La recta numérica o recta real está compuesta por distintos conjuntos numéricos ordenados de menor a mayor. Entre ellos, encontramos el conjunto de los números naturales, los números enteros, los números racionales y los números irracionales. Todos juntos completan la recta.
Los números naturales son llamados así porque fueron los primeros que usó el hombre para contar.
Comparación de cantidades
Si trabajamos con números enteros, comparar es una tarea sencilla. En una recta numérica, los mayores números naturales y decimales son aquellos que están más a la derecha. Por ejemplo, entre el 25 y el 60, el 60 es mayor porque está más a la derecha en la recta numérica. En cambio, si deseamos comparar fracciones, tenemos que considerar los denominadores y los numeradores. Si en dos fracciones los denominadores son iguales, la fracción mayor será aquella que tenga mayor numerador, pero si los numeradores son iguales, la fracción mayor será aquella que tenga menor denominador.
Si comparamos porciones sabremos que la que veamos con mayor superficie será la más grande. Lo mismo pasa con los números racionales.
Proporciones
Las proporciones son relaciones entre cantidades. Estas relaciones nos permiten calcular una magnitud desconocida por medio de una relación conocida. Un método de gran utilidad para resolver estos problemas es la regla de tres, la cual puede ser directa (si la proporcionalidad es directa) o inversa (si la proporcionalidad es inversa).
La torta y otras comidas son elaboradas a partir de recetas pensadas para una cantidad determinada de personas. ¿Y si vienen más invitados? En estos casos, tenemos que recurrir a la regla de tres y ver cuánto de cada ingrediente necesitaremos.
Relaciones Espaciales
Todo el tiempo usamos relaciones espaciales. Estas nos ayudan a no perdernos al ir de compras o a ubicar una ciudad a cierta distancia de la nuestra. Podemos representar posiciones en un croquis, el cual no es tan preciso porque no tiene marcas de distancia, y también podemos hacerlo en un mapa, representación gráfica de un territorio con escalas métricas.
Cuando nos vamos de vacaciones nos llevamos un mapa de rutas para ver qué camino nos conviene tomar o programamos el GPS del vehículo.
Cuando hablamos de proporción nos referimos a una relación que existe entre cantidades o magnitudes medibles como el tiempo, la longitud o el peso. Son muy usadas día a día, sobre todo en los recargos y descuentos de un precio. Estas relaciones pueden ser directas o inversas y pueden resolverse por medio de una regla de tres.
Las proporciones son usadas en la cotidianidad, especialmente en la preparación de comidas y postres. Por ejemplo, si deseamos seguir una receta para hacer un pastel para 10 personas, pero esta viene con los ingredientes necesarios para 5 porciones, tenemos que hacer transformaciones entre las magnitudes para saber cuánto de cada ingrediente tendremos que utilizar.
Proporcionalidad directa
Cuando hablamos de proporcionalidad directa nos referimos a que dos cantidades se encuentran relacionadas de tal manera que, cuando una de ellas aumenta o disminuye, la otra lo hace en la misma forma. Es decir, si dividimos ambas cantidades, vamos a obtener como resultado un número constante llamado razón de proporción.
– Ejemplo:
Si un kilogramo de fresas cuesta $ 2,5 ¿cuál es el precio de venta según el peso?
Peso (kg)
Precio ($)
Razón de proporción ($/kg)
1
2,5
2,5/1 = 2,5
2
5
5/2 = 2,5
3
7,5
7,5/3 = 2,5
4
10
10/4 = 2,5
5
12,5
12,5/5= 2,5
Nota que al dividir una magnitud entre otra el resultado es el mismo.
Regla de tres directa
Una regla de tres es un método para calcular una magnitud desconocida y que es proporcional a otra. Las operaciones que se utilizan para resolver la regla de tres son una multiplicación y una división, pero lo más importante es saber cómo plantear la regla de tres.
– Ejemplo:
Si 1 kg de manzanas cuesta $ 3, ¿cuántos costarán 5 kg de manzanas?
Lo primero que debemos identificar es la clase de proporcionalidad que representa el problema. En este caso, se trata de dos magnitudes directamente proporcionales porque a medida que compramos más manzanas, el costo será mayor. Luego planteamos la regla de tres:
Observa que multiplicamos en diagonal dos magnitudes: 5 kg y $ 3. Luego dividimos entre 1 kg.
