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Transformaciones en el plano

Si nos desplazamos desde donde estamos a otra posición decimos que hay una transformación en el espacio. Sucede lo mismo si trasladamos un punto o una figura en el plano. Estos movimientos en el plano conservan la forma y tamaño de la figura, algunos ejemplos son la traslación, la rotación y la simetría.

Traslación

Es un movimiento directo sin cambios de orientación. La traslación depende de un sentido, una dirección y una magnitud, tres conceptos que se reducen un elemento geométrico: el vector. Así que podemos hallar la imagen de cualquier punto a través de un vector dado.

– Ejemplo:

Para determinar la imagen del punto A a través de una traslación por el vector $\vec{u}$ seguimos estos pasos:

Trazamos un vector equipolente a $\vec{u}$ cuyo origen coincida con el punto A.
Marcamos el punto A’, el cual es la imagen del punto A.

¿Sabías qué?

Un vector es equipolente a otro cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Traslación en el plano cartesiano

Como la traslación depende de un vector determinado, cuando desplazamos una figura en el plano cartesiano dado un vector $\vec{u}$ debemos sumar las coordenadas de sus vértices con las del vector para saber las coordenadas de los vértices de la figura trasladada.

– Ejemplo:

Para trasladar un triángulo ABC según el vector $\vec{u}$ = (3, 2), debemos ubicar la imagen de cada punto en el plano de la manera antes explicada.

Las coordenadas de los vértices de la figura trasladada son iguales a la suma de las coordenadas iniciales con las coordenadas del vector:

$A(1, 1) + \vec{u}(3, 2)=A'(1+3,1+2)=\boldsymbol{A'(4,3)}$

$B(3, 1) + \vec{u}(3, 2)=B'(3+3,1+2)=\boldsymbol{B'(6,3)}$

$C(1, 6) + \vec{u}(3, 2)=C'(1+3,6+2)=\boldsymbol{C'(4,8)}$

¿Sabías qué?

Toda figura trasladada debe conservar la orientación y ser idéntica a la figura inicial.

Rotación

Es un movimiento que consiste en girar todos los puntos de una figura en un ángulo determinado en torno a un centro de rotación.

Ángulos dirigidos

En una rotación siempre se genera un ángulo con una lado inicial y un lado final. El ángulo dirigido será positivo si el giro es en sentido contrario al de las manecillas del reloj, en cambio, el ángulo será negativo si el giro es en sentido de las manecillas del reloj.

Ángulo positivo

Ángulo negativo

El centro de rotación es un punto en torno al cual se rota o gira la figura; en los cubos de Rubik este centro de rotación permite girar las caras del cubo en cualquier dirección.

Rotación en el plano

Para hallar la imagen de un punto R en el plano bajo un ángulo de rotación es necesario conocer el ángulo dirigido y el centro de rotación. Así que, si hay un punto fijo O en el plano y un ángulo dirigido α, la rotación de centro O y ángulo α de un punto R es una transformación en el plano que asigna a R un punto único R’.

– Ejemplo 1:

Cuando se rota un polígono en el plano cartesiano, debemos determinar la imagen de cada vértice y hallar las coordenadas de los vértices de la imagen del polígono original.

– Ejemplo 2:

El triángulo A’B’C es la imagen del triángulo ABC según el centro de rotación C y un ángulo dirigido de −90°.

Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son A(3, 0), B(0, 2) y C(0, 0).

Las coordenadas de los vértices del triángulos A’B’C son A’(0, −3, ), B’(2, 0) y C(0, 0).

Simetría axial

La simetría axial es una transformación en el plano en el que cada punto C se asocia a otro punto C’ llamado “imagen”. Los puntos C y C’ están a igual distancia de un recta que se llama “eje de simetría” y el segmento $\overline{CC'}$ es perpendicular a dicho eje.

– Ejemplo:

El triángulo A’B’C’ es la imagen simétrica del triángulo ABC respecto al eje de simetría m.

Simetría axial en el plano cartesiano

Dos puntos P y P’ son simétricos respecto al eje y (eje de las ordenadas) si sus abscisas son opuestas y sus ordenadas son iguales. Así que:

P(x, y) → P'(−x, y)

Por lo tanto:

x = −x’

y = y’

Por otro lado, dos puntos P y P’ son simétricos al eje x (eje de las abscisas) si sus abscisas son iguales y sus ordenadas son opuestas. Así que:

P(x, y) → P'(x, −y)

Por lo tanto:

x = x’

y = −y’

– Ejemplo 1:

El triángulo A’B’C’ con A’(2, 1), B’(4, 1) y C’(3, 3) es la imagen simétrica del triángulo ABC con A(−2, 1), B(−4, 1) y C(−3, 3).

– Ejemplo 2:

El triángulo A’B’C’ con A’(1, −1), B’(3, −1) y C’(2, −3) es la imagen simétrica del triángulo ABC con A(1, 1), B(3, 1) y C(2, 3).

