol{9} → \boldsymbol{\frac{9}{{\color{Red} 5}}}

 

– Otros ejemplos:

Número mixto Operación Fracción impropia
\boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 3}}{{\color{Red} 5}}} → {\color{Blue} 1}\times {\color{Red} 5}=5+{\color{DarkOrange} 3}=\boldsymbol{8} → \boldsymbol{\frac{8}{{\color{Red} 5}}}
\boldsymbol{{\color{Blue} 2}\frac{{\color{DarkOrange} 3}}{{\color{Red} 4}}} → {\color{Blue} 2}\times {\color{Red} 4}=8+{\color{DarkOrange} 3}=\boldsymbol{11} → \boldsymbol{\frac{11}{{\color{Red} 4}}}
\boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 2}}{{\color{Red} 3}}} → {\color{Blue} 1}\times {\color{Red} 3}=3+{\color{DarkOrange} 2}=\boldsymbol{5} → \boldsymbol{\frac{5}{{\color{Red} 3}}}

Números mixtos en la vida cotidiana

Muchas veces usamos números mixtos para expresar cantidad de ingredientes o tiempo, por ejemplo:

  • Un partido de fútbol dura 1½ hora o un partido de fútbol dura una hora y media.
  • Faltan 2¼ horas para la película o faltan dos horas y cuarto para la película.
  • El postre necesita 3½ cucharadas de azúcar o el postre necesita tres cucharadas y media de azúcar.

¿Sabías qué?
Para sumar y restar números mixtos de forma sencilla primero debemos convertirlos en fracciones impropias.

números mixtos en la recta numérica

Para ubicar números mixtos en la recta numérica consideramos inicialmente la parte entera, esta nos indicará entre cuáles números está la parte fraccionaria. Como la parte fraccionaria consta de una fracción propia, solo tenemos que dividir el segmento entre los dos números enteros en la cantidad de partes que señale el denominador, luego contamos tantos espacios como muestre el numerador y marcamos el número mixto o su equivalente fracción impropia.

– Ejemplo:

Ubiquemos en la recta numérica el número mixto 1\frac{4}{5}.

  • La parte entera es 1, así que solo dibujamos la recta entre 1 y 2.

  • Como el denominador de la parte fraccionaria es 5, dividimos el segmento entre 1 y 2 en 5 partes iguales.

  • Contamos 4 espacios desde el número 1 porque el numerador de la parte fraccionaria es 4.

  • Escribimos el número mixto o su fracción impropia equivalente \frac{9}{5} en ese punto.

¡A practicar!

1. ¿Qué número mixto representan estos gráficos?

a. 

b. 

c. 

2. Convierte los siguientes números mixtos a fracciones impropias.

a.   3\frac{2}{5} b.   1\frac{6}{7} c.   2\frac{3}{5}

3. Convierte las siguientes fracciones impropias a números mixtos.

a.   \frac{4}{3} b.   \frac{10}{7} c.   \frac{15}{4}

4. Ubica los siguientes número mixtos en la recta numérica.

a.   3\frac{3}{4} b.   1\frac{1}{3} c.   2\frac{3}{5}

Respuestas

1a.  3\frac{3}{4}

 

1b.  1\frac{1}{5}

 

1c.  2\frac{4}{7}

 2a.   \frac{17}{5}

 

2b.   \frac{13}{7}

 

2c.   \frac{13}{5}

 3a.   1\frac{1}{3}

 

3b.   1\frac{3}{7}

 

3c.   3\frac{3}{4}

4a. 

4b. 

4c. 

Fracciones

Llegar a la clase de matemáticas y que la profesora diga “hoy vamos a ver fracciones” no suena muy entretenido. Pero si aprendemos la importancia que tienen en la vida diaria y lo fáciles que resultan cuando las entendemos, te aseguramos que las fracciones serán uno de tus temas preferidos en el cole.

Para medir, repartir o contar necesitamos números. Lo frecuente es recurrir a los números naturales y así expresar “eso mide 12 metros” o “aquello pesa 4 kilogramos”. Pero, a veces nos encontramos con situaciones donde los números naturales no nos permiten expresar exactamente lo que queremos decir y debemos recurrir a los números enteros, racionales, etc.

Cuando compramos pan, muchas veces usamos fracciones sin darnos cuenta. Por ejemplo, pedimos medio kilogramo (1/2) de pan que sería la mitad de un kilogramo de pan.

En las imágenes, ocho panes iguales representan 1 kg de pan, entonces ½ kg de pan serán cuatro panes, es decir, la mitad.

¿CÓMO EXPRESAMOS UNA FRACCIÓN?

En toda fracción podemos distinguir dos partes: un numerador y un denominador separados por una línea horizontal.

El denominador es un número que indica en cuantas partes se divide la unidad, y el numerador es el número que señala cuántas de esas partes se han de tomar.

Veamos un ejemplo claro:

¿Cuánto es \frac{3}{10} de una barra de chocolate?

Atención

Una misma fracción se puede escribir de distintas maneras, como vemos a continuación:

\frac{3}{10}\, =\, 3/10\, =\, 3\div 10\, =\, 3:10

CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES

Debemos saber que las fracciones se pueden clasificar en propias, impropias y aparentes.

• Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador y la fracción representa un número menor que la unidad. Ejemplo:

Entonces, la unidad es mayor que un cuarto.

 

• Las fracciones impropias son aquellas en donde el numerador es mayor que el denominador, en este caso el número que se representa es mayor que la unidad. Ejemplo:

Entonces, la unidad es menor que seis cuartos.