Por lo tanto, si 1 kg de manzanas cuesta $ 3, 5 kg de manzanas costarán $ 15.
– Ejemplo 2:
Si Marta compró 1 lápiz y pagó $ 25, ¿cuánto pagará por 10 lápices?
Los egipcios fueron los primeros en tratar de establecer un sistema de proporciones para el cuerpo humano. Para ellos, el cuerpo perfecto debía tener las siguientes proporciones con respecto al tamaño del puño de la persona: 2 veces para la cabeza, 6 veces para las piernas, 10 veces desde los hombros a las rodillas y 18 veces para la longitud de pies a cabeza.
proporcionalidad inversa
Cuando dos magnitudes o cantidades son inversamente proporcionales, quiere decir que a medida que una de estas aumenta la otra disminuye en la misma forma. El producto entre dos cantidades inversamente proporcionales da como resultado un número llamado constante de proporcionalidad.
– Ejemplo:
Carlos compró un pastel en $ 75. Si luego varios amigos deciden colaborar, ¿cuánto tendrán que pagar según el número de amigos que colaboren?
Personas
Precio ($)
Constante de proporcionalidad (personas × $)
1
75
75 × 1 = 75
2
37,5
37,5 × 2 = 75
3
25
25 × 3 = 75
4
18,75
18,75 × 4 = 75
5
15
15 × 5 = 75
Nota que el producto entre ambas magnitudes es el mismo.
Regla de tres inversa
Al igual que en el caso anterior, la regla de tres es un método para calcular una magnitud desconocida y que es proporcional a otra. También empleamos multiplicaciones y divisiones, pero el orden es diferente.
– Ejemplo 1:
Si 3 pintores terminan de pintar una pared en 75 minutos, ¿cuánto tardarán 5 pintores en pintar la misma pared?
Como ya sabemos, lo primero que debemos hacer es asegurarnos del tipo de proporcionalidad. En este caso, las magnitudes son inversamente proporcionales porque a medida que aumenta la cantidad de pintores, el tiempo que se tardará en pintar la pared disminuye. Luego planteamos la regla de tres:
Observa que multiplicamos de forma lineal las primeras dos magnitudes: 3 pintores × 75 min. Luego dividimos entre 5 pintores.
Por lo tanto, si 3 pintores terminan de pintar una pared en 75 minutos, 5 pintores lo harán en 45 minutos.
– Ejemplo 2:
Un coche que viaja a 100 km/h tarda en llegar 2 horas, si viajase a 40 km/h ¿cuánto tardaría en llegar?
Si el coche viaja a 40 km/h llegará en 5 horas.
¿Sabías qué?
Cuando tres magnitudes o cantidades se relacionan entre sí se usa otro tipo de método llamado regla de tres compuesta.
Aplicaciones
Dentro de las aplicaciones más conocidas de las reglas de tres encontramos problemas que se relacionan con el cálculo de porcentajes. Por ejemplo:
Saber el valor de un descuento o un recargo.
Calcular qué porcentaje representa un valor del total.
Calcular un porcentaje a partir de otro.
Ley de la gravitación
Isaac Newton es uno de los científicos más grandes de todos los tiempos. En 1684 estableció una serie de leyes que llevan su nombre y describió la ley de la gravitación universal. Esta ley establece que:
la fuerza que ejerce un objeto con masa sobre otro cuerpo con masa es directamente proporcional al producto de las masas.
la fuerza que ejerce un objeto con masa sobre otro cuerpo con masa es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros de gravedad.
¡A practicar!
1. Resuelve estos problemas con regla de tres:
a) Si con 12 metros de tela María puede hacer 18 remeras, ¿cuántas remeras puede hacer con 14 metros de tela?
Solución
21 remeras.
b) Una máquina llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en una hora y media?
Solución
Llenará 1.080 botellas.
c) Si cierta cantidad de paja alcanza para alimentar a 12 vacas durante 80 días, calcular cuánto duraría la misma cantidad de paja para alimentar a 30 vacas.
Solución
Duraría 32 días.
d) Al abrir 3 de sus desagües, la pileta se vacía en dos horas. ¿Cuánto tardará en vaciarse si abro los 12 desagües?
Solución
Tardará media hora en vaciarse.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Regla de tres”
Con este recurso podrá ampliar la información relacionada con la regla de tres como método para solucionar problemas de proporcionalidad.