Insectos y arácnidos

Los insectos y los arácnidos son dos clases de organismos que se encuentran dentro del filo de los artrópodos, que consiste en un grupo de invertebrados con apéndices articulados o patas. Tienen un cuerpo segmentado y un exoesqueleto quitinoso, y son el filo más exitoso de la Tierra. Tanto los insectos como los arácnidos son principalmente terrestres.

	Insectos	Arácnidos
Apéndices	3 pares (6 patas).	4 pares (8 patas)
Ojos	1 par compuestos.	De 1 a 6 pares simples.
Antenas	Sí.	No.
Alas	Sí, la mayoría.	No.
Metamorfosis	Sí.	No.
Secciones del cuerpo	Cabeza, tórax y abdomen.	Cefalotórax y abdomen.
Simetría	Bilateral.	Bilateral.
Excreción	Por medio de los túbulos de Malpighi.	Por medio de los túbulos de Malpighi.
Sangre	Incolora. Adopta el color del alimento que ingiere el animal.	Azulada. El oxígeno en la sangre va asociado a una molécula que contiene cobre.
Aparato bucal	Mandíbula.	Quelíceros.
Especies descritas	Alrededor de 1 millón.	Alrededor de 100 mil.
Formas de nutrición	Carnívoros, herbívoros y detritívoros.	Principalmente carnívoros.
Función ecológica más importante	Polinización.	Control de plagas.
Ejemplo

Vertebrados e invertebrados

En el planeta Tierra la diversidad de animales es gigantesca y, aunque puedan lucir muy distintos entre sí, existen varias maneras de distinguirlos. A grandes rasgos, los animales pueden ser clasificados de acuerdo a la presencia de esqueleto y columna vertebral. En base a esto pueden ser: vertebrados o invertebrados.

	Vertebrados	Invertebrados
Presencia de esqueleto y columna vertebral	Poseen un esqueleto óseo constituido por huesos y cartílagos.	No poseen esqueleto óseo ni columna vertebral, pero algunos presentan un exoesqueleto que los recubre.
Tamaño	Variable, pero generalmente grandes.	Variable, pero generalmente pequeños.
Tipo de reproducción	Sexual (ovípara y vivípara).	Sexual (ovípara) y asexual.
Tipo de respiración	Pulmonar, branquial y cutánea, de acuerdo con cada grupo.	Pulmonar, branquial, traqueal, cutánea y por difusión simple, de acuerdo con cada grupo.
Tipo de simetría	Bilateral.	Bilateral y radial.
Metamorfosis	Sólo ocurre en anfibios.	Está presente en muchos grupos.
Estructura del cuerpo	Bien diferenciado en cabeza, tronco y extremidades.	Cuerpo de forma variable, de acuerdo con cada fila.
Número de especies descritas	Alrededor de 60 mil.	Más de 2 millones.
Tipo de circulación sanguínea	Cerrada.	Abierta.
Grupos más comunes	Mamíferos, aves, reptiles, anfibios y peces.	Artrópodos, moluscos, equinodermos, nematodos y platelmintos.
Ejemplos

Simetrías

Podemos ver figuras simétricas en cualquier sitio, simplemente prestando atención, una mariposa, un rostro humano o ciertos objetos pueden presentar esta cualidad. Para que la matemática considere a una figura simétrica, la misma tiene que cumplir ciertas condiciones, a continuación conocerás cuáles son.

La palabra simetría se relaciona con el equilibrio, la igualdad entre dos lados, vinculándose con el concepto de medida.
Para comprender el concepto de simetría, veamos unas imágenes:

En la imagen anterior podemos observar que al trazar una línea por el punto medio de la fotografía no se observan los mismos elementos de un lado y del otro, por lo tanto es asimétrica.

La imagen simétrica presenta dos partes, cuyos elementos son iguales y mantienen la misma distancia con respecto a la línea vertical.

Una forma sencilla de identificar simetrías es imaginar que se dobla la figura sobre una línea y se superponen las mitades, si todos sus puntos y trazos quedan ubicados en la misma posición, a modo de espejo, estamos en presencia de una simetría.

De esta manera se comienza a comprender el concepto de simetría. Pero como ya hemos anticipado, las matemáticas requieren un poco más de rigurosidad para determinar que una figura cumple con dicha condición.

Definición de simetría

Es la ubicación de dos o más elementos o figuras geométricas que se relacionan con un punto recta o plano, de acuerdo a reglas establecidas.

Hay dos tipos fundamentales de simetría en geometría: axial y central.

Axial: Se produce con respecto a un eje. El eje de simetría es la línea que trazamos para comparar ambas partes de una figura.