 

Vemos otro ejemplo:

Para representar gráficamente la fracción \frac{5}{2} tomamos la siguiente figura como unidad:

El denominador nos indica en cuántas partes debemos dividir la unidad. En este caso dividimos en dos partes.

Pero debemos sombrear 5 partes, es decir, que el entero (unidad) no nos alcanza. Dibujamos entonces otra unidad más y la dividimos en 2 nuevamente.

Como todavía no llegamos a sombrear 5 partes dibujamos otra unidad más y la dividimos en 2 partes. De esta manera llegamos a tener 5 partes para pintar.

• Fracciones aparentes: como ya sabemos, las fracciones representan una división entre un número y otro, precisamente cuando el resultado de esa división da un número entero las fracciones se llaman fracciones aparentes.

Por ejemplo, 4/2 (cuatro medios) es igual a 4 : 2 (cuatro dividido dos), que es igual a 2 (dos). Como podemos ver, esta fracción representa un número entero. Otros ejemplos son:

En el siguiente ejemplo compararemos los tres tipos de fracciones vistos.

FRACCIONES PROPIAS

El numerador (2) es menor que el denominador (3), la fracción representa un número menor que el entero.

FRACCIONES IMPROPIAS

El numerador (6) es mayor que el denominador (4), la fracción representa un número mayor que el entero.

FRACCIONES aparentes

El numerador (8) es mayor que el denominador (2), como en las fracciones impropias, pero en este caso el número que representa la fracción es igual que un entero.

Conceptos fundamentales de la cinemática: velocidad

En cinemática se definen diversos conceptos de velocidad.

Velocidad media e instantánea

La velocidad media de un móvil es la razón de su vector desplazamiento entre el intervalo de tiempo durante el cual se produce ese desplazamiento. Siendo el cociente de un vector por un escalar, la velocidad media es un vector cuya dirección y sentido son los mismos que los del vector desplazamiento. Si en el instante t0 el móvil está en el punto P0 y su vector de posición es r(t0), y en el instante t el móvil está en el punto P y su vector de posición es r(t), la velocidad media del móvil entre P0 y P será:

Un concepto distinto es el de celeridad o velocidad media sobre la trayectoria, que es una magnitud escalar que se define como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla.

La velocidad instantánea es una magnitud vectorial que representa la velocidad que tiene el móvil en cierto instante o, lo que es lo mismo, en un punto determinado de su trayectoria. La velocidad instantánea debe representarse por un vector porque se trata de una magnitud que, además de ser cuantificable, tiene una orientación determinada. Veamos cómo se define.

Si en un instante t0 un móvil está en el punto P0 cuyo vector de posición es r(t0), una fracción de segundo más tarde, es decir, en el instante t0 + ∆t, estará en otro punto P cuyo vector de posición será r(t0 +  ∆t). La velocidad media del móvil durante el intervalo de tiempo ∆t sería entonces:

Si consideramos cada vez fracciones de segundo más pequeñas, es decir, ∆t más pequeños, el punto P se va acercando al punto P0, y la dirección del vector desplazamiento r(t0 + ∆t) – r(t0) se va acercando a la recta tangente a la trayectoria en el punto P0.

Ejemplo

Como el vector velocidad media,, tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, también la dirección dese irá acercando a la recta tangente a la trayectoria en P0.

Además de acercarse en dirección a la tangente, el vector desplazamiento, r(t 0 +  ∆t) – r(t 0), a medida que vamos considerando ∆t más reducidos, es cada vez más corto, es decir, que su módulo es cada vez más pequeño.

En el límite, esto es, cuando ∆t sea cero y el punto P se confunda con el punto P0, el vector desplazamiento se anulará.

Con el vector no ocurre lo mismo, ya que este vector es el cociente entre el vector desplazamiento y el incremento de tiempo considerado, o sea, el cociente entre r(t0 + ∆t) – r(t0) y ∆t. Al irse acercando P a P0, es decir, al irse haciendo cada vez más pequeño ∆t, el numerador y el denominador de ese cociente se van haciendo los dos cada vez más pequeños, pero el valor del propio cociente puede aumentar o disminuir, dependiendo de si el numerador decrece de forma más rápida o más lenta que el denominador.

Tenemos por lo tanto que al ir disminuyendo ∆t, la línea de acción del vectorse va acercando a la recta tangente a la trayectoria en P 0, mientras que el módulo dese va acercando a un determinado valor. Así el vector tiende a convertirse en un vector V(t0) aplicado en P0 y situado sobre la tangente a la trayectoria en ese punto. Ese vector V(t0) es la velocidad instantánea del móvil en el punto P0 o, lo que es lo mismo, en el instante t 0.

No particularizando un valor de t, notaremos este vector como V(t) o simplemente V.

Ejemplo

El proceso que hemos seguido para definir la velocidad instantánea se denomina paso al límite. Diríamos así que la velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando el incremento de tiempo tiende a cero (∆t → 0).

Cuando ∆t → 0, la celeridad o velocidad media sobre la trayectoria se va aproximando al módulo del vector velocidad media (la cuerda se aproxima al arco), con lo que la velocidad instantánea también puede definirse como un vector tangente a la trayectoria en el punto considerado cuyo módulo es el límite a que tiende la celeridad cuando  ∆t→ 0

Dimensiones y unidades de la velocidad

La velocidad tiene las dimensiones de una longitud dividida por un tiempo [L]·[T]-1. En el Sistema Internacional y en el técnico se expresa en metros por segundo (m/s), y en el CGS en centímetros por segundo (cm/s). En la práctica también se utilizan unidades basadas en múltiplos del metro y del segundo (km/h). Los marinos emplean una unidad propia: el nudo, que equivale a una milla marina por hora (1,85 km/hora).