Cada punto tiene la misma distancia con respecto al eje de simetría. A’ es el reflejo de A, al igual que B’ el de B y C’ el de C. Si tomamos la medida, perpendicularmente, entre cada punto o su reflejo y el eje de simetría, veremos que coinciden.

Central: Corresponde a la simetría con respecto a un punto. En este caso, todos los puntos de la figura mantienen la misma distancia con respecto a uno dado.

Eje de simetría:

Es la línea que colocamos sobre la figura y que la divide en dos partes, cumpliendo la condición de que todos los puntos opuestos tienen la misma distancia entre ellos, es decir, son equidistantes.

Tanto la simetría axial como la central poseen eje de simetría y puede haber más de uno en la misma figura, veamos el siguiente ejemplo:

El cuadrado, al igual que otras figuras geométricas, puede presentar varios ejes de simetría que dividen a la figura en dos partes iguales.

Las simetrías no existen únicamente en el campo de la matemática, como ya vimos hay muchas de ellas en la naturaleza, pero también en otras áreas como:

Física.
Química.
Dibujo.
Música.
Biología.

¿Sabías qué...?

La flor del girasol además de poseer simetría radial, tiene sus semillas colocadas de acuerdo a la sucesión de Fibonacci.

En la física, se evidencian en varias leyes, producto del análisis matemático, siendo desarrollos de elevada complejidad.

En cuanto a la química, muchas moléculas presentan simetría, que puede ser establecida empíricamente (experimentalmente) o utilizando el álgebra abstracta por ejemplo.

Con respecto al dibujo, las simetrías pueden incluir a las de traslación, rotación, abatimiento, ampliación, bilateral, entre otras.

La música y la matemática tienen un fuerte vínculo desde sus orígenes, siendo la simetría una de las características destacadas en la estructura musical. Los giros de media vuelta, la traslación y la simetría bilateral pueden apreciarse en obras de varios compositores, como el destacado Johann Sebastian Bach.

Por último, en la ciencia que nos explica todo acerca de los seres vivos, la biología, se hallan asombrosas simetrías, pudiéndose clasificar en dos grandes grupos: bilaterales y radiales.

El ser humano, como muchos animales, tiene un eje determinado que permite la formación de un sistema nervioso central. En cambio otros seres vivos, como las estrellas de mar o los girasoles, poseen una simetría radial, con un eje denominado heteropolar.

Los mamíferos poseen simetría bilateral.

Simetrías

Para comprender el concepto de simetría, veamos unas imágenes:

IMAGEN ASIMÉTRICA IMAGEN SIMÉTRICA

En la imagen de la izquierda, podemos observar que al trazar una línea por el punto medio de la fotografía, no se observan los mismos elementos de un lado y del otro. En la imagen ubicada en la parte derecha, se visualiza que al trazar una línea que corta a la imagen en dos tamaños iguales, existe una semejanza entre ambas partes.

Definición de simetría

Es la ubicación de dos o más elementos o figuras geométricas que se relacionan con un punto recta o plano, de acuerdo a reglas establecidas.

Hay dos tipos fundamentales de simetría en geometría: axial y central.

Axial: Se produce con respecto a un eje. El eje de simetría es la línea que trazamos para comparar ambas partes de una figura.

Cada punto tiene la misma distancia con respecto al eje de simetría. A’ es el reflejo de A, al igual que B’ el de B y C’ con C también conservan una relación. Si tomamos la medida, perpendicularmente, entre cada punto y su reflejo, veremos que coinciden.

Central: Corresponde a la simetría con respecto a un punto. En este caso, todos los puntos de la figura mantienen la misma distancia con respecto a uno dado.

Eje de simetría:

Es la línea que colocamos sobre la figura y que la divide en dos partes, cumpliendo la condición de que todos los puntos opuestos tienen la misma distancia entre ellos, es decir, son equidistantes.

Tanto la simetría axial como la central poseen eje de simetría y puede haber más de uno en la misma figura, veamos el siguiente ejemplo:

El cuadrado, al igual que otras figuras geométricas puede presentar varios ejes de simetría que dividen a la figura en dos partes semejantes.

Las simetrías no existen únicamente en el campo de la matemática, como ya vimos, hay muchas de ellas en la naturaleza, pero también en otras áreas como:

Física.
Química.
Música.
Biología.

En la física, se evidencian en varias leyes, producto del análisis matemático, siendo desarrollos de elevada complejidad.

En cuanto a la química, muchas moléculas presentan simetría, que puede ser establecida empíricamente (experimentalmente) o utilizando el álgebra abstracta por ejemplo.

Con respecto al dibujo, las simetrías pueden incluir a las de traslación, rotación, abatimiento, ampliación o bilateral, entre otras.

Por último, en la ciencia que nos explica todo acerca de los seres vivos, la biología, se hallan asombrosas simetrías, pudiéndose clasificar en dos grandes grupos: bilaterales y radiales